О структуре одномерного диффузионного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Уфа: УГАТУ, 2006

Вестник уГА(Ту

НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

Т. 7, №2 (15). С. 127-223

УДК 519.2

Ф.С.НАСЫРОВ, И.Г.ПАРАМОШИНА О СТРУКТУРЕ ОДНОМЕРНОГО ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА

Показано, что одномерный диффузионный процесс представляется в виде детерминированной функции от винеровского процесса. Это позволило выявить связь между фундаментальными решениями уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка и сопряженного к нему обратного уравнения Колмогорова с произвольными гладкими коэффициентами и таких же уравнений с единичным коэффициентом диффузии и некоторым коэффициентом переноса и построить фундаментальные решения для целого класса таких уравнений. Симметричный интеграл; стохастические дифференциальные уравнения; уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка; обратное уравнение Колмогорова

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что если уравнения параболического типа описывают поведение осредненной среды процесса диффузии, то теория случайных процессов позволяет описывать поведение индивидуальной диффундирующей частицы с помощью диффузионных процессов. Под диффузионным процессом в теории случайных процессов понимается строго марковский процесс с непрерывными реализациями, производящий оператор которого есть дифференциальный оператор. Фактически существуют различные определения диффузионного процесса в зависимости от того, что понимается под производящим оператором — сильный инфи-нитезимальный оператор или другие, близкие понятия, в зависимости от других предположений, накладываемых, например, на траектории случайного процесса.

В настоящей работе рассматривается одномерный диффузионный вещественнозначный процесс, который определяется как марковский процесс с непрерывными реализациями, инфинитези-мальный оператор которого есть дифференциальный оператор второго порядка

1 . д2 д ■Ь/О') = ^ «2(М-) —/(:г) + Ь(*,.т)—/(.т).

Коэффициенты а2(£, х) иЩ,х) называются соответственно коэффициентами диффузии и переноса, они связаны с коэффициентами в уравнении теплопроводности. Диффузионные процессы оказались полезными также при изучении различных других явлений, в частности, они возникают как предельные для дискретных моделей, описывающих различные биологические явления, такие, как изменение с течением времени численности особей определенного биологического вида или концентрации гена в популяции.

Существуют два общих способа построения диффузионных процессов, первый из них восходит к А. Н. Колмогорову и является способом по-

строения марковских процессов с помощью переходных функций процесса. Колмогоровым было показано, что в случае непрерывного времени переходная функция марковского процесса удовлетворяет некоторому параболическому дифференциальному уравнению, последнее привело к выявлению глубокой связи между диффузионными процессами, теорией полугрупп операторов и уравнениями параболического и эллиптического типов. Так, для переходных плотностей диффузионных процессов справедливы уравнения: прямое Колмогорова, называемое также уравнением Фоккера-Планка, и обратное; последнее в одномерном случае имеет вид

9 , , а1(

—р(.ч,х^,у) = —Ь(.ч,х)р(.ч,хЛ,у) +

1 9 д2 +-а2(в,х)—р(в,х,г,у), (0.1)

т. е. плотность перехода является фун-

даментальным решением данного уравнения.

Ито предложил другой, прямой, способ построения диффузионных процессов как решений стохастических дифференциальных уравнений на основе построенной им теории стохастических интегралов. В настоящее время в одномерном случае дано полное описание однородных по времени строго марковских процессов с непрерывными реализациями и в этом смысле теория одномерных диффузионных процессов считалась построенной. В частности, известно, что многие одномерные диффузионные процессы могут быть сконструированы из процесса броуновского движения с помощью процедур случайной замены времени, убивания, отражения и т. д.

Цель данной работы состоит в том, чтобы показать, что в одномерном случае, если коэффициент диффузии не вырождается, теория диффузионных процессов во многом сводится к теории винеровских процессов с гладким случайным сносом, т. е. она значительно проще, чем считалось ранее. Основной результат работы состоит

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 04-01-00286-а, 05-01-97909.

