О строении периодических групп, насыщенных полудиэдрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

О строении периодических групп, насыщенных полудиэдрами

Ляйсан Р.Тухватуллина* Анатолий К.ШлёпкиН

Красноярский государственный аграрный университет, пр. Мира 90, Красноярск, 660049,

Россия

Получена 15.04.2008, окончательный вариант 25.05.2008, принята 25.06.2008 Пусть К — множество конечных групп. Будем говорить, что группа О насыщена группами из К, если любая конечная подгруппа из О содержится в подгруппе группы О, изоморфной некоторой группе из К. Доказано, что периодическая группа, насыщенная множеством, содержащим полудиэдральные группы, является локально конечной.

Ключевые слова: периодическая группа, полудиэдральная группа.

Введение

Пусть G — группа, а Ж — множество групп. Будем говорить, что группа G насыщена группами из Ж, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из Ж [1].

В работе [2] рассмотрен случай, когда множество Ж состоит из конечных диэдров, т.е. конечных групп, порожденных двумя инволюциями. Там же доказана теорема о том, что если G — периодическая группа, насыщенная группами диэдра и S — её силовская 2-подгруппа, то либо S — группа порядка 2 и G — (локально) конечный диэдр (согласно [2] группа называется локально конечным диэдром, если она является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров), либо G = ABC = ACB = BCA = CBA, где A — централизатор некоторой инволюции z из центра S, B = O(Ca(v)), где v — произвольная инволюция из S, отличная от z, и C = O(Ca(zv)). При этом A — (локально) конечный диэдр, а B, C — (локально) циклические группы. Пока ещё неизвестно, существуют ли не локально конечные группы, удовлетворяющие этой теореме.

В связи с этим интересно исследовать случай, когда группа насыщена полудиэдрами. Понятие полудиэдра обычно применяется для 2-групп и в соответствии с [3] 2-группа S называется полудиэдром, если она порождается двумя элементами x, y, удовлетворяющими соотношениям: x2 = y2 =1, yx = y2 -1, n > 3. В данной работе мы обобщаем понятие полудиэдра, а именно

Определение 1. Группа D называется конечным полудиэдром, если D = (d)\{i), |d| = 4n, i — инволюция такая, что d1 = d2n-i. Будем называть группу локально конечным полудиэдром, если она является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных полудиэдров Dí:

Di <D2 < ■■■ <Dí < ■■■ ,

* e-mail: lyaisan_ [email protected] t e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

оо

В = и В®.

®=1

Таким образом, полудиэдральная группа не обязательно должна быть 2-группой. В статье доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Пусть О — бесконечная периодическая группа, насыщенная конечными полудиэдрами. Тогда О — локально конечный полудиэдр и О = В X (г), где В = V х Н, V — конечная циклическая 2-группа, Н — локально циклическая группа нечетного порядка, г

— инволюция.. Подгруппа V X (г) является конечным полудиэдром, а подгруппа Н X (г) — локально конечным диэдром.

1. Используемые результаты

Предложение 1 ([3], теорема Шункова). Периодическая группа, содержащая, инволюцию с конечным централизатором, локально конечна.

Предложение 2 ([4, 5], теорема Санова). Произвольная 2-группа, порядки элементов которой не превосходят 4, локально конечна.

Предложение 3 ([6]). Бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абе-леву подгруппу.

2. Доказательство теоремы

Лемма 1. Пусть В = (С) X (г) — конечный полудиэдр, С4п = г2 = 1, С® = ¿2п-1. Тогда:

1. г = С2п — центральная инволюция. Если п = 1, то В = (¿) х (г) — абелева группа порядка 8, в противном случае центр Z группы В содержится в (С), при этом, если 1 = п

— нечетное число, то центр Z = (Сп) — подгруппа порядка 4, если п — четное число, то

Z = (г).

2. Пусть / € (С). Элементы вида /г имеет порядок либо 4 и / = Ск, где к — нечетное число, (/г)2 = г, либо 2 и / = Ск, где к — 'четное число.

3. Имеет место разложение В = ((у) х (к)) X (г), где V = (у) — циклическая 2-группа, Н = (к) — циклическая группа нечетного порядка. В частности, подгруппа Н X (г) является конечным диэдром, а подгруппа V X (г) — конечным полудиэдром.

