О компактности семейств квазиконформных в среднем отображении со свободными значениями на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

I

I

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

I

£

0

1 ! 05

!

!

I

I

I 8

I 8

I

Ю.Ф.СТРУГОВ, Е.В.ГАРИФУЛЛИНА

Омский государственный технический университет

УДК 517.53:517.947.42

О КОМПАКТНОСТИ СЕМЕЙСТВ КВАЗИКОНФОРМНЫХ В СРЕДНЕМ ОТОБРАЖЕНИИ СО СВОБОДНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ НА ГРАНИЦЕ

В СТАТЬЕ ДОКАЗАНО, ЧТО ИЗ ЛЮБОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КВАЗИКОНФОРМНЫХ В СРЕДНЕМ ОТОБРАЖЕНИЙ КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ НА ОДНОЙ КОМПОНЕНТЕ И СВОБОДНЫМИ НА ДРУГОЙ МОЖНО ИЗВЛЕЧЬ СХОДЯЩУЮСЯ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИ УСЛОВИИ. ЧТО РАВНОМЕРНО ОГРАНИЧЕН ФУНКЦИОНАЛ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА. ПРЕДЕЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ЕСТЬ ГОМЕОМОРФИЗМ, ПРИЧЕМ И ПРЯМОЕ , И. ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРИНАДЛЕЖАТ СОБОЛЕВСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ

Пусть О и О* - ограниченные конечно-связные области в (¡я, гомеоморфные п-мерному шару,обладающие на своих границах свойством Р1 .

Область й обладает на границе свойством Р1,

если =

/»—►да

при условии, что евкледово расстояние между континуумами стремится к нулю при /и—> оо и для всех номеров т диаметры Ет ,Рт не меньше некоторого положительного числа §. Здесь обозначено Г[Ет,Гт;£>)- семейство всевозможных кривых в О, соединяющих континуумы Ет , Рт; М(г) - п-мер-ный модуль семейства кривых Г [1].

Кроме указанных ограничений на области О и О* мы будем предполагать, что класс м/,9(0, £>*) всех гомеоморфизмов Ю ® О* таких , что

/еIV'(О),/-' е<(О*),ЛV/-1 (/(хЦ'сЦ™

Зафиксируем некоторое

Я ем р>п, д>п,

1

отображение

Р ч

п-1

Из области О удалим некоторый континуум усО. Обозначим Wlp(g;D\y) замыкание класса g + c|)(D) в норме пространства 1Ур(0\у).

То есть значения отображений из Wlp(g;D\y) на границе ¿О фиксированы, а на континууме у свободны.

Определим класс квазиконформных в среднем отображений, фиксированных на до и свободных на второй граничной компоненте, равенством

мp.ч(g;D\y)={feiVj,(g;D\y)/feMм(D\y,D• \ у*)\

Здесь гомеоморфизм ^ отображает область й\у на область й * \у *.

не пуст для некоторых р, ц, неравенствам р>п, <?>«,

1

удовлетворяющих

В классе отображений функционал

Р-Ч

(g;D\y) определен

1 1

—+ -< —

р д п-

Р(ЧГ;0\у) = ±\Г>\у\Рп-

1

п"\0*\у*\'

-1

Вг

¿х +

/ ,1 + D*\y *|„

n"\D\y\„

1+1

\\^Г'(Г(х))\ч<к а-у

где |£] - п-мерная мера Лебега множества Е,

В работе будет доказано, что любое семейство №( х)} отображений из м PlЧ(g;B\y) с равномерно офаниченным функционалом Е(У/а; В\ у) компактно в классе гомеоморфизмов f :в\у-> Я"

Теорема. Пусть ^а}, а вА - семейство отображений из класса мpq(g;D\y), р>п, д>п,

11 1

— + — <-

р д п-Г

и пусть существует постоянное число М, 1<М (а> такое, что ;В\у)<М для всех а е А ■

Тогда из любой бесконечной последовательности этого семейства отображений можно выделить подпоследовательность, которая сходится к некоторому гомеоморфизму /:В\у ^ Б*\у*, при этом / <=\¥р(В\у),

Г1 ^(В*\у*)-

Доказательство теоремы следует из лемм 1-7.