в том, что диффузионный процесс, определяемый как решение стохастического дифференциального уравнения, есть просто детерминированная функция от винеровского процесса

W(t) с гладким случайным сносом С (i). Из этого факта могут быть выведены различные известные свойства диффузионных процессов. Следовательно, множество стохастических дифференциальных уравнений с неслучайными коэффициентами, удовлетворяющих условиям существования и единственности решения, можно разбить на классы эквивалентности по случайному сносу C(t), поскольку вероятностная структура решений этих уравнений полностью зависит от вине-ровского процесса со случайным сносом + C(t). Отсюда, например, следует и соответствующая факторизация для фундаментальных решений уравнений Колмогорова.

f(s.X(s))*dX(s)= lirn V —х ■' V V V \Jn)

к

f(a,Xln)(a))dsAX

At),

(n) к '

если предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности разбиений Тп,п е М; условие (£>) является достаточным условием существования симметричного интеграла.

Симметричный интеграл для винеровского процесса Х(з) = И^в) является (см. [1,2]) детерминированным аналогом стохастического интеграла Стратоновича, в этом случае, если детерминированная непрерывная функция име-

ет непрерывную частную производную т^-/г(л'. и), формулу Ито можно записать (см. [3]) в виде

1. О СТРУКТУРЕ ДИФФУЗИОННОГО

ПРОЦЕССА, ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ РЕШЕНИЕМ ОДНОМЕРНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Приведем ряд сведений о симметричных интегралах, построенных первым из авторов и позволивших найти способ построения явных формул для решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений и их детерминированных аналогов.

Будем говорить, что пара функций X(s), s е [0,1], и /(«,«), se [0,1], u е R, удовлетворяют условию (S) на [0, t],t € [0,1], если:

a) функция X(s), se [0,i], непрерывна;

b) при п. в. « функция /(«,«), s е [0,i], имеет ограниченное изменение и непрерывна справа по

;

c) при п. в. и справедливо равенство

f*l(X(s) = «)|/|(ds,«) = 0, где при каждом u функция есть полное изменение функции

по переменной на отрезке ;

d) полное изменение \f\{t,u) функции /(s,u) по переменной на отрезке локально суммируемо по .

Пусть функции и удовлетворяют

условию (S) на отрезке [0, i]. Рассмотрим разбиения Т„, n е N, отрезка [0,i]: Тп = {t^}, 0 =

_ J”)

— t-n

(il)

sc

(n)

n £ N. Предположим, что Tn С Тп+\, n е N, и

А„ = max

к

(n) Ап

к-1

->■ 0 при п ->■ оо. Через

К

, обозначим ломаную, построенную по функции Х(«) и отвечающую разбиению

Тп. Введем следующие обозначения: Д£ь”^ = Ь

(п)

,

к

(«■) \ к >

.

Симметричныминтегралом (см. [1,2]) называется

h(s,W(s))*dlV(s) =

= / h(s,W(s))JlV(s)

I. -а

— h(n,W(n))dn,

где первое слагаемое в правой части равенства есть стохастический интеграл Ито.

Рассмотрим детерминированный аналог стохастического дифференциального уравнения

Tl{t)—v{0) = / u(s,Ti(s))*dX(s)

Jo

В (и, Ti(n))dn,

где — детерминированная непрерывная

функция, имеющая неограниченную вариацию на любом временном отрезке или реализация случайного процесса с такими же свойствами, а коэффициенты и всегда считаются

детерминированными функциями.

В работе [2] было показано, что решение уравнения следует искать в виде + С(з)), где (р(з,и) — гладкая детерминированная функция, а - гладкая функция (случайный процесс с гладкими траекториями), при этом неизвестные функции следует искать из следующих соотношений:

д

—ip(n,u) = а(,ч. Lp(,4. и)), д

—ip(n,u + С(.ч))\и=Х(Й) =

(1.1)

= В(я,ф,Х(я) + С(я))).

