О существовании экстремального отображения кольцевой области со свободными значениями на одной граничной компоненте Текст научной статьи по специальности «Математика»

4 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

«

Я и я л

УДК517.53:517.947.42 Ю.Ф.Стругов, Е.В.Гарифугомна, ОмГГУ

Обозначим D и D* - ограниченны* конмно-саяэные области ■ евклидовом пространстве . п > 2, гомео-морфные п парному шару, обладающие на своих грани-

цах свойством р^

~ По определению область D обладает свойством Pj , если

lim M(r(Em,Fm;D))-oo длялюбойпос-

лодоаКЖности пар континуумов

( Ет ,Fm) из области D , расстояние мееду которыми при щ —> оо стремится к нулю и

inf (diamEm,diamFm )= а ) 0.

т

Здесь M(r(E,F;D)) - п-марныймодуль [1] семействе асвеозмшмых кривых F(E,F;D), соединяющих континуумы Е * F в области D Ню*8 будем предполагать области D и D* такими, что для некоторых

^ 1 i 1

р>п, q>n, — + -<-

р q п — 1

класс Mp g (D,D *) юезиконформных в среднем гомеоморфизмов f:D-*D* таких, что

D D

не пуст . Зафиксируем квкое-либо отображение

g:D^D* и» Hpjq(D,D*).

Известно. что при указенных выше ограничениях на области D * D* тибривши 8 мокно по непрерывности продолжить до гомеоморфизме g:D —► D * [2] . теореме 1.3.2 стр. 32. Зафиксируем у cz D - произвольный континуум . Образ кольцевой области DI у при отибр—вини f будем обоене-чать D*\y f. Рассмотрим мщпу на экстремум для наиоторого функционала в класса квазиконформных в среднем отображений, совпадающих на dD с g * свободных не континууме Y

Обоанечим Wp(g;D\y) земыкание класса g+C¡,(D) в норме пространства Wp(D\y Cq(D)-пространство во« непрерывно дифференцируемых финитных вектор-функций с носителями в области D.

В «асов «ваионфоримк а среднем

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ СО СВОБОДНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ НА ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ КОМПОНЕНТЕ

■ статье доказано сящспюшлню тчреиАНыюги аювпюютя

ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА СПЕЦИАЛЬНОГО ШЩА Ш КЛАССЕ ИЦИГОН+ОЖИЫХ ■

ний тяыяшой овилст м у со сшокщньшш граничил сщнои ИЗ ГРАНИЧНЫХ КОШПОМКИТ.

НИЙ /:Э\у -+0*\у;

7)=)/ ^у)// е Чр^ у.ЯЧу/)\

совладеющих с g;D —► И * не границе и свободных на у . определен функционал [3]

n»\p*\yf\

-i

Or

n"]p\y\

n

-1

\\vf-¡(f(xtfdx ar

п-марнея маре Ле-

Здесь \D\y\ /\

бега соответствующей области.

Известно [2] теореме 3.3.1 , стр.98 , что F(rV/;>7 , причем = / .если

/ - линейное мебиусово отобрвжение и ))1 в противном случае.

Теорема. Пусть _

/т:й\у ->й*\у*т ,т = 1,оо, - последовательность отображений из класса М^ ( §',0\у ),

1 1 ^ 1

р> п, а > п, — н—ь-

у 4 Р ц П-1 • минимвиру-

ющая функционал ) в этом классе отображений

Тоща из этой последовательности мамою выделить подпоследовательность . которея равномерно внутри D \ у сходится к отображению fa:D\y —¥D*\y * ИЗ topq(g;D\y) , причем

F(Vfo) i lim F(Vf„).

Доявзапльстео теоремы олиреется не леммы 1-3.

Лемма 1. Из mhi тмизирующвй послодовагельно-сги мсвяно >яепе>1ь подпосподтвв1Чьность,которая равномерно в D1 у сходит» к гомеоморфизму

f0:D\y->D*\y* f0 eWp(g;D\y), ewi(D*\y*).