Лемма 1. Из любой бесконечной последовательности отображений семейства {Ла}. а е А. можно извлечь подпоследовательность, которая равномерно внутри области ВI у сходится к непрерывному отображению /е Wp(g;B\y).

Доказательство. Из равномерной ограниченности функционала ;В\у) следует равномерная ограниченность норм \/а || в банаховом пространстве №р(В\у). Поэтому из последовательности отображений можно извлечь подпоследовательность {/„}, т = 1,<х, сходящуюся к некоторому отображению Цх) в норме пространства 1р(В\у) и слабо сходящуюся в }Ур ( В\у ). Так как все /„, &W,p(g;B\y ), то и слабый предел / eW1p(g;B\y).

Кроме этого, для всех гомеоморфизмов fm(x) справедлива локальная оценка [2]

\Ux)-fm(y)\<

I

\ —

In7

-я

где постоянная С зависит лишь от п, евклидова расстояния с/С у, Ж \}у) от у до <Ю 1)у и меры Лебега тп(В\у ) = \В\у\. Эта оценка имеет место , если \х~ у\{т'т(1,с12 (у,сЮ{}у)). То есть семейство отображений локально равностепенно непрерывно. Так как все образы отображений лежат в ограниченной области О*, семейство равномерно ограничено.

Пусть К - произвольный компакт из области 01у. Последовательность {/т} на нем равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, а значит, по теореме Арцела, нормальна. Отсюда следует непрерывность на К предельного отображения Цх). Из произвольности К вытекает непрерывность отображения Цх) в области 01У- Лемма доказана.

Обозначим в*\у' последовательность кольцевых областей, являющихся образами области 01у при отображениях Из топологии известно, что из последовательности континуумов у * в ограниченной области можно выбрать подпоследовательность, которая в

метрике Хаусдорфа сходится к некоторому континууму у *

Лемма 2. Континуум у * не вырожден, то есть (Пату*) 0 и расстояние с!(у*,Ю*))0.

Доказательство. Допустим, что Ут = 0.

т—>оо

Тогда возможны два случая. Либо у *есть точка, лежащая внутри области О*, либо точка у* едВ *.

П от/ Ь - две точки континуума у, расстояние между которыми равно сПат у . Пусть далее 1. - прямая линия, проходящая через точки а и Ь . Обозначим Е связный отрезок прямой I., соединяющий точку ас границей ¿О, не проходящий через точку Ь. Если окажется, что

lim diam f JE) = О

m—>oo

, то в качестве отрезка Е

возьмем другой отрезок , соединяющий точку а и границу ¿О, полученный вращением исходного отрезка на

сколь угодно малый угол а,

I I/ п

н<7.

Тогда найдется

lim fja) = y,

Hl—>С0

положительное числое такое, что сПат/т(Е)>е для всех номеров т. Действительно, в силу ограничений на границы Ж, Ж * по теореме 1.3.2 [5] гомеоморфизмы д(х), Цх) можно продолжить до гомеоморфизма

Поэтому, если /т(Е) = Оуо

континуумы £* = /т(Е) стягиваются в пределе в граничную точку у[ е дО *, и значит,

Если мы повернем отрезок £ на угол а, то он соединяет точку а и некоторую точку х е ¿о.

Ясно, что /т (х) = <р(х) = у2 есО*, у2* у 1 ив качестве искомого числа е можно взять расстояние

Аналогично выберем отрезок Е, соединяющий точку Ь и границу 90, не проходящий через точку а.

Для семейства всевозможных кривых Г(Е, Е; 0\у), соединяющих Ей £ в 01у допустимой метрикой [1] является р(х)=д1(Е,¥)~' =\Ь-а\~'.

Для всех отображений !т(х) справедливы [6] оценки модуля семейств кривых

М(Г(Е*тУт;В + \у*т))< ¡р"(х)Н,(х,/т)с1х <

о

<\Ь-а\-" ¡Н1(х,/т)с1х

Ру

Здесь г(Е*т ,р'т;В*\у'т)-образы семейства кривых Г(Е, Е; й\у) при отображениях fm (х),Н1(х,^- внутренняя характеристика квазиконформности отображения 1т{х) [1].