4. Любая циклическая подгруппа из В, порядок которой больше четырех, лежит в (С).

5. Пусть А — абелева подгруппа группы В порядка > 4. Тогда А — либо циклическая, либо элементарная абелева группа (г) х (г) порядка 4, либо, в случае, когда п — нечетное, абелева подгруппа (Сп) х (г) порядка 8.

6. Пусть В1 и В2 — полудиэдральные группы. Вложение В1 < В2 возможно, только

если | — нечетное число. В частности, полудиэдральная 2-группа не содержит собственных полудиэдров.

Доказательство. 1. Так как г2 = (3?п)2 = С4п = 1, то г — инволюция. Далее, г® = (С2п)® = (С®)2п = (С2п-1)2п = д4г?-2п = С-2п = г-1 = г и г € Z(В).

Если п = 1 и Щ = 4, то С® = С и В = (С) х (г) — абелева группа порядка 8. Если 1 = п — нечетное число, то (Сп)® = (С®)п = (С2п-1)п = (С2пС-1)п = (гС-1)п = гС-п = С2пС-п = С2п-п = Сп. Т.е. элемент четвертого порядка Сп € Z(В).

Если n — четное, то (dn)i = (di)n = (d2n-1)n = (d2nd-1)n = (zd-1)n = d-n = (dn)-1 и элемент четвертого порядка dn <// Z(D).

2. Пусть f e (d). Тогда f = dk и fifi = ffi = dk(dk)i = dkidki = dk(di)k = dk(d2n-1)k = dkd2kn-k = d2kn = zk. Т.е. элементы вида fi имеют порядок либо 4 и (fi)2 = z, либо 2.

3. Понятно, что (d) = (v) х (h), где |v| = 2m > 4, |h| = k — нечетное число, 4n = 2m • k. Тогда v = dk, h = d2m и выполняются следующие равенства:

vi = (dk )i = (di)k = (d2n-1)k = (d2nd-1)k = (zd-1)k = zd—k =

1 2m — 1 1 2m — 1 1

= zv- = v v- = v - ,

h = (d2m )i = (d2n- 1 )2m = (zd- 1 )2m = (d- 1 )2m = (d2m)- 1 = h- 1.

Следовательно, подгруппа (h) X (i) является конечным диэдром, а подгруппа (v) X (i) — конечным полудиэдром.

4. Поскольку порядок элементов вида fi, f e (d), не превосходит числа 4, то элементы порядка > 4 содержатся в (d).

5. Пусть A — абелева нециклическая группа порядка > 4. Если n — четное число, то A может быть только элементарной абелевой группой (z) х (t), где t — нецентральная инволюция из D. Если n — нечетная, то в D есть абелева подгруппа (f) х (t), где |f| = 4, (f) < (d), t — нецентральная инволюция из D, и A < (f) х (t).

6. Пусть D1 = (d1) X (t1), D2 = (d2) X (¿2) — полудиэдральные группы и D1 < D2. Пусть также |d1| = 4n1, d^ = d2n1-1, |d2| = 4n2, d^ = d2n2-1. Если n1 = 4, то D1 — абелева

D2 n2

группа порядка 8 и из пункта 5 следует, что —— = — = n2 — нечетное число. Поэтому

D1 n1

можем считать, что n1 > 4. Тогда из пункта 4 следует, что (d1) С (d2), т.е n1|n2. Очевидно, что нецентральная инволюция t1 из D1 содержится в D2 \ Z(D2). Следовательно, можно считать, что D2 = (d2) X (t1) и d21 = d^2-1. Обозначим m = —2. Тогда d1 = d™,

2 2 n1 2

d! = (díT)41 = (d21 )m = (d2n2-1)m = (d2mn1-1 )m = d1mn1-1 =

í если m = 2m1, то d2 2min1-1 = (d^ni )mi d-1 = d-1;

если m = 2m1 + 1, то d2(2mi+1)n1-1 = (d^ni)™id^ni-1 = d\

d- , если m — четное число;

d1ni-1,

если m — нечетное число.

Т.е. вложение П\ < П2 возможно, только если | В | — нечетное число. В частности, полудиэдральная 2-группа не содержит собственных полудиэдров. □

Лемма 2. Пусть М — локально конечный полудиэдр. Тогда М = В X (г), где В = V х Н, V — циклическая 2-группа, Н — локально циклическая группа нечетного порядка, г — инволюция. Подгруппа V X (г) является конечным полудиэдром, а подгруппа Н X (г) — локально конечным диэдром. В частности, если М — 2-группа, то она является конечным полудиэдром.

