CC BY
20
УДК 533.932
О СУПЕРДИФФУЗИОННЫХ СКЕЙЛИНГАХ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
В. П. Силин1'5, В. П. Будаев2'3, С. П. Савин3, Л. С. Рахманова3'4, М. О. Рязанцева3'4, В.Ю. Попов3'4, С. А. Урюпин1'5
Скейлинги аномального переноса (супердиффузии), полученные экспериментально в турбулентной плазме магнитосферы Земли и лабораторной плазме термоядерных установок и обработанные с помощью современных статистических каскадных моделей сильной турбулентности с перемежаемостью, предлагается рассматривать также в рамках подхода физической кинетики к теории турбулентности плазмы, в том числе ионно-звуковой турбулентности.
Ключевые слова: турбулентность плазмы, перемежаемость, супердиффузия, статистические модели турбулентности, ионно-звуковая турбулентность, космическая плазма, токамаки.
Введение. В турбулентных погранслоях (ТПС) магнитосферы Земли (МС) и вблизи границ плазмы, удерживаемой в термоядерных установках, наблюдается сильная турбулентность плазмы [1, 2] с перемежаемостью в виде турбулентных пульсаций большой амплитуды (рис. 1). Такое поведение наблюдается для всех измеряемых величин - потоков частиц, скоростей, магнитных и электрических полей в плазме. За последние 10 лет получены надежные экспериментальные данные о временных и пространственных характеристиках флуктуаций плазмы с помощью диагностических зондов, установленных на искусственных спутниках Земли, и микрозондов при измерениях в термоядерных установках (ТУ) - токамаках, стеллараторах и линейных установках. В современных
1 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр., 53; e-mail: [email protected].
2 НИЦ "Курчатовский Институт", 123182 Россия, Москва, пл. Академика Курчатова, 1; e-mail: [email protected].
3 Институт космических исследований РАН, Москва, Россия.
4 МГУ им. М.В. Ломоносова, 119991 Россия, Москва, Ленинские горы, 1.
5 Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", 115409 Россия, Москва, Каширское шоссе, 31.
экспериментах измеряется локальное изменение параметров плазмы во времени (рис. 1). Полученные сигналы в виде временных рядов, содержащих 105 — 106 и более значений, подвергаются анализу с использованием компьютерных технологий и методов, что дает спектральные, корреляционные, статистические характеристики временных сигналов. Особенностью наблюдаемых в погранслоях магнитосферы Земли и пристеночной плазмы лабораторных ТУ турбулентных сигналов является явное отличие их формы и характеристик от простейшего шума. Спектры сигналов из ТПС имеют характерную уширенную форму в низкочастотном диапазоне частот. Наблюдается самоподобие и масштабная инвариантность - одно из основных свойств турбулентности. Корреляционные свойства приводят к турбулентному переносу в ТПС, формируется аномальный перенос массы и импульса за счет спорадических плазменных потоков с вероятностью больших амплитуд потока значительно большей, чем предсказывается законом классической диффузии. Исследование фундаментальных причин такой аномальной диффузии является актуальной проблемой: аномальный турбулентный перенос формирует условия проникновения межпланетной плазмы внутрь магнитосферы Земли и является причиной аномальных явлений, а в ТУ приводит к повышенным потерям плазмы из магнитной ловушки. Несмотря на активную работу последних десятилетий, все еще остаются открытыми основные вопросы о первоисточнике неустойчивостей, механизмах развития сильной турбулентности, универсальности явления турбулентности с перемежаемостью.
Для описания такого процесса можно привлекать (1) обработку экспериментальных данных с помощью современных статистических каскадных моделей сильной турбулентности с перемежаемостью, и (2) кинетические теории развитой турбулентности.