Известно [5], что 2

\Н, (х, /т)сЬс<2п \D\y\ ; В \ у) Ру

Из полученных оценок и равномерной ограниченности функционала Е(У/т; О \ у) следует равномерная оценка для модуля семейств кривых

М(Г(Е*т, Т7,*; В * \у *т )) < М (оо, причем отрезки £, Е

всех номеров т

есть точка, следует

выбраны так, что для

min (diam Ет, diam Fm ) > е) 0 ■ Из предположения, что у*

lim d(E'm,F'm) = 0.

В силу свойства Pj

lim М(Г (Е*т В* \у*)) = <х> Это противоречит равномерной оценке модуля

0

1

I

i t

6

to

1

0

1

!

0

1 !

<4 ¡

i i

1 S

i

i

o

семейств кривых и, следовательно, наше предположение о том, что у* есть точка , неверно. Первое утверждение леммы доказано. Докажем второе утверждение, то есть, что с/(у*,Ю*) )0.

Как и выше, имеют место оценки

М(Г(у'п,Ю*; D * \у*т)) < \pn(x)H,(x,fm)dx, Dy

где p(xj = d(y,cD)-'- Поэтому для всех номеров т

М(Г(ут,сО*;Ъ*\у*т))<М1 (со.

Если предположить, что d(y*,cD*)=0 , то lim d(y т,Ю )-0 и в силу свойства р.

т—ю>

lim M(r(y'm,fl)';D*\y'm)) = cc m-*fо

Это противоречит равномерной оценке модуля семейств кривых, следовательно, d(y*,cD*))0. Лемма доказана.

Следствие 1. Для всех номеров т справедливы равномерные оценки

0(ö < min

\D\r\Pn-'\D*\y'S» , \D*\y'n\"\D\y\-"n-

< тах

\D\y\n-'\D*\y'S», IdVJ" \D\r\~n~'

<M{ oo

Доказательство. Из леммы 2 следует, что

lim\p*\y*^= 5) О

/Л—>со

Поэтому утверждение вытекает из ограниченности областей D и D*.

Лемма 3. Пусть f:D\y D* \у * - предельное отображение сходящейся подпоследовательности из леммы 1. Тогда, если ae.D\y, то f(a)eD*\y*.

Доказательство. Допустим обратное, то есть, что f(a)eóD* или f(a)ey*. Выберем односвяз-ные открытые окрестности U ¡ зу, U, с D, ae(J¡ и U2z>y, U2 ct/y, aeU2- _

Обозначим Г, = Г(и¡,óD; D\Ui), г2 = Г(Ш2,у; D\y), г = г,иг2.

Для всех номеров т справедлива оценка модуля семейства кривых (так же , как в лемме 2)

M(fm (Г)) < \рп Н, (х, fm )dx < М, < СО

йу

-I

Шар В" (у0,И) лежит в области О*, и сфера 8^(у0Я) пересекается с континуумом д* и, начиная с некоторого номера т1 , со всеми континуумами /„(и 1 \ и2) ■ Начиная с некоторого номера т2, все гт< Я, и сферы 5 (уа, гт ) пересекаются с континуумами у* и /т(и1 \ И2) ■ и сферическое кольцо В"(уд,К)\Вп(у0,гт) лежит в области О*.

Известна оценка ([1], лемма 3.1).

М(/т{Г2))>С„1п —

гт

где Сл - постоянная величина, зависящая только от п. Следовательно, ,1т =00 что

т—>оо

противоречит равномерной оценке М( Г)). Поэтому /(а) е у*. Значит, /(а)ей*\у*. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть Цх) - предельное отображение из леммы 3. Тогда, если ей!^, х1*х2, то

Ях,)*Г(х2).

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда найдутся х1<х1 еО\у, х,*х2 такие, что /(х,) = /(х2).