М-

12.Пусть f0(x)-предельное огобра-

мание из леммы 1 . Тогда

J

dx

- <

D*r J(x.fo)"

где J(x,f0) - якобиан отображения f0(x) в точке х ■

Димдшньсшо. Действнтчьно , для как но марон щ трвводпивв равномерная оценка ( [2] , лемма 3.3.2, стр. 102, [3] , слодствие 1. стр.)

Г

[{H,(x.fji

J(x.fj)

A £ bjM й Mi < »,

bm^\D*\yfn Mj = sup b~' M ,

n'\D\y

i+i

-i

m

Тек как шар в простран-

т

lim (

Я", •>

<Р(х)

D\r J(X,fk У

TdX = J v(x)dp(x)

D\y

q

J(x,f0)~» <ц'{х) , «да ß'(x)-плотность меры ß в точке X. Поэтому для любой функции

у/ eCo(D\y),0<i(/ <1,

S JvW^ - И" JvW—^-Г s

«r J(x./.)i A ^'¿r J(x,ft)-

* »jf^f* s m, (

ipßHj(x, fm ) -внутренняя характеристика квазиконформности огабракения fm а точке

стае бор««кжих сл*о комп«ствн то и, после-доаатальности якобианов | ^ (* ■ /т ) " можно выбрать подпоследовательность такую, что для любой функции (реС0(О\у)

Из произвольности выбора функции у/(х) следует утверждение леммы.

Лемма 3. Пусть минимизирующая функционал

^У/) последовательность {/т }, т = 1 ,ао , из Мр ч 1 у > равномерно внутри £) «одится к

гомеоморфизму/0 :Э\у -> £>* Iу у .Тогда,если

11. 1

то для любой функ-

ЦИИ (р и для всех номеров /( / = Jtn

q-1

имеет место равенство

и„ j 4^4V(X)dx = г J^Xi/\K(x)dx,

где ¡Л - некоторая борелевсквя мера.

Из слабой непрерывности якобиана [V] следствие 4.0, сгр.М) следует, что

lim ( J(x.fk)q>(x) dx = f J(x,f0)q>(x)dx. Ar—i- '

D\y D\y

Пусть <peCo(D\y),0<<p(x)<l - произвольней функция . Тоще из неравенстве Гапъдера

Г V

I . dx

f<p(x)Jx й йт] f ФУ

а,

о* А*-А)"

У

ь (

=! I jj(x./„)4ix)dx S I \in jj(x./0)<b

I «С ) KW ) [nr

_ Выберем </>(.£) с носителем в шара

В (x,p)czD\y . Тоща из произвольности выбора

<Р слсдует, что

1+й (

\dx< Jrf/i jj(x,f„)dx

В"{х.р) J v.01?

или

/ s

II

Переходя к продалу при р_>0,получим для почтиаоакх eD\y неравенство

где J)(x,f) - алгебраическое дополнение элемента /у определителя J^x,f).

Дояяппкш). Пусть е}0 -произвольное число, и 11 е - окрестностъконтинуума у в области £) такая, что п-мерная мера Лебеге е \у | ( е . Такая окрестность существует ( [5], Гл.1, теорема 1.1). Обозначим

йЕ = {х 6 й \и е / а(х,у )) е} .

И* = /0 (О £ ) . Существует номер N = N (е) такой, что все континуумы у'т - Б* I /„,(/) \ у) не

лежат в области ¿) * , если т> N

Ниже будем рассматривать последователь-ноегь {/т } , начиная с номера N .

В точках невыроэденноб дифференцируемости отображения /(х) для почти всех X ей\у определена обратная к /'(■*) матрица

Пусть <р 6 С0(/)г) - произвольная функция . Тогда,вделав замену переменных х = /¿'(у) . получим

\9{х)(ф(х./т)-ф(х.г0рх:

D.

Dc

•ii-l)

u

äx

li J{X fof

I i^/.r^

1( "Ii

< M < w .