Первое уравнение из (1.1) определяет из равенства

dip

а(.ч,(р)

= и + С (s)

(1.2)

неявную функцию в предположении, что

из равенства (1.2) функция определяет-

ся однозначным образом, второе уравнение есть дифференциальное уравнение на функцию :

Ф. С. Насыров, И. Г. Парамошина • 0 структуре одномерного диффузионного процесса 129

B(s,tp(s,X(s)

С'(.ч) =

■С(а))) - £ф,х)\х=х-(S)+C(S)

а(н, (р(н, X(н) + С(н)))

<Р(0,Х(0) + С(0)) = Ф), (1.3)

при этом необходимо, чтобы последнее уравнение удовлетворяло условиям существования и единственности решения.

Наиболее просто выглядит решение однородного уравнения

ф)-ф)= [ и(т/(.ч)) * (IX(н) + [ В{ф))(Ь..

¿0 ¿0

в этом случае решение имеет вид + С(з)), где (р(х) — детерминированная функция.

Пусть Х(«) = И^в) — стандартный винеров-ский процесс, тогда мы приходим к классическому стохастическому дифференциальному уравнению в форме Стратоновича, которое определяет диффузионный процесс. В этом случае для рассматриваемого уравнения известны различные условия существования и единственности решения (см.[3,4]). С помощью формулы Ито исходное уравнение можно записать в форме Ито

пЬ пЬ

0) = / и(л\г/(л'))<1Х(.ч)+ / Ь(.ч,Т1(.ч))(1.ч,

(1.4)

где Ь(н,х) = В(н,х) + ^и(н,х)-^и(н,х), а первый интеграл в правой части есть стохастический интеграл Ито. Известно (см. [3,4]), что решение уравнения (1.4) определяет диффузионный процесс и плотности вероятностей перехода этого процесса являются фундаментальными решениями уравнения (0.1).

Поскольку решение стохастического дифференциального уравнения (1.4) записывается в форме , то, зная вид детер-

минированной функции (p(s,u) и случайной гладкой функции , мы можем построить решение стохастического дифференциального уравнения (1.4), которое зависит от винеровского процесса W(s) со случайным сносом C(s). При этом вся вероятностная информация о решении ^(s) содержится в случайном процессе .

Обратно, если нам известны функции и

C(s), мы можем найти из соотношения (1.3) функцию B(t, х) = C'(t)a(t, х) + х), где функция

ip(s,x) определяется из формулы (1.2).

Следовательно множество стохастических дифференциальных уравнений вида (1.4), удовлетворяющие перечисленным выше предположениям, можно разбить на классы эквивалентности по случайному сносу , поскольку вероятностная структура решений этих уравнений зависит от ви-неровского процесса со случайным сносом .

Винеровский процесс со случайным сносом может быть записан в виде стохастического дифференциала = /0* dW(s) + /* С' (s) ds, в силу формулы Ито и соотношения (1.3) из этого равенства получаем для

процесса стохастическое дифференциальное уравнение

№-m= f душ

Jo

fl Ь(н,ф,£(н))) - -^ф,х)\х=^й-

О a(.s,yj(.s,C(.s)))

i(0) = H’(0) + C(0),

ds,

(1.5)

где первый интеграл в правой части равенства есть стохастический интеграл Ито. Если переходные плотности процесса , определяемого уравнением (1.4), удовлетворяют (см. [4]) уравнению (0.1), то уравнению (1.5) соответствует обратное уравнение Колмогорова

д

—p(s,x,t,y) =

1 д2 д = -g^p(s,x,t,y) + b(s,x)—p(s,x,t,y), (1.6)

где

b(s,x) =

b(s,tp(s,x)) - {rMs,x) a(s,ip(s,x))

(1.7)

2. О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СТОХАСТИЧЕСКОМУ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

В дальнейшем всюду предполагается, что Х(в) = И^в), а(Ь,х) ф 0 при п. в. ж и функции и дважды непрерывно дифференци-

руемы по .