Пусть Е - путь, соединяющий точку *( с границей до в Б\у , Р- путь, не пересекающийся сЕ, соединяющий точку х2 с континуумом у, d = d(E,F))0 расстояние между Е и Р . Метрика р(х) = d~l допустима для семейства кривых Г = Г(Е,Г;0\у) и для модулей семейств кривых М(/т(Г)) справедлива равномерная по т оценка

М(/т(Г)) < ¿Г" \н,(х./ш)ск < М <оо

Оу

Из того, что У0 = /(х,) = /(х2)- внутренняя точка

D*\y'

,*т у * 0 метрике Хаусдорфа , следует,

что у0 - внутренняя точка областей 0*\у*т для всех номеров т, начиная с некоторого номера тг Ясно, что

а= /л/ иих1)1Ю*иг1)^(/т(х2),сЮ*иу'т)))0,

т¿т,

diam/т(Е)>а, diam/„(Е)>а для всех т £ т1 и

lim

т—»oo

где р(х) = [min(d(SUl,cD), d(fiJ2,y))\ Если /(а)е<Ю* , то

lim (d(fJÜ^\U2),cD*)=0

m-* oo -

lim diamfm(U,\U2)>5)0 Так как — Jm ' г , тоизсвои-

/Л—»00

ства Ps следует, что

lim М(fm(Г))> Um М(fm(Г! )) = <*> Это про.

т—>оо /и—>со

тиворечит равномерной оценке М(/т(Г)). Следовательно, f(a) не принадлежит ¿D * ■

Если f(a) = y0ey*, то '^Jm(a) = Уо и lim r,„=0 | где Гт = 2 тах(d(у0,fm(Ü,\ U2 )), -).

Обозначим Л--™«

d{y„,3D*).max^ d(y0,y)

¿(/т(х,),Гт(х2))=0.

Выберем произвольное число Р>0, для которого шар в"(у0,Я)с й*\у'.

Из сходимости континуумов у у * в метрике Хаусдорфа следует , что для всех т , начиная с некоторого номера т2, шар ~в"(у0, Я)а Б* \у'т.

Обозначим гт = max(d(y0 ,/т(х,)). ¿(у„, /„, (х2 ))). Для всех номеров щ , начиная с некоторого номера тз .будут справедливы неравенства гт{Я.

Осталось заметить , что для всех номеров т>тах(т1,т2,т3) континуумы /т(Е) и /т(Е) пересекают границы сферического кольца

Поэтому /т(Г))>Сп 1п-§~. Следовательно,

т

ОЪ М(/т (Г)) = оо, а это противоречит равномерной оценке М(/„,(Г)), и поэтому /(х,)*/(х2).

Лемма доказана.

Лемма 5 . Пусть и и с й* - произвольная открытая окрестность континуума у * и {/„}, т = 1, да , - сходящаяся подпоследовательность из леммы 1. Тогда из последовательности обратных отображений [/т\.

т=1,оо, можно выбрать подпоследовательность, которая равномерно в d*\JJ сходится к некоторому непрерывному отображению h:D*\U-> R"

heWt(D*\U), при этом

а) если 6 е D * \й, то h(b)eInth(D*\U);

б) если yhy2 eD*\U, У] * у2 , то h(yi)*h(y2).

Доказательство . Существует постоянное число М такое, что для всех номеров т справедливы

тттЯЯ^\ш-<^- ¡».OS?)***-

" D-.U

Поэтому, повторяя рассуждения лемм 1 -4, получим требуемые утверждения . Лемма доказана .

Лемма 6 . Предельное отображение f(x) из леммы 1 есть отображение области D\y на D* \у*.

Доказательство . Из леммы 3 следует , что f(D\y)<zD*\y*. Допустим , что множество

E = (D*\y+)\f(D\y)*0. Пусть УоеЕ и U=>y*-произвольная открытая окрестность континуума у * такая,что yaeU.

Обозначим хт = f'J (у0). В силу леммы 5 из

последовательности \fm\- т=1,<х>, можно выбрать подпоследовательность (обозначение сохраним то же), которая равномерно в р *_\у сходится к непрерывному отображению h: D*\U D. Из пункта а) леммы 5 следует, что

lim хт=х0 = h(уа) е Int h(D *\U).