Статистический подход. Развитая турбулентность характеризуется большим числом степеней свободы и нелинейно взаимодействующих мод, случайными пульсациями скоростей и полей. Поэтому в 1941 г. А. Н. Колмогоров на основе рассмотрения масштабной инвариантности турбулентности и её статистических свойств создал каскадную теорию однородной изотропной турбулентности, названную К41 [3]. Теория К41 удовлетворительно описала многие гидродинамические эксперименты в широком диапазоне масштабов, что на сегодняшний день не достижимо в рамках существующих аналитических моделей. Эта основополагающая концепция рассмотрения масштабной инвариантности турбулентности была положена в основу последующих современных теорий, описывающих турбулентность с более сложной структурой, чем в модели К41 (см. обзоры [1, 2]). В колмогоровской модели К41 турбулентные вихри каждого мас-
Рис. 1: Турбулентные сигналы космической и лабораторной плазмы. Ионный поток I, измеренный спутниками: (а) Спектр-Р вблизи магнитосферы Земли; (в) WIND в межпланетной плазме (с) CLUSTER 4 в ТПС МС Земли. (d) Флуктуации плотности плазмы в периферии токамака Т-10. (е) Функция распределения амплитуд флук-туаций турбулентного потока плазмы с перемежаемостью, измерения спутником Спектр-Р . Пунктиром показано гауссовское распределение.
штаба однородно заполняют все пространство - рассматривается простейшая структура турбулентного каскада. В развитой турбулентности магнитосферной плазмы и плазмы в ТУ анизотропия, вносимая полями и границами, приводит к формированию более сложной структуры турбулентного каскада, что обеспечивает свойство обобщенной масштабной инвариантности (расширенной автомодельности, см. [1]) в широком диапазоне характерных масштабов, простирающемся вплоть до масштабов диссипации. Такое свойство обеспечивает дальние корреляции и приводит к аномально большому переносу плазмы - супердиффузии, многомасштабной инвариантности, дальним корреляциям, наблюдаемым в эксперименте в турбулентных погранслоях [1, 2].
Для определения статистических свойств турбулентности в эксперименте регистрируют локальные временные зависимости физических величин X(£) (напр., потоков частиц, скоростей, магнитных и электрических полей). Затем производится статистический анализ измеренных флуктуаций X (£) методами теории вероятностей и статистической физики (см. напр., [1]).
Один из основных методов заключается в исследовании функции распределения (ФР) приращений в изменении сигнала 6ТX(¿) = X(£ + т) — X(¿). ФР строится как гистограмма для 8ТX(¿). Типичная ФР показана на рис. 1. На рис. 1 показана также гауссова функция, которая описывает, например, броуновское движение, но не описывает форму экспериментальной ФР с типично "тяжелыми" хвостами (поэтому такая турбулентность и диффузия в литературе называется негауссовская). Это означает, что мы наблюдаем нетривиальный стохастический процесс, отличающийся, например, от "белого шума" или броуновского движения. При исследовании таких систем рассматриваются структурные функции (моменты ФР) порядка д для разностей 8ТX(¿) = X(£ + т) — X(¿) на временном масштабе т. Структурная функция порядка д определяется как Бя(т) = (¿)|9), статистическое усреднение (...) производится с
весовой функцией - функцией распределения (гистограммой) для 8ТX(¿), 0 < д < 6, д может быть нецелым, см. [1]. Исследование структурных функций (моментов функции распределения) эквивалентно исследованию функции распределения, метод структурных функций (см. [1,2]) позволяет детально описать неоднородность распределения на различных масштабах процесса или объекта.
В дальнейшем анализируется зависимость от д показателя £ (д) структурной функции Бд (т) ~ тполученная зависимость ((д) сравнивается с предсказаниями статистических моделей турбулентности [1]. Полученный таким образом из эксперимента скейлинг £ (д) с достаточной степенью общности характеризует статистические свойства (т.н. статистику) турбулентности. Для простейшего случая однородной изотропной турбулентности в модели Колмогорова К41 (имеющей гауссову статистику) скейлинг С(д) = д/3. Структура турбулентности плазмы в ТПС космической и лабораторной плазмы [1, 2] неоднородна - наблюдается свойство перемежаемости. Перемежаемость - локальное нарушение однородности турбулентности, в которой активные области сосуществуют с пассивными (квазиламинарными). В этом случае регистрируется нелинейная зависимость £(д) от д. Из теоретического рассмотрения (см. обзор [1]) следует, что свойство перемежаемости турбулентности связано со скрытыми статистическими симметриями (симметриями масштабной инвариантности) движения (которые должны быть представлены также в динамических уравнениях, описывающих турбулентность). Перемежаемость наблюдается в гидродинамических турбулентных течениях нейтральных сред и турбулентной замагниченной плазме, в том числе лабораторной и космической плазме [1, 2].