ж

Доказательство. По определению локально конечного полудиэдра М = и , где

к=1

В < В 2 < ••• < В к < ••• — бесконечная возрастающая цепочка конечных полудиэдров, Вк = (Лк) X (гк), а '¡к — инволюция такая, что, если \с= 4пк, то = dkknk-1.

Без ограничения общности можно считать, что (Ск) С (Ск+1) (лемма 1) и для любой

г = С2пк+

к+1 Ск+1

нецентральной в Вк инволюции г выполняется ССк+1 = 1, где |Ск+11 = 4пк+1, при

этом Вк+1 = (Ск+1) X (г).

По лемме 1 вложение В1 < В2 < • • • < Вк < • • • возможно, только если |Вк+11 = 1Вк1 • тк и тк — нечетное число. Отсюда, в частности, следует, что если М — 2-группа, то она конечна.

Пусть В1 = (С1) X (г) — минимальная по порядку полудиэдральная подгруппа в О и (С1) = (у) х (к1), где (у) — циклическая 2-группа, (к1) — циклическая группа нечетного порядка. Центр Z(В1) либо содержится в (у) и имеет порядок 2 или 4, либо Z(В1) = В1, если В1 — абелева группа порядка 8.

Пусть В2 = (С2) X (г) и В1 < В2. Ввиду вышесказанного, (С2) = (у) х (к2), где ^^ = 1к11 • т1, т1 — нечетное число, Z(В2) С (у). Рассуждая аналогично, получим, что Вк = ((у) х (кк)) X (г), где 1кк| = 1^1 • т1 • т2 • • • тк-1 и центр Z(Вк) С (у) — группа порядка четыре, если |у| = 4, или порядка два, если |у| > 4 (лемма 1). При этом (v)X(г) —полудиэдр, (кк) X (г) — диэдр (лемма 1).

Положим В = и Ск, V = (у), Н = и кк, и пусть г — нецентральная инволюция. Тогда к=1 к=1 М = В X (г), В = V х Н, VX (г) — конечный полудиэдр, НX (г) — локально конечный диэдр

(поскольку является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров). □

Лемма 3. Пусть О — из условия теоремы и является бесконечной локально конечной группой. Тогда О — локально конечный полудиэдр.

Доказательство. Ввиду локальной конечности О любая её конечнопорожденная подгруппа К конечна и содержится в некоторой подгруппе М группы О, изоморфной конечной полудиэдральной группе В = (С) X (г). Без ограничения общности можем считать, что М = В. Так как О — бесконечная группа, то в О есть подгруппа К порядка >8 и

К С В = (¿) X (г) С О, где В — конечный полудиэдр, |С| = > 4. Следовательно, в О есть элементы порядка >4. В свою очередь, подгруппа (В, д), д € О \ В тоже содержится в некотором полудиэдре В1 = (С1) X (ч) С О. При этом по лемме 1 (С) < (С1) и |С11 = |С| • т, где т — нечетное число. Т.е. О не является 2-группой. Возьмем в О два различных элемента д1, д2 порядка > 4 и элемент дз = 1 нечетного порядка. Тогда (д1, д2, дз) — конечная подгруппа, и по условию насыщенности (д1,д2,дз) С В < О, где В = (С) X (г) — конечный полудиэдр. Отсюда по лемме 1 д1,д2,дз € (С) и д1, д2, дз перестановочны между собой. Т.е. все элементы из О, порядок которых нечетен или больше четырех, порождают в О нормальную локально циклическую подгруппу В. Тогда множество О \ В не пусто и состоит из инволюций и элементов порядка 4.

Пусть теперь £ — фиксированная инволюция из О \ В, д € О \ В, Ь € В и |6| > 4. Тогда (Ь, Ь,д) С В* = (¿*) X (£). Из определения В следует, что Ь € (С*) С В, а по лемме 1 д = Ь\Ь для некоторого Ь1 € (С*) С В. Т.е. все элементы из О лежат в В X (Ь). Пусть теперь В1 — конечный полудиэдр из О, д € О \ В1 — произвольный элемент. Тогда (В1,д) < В2, где В2 — полудиэдральная группа из О и В1 < В2 . Действуя таким образом, получим бесконечно возрастающую цепочку конечных полудиэдров В1 < В2 < • • • < Вк < • • •, объединение которой, очевидно, и есть группа О = В X (Ь). Итак, О — локально конечный полудиэдр. □

Лемма 4. Группа О из условия теоремы локально конечна.