Следошгапьно, из гаащраепльности мвгр*«ьк функций {j(y.fo~')v/^'(fm о/0_/)} в пространстве

^ ¡£) * \ можно вьцдоить подпоследовательность, которая слабо сходится к матричной функции ®(v) Повторяя рассуждения из доказательства леммы 3.3.7 [2] , получим, что

&(у)= ¿(у./о^У/о'^у) для почти веек у е D * и , кроме этого,

lim Im(r.) =0 , . _

Д™ лю6°и Функции

р € С0 (D t ) ■ Так как С0 (D t ) плотно в сопрв

жвнном к

Ма.)

пространстве

то

lim Im(e) = 0 длялюбой функции 9 г)

Пусть <Р 1 у) -прошельнвяфуна*«. Тог-

да. разбив otracTbi^l у на De,(D\y)\De и ньа нициин ibü Гследвре, «ffem

JJ ./(*./„) ./(*./„) J

«Ц-ч»-/.) ■'(»■/.) j * i

Мера |(£> I 0 при е —> 0, поэтому

из абсолютной непрерывности интеграла Лебега для любого 8)0, существует Е0 } 0 такое, что

М

я' 1

о1

Замене переменных превомерне , тек кек /о '/о' е АСЬ" . Послвдоветальность матричных функций [/(у, ЛГ' У/~' (/т о )} является равномерно огрениченной в пространстве

\ г --7■ Действительно.из неравенства

^ ' п + 1

Гвльдере и леммы 2

дляасасс, 0(е(ео.Пап |/w(e)| подрвау-юрень квадратный из суммы квадратов элементов матрицы.

Для выбранного S и соответствующего ему е0 существует номер = такой, что для всех

m>N справедливо |/я(Е)$— и следовательно

(

6 8

Т + Т = 5

Из произвольности выбора ß следует утверждение леммы.

Следствие. В условиях леммы 3 справедливо неравенство

lim J

dx г j

z

ijt=l

A'-f.)

2\

dx.

Доказательство следствия вытекает из ламмы 3.3.8

И Л9ММЫ Э.

Дпимтишю твврвм! I. Из леммы 1 следует, что из минимизирующей последовательности меж-но выдетить подпоследовательность, которая сходится к гомеоморфизму /0: И \ /->/)* \у *.

/0 е1Г1р(ш;0\у) . У*)-

Из попунепрерывности снизу интеграле Дирихле имеем

Лу/.С^дг * Цш \\ЧГя\'*х. (А

_ . а* —ь <ж> . * '

D\f

Покажем ,что

Dir

lim a(fm)=a(f0) . lim b(fm) = b(f0) . (2)

ra-»'JO m—>oo ^ '

Здесь а(/) и ¿(/) означают коэффициенты перед первым и вторым интегралами соответственно в определении функционала F(V/) Для доказательства равенств (2) достаточно убедиться в равенстве

lim

m—y ас

D*\y*m =\D*\y »f.

О)

Для любой функции

, :Co(D\y).0<<p( непрерывности якобианов \4\

(р е Сa(D\ у) , 0 < ф(х)й 1 , в силу слабой

Г

\D*\/m\= ¡J{xJm)dx>\ J{x,fn)<p(x)dx^\j{x,f0)(^x)dx. D? 1>у Пу

Следоаатвльно,

Um |Z)*\y*m| > J J(x,f0)<p(x)dx.

т-кх> D\y

Из произвольности (p(x) вытекает неравенство

ljm\D*\r'm U \j(x,f0)dx =|D* \y M С другой стороны. для произвольного е ) 0 имеем

<f

lim ¡J(x./m)dx= lim ¡J(x.fm)4x)dx+ Jj(x.fm){l- ф))А

m->nc " ян« „ „

ar ^ör ог

(a^Dc l^r )

где D£= x eD\U £:U ¿.-открытая в D\ у окрестность ЯЗ Y у ,|l/ е \ < s, d(x, /Y <£>)) fa произвольная функция

peCo(D\r),0< ф)<1 ,<f(x)=l на Ds

Устремляя в неравенстве (j) £ к нулю, получим

Jim^D |D ♦ \Г*\ (ó)

Объединяя неравенства и (б) , получим

равенство (i), а следовательно ,и равенства (2).