Для описания турбулентности с перемежаемостью были предложены каскадные модели (развивая принципы, заложенные в модели К41), в том числе наиболее общая -лог-пуассоновская модель турбулентности (см. [1, 2]), описываемая анизотропным турбулентным каскадом и скейлингом структурной функции:
С(д) = (1 — Л)3 + [1 — (в)3]' (1)
где индекс в характеризует степень перемежаемости (в =1 для неперемежаемой однородной развитой турбулентности, напр., К41 модели, А - параметр, связанный с геометрией диссипативных структур и краевыми эффектами). Скейлинг £(д) и параметры в и А связаны с характеристиками фрактальной структуры турбулентности -фрактальными размерностями.
Функциональная зависимость скейлинга (1) может быть использована для описания переноса в турбулентной плазме. В статистическом подходе к описанию турбулентного переноса рассматривается фрактальная структура турбулентности и диффузия определяется фрактальными размерностями турбулентной структуры (см., напр., [2]). При этом применяются методы оценки коэффициента диффузии по аналогии с расчетом перколяции - протеканием потока через пористую среду. Для описания переноса рассматривается закон изменения со временем т среднеквадратичного смещения частиц ($х2) а Т>т, V - коэффициент диффузии.
В турбулентной среде с перемежаемостью коэффициент диффузии V будет не постоянной, а зависящей от времени величиной (для такого процесса иногда применяется термин "обобщенная диффузия"). Скейлинг обобщенной диффузии, т.е. зависимость от времени коэффициента диффузии, можно записать в виде
V а та-1. (2)
Показатель а связан со скейлингом структурной функции £(д) [1]: а = f(£(д)). Из экспериментальных данных космической и лабораторной плазмы [1, 2] определены скейлинги £(д) и показатели а для закона среднеквадратичного смещения частиц, ($х2) со временем т,
($ж2)^т а т(3)
с показателем а 1.2 — 1.8 [1, 2], что свидетельствует о наличии супердиффузии, табл. 1, рис. 2. На внешней границе магнитосферы Земли обнаружен также режим с ускорением а ^^ 2.3, табл. 1. Напомним, что для нормальной (броуновской) диффузии а = 1, а конвективное движение (баллистическое) характеризуется значением а = 2.
Таблица 1
Показатель скейлинга переноса а в космической и лабораторной плазме
Экспериментальные данные а
Спутник CLUSTER магнитное поле в барьере МС 1.15
Спутник CLUSTER магнитное поле в ТПС МС 1.3
Спутник INTERBALL-1, магнитное поле в хвосте магнитосферы 1.42
Спутник WIND, межпланетная плазма « 1
Спутник DS, после ударной волны (УВ) 2.3
Спутник Спектр-Р, ионный поток в ТПС МС 1.79
Спутник CLUSTER, ионный поток в межпланетной плазме перед УВ 1.48
Токамак Т-10, плотность периферийной плазмы 1.33
Токамак JT-60U, плотность периферийной плазмы 1.33
Токамак JT-60U, плотность плазмы у сепаратрисы «1
Стелларатор LHD, плотность периферийной плазмы 1.4
Линейная установка NAGDIS-II, плотность периферийной плазмы 1.41
Полученные результаты (табл.1) могут быть использованы для предсказания турбулентного переноса на больших временных масштабах (напр., периоде работы токамака-реактора), что в настоящее время не удается при моделировании, напр., с использованием МГД или гирокинетических компьютерных кодов, см. обзор [1]. Рассматриваются различные теоретические подходы описания турбулентного переноса, в том числе, например, диффузионным уравнением с дробными производными (см., напр., [4]); однако при этом возникают трудности непреодолимого характера при получении решений для задачи, рассматривающей турбулентность с перемежаемостью.
Следовательно, необходимо из эксперимента хотя бы определить статистические характеристики турбулентности и определить скейлинги - степенные законы, в том числе (2), и на этой основе привлечь наиболее фундаментальные представления на основе кинетического подхода для описания этого явления.