Покажем, что знание переходной плотности распределения процесса позволяет

построить фундаментальное решения для целого класса уравнений Колмогорова, соответствующего уравнению (0.1). Цель данного раздела состоит в том, чтобы прямым вычислением проверить этот факт. Поскольку с точки зрения уравнения Колмогорова знак коэффициента безразли-

чен, ниже будем считать, что а(£,ж) ^ 0. Пусть и — переходные плотности

процессов т}(з) и 1^(8) +(7(в) соответственно. Обозначим через функцию, обратную при каждом функции . В силу соотношения

справедливо соответствующее равенство для плотностей вероятностей перехода:

р{*,иЛ,у) =

(1 С

= -Г 1ММ) ^ у)р(.ч,^1(и)^,'и)^} = аУ ¿н

= -[

<1у Jr

1 (и ^ 4>t. 1{y))p{s,‘pt. 1(u),t,v)dv =

р(я,ірй 1{u),t,tpl 1(у)) a(t, у)

(2.1)

Опираясь на формулу (2.1), вычислим частные производные переходной плотности и

подставим их в уравнение (0.1). Имеем

д д аЦ,у)—р(.ч,и,Ь,у) = —^J(.s1<¿г■l(ti)1í1<¿rl(y))^-

(3 д

+ Ж;Р{^ Х' *’ ^ {-и)-

Воспользуемся первой из формул (1.2) и найдем частную производную по

, х 9 ,

аЦ,у)—р{.%иЛ,у) = д

= д^Р(^ХЛ;(р^1(у))\

9 -1, \ («) =

=<р7 Он*'

9 -, -і, 1

= Ш\Х=ч;7ии)

1 u(.s'.u)

Остается вычислить вторую производную

Q2

a(t,y)g-¿p(i¡,u,t,y) =

—р(н,хЛ,<р, г(у))1=^{и]

a2 (.s. и)

х' *' м 1 Шг=^7ии) и]

Подставив вычисленные частные производные в уравнение (0.1), после алгебраических преобразований получим

д

~дн^*1' ("м‘ =

1 &2 -1,

= Шх = ч;7ии) +

д

—^(я, аг, í, v^r1 (У ) ) 1,=чгГ 1 í ы)

1

Ô 0 -і, ^ („)-*>. (,;)

\x=ipa (ti)

a (s. и) Ь(,ч,и)

. (2.2)

Поскольку при каждом имеем

, то, дифференцируя последнее тождество по , приходим к соотношению

д д д

0^М\х=^ы) +

Следовательно, выражение в квадратных скобках в правой части формулы (2.2) равно

д

Ь(н,и) -

Положив затем в равенстве (2.2), при-

ходим к уравнению (1.6).

Итак, множество стохастических дифференциальных уравнений, удовлетворяющих перечисленным выше предположениям, можно разбить на классы эквивалентности по случайному сносу , поскольку вероятностная структура решений этих уравнений зависит от винеровского процесса со случайным сносом + С(з). Аналогичная ситуация справедлива и для фундаментальных решений параболических уравнений, соответствующих стохастическим дифференциальным уравнениям, в этом случае факторизация уравнений происходит (см. (1.6) и (1.7)) по коэффициенту переноса .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Насыров, Ф.С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике / Ф. С. Насыров // Тр. МИАН. 2002. Т. 237. С. 265278.

2. Насыров, Ф.С. Симметричные интегралы и по-траекотрные аналоги стохастических дифференциальных уравнений / Ф. С. Насыров // Вестник УГАТУ. 2003. Т. 4, № 2. С. 55-66.

3. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. М. : Наука, 1977. 586 с.

4. Королюк, В.С. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк, Н. И. Портенко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин. М. : Наука, 1985. 640 с.

ОБ АВТОРАХ

Насыров Фарит Сагитович,

проф. каф. математики. Дипл. математик (ЛГУ, 1976). Д-р физ.-мат. наук по теории вероятностей и мат. статистике и по мат. анализу (защ. в ИМ им. Соболева, Новосибирск, 2002). Иссл. в обл. теории случайных процессов, теории функций, финансовой математики.

Парамошина Ирина Геннадьевна, дипл. математик-инж. по прикладной мат. (УГАТУ, 2OO1). Готовит дис. по теории случайных процессов под рук. проф. Ф. С. Насырова.