Окончательно из неравенства (7), леммы 3 и равенств (2) получим . что

F (У fo )- 1'nl F(yfm )• Теорема доказана

ЛИГеРАТУРА

1. Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения. - Новосибирск: Наука, 1983.-14В с.

2. Стругов Ю.Ф. Квазиконформные в среднем отображения и экстремальные задачи. Ч.1.-М..1994 .153 с. Деп. в ВИНИТИ 05.12.94 №2786 - В 94

3. Стругов Ю.Ф., Гарифуллина Е В. О компактности семейств квазиконформных в среднем отображений со свободными значениями на границе // Омский научный вестник №8.-Омск , 1999.

4. Решетняк Ю Г Пространственные отображения с ограниченным искажением. - Новосибирск: Наука, 1982 -285с.

5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.- М„ 1977.

СТРУГОВ Юрий Федорович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики ОмГТУ.

ГАРИФУЛЛИНА Елена Владимировна, ассистент ОмГТУ

УДК 519.8 ППЗабудский, ДВ.Филимонов (г. Омск, Омский филиал Института математики СО РАН)

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ НА ДЕРЕВЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МАКСИМАЛЬНЫЕ РАССТОЯНИЯ1

РАССМОТРЕНА МИНИМАКСНАЯ ЗАДАЧА РАЗМВЦЕНИЯ ОБЪЕКТОВ НА ДР&ОВИДНОЙ СЕТИ, В ВЕРШИНАХ КОТОРОЙ РАСПОЛОЖЕНЫ ФИКСИРОВАННЫЕ ОБЪЕКТЫ. ЗАДАНЫ МАКСИМАЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ расстояния МЕЖДУ РАЗМЕЩАВШЬМИ И ФИКСИРОВАНИЯМ ОБЪЕКТАМ И РАЗМЕЩАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ МЕЖДУ СОБОЙ. ГРЕДЛОЖЕН АЛГОРИТМРВ11ЕНИЯ ЗАДАЧИ. В НВА ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ПРОЦЕДУРА ПОИСКА КРАТЧАЙШИХ) ПУТИ В НЕКОТОРОЙ СЕТИ, ДЛИШ ДУГ КОТОРОЙ ЛИНЕЙНО ЗАВИСЯТ ОТ ПАРАМЕТРА.

ВВЕДЕНИЕ

Задачи оптимального размещения взаимосвязанных объектов часто возникают на практике. Область, в которой размещаются объекты, может быть различной: линия, плоскость, сеть и т.д. Могут быть заданы различные ограничения на расположение объектов [1-4].

В данной работе рассматривается задача оптимального размещения взаимосвязанных объектов на древовидной сети с ограничениями на максимально допустимые расстояния. Существующие объекты расположены в вершинах сети, а новые объекты размещаются как в вершинах сети, так и на ее дугах. Заданы удельные стоимости связей и максимальные расстояния между существующими и размещаемыми объектами, а также размещаемых объектов между собой. Необходимо разместить новые объекты на сети так, чтобы выполнялись заданные ограничения и максимальное взвешенное расстояние меаду новыми и существующими, и новых объектов между собой было минимальным.

Такая задача без ограничений на расстояния рассматривалась в [4]. Для нахождения оптимального решения авторы строят вспомогательную задачу без критерия оптимальности, в которой значение целевой функции исходной задачи является параметром в ограничениях на максимальные расстояния Используя условия существования допустимого решения, авторы находят минимальное значение параметра, для которого такое решение существует. Затем строится решение вспомогательной задачи с найденным параметром, которое будет оптимальным для исходной задачи. Отметим, что указанные условия являются достаточными для существования допустимого решения только на древовидных сетях.

В данной работе предложен алгоритм решения .задачи размещения с ограничениями на максимально допустимые расстояния. Составной частью этого алгоритма яв-

Работа вьлопнена при финансовой псщдеркке РФФИ (код проекта 97-01-00771)