О решении некоторых классов стохастических дифференциальных и интегральных уравнений и их детерминированных аналогов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2,517.2

Ф. С. НАСЫРОВ, О. В. ЗАХАРОВА, М. В. КРЫМСКАЯ

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АНАЛОГОВ

Показано, что решения некоторых классов стохастических дифференциальных и интегральных уравнений со стохастическим интегралом Стратоновича и их потраекторных аналогов могут быть сведены к решению некоторой конечной цепочки обыкновенных дифференциальных либо интегродифференциальных уравнений. Симметричный интеграл; стохастический интеграл Ито; стохастический интеграл Стратоновича; стохастическое дифференциальное уравнение; стохастическое интегральное уравнение; явные формулы для решений

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе построены явные формулы для решения некоторых классов стохастических дифференциальных и интегральных уравнений с многомерным винеровским процессом, а также для их потраекторных аналогов. Под явными формулами для решений стохастических дифференциальных уравнений (в дальнейшем — СДУ) понимаются обыкновенное дифференциальное уравнение или цепочка таких уравнений, которые позволяют найти решение исходного СДУ. До работы [4] явные формулы для решений были известны лишь применительно к достаточно узкому классу уравнений [1]. В работах [2],[4] явные формулы были построены для СДУ и систем таких уравнений с одномерным винеров-ским процессом. Отличительной чертой подхода, использованного в этих работах, является применение техники симметричных интегралов. Понятие симметричного интеграла введено в работе [3], где были построены симметричные интегралы по произвольной непрерывной функции, в частности, по траекториям винеровского процесса. В этом случае симметричные интегралы совпадают со стохастическими интегралами Стратоно-вича. Настоящую работу можно считать продолжением исследований, проведенных в работах [24].

В данном разделе приводятся необходимые сведения о симметричных интегралах и связанных с ними конструкциях. В дальнейшем всюду будем предполагать, что множества +оо), [0,£], I > 0, наделены ст-алгебрами борелев-ских множеств, которые соответственно обозначаются В, I > 0, кроме того, на них задана мера Лебега А(-). Для непрерывной функции Х(в), , положим ,

т(£) = тт{Х(«),« £ [0,£]}. В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: аЛЬ = ,,

- А)ЦАЛВ <у < А V В).

Пусть теперь , — произвольная

непрерывная функция. Рассмотрим разбиения Тп,

п £ Ы, отрезка [(),£]: Тп = {4”^}, 0 = ¿о

- +(п) <: 4П) <:

Тп с Г„+1, п £ Ы, и А„ = тах

к

(п) Ап)

к-1

при п —$■ оо. Через (з), з £ [0, £], обозначим ло-

маную, построенную по функции Х(в) и отвечающую разбиению . Введем следующие обозначения:

.

ДX^", = А'(/

Определение. Симметричным интегралом [3]

называется

= Пт

П,—¥ПО * ^

(0.1)

если предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности разбиений .

Симметричный интеграл в случае винеровско-го процесса является [4] детерми-

нированным аналогом стохастического интеграла Стратоновича и совпадает с вероятностью 1 с последним. В случае интеграль-

ные суммы интеграла Стратоновича и симметричного интеграла совпадают.

Будем говорить, что пара функций Х(в), з £ [0,1], и /(«,«), з £ [0,1], и £ В, удовлетворяет условию (£>) на [0, £], Ь £ [0,1], [4], если:

a) функции X(«), з £ [О, £], непрерывна;

b) при п. в. « функция ¡(8, и), 8 £ [0,£], имеет ограниченное изменение и непрерывна справа по

;

c) при п. в. и справедливо равенство

, где при каждом функция есть полное изменение функции

по переменной на отрезке ;

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 04-01-00286а, 05-01-97909.

d) полное изменение \ f\{t,u) функции f(s,u) по переменной s на отрезке [0, t] локально суммируемо по м.

В частности, условие (S) выполняется для броуновского движения X(s) = X(s,w) и детерминированной функции /(«,«), удовлетворяющей условию b [4].

Пусть функции X(s) и f(s,u) удовлетворяют условию (S) на [0,i]. Тогда симметричный интеграл существует и может быть вычислен по формуле

I. f.Y(l)

/(я,Х(я)) * dX(.s) = / f(t,v)dv -J X (0)

M(l) ,.t

/ k(v,X(0),X(T))f(dT,v)dv. (0.2)

mit) J 0

Если функция /(«,«) имеет непрерывные частные производные /(я,«)8 и ¡(з,и)и, то для функции /(«, X(«)) существует дифференциал

симметричных интегралов при разумном способе аппроксимации.

Предложение 1. Пусть Х).{$), $ £ [0,1], к = = 1,2,...,т,- произвольные непрерывные функции. Обозначим через Х^ («), к = 1,2,..., т, з £ [0,1], ломаные, построенные по последовательности сгущающихся разбиений Тп. Предположим, что функция 1р{$,и\,..., «то) имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем своим переменным. Тогда справедлива формула

Ф,Х[П)Ц),...,Х^Ц))~

-¥>(0,Х[п)(0),...,Х^(0)) =

ш А. о

k=1

(1.1)

f(t,X(t))-f( 0,Х(0)) =

= [ |-/(*,X(*))*dX(*)

du“

* ^f(s,X(s))ds. (0.3)

В случае, когда Х(в) = Х(й,о;) - стандартный винеровский процесс, а детерминированная функция /(«,«) имеет непрерывную частную производную ^/(я,и), формулу Ито можно записать (см. [4]) в виде

' /(а,Х(а)) * dX(.s) = [ f(.s,X(.s))dX(.s) J о

1 П /о

pt

J g^f(s’X(sîîds’ (0.4)

где первое слагаемое в правой части равенства есть стохастический интеграл Ито.

1. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ПОТРАЕКТОРНЫХ АНАЛОГОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В стохастическом исчислении Ито интеграл по многомерному винеровскому процессу определяется как линейная комбинация стохастических интегралов Ито. Оказывается, аналогичная ситуация будет справедлива и для детерминированных аналогов стохастических интегралов.

Условие (£>), приведенное выше, является достаточным условием существования симметричного интеграла, однако класс интеграндов, удовлетворяющих условию (£>), достаточно узок. Поэтому наша ближайшая цель — обобщить понятие симметричного интеграла на случай более широкого класса интеграндов, последнее, например, возможно с помощью построения несобственных

Доказательство. Формула (1.1) следует из определения дифференциала функции и того факта, что для абсолютно непрерывной функции X(я) симметричный интеграл и интеграл Лебега-Стилтьеса совпадают.

Предложение 2. Пусть Х).{$), $ £ [0,1], к = = 1,2, ..., «то, - произвольные непрерывные функции. Обозначим через Х^(«), к = 1,2,..., т, з £ [0,1], ломаные, построенные по последовательности сгущающихся разбиений Тп. Предположим, что функция 1р{$,и\,..., «,„) имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем своим переменным. Тогда существует предел

m .л

Ши £ —ф,х[п)(,

“ Jо дщ

'5 ***5 ил-т

(1.2)

Доказательство. Заметим, что в левой части выражения (1.1) предел при п оо существует и равен

Ши [у?(#, Х^,7) (#),Х.^7^(#)) -

п—>оо

^^(0,х'п)(0),...,х,^(0))] =

= у>(*,Х1(*),...1Хто(*)) -

— у>(0,Х1(0), ...,Хт(0))

в силу непрерывности функции ^(«,«1,..., «то). Точно так же, ввиду непрерывности частных производных функции (р(з, «1, ..., «то) существует предел последнего слагаемого в правой части равенства (1.1)

Шп [' ^-ф,х[п) (я) n—ïoo Jq as

г д

= J д^1р(и,Х1(.ч),...,Хт(.ч))(1ч,

откуда следует существование предела (1.2).

Замечание 1. В дальнейшем всюду в соответствии с принятой в стохастическом анализе системой обозначений будем записывать предел (1.2) как

т Г1 к=1

д

—ф,Х1(*),...,Хт(»))*<1Хк(н). (1.3) о

Если (А^(я),..., Хто(в)), ее [0,1], - то-мерный ви-неровский процесс с независимыми компонентами, то каждое слагаемое в выражении (1.3) имеет смысл и совпадает с веростностью 1 с соответствующим стохастическим интегралом Стратоновича.

Замечание 2. С учетом принятого обозначения

(1.3) из доказательства предложения 2 следует равенство

т о

Еуо -^гФ,х1{»),...,хт{»))*ахк{ь д

—1р{$,Х1{$),...,Хт{$))(1$. (1.4)

ф,ХгЦ),...,Хт(я)) -(р(0,Х1(0),...,Хт(0)) =

т л

Пт • ' • .....

к=11

<■< д_ о

Пусть , , ,

- произвольные непрерывные функции. Определим несобственные симметричные интегралы

т 1

вида Е ¡0 /Ф,Х1(8),...,Хт(8)) * (1Хк(з), где к=1

/(«,«1, ..., «то) - борелевская функция, следующим образом:

т »/.

V / /¿(я,х1(л').....Хто(л')) *лхк{н) =

.. Л)

к=1

= Ши / /(а,^п)(а),...,^п)(а))*^‘п)(а

(п.)

(1.5)

если предел существует и не зависит от выбора разбиений отрезка .

Рассмотрим детерминированный аналог стохастического дифференциального уравнения в форме Стратоновича

т »/.

»■/(*) - г/(0) = У2 ак («1 »■/(«)) * («) +

*=1 •/°

г>

с(в,Г](в)) с1в, (1.6)

/о

где А^.(я), ее [0, 1], & = 1, 2, ..., «то, — произвольные непрерывные функции, имеющие неограниченную вариацию на любом конечном отрезке.

Решением уравнения (1.6) будем называть любую функцию вида ,

для которой определены (хотя бы в несобственном смысле) интегралы в правой части уравнения (1.6) и которая обращает это уравнение в тождество.

Рассмотрим «допредельный» вариант уравнения (1.6):

г/п)(*) -г/п)(0) =

т рЬ

Е у ак{,4п)Ш*ЛХ('1\,) +

к=1

С(8,^п)(8))ё8. (1.7)

Пусть решение

Хт\в)) уравнения (1.7) с функцией ¡р = , имеющей непрерывные частные производные первого порядка, существует, тогда, записав левую часть уравнения (1.7) в виде дифференциала согласно формуле (1.4), приходим к соотношению

т г* Я

к=1

• ак (л\ ¡р(.ч, х|п) («),Х{"] (я))) | * (1Х[п\.ч) + -ф^я,^"^),...,^^)))^ = 0. (1.8)

Вычислим согласно формуле (0.3) каждый из симметричных интегралов из уравнения (1.8) и, подставив их в соотношение (1.8), после алгебраических преобразований получим

°) 1аик

- ак (*, <р{1, А|п) (#),.... х1"\ (*), ик,

х{^1{1),..,х\»)т\(1ик =

= {^л%^(л%х['7)(й),...,х^7)(л'))) -

т гхк <*)

Е / — [а*(а,у>(я,^п)(а),...,

*=Л-/лТ’(о) *

А<п) (я),... А^ (я), «*, а£\ (я),...

А^я))]^}^. (1.9)

Заметим, что при переходе к пределу при оо в равенстве (1.9) получим в правой части функцию ограниченной вариации, в то время как в левой, вообще говоря, нет, поскольку мы не накладываем на непрерывные функции ,

= 1,2,то, никаких ограничений. Поэтому будем искать решение уравнения (1.7) из условия равенства нулю всех интеграндов в формуле (1.9), откуда сразу следует равенство нулю всех выражений в квадратных скобках. Учитывая этот факт, получим набор обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Т^(я',х['7)(я),...,

(я),

г(п'

у-(в) 5 ** ; ГП

(п)

(я)) =

= ак(н,ф,Х1 (я),Хк_1(н),ик, 4+\(я),..,^п)(я))), к=1,...,т, (1.10)

^(я,^<п)(я),...,^<Г)(я)) =

= ф,^(я,х|'7)(я;

у>(0,х‘п)(0),...,х;Л0)) = г/(0),

где последнее соотношение представляет собой начальное условие.

Заметим, что решение уравнений (1.10) будет найдено, если мы найдем решение цепочки уравнений

(п)

у-(в) 5 ***5 -Л-т

(я))),

а^-^(я,и1.....ит) =

= а*(я, у>(я, щ, ...,ит)), к = 1..... ТП,

^(я,А1"'(я),...,1Г(я)) =

= ф, <ф, Х|'7) (я), ...,1га' (я))),

у>(0,Х<")(0),...,Х<,")(0)) = г/(0),

(1.11)

где от те зависит только последнее уравнение. Пример. Рассмотрим нелинейное уравнение

Т/(/:)—Т/(0) = [ Лг/ф)*<]Хф ¿о

г!

Вг/2(я) * (1Х-2(8

/о

И

/ Ст)2(.ч)й.ч, т)(0) = г/о,

■1о

где Хф), & = 1,2,- непрерывные функции, имеющие неограниченную вариацию на любом отрезке [£1,^2], -4, В, С - константы. Данное уравнение является аналогом соответствующего стохастического дифференциального уравнения. Составив цепочку обыкновенных дифференциальных уравнений, получим, что решение уравнения имеет вид

г/(я) = (ф,Хф),Х2(я)) =

2. О РЕШЕНИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АНАЛОГОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим интегральное уравнение

Ф) — г/(0) = [ «(#, я, г/(я)) * (IX(.ч) +

Ф, я, ф)) ск, (2.1)

где Х(я) - произвольная непрерывная функция, имеющая неограниченную вариацию на любом отрезке. Решением этого уравнения будем называть любую функцию вида ф) = <ф, X(я)), для которой имеют смысл интегралы в правой части уравнения (2.1) и которое обращает это уравнение в тождество.

Покажем, что при определенных условиях гладкости коэффициентов возможно сведение решения уравнения (2.1) к решению двух уравнений, второе из которых является интегро-дифференциальным уравнением.

Предположим, что решение существует, и при этом предположении вычислим симметричный интеграл в правой части уравнения (2.1):

ф,я,<ф,Х(я))) *(1Х(.ч) =

Л'(0

«(£.£. 0(1. н))(1<1 —

/Л'(О)

Н /•А'(я) /

(2.2)

Jo ¿Х(0)

Левую часть уравнения (2.1), воспользовавшись формулой (0.4), можно записать в виде

ф(Ь,Х(Ь))-ф( 0,Х(0)) =

= / ф'и(.ч,Х(,ч)) * (1Х(,ч) + ( ф'3(,ч,Х(,ч)) (1,ч

или

/■а:(/.)

<Ф, X(#)) - 0(0,X(0)) = / 0'и(*, и) (1и -

Jx^o)

1-1 уЛ'(я)

/ / ф”я(н,и)(1и(1н +

Jo ¿Х(0)

(2.3)

/о

Значит, уравнение (2.1) можно записать в виде

Л-(/.) г!- пХ (я)

ф'и(1,и)(1и — / / ф”я(н,и)(М(1н ■

Х(0) Jo ¿Х(0)

I.

[ ф'„(я, X(я)) ^я = J о

ЛХф) + ВХ3(я) + <7я - ТД,-

0

л-(О

Л-(0)

«(/. /. о(/. и))(1и

t. rX(s)

О JXW)

[u(t, s. ф(.ч, u))]sdu d.s ■

b(t. ,ч, ф(,ч,Х(,ч))) d,4.

Сгруппируем слагаемые

г AU)

[ф'и(t, и) - u(t, t, ФИ, и))] du =

Л’(0)

/•I с- Л’(я) /•/

/ / Фи А8'и) du du — / ф'я(.4,X(s))ds

J О J Л’(01 J о

I. rx(s)

0 JX(0)

[u(t, ,s\ ф(.s, u) )]s du d.s ■

b(t. ,4, ф(,ч, Х(.ч))) d,4.

Далее, воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, приходим к уравнению

Х(1)

Л-(0)

[ф'и (t, и) - u(t, t, ф(і, и) )] du =

= -ф(і,Х(0)) + ф(0,Х(0))-

rt уА’(я)

/ / [а ( t, s, ф ( s, и ) ) ] 'я du ds +

J0 JX (0)

rt

b(t1 s, 0(s,X(s))) ds,

о

откуда, повторяя рассуждения из предыдущего раздела, приходим к совокупности уравнений

по произвольным непрерывным функциям .

Решением уравнения (2.6) будем называть любую функцию

ф) = ф(н,Х 1(л’Ь...,Хт(л')Ь

для которой интегралы в правой части уравнения

(2.6) определены (хотя бы в несобственном смысле) и которое обращает это уравнение в тождество.

Предполагается, если не оговорено противное, что все рассматриваемые ниже функции имеют столько, сколько необходимо, непрерывных частных производных. Покажем, что техника симметричных интегралов при определенных условиях гладкости коэффициентов уравнения (2.6) позволяет свести решение уравнения (2.6) к решению цепочки интегродифференциальных уравнений.

Рассмотрим «допредельный» вариант уравнения (2.6):

7/ П (t) — // (0) =

т

= 52 / ak(t,s,Tl^(s))*dXlkn)(s)

f b(t,s,ri(n)(s))ds, (2.7) J о

здесь уже все симметричные интегралы имеют смысл, так как условие (З) выполнено. Будем искать решение этого уравнения в виде фЦз) =

Так же, как и раньше, воспользовавшись формулой (0.4) для дифференциала, уравнение (2.7) запишем в виде

o'JJ.ii) = и(і,і,ф(і,и)), ф(і,Х(0))-ф(0,Х(0)) =

= b{t, s, ф(.ч, X(h))) ds-

~ fo fx(0) “) ) du d

ф( 0,Х(0)) = тю.

(2.5)

Решая первое уравнение, получим, что равенство / = и + С{1), гдеС{1) - неизвестная функ-

ция, определяет неявную функцию

, поэтому второе уравнение из (2.5) есть уравнение на неизвестную функцию .

Аналогичным образом может быть найдено явное решение для более сложных уравнений. Рассмотрим детерминированный аналог стохастического интегрального уравнения в форме Страто-новича

m

ф) - т/(0) = 52 / «*(#, *dXk(s) +

к=і Jo

rt

h(t.f s.frj(s)) ds.f (2.6)

/о

где несобственные симметричные интегралы, определенные выше, рассматриваются

k=1J0 Luuk

uk (t ,s\ ф(.ч, A"|n) (s), ..„X^ (s) ) ) t г

r(n

*dXi"](s) =

b(t, ,s\ ф(.ч, (s), (s) ) )

-ф(.4,X[n)(S),..,X^(S))

(2.7')

Вычислим согласно формуле (0.3) симметричные интегралы в левой части последнего равенства

ик (t ,s\ ф(н, -Y|'7,) (я), ... х£] (я) ) )

*dXlin)(,) =

Ai"'(¿)

А’і" (0)

àuk

...,xlz4t))

— uk (t. t, ф(і,х[п)(і),...

du k

1 гхк''<*) (I г в I >

-Г ■^—ф(.ч,Х1п](.ч), /о Jx{kn)(0) \_OUk

- икЦ, .ч, ф(.ч, Х[п) (.ч),... ...Х^1(я),ик,х1%(я),...,Х£Ц11)))

(2.8)

Подставив полученные выражения для симметричных интегралов в уравнение (2.8), получим

™ г гХ-'ЧО

а.=Д^4п,(0)

а

^тх'Гт....

(1ик

1 Г-Ч" (*)

/о Л\^п,(0) ¿8

-^-ф(.ч,х{п](.ч)

ди,к

(в)

,х£Н*)))

(1ик(1.Ч > =

Ь(*, а, 0(а1Х['7)(а)1Х.у7‘1(а)1...

...,х1„п)Ш - £-чФ(«,х[п)(Я),х12п)(Я),...

г(п)

(2.9)

В силу рассуждений, приведенных в предыдущем параграфе, сначала приходим к набору уравнений

ф'и1(Ьи1,Х^)Ю,..,Х£>Ю) = = «1 (*, *, Ы1, Х2П) (*),... 1т} (*))); ^2 (*’ Л1’7) (*-),и2,Х(3п] (<)..,Л'ш) (#)) =

= «2 (*, *, «И*, А"|'7) (#), и2,Х13п) (#), .... 1т' (#));

(#, х‘п) (*), х'п),.... Х^Ц),ит) =

-

= «„.(*, *, <£(*, Х|,7) (#), Х|п) (#),.... Х^ (*), и.т); к=1 Ь л* (и) I

..., Х<”\ (а), щ, Х^а),... А^7) («))-

а, 0(а, Х|'7)(а),...

• • • ^ (а), и*, Х{.”\ (а),Х!"} (а))) |(1ик(1.н

И Ь(*, а. 0(а, Х|'7) (а). Х^"' (а),..., X,1"' (а)))

(«■)/

г (П.)

^0(а,Х‘п)(а),Х'п,(а),...,ХГ(а)) ^а = О

г ( П.)

(«■)/

0(О,Х‘"(О),Х'"'(О),...,ХГ(О)) = г/о

г(п

а затем стандартные рассуждения приводят к цепочке уравнений

Фик ^ 1....ит ) — (1к (^■ I - Ф($1 111 1 •••1 ит )) 1

& = 1. ...,тп;

0; (#, хх (#), х-2 (#),хт (#)) =

= Ь(м, <?Н*,Х 1 (#),Х2(#),Хт(#))) 4

£

А=1

л'*(я) Г (1 д

хк(0) {(1ндик

0(а. Х1 (а)....

...^ /. I (а)■ а/, ■ А /,.| (а).Лт (а))

(1

- ^«¿(#,а,0(а,Х1(а)1...

..., Х*_1 (а), и*, Х*+1(а),...

...,Хт(а))) Ыы/^а +

Ь(*, а. 0(а, Х1 (а). Х2(а),... Хт (а)))

— ф(н, Хг^н), Х2(н),.., Хт(н)) }(1н = 0;

0(О,Х1(О).Х2(О)....Хт(О)) = г/0.

(2.10)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ватанабе, С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы / С. Ватанабе, Н. Икеда. М.: Наука, 1986. 448 с.

2. Мухаметова, Г. З. О явных формулах для решений эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных / Г. З. Мухаметова, Ф. С. Насыров // Вестник УГА-ТУ. 2004.5,2(10). С. 58-66.

3. Насыров, Ф. С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике / Ф. С. Насыров // Труды МИАН. 2002. 237. С. 265278.

4. Насыров, Ф. С. Симметричные интегралы и стохастический анализ / Ф. С. Насыров // Теория вероятностей и ее применения. 2005. 50, 3.

ОБ АВТОРАХ

Насыров Фарит Сагитович,

проф. каф. математики. Дипл. математик (ЛГУ, 1976). Д-р физ.-мат. наук по теории вероятностей и мат. статистике и по мат. анализу (защ. в ИМ им. Соболева, Новосибирск, 2002). Иссл. в обл. теории случайных процессов, теории функций, финансовой математики.

Захарова Ольга Владимировна, студентка УГАТУ по спец. «Прикладная математика и информатика». Иссл. в обл. теории стохастических интегральных уравнений.

Крымская Мария Викторовна,

Дипл. бакалавр прикладной математики и информатики (УГАТУ, 2005). Иссл. в обл. теории стохастических дифференциальных уравнений.