Подход физической кинетики к описанию турбулентности плазмы. В кинетике плазмы, трактующей описание взаимодействия плазменных волн и частиц, о турбулентности речь идет тогда, когда волн много и для их вероятностного нелинейного описания используется аналог подхода Л. Больцмана. Определенную разработку в наше время получила теория ионно-звуковой турбулентности. В рамках такой теории в работе [5] об ионных диффузионных потоках в турбулентной плазме было показано,
а
2.5
1.5
2
1
+— СЬШТЕК
Спектр-Р ШегЬа11-1 "ИЗТ
К41
0.5
Рис. 2: Показатели скейлинга среднеквадратичного смещения частиц (переноса) а, (5х2) гс та из табл. 1, определенные из экспериментальных данных из космической магнитосферной плазмы, полученных спутниками (квадраты). Сравнение с моделями Колмогорова К41 (а = 1) и ионно-звуковой турбулентности ИЗТ (а = 5/3) [5].
что благодаря быстрому и сильному нагреву ионов ионный коэффициент диффузии оказывается степенным образом зависящим от времени (в [5] коэффициент диффузии V зависит от времени: V ~ т2/3). Это является прямой причиной того, что а оказывается больше единицы в случае турбулентной плазмы. Теоретическое многообразие турбулентных режимов нагрева ионов плазмы составляет нашу надежду на то, что мы стоим на пути возможного понимания экспериментального многообразия результатов, представленных в табл. 1. Подчеркнем то, что в нашем случае а непосредственно связана с ростом температуры частиц плазмы, а не со сложностями турбулентного движения частиц. Связь скейлингов с вопросами сложности турбулентных движений, а также другие теоретические аспекты проблемы обсуждаются в [1].
Следует считать естественным, что предсказание работы В. П. Силина [5] относится не только к случаю ионно-звуковой турбулентности, но и ко всякой турбулентности, которая приводит к быстрому нагреву ионов. С другой стороны, в эксперименте стоит искать связь "аномалии альфа" с "аномалией ионного нагрева" (тем более что аномальное увеличение температуры ионов экспериментально наблюдалось в ТПС [6]), также
Рис. 3: Измерения в магнитосферной плазме Земли: температура ионов T (вверху) и магнитное поле Bl (внизу). Вертикальная прямая - магнитопауза (магнитосфера слева). В турбулентном погранслое (TBL) наблюдается нагрев ионов (эта зона показана серым цветом) за счет, по всей вероятности, альфвеновских и ионно-циклотронных нелинейных волн [6]. Спутник Интербол-1, 21.04.1996 г.
и тогда, когда может открыться и нетурбулентная возможность "аномалии ионного нагрева". В связи со всем этим приводим рис. 3.
Заключение. Определение характера диффузионного процесса из имеющихся регулярных данных является одним из необходимых шагов на пути количественного описания процессов переноса в турбулентной плазме. В настоящее время получены надежные экспериментальные результаты о скейлингах турбулентности с перемежаемостью (см. [1]), которые следует значительно дополнить новыми данными из космической и лабораторной плазмы. Такие результаты следует систематизировать и классифицировать с привлечением интерпретации в рамках кинетической теории, что обещает значительно продвинуться в развитии представлений о физических свойствах турбулентности плазмы и даст возможность качественно и количественно, с большей детальностью, чем в настоящее время, описать процессы переноса в турбулентной плазме с перемежаемостью в различных средах - в плазменных и гидродинамических потоках.
Благодарности. Авторы из ИКИ РАН благодарны за поддержку работы программой ОФН15 РАН, а также экспериментаторам Спектр-Р и WIND, DOUBLE STAR, CLUSTER за предоставление данных через CSDS и SPDF.
ЛИТЕРАТУРА
[1] В. П. Будаев, С. П. Савин, Л. М. Зеленый, УФН 181(9), 905 (2011).
[2] V. P. Budaev, L. M. Zelenyi, S. P. Savin, JPP 1500109 (2015).
[3] A. Н. Колмогоров, Докл. АН СССР 30, 299 (1941).
[4] Л. М. Зеленый, А. В. Милованов, УФН 174(8), 809 (2004).
[5] В. П. Силин, Физика плазмы 37, 739 (2011).
[6] S. P. Savin et al., in Geospace Mass and Energy Flow: Results from the International Solar-Terrestrial Physics Program, ed. J.L. Horwitz, D.L. Gallagher and W.K. Peterson, Geophysical Monograph 104, AGU, Wash. D.C., 25 (1998).
Поступила в редакцию 7 декабря 2015 г.