П1—>00

Поэтому d(x„,dD\Sy) = d)Q. Пусть у - произвольная открытая окрестность точки х такая , что VczD\y. Из леммы 1 следует, что fm(x) равномерно на у сходится к f(x). Поэтому для любого е)0 существует_номер дг такой ^что для всех т > N все х,„ б V и для всех х s V справедливы неравенства

\f(x)-fjx)\^2 . \f(x0)-f(xm)\{i . Следовательно , для всех m>N

\f(x„)~ Уо\ ±\f(*o)-f(*«,)\ + If(*m) - fjxj|<*-

Из произвольности выбора £ следует , что у о = f(xn) . Из леммы 3 вытекает, что у„ ef(D\y).

Это противоречит тому , что у0 еЕ. Следовательно, Е = 0 . Лемма доказана .

Лемма 7 . Отображение f(x) является гомеоморфизмом области D\y на область D*\y*. Причем / eWj,(D\y),f-' eWj(D*\y*)-

Доказательство . Из лемм 1,4,6 следует, что /^Wlp(D\y) - непрерывное и взаимнооднозначное отображение области D\y на D*\y*.

Убедимся в том , что обратное отображение f~':D *\у*-> D\у является_непрерывным. Пусть и ■ открытая окрестность у*, U <zD*. В силу леммы 5 существует последовательность обратных отображений (/;« ], т=1, оо , которая равномерно в d*\U сходится к непрерывному отображению h:D*\u -> R" ■ Пусть xeD\y - произвольно выбранная точка и y = f(x). _

Окрестность ц выберем так, что _f(x) eD_* \U ■ Пусть у- открытая окрестность f(x), V с D * \U. Из Равномерной сходимости f~l к отображению следует,что для любого е)0 существует номер д' такой , что для всех номеров т> ДГ и всех значений f(x)eV

\ЫГ(х)) - К'(Г(Х))\( У2 • \/т(/(х)) ~ /-'(/т(х)) \{?2. Следовательно ,для т> N

\Ы/(Х)) - х | < \gfffx)) - (Г(х)) | + (1(Х)) -

-/¿'(/т(х))\(у2 + у2 = £.

Из произвольности е следует И(/(х)) = х, то есть для всех у<=у И(у) = (у) , а значит, /~'(у) непрерывно на у. Отсюда /''(у) непрерывно на £> * \ц . Из произвольности выбора ц

заключаем , что f~'(y) непрерывно на D*\y'

Следовательно /:D\y D*

V

гомеоморфизм.

С учетом леммы 6 еИ/^(0*\и) Для любой открытой окрестности Ц континуума у *. Поэтому

/-'(у)<=АСЬ(0*\у*). Докажем,что /-' е1уЛ(0*\у*).

Обозначим £/* = { у&й* /¿(у,£*)(2~к]'

Ясно, что и1 =>..., =;

к=1 г ,

Для всех номеров к имеем 17

} < Шп { Пт |

_ . . >11_ЬТ ____' ' и>_V-»» - ' '

• vt

D'Uk

< пlim \H,(x.fm)dx= М<оо. Dr

Постоянная м не зависит от номера к и

00 _ 00

\J(D * \Uk ) = D *= D * \у * _

k=l

k=l

поэтому

j| Vf~'\dy<M.

D'y'

Отсюда и из того, что f~' eACL(D*\y*), следует f~' eWl(D*\y*)-

Таким образом, лемма 7, а значит, и теорема полностью доказаны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения.- Новосибирск: Наука , 1983.-148 с.

2. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений.-Киев: Наук, думка , 1981.-168 с.

3. Куратовский К. Топология.-М.: Мир, 1966.-Т.1,-594 с.

4. Куратовский К. Топология.-М.: Мир, 1969.-Т.2,-624 с.

5. Стругов Ю.Ф. Квазиконформные в среднем отображения и экстремальные задачи. Ч.1.-М.,1994.-153 с. Деп. в ВИНИТИ 05.12.94 №2786-В 94.

6. Стругов Ю.Ф., Сычев A.B. Различные классы пространственных отображений , квазиконформных в среднем II Алгебра и матем. анализ.-Новосибирск , 1990.-С.104-125.

7. Казимиров В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления//УМН 11, вып. 3(69).-1955.-С.125-129.

СТРУГОВ Юрий Федорович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики.

ГАРИФУЛЛИНА Елена Владимировна - ассистент кафедры высшей математики.

ï I

0

1

1 I

I

£

1

s 1 s

со

1

о

3