Доказательство. Предположим противное, и пусть О — бесконечная не локально конечная группа. По условию насыщенности в О есть конечная подгруппа В1 = ((\) X (г), где В1 — конечный полудиэдр, и пусть г — центральная в В1 инволюция. Понятно, что г € ((1) и В1 С С = Са(г), где С — бесконечная группа (иначе, по предложению 1 О — локально конечна). Таким образом, О содержит инволюцию г = г. Рассмотрим С1 = Сс(г). Пусть С1 — бесконечная группа. Разберем следующие случаи.

1. Пусть С1 не содержит элементов порядка >2. Тогда С1 — элементарная абелева группа и в ней найдется конечная подгруппа (г) х (г) х (к) порядка >4, которая невложима в конечную полудиэдральную группу (лемма 1), что противоречит условию насыщенности группы О конечными полудиэдрами.

2. Пусть С1 содержит элементы порядка 4 и не содержит элементов порядка >4. Тогда по теореме Санова (предложение 2) С1 — бесконечная локально конечная группа. Следовательно, по предложению 3 в С1 есть абелева бесконечная локально конечная подгруппа А, в которой найдется конечная нециклическая абелева подгруппа К = (01) х • • • х (ак), к > 3, которая невложима в полудиэдральную группу (лемма 1).

3. Пусть теперь С1 содержит элементы порядка >4. Тогда в С1 найдется элемент а порядка >4, такой что К = (а, г, г) — снова нециклическая абелева группа порядка > 8. С другой стороны, К лежит в некоторой конечной группе полудиэдра из О, и по лемме 1 \К\ =4 либо \К\ = 8. Опять противоречие.

Следовательно, С1 — конечная группа, а значит С — локально конечная подгруппа по предложению 2. Поскольку С насыщена конечными полудиэдрами, то по лемме 3 С — локально конечный полудиэдр.

Аналогично показывается, что С* = С а (г) — также локально конечный полудиэдр и г € С*. Пусть теперь х — элемент порядка 4 из С, у — элемент порядка 4 из С*. Тогда х2 = г, у2 = г, А = (г) х (г) — элементарная абелева группа и х,у € Жа(А). Рассмотрим группу (х,у). Фактор-группа (х,у)/А — периодическая группа, порожденная двумя инволюциями х = хА и у = уА, а значит, она конечна. По теореме Шмидта [6] конечной будет и группа (х,у). По условию насыщенности группа (х,у) содержится в конечном полудиэдре. Тогда г = х2 = у2 = г, поскольку квадраты всех элементов четвертого порядка равны центральной инволюции (лемма 1). Но это невозможно, так как г, г — различные инволюции. Противоречие. Следовательно, С* — конечная подгруппа, по предложению 1 О — локально конечная группа и по лемме 3 О — локально конечный полудиэдр. Лемма, а вместе с ней и теорема, доказаны. □

Список литературы

[1] А.К.Шлепкин, Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы, Сб. тез. 3-й междунар. конф. по алгебре, 23-28 августа 1993, Красноярск, 369.

[2] А.Г.Рубашкин, Группы, насыщенные заданными множествами конечных групп, дис. ... канд. физ.-мат.наук, Красноярск, 2006.

[3] В.П.Шунков, О периодических группах с почти регулярной инволюцией, Алгебра и логика, 11(1972), №4, 470-494.

[4] Д.В.Лыткина, Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4, Математические системы, 2005, №4, 602-617.

[5] И.Н.Санов, Решения проблем Бернсайда для периода 4, Учен. записки ЛГУ. Сер. Ма-тем., 1940, №10, 166-170.

[6] М.И.Каргаполов, Ю.В.Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1982.

On the Structure of Periodic Groups Saturated by Semidihedral Groups

Lyajsan R.Tukhvatullina Anatoly K.Shlepkin

Let К be a set of finite groups. A group G is said to be saturated by K, if every finite subgroup of G is contained in a subgroup isomorphic to a group in K. We prove that a periodic group saturