CC BY
26
УДК 372.851
МАРЧУКОВА Светлана Марковна, кандидат педагогических наук, докторант Академии постдипломного педагогического образования (Санкт-Петербург). Автор 49 научных публикаций
О СТРУКТУРЕ И СОДЕРЖАНИИ МЕЖПРЕДМЕТНОГО ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ «ФЛАТЛАНДИЯ И ТРЕХМЕРНЫЙ МИР»
Статья посвящена изложению содержания и структуры элективного курса для школьников «Флатландия и трехмерный мир», цель которого - знакомство учащихся с основами и особенностями геометрического мышления, с разными формами его выражения в математике, физике, живописи, философии. Актуальность изучения такого курса обусловлена тем, что представление о свойствах пространства входит в круг системообразующего знания, определяющего картину мира.
Двумерный мир, трехмерный мир, свойства пространства, Флатландия, Сферландия, моделирование, метаметодика
Представление о свойствах пространства входит в круг системообразующего знания, определяющего картину мира. Оно было разным в разные периоды развития европейской культуры и менялось в зависимости от философских и религиозных представлений, а позже -от уровня развития точных и естественных наук, прежде всего математики. Рассуждать об п-мерном пространстве стало возможным только в Новое время после того, как системой координат Р. Декарта было формализовано трехмерное пространство, и появилась конструктивная возможность обобщения на большее количество измерений. Считают, что первым ввел в научный обиход понятие четвертого пространственного измерения Ген-
Связь между математикой, естественными науками и философией нигде так не сильна, как в проблеме пространства.
Герман Вейль
ри Мор (1614-1687), профессор теологии и философии в Кембридже.
В качестве основы для конструирования содержания учебного пособия для изучения межпредметного элективного курса для школьников «Флатландия и трехмерный мир» использована книга Э. Эббота «Флатландия» (1884)1, появление которой в свое время сразу привлекло к себе внимание - писатели и ученые других европейских стран опубликовали свои варианты продолжения истории о Флатландии и ее обитателях. В нашей стране была издана повесть голландского математика и физика Д. Бюргера «Сферландия» (1957)2, фрагменты которой также включены в содержательную линию учебного пособия «Флатландия и трехмерный мир». «...Прежде
чем приступить к чтению “Сферландии”, необходимо ознакомиться с “Флатландией” Э. Эббота», - пишет Д. Бюргер. Чем же так интересны книги Э. Эббота и Д. Бюргера?
Флатландия - страна двух измерений, двумерный мир, в котором живут геометрические фигуры. Книга Э. Эббота рассказывает о жизни обитателей двумерного мира, об их обычаях и законах, о размышлениях и необычных снах, о приключениях Квадрата - флатландского математика, его встрече со Сферой - странной обитательницей трехмерного мира. Герой книги Д. Бюргера - Шестиугольник, внук Квадрата. Он живет в новой Флатландии. Здесь другие законы, изменилось социальное устройство общества, в науку все больше проникают необычные теории и умозрительные построения.
Иллюстрациями к рассказу о многомерности пространства служат гравюры голландского ху-
дожника М. Эшера (1898-1972)3. Для них характерно необычное сочетание двух миров - двумерного и трехмерного. Художник писал: «Все мои работы - это игры, серьезные игры». «Флатландия» Э. Эббота - тоже приглашение «поиграть» в двумерном и трехмерном пространстве. Именно поэтому так полезно и интересно изучение «флатландских» историй Э. Эббота с иллюстрациями М. Эшера. Они взаимно дополняют, «оживляют» друг друга. Безусловно, мир Эшера значительно сложнее «Флатландии», однако вход в этот мир - там, куда сползают рептилии с эшеровской гравюры.
Как рассказать ученикам в увлекательной и доступной форме об удивительных свойствах пространства, о его особенностях и парадоксах, об искривленном и расширяющемся пространстве, о роли симметрии в пространственных структурах, о единстве пространства
«Рептилии». Гравюра М. Эшера
и времени? Как подойти к началам теории относительности, к вопросам философии современного естествознания? На уроках в таких случаях обычно не хватает наглядной модели, способной не только выявить математическое начало в разных способах постижения мира, но и увлечь школьника, дать возможность «поиграть» материалом, подойти к нему с разных сторон, сочинить свою увлекательную историю.
Именно такая модель для изучения пространства лежит в основе содержания учебного пособия «Флатландия и трехмерный мир». Она дает возможность опуститься на одну ступеньку (в нашем случае - на одно измерение) и войти в двумерный мир Флатландии вместе с персонажами и образами известных гравюр М.К. Эшера, заглянуть в Лайнландию - одномерный мир и даже в Пойнтландию - мир, лишенный измерений. В форме традиционной английской сказки, полной забавных и необычных ситуаций, автор рассказывает о флатланд-цах, жизнь которых так похожа на нашу. Находя ответы на внешне простые, «наивные» вопросы, ученики совершают удивительные открытия, представляя себе те трудности, с которыми сталкивается двумерное существо при попытке вообразить привычное для нас третье измерение. Что уж говорить о несчастных обитателях Лайнландии - одномерного мира!
Наше чувство превосходства постепенно сменяется мыслью о том, что мы сами, пытаясь представить себе искривленное пространство, мало чем отличаемся от обитателей Флатландии. Так же, как они, мы находимся «внутри» своего пространства и лишены возможности посмотреть на свой мир «со стороны», представить его в виде наглядной модели. Учебное пособие «Флатландия и трехмерный мир» дает возможность начать разговор о возможностях современной науки, о месте и роли научного познания в наших представлениях о мире, об условности модели в математике и физике, о соотношении упрощенных модельных представлений и многообразия, непредсказуемости, парадоксальности мира, населенного живыми, чувствующими и мыслящими существами4 . В этом школьникам помогают не
только рассуждения флатландских математиков - Квадрата и Шестиугольника, обращенные к нам, жителям трехмерного мира (рубрика «Вернемся во Флатландию»), но и сведения из истории науки и техники (рубрики «Из истории науки», «Из истории техники»), стихи и легенды, приключения Алисы в Стране чудес и в Зазеркалье (рубрика «Литературные фантазии»).
Почему в качестве принципа конструирования межпредметного элективного учебного курса для школьников, призванного интегрировать математические, естественнонаучные и гуманитарные знания, наиболее оптимально, на наш взгляд, именно математические начало? Роль математики, и особенно геометрии, в формировании миропонимания отмечалась философами, учеными, педагогами - теоретиками и практиками - в разные времена. Над дверью Академии Платона в Афинах, согласно преданию, было написано «Негеометр да не войдет». Следуя пифагорейской традиции, математика связывала в единое целое дисциплины квадри-виума (арифметика, геометрия, астрономия, музыка) в эпоху средневековья. «Как геометр, напрягший все старанья... таков был я», - эти слова выбирает для прощания с читателем Данте Алигъери в последних строках «Божественной комедии». Математическое начало объединило науку и искусство в трудах «титанов» эпохи Возрождения - Леонардо да Винчи, А. Дюрера.
Гуманитарный аспект и потенциал математики как актуальное направление современного развития образования был отмечен многими авторами на III Международных Лихачевских научных чтениях 2003 года, которые состоялись в Санкт-Петербургском гуманитарном университете профсоюзов. Так, Н.Н. Красовский отмечает: «Математика решает мировоззренческие проблемы, которые традиционно считаются прерогативой гуманитарных наук. И математическое образование для гуманитариев - это отнюдь не только подготовка необходимой базы для применения количественных методов в филологии, или, скажем, в социологии... Это иной - более четкий и контрастный - взгляд на
мир, более раскованная ситуация»5. Рассуждая о роли философского начала в естественнонаучном и математическом образовании, Ю.В. Сенько пишет: «Существенно, чтобы сам педагогический процесс, в ходе которого развертывается образование... двигался, по Г.С. Батищеву, навстречу многомерной сложности субъективного мира человека, не нанося ей ущерба своим схематизмом упорядочения»6. Постижение этой «многомерной сложности» является одной из основных целей изучения элективного курса «Флатландия и трехмерный мир». В содержании и структуре предлагаемого материала, в выборе дидактической модели нашло отражение стремление автора к достижению нового качества интеграции гуманитарных и естественнонаучных знаний на основе математического моделирования7. Этому характеру отвечает доктрина метаметодики, для которой, как отмечают Н.С. Подходова и И.М. Титова, характерен выход на философский уровень и «рассмотрение выделенной философии в конкретных учебных дисциплинах, но на новом уровне (с пониманием множественности отражений этой философии в разных учебных предметах)»8. Как отмечает Н.С. Подходова, обучение математическому моделированию и абстрагированию является одной из метапред-метных функций математики и, соответственно, «способствует реализации компетентностного подхода как пути повышения качества образования на современном этапе развития общества»9 .
Между тем, до сих пор математика в глазах учащихся часто воспринимается лишь как «рецептурная наука». В современных педагогических исследованиях отмечается, что изучение математики, и особенно геометрии, имеет не только научные и прикладные цели, оно способно развивать не только логическое, но и вербально-логическое и образное мышление10. В системе математического образования эти аспекты и цели преподавания геометрии часто недооцениваются. Математические знания обычно ассоциируются с формулами, которые можно найти в справочнике. Особенно актуально восполнить этот пробел в наше время, когда
многомерная геометрия находит все более широкое применение в физике и химии, биологии и кристаллографии, экологии и компьютерном моделировании, социологии и дизайне. Ее контуры узнаются в современном искусстве, в разнообразных литературных жанрах.
Рассуждения об одномерном и двумерном, трехмерном и четырехмерном мирах способствуют преодолению сложившегося стереотипа: формированию аксиоматического образа мышления у учащихся. Как показали исследования психологов, геометрическое мышление в своей основе является правополушарным. Изучение геометрии чрезвычайно важно для комплексного функционального развития головного мозга. Оно способствует формированию не только логического, но и вербально-логического, образного мышления. К этой мысли неоднократно возвращается Ш. Амонашвили, разрабатывая свои «уроки математического воображения». Он пишет: «Следует переосмыслить обычное содержание программы. Стержнем образовательного курса должно быть осмысление таких реалий, как беспредельность и вечность, мироздание и космос, порядок и гармония, многообразие и целесообразность. Должны быть развиты такие компоненты... как допущение, наблюдение, измерение, сравнение, суждение, анализ, доказательство, обобщение, интуиция.. .»п. «Математические знания, - отмечает П.М. Эрдниев, - у многих ассоциируются с некоторыми алгебраическими формулами - буквами, за которыми часто теряется смысл. Современные люди очень ущемлены в пространственном мышлении - у них знания плоские, двумерные... И это очень отражается на развитии психики, ведь мир трехмерен, человек - существо трехмерно, и каждая молекула в нашем организме тоже трехмерная»12.
В средней школе ученики изучают в основном планиметрические теоремы. Пространственное мышление не получает развития. Именно поэтому отдельные элементы предлагаемого элективного курса для 9-10 классов «Флатландия и трехмерный мир» можно рекомендовать для использования в уже в 7-8, и даже в 5 классах. Развитию живого воображе-
ния в постижении трехмерности способствует изучение темы «Путешествие по Флатландии» в 5 классе параллельно с изучением системы координат13. Программа курса, апробированная автором в течение 15 лет в Санкт-Петербургской гимназии «Петершуле», открывает широкие возможности для творческой деятельности учителя. К учебному пособию «Флатландия и трехмерный мир» приложены методические рекомендации для учителя, в которых отражены методы и средства, позволяющие интегрировать в единую систему элементы математических, естественнонаучных и гуманитарных знаний.
Особое место здесь принадлежит истории науки и техники (рубрики «Из истории науки» и «Из истории техники» в учебном пособии «Флатландия и трехмерный мир»), показывающей изменение стиля научного мышления, развитие методов изучения природы, роль математических представлений в истории науки Нового времени. Такой подход позволяет выявить глубокую взаимосвязь в многообразии школьных предметов, способствует преодолению технократического мышления. В изложении историко-научных сведений делается акцент не на вопросы «Кто?» и «Когда?», а на вопросы «Как?», «Почему?», «Зачем?». Это позволяет использовать новый ракурс известного содержания как полноправный методический прием и средство формирования системности знаний. При этом выделена история геометрических представлений, играющая особую роль в истории науки.
Изучение истории науки и техники, с одной стороны, является традицией гимназического образования, с другой - средством интеграции знаний14. Оно может служить интегративной основой для построения системы знаний об окружающем мире и месте человека в нем, поскольку:
- по своему содержанию является тем каналом, через который осуществляется связь естественнонаучного и гуманитарного образования;
- выявляет родство внешне далеко отстоящих друг от друга интеллектуальных и ценно-
стных структур и представляет их как единую систему взаимосвязанных и взаимодополняющих элементов.
Предполагаемая программой самостоятельная творческая деятельность учащихся способствует развитию самообразовательных умений, восприятию математики как языка науки и искусства, формированию интереса к математике в условиях выбора дальнейшего профиля обучения. Содержание учебного пособия «Флатландия и трехмерный мир» позволяет также использовать его в процессе преподавания разных учебных предметов, базовых и профильных.
Отметим в заключение, что образ Флатландии давно стал общеизвестным и нарицательным в трудах по истории мировой культуры. Рассуждая о «веере значений» поэтического текста, У. Эко в книге «Отсутствующая структура» вводит понятие «троичного кода» поэтического языка, при неожиданной встрече с которым «мы испытываем то же странное впечатление, что и обитатель двухмерной Флатландии, очутившийся в трехмерном мире...». При этом автор не делает никаких сносок и пояснений, полагая, что читателю знакомы герои книги Э. Эббота. По словам К.С. Льюиса, «Флатландия» открывает новый мир так же, как «Алиса» или «Хоббит». Во Флатландию отправляет читателя О. Дэвис в книге «Пространство и время в современной картине мира». Образы героев Флатландии использует М. Гардер в своей «Теории относительности для миллионов», а также в книге «Правое и левое», посвященной общенаучному значению принципа симметрии. Вторая глава этой книги называется «Лайнландия и Флатландия».
К Флатландии как модели двумерного мира учитель может обратиться в базовых курсах физики, химии, математики. Дидактическими достоинствами учебной модели в данном случае являются ее наглядность, конкретность, а также возможность выразить неизвестное на известном ученику языке с помощью таких средств описания, которыми он владеет. Учебное пособие «Флатландия и трехмерный мир» выявляет «метапредметную функцию математики»: с помощью абстрагирования и моделиро-
вания ученики постигают относительный характер научной истины, приемы моделирования как метода исследования, при котором, по замечанию Н.С. Подходовой, «осуществляется осознанное установление связей между моделью объекта и оригиналом»15. При изучении математики, как отмечает Н. Красовский, «важно, чтобы мысль была направлена туда, за горизонт, за пределы познанного, практически освоенного»16. Эта метафора отражает цель изучения элективного курса «Флатландия и трехмерный мир», устремляющего сознание «за горизонт».
Структура и содержание учебного пособия «Флатландия и трехмерный мир»: Часть I. Путешествие по Флатландии Глава 1. Флатландия - двумерный мир Глава 2. Необычайное происшествие с Квадратом
Глава 3. Много лет спустя Часть II. Наш трехмерный мир Глава 1. М.К. Эшер (1898-1972)
Глава 2. Лента Мебиуса
Глава 3. О симметрии
Глава 4. О моделях и моделировании
Глава 5. Микромир и Вселенная
Глава 6. Математика и живопись Глава 7. Математика и музыка, или заключительный аккорд Вместо эпилога
Примерные темы проектов или рефератов для проведения итогового занятия:
1. Виды симметрии в мозаиках М.К. Эшера.
2. Евклидова и неевклидова геометрия.
3. Математика в творчестве М.К. Эшера.
4. Математика и дисциплины квадривиума.
5. Модели Вселенной в современной космологии.
6. О моделях в физике и химии.
7. Перевод стихотворения У. Блейка «Ком глины и камень».
8. Пространство на полотне картины.
9. Ритмы в музыке и рифмы в поэзии.
10. Симметрия в мире растений.
11. Сочинение И. Кеплера «О шестиугольных снежинках».
12. Симметрия в моделировании.
13. Симметрия в музыке и поэзии.
14. Симметрия в природе.
15. Симметрия в физике.
16. Фракталы в природе.
Примечания
1 Эббот Э. Флатландия. СПб., 2001.
2 Бюргер Д. Сферландия, СПб., 2001.
3Escher М.К. Grafiek en Tekeningen. Zwolle, 1959.
4Марчукова С.М. Флатландия и трехмерный мир: учеб. пособ. СПб., 2006.
5 Красовский Н. Математика как элемент гуманитарного знания II Образование в условиях формирования нового типа культуры: III Междунар. Лихачевские науч. чтения, Санкт-Петербург, 22-23 мая 2003 года. СПб., 2003. С. 90.
6 Сенъко Ю.В. Гуманитарные основания образования II Там же. С. 97.
''Марчукова С.М. Указ. соч.
8Подходова Н. С., Титова И.М. Метаметодика как новое научное направление II Сб. науч. тр. по непрерывному образованию. Вып. 4. «Метаметодики: продуктивный диалог предметных методик обучения». СПб., 2004. С. 6-7.
9Подходова Н. С. Интеграция естественнонаучных и математических знаний на основе ознакомления студентов с методом моделирования II Метаметодика как перспективные направление развития предметных методик. Вып. 5. СПб., 2008. С. 150.
10 7ам же.
11 Марчукова С.М. Размышления методиста. СПб., 2002. С. 67.
12 7ам же.
13 Марчукова С.М. Путешествие по Флатландии: кн. для чт. 5 кл. СПб., 1996.
14Левитин К. Геометрическая рапсодия. М., 1984. С. 82-96.
15 Марчукова С.М. Флатландия и трехмерный мир. С. 150-151.
16Красовский Н. Указ. соч. С. 89.
Marchukova Svetlana
ON THE STRUCTURE AND CONTENTS OF THE INTERSUBJECT ELECTIVE COURSE «FLATLAND AND THREE-DIMENSIONAL WORLD»
FOR SCHOOLCHILDREN
The article presents the contents and structure of the elective course «Flatland and Three-Dimensional World» for schoolchildren the main idea of which is to introduce the basics and peculiarities of geometrical thinking, various forms of its expression in mathematics, physics, pictorial art, and philosophy. The topicality of studying this course is conditioned by the fact that the notion about the space features is included into the system-forming knowledge area that determines the worldview.
Контактная информация: e-mail\ marchukova@bk.ru
Рецензент - ФефиловаЕ. Ф., кандидат педагогических наук, доцент, профессор кафедры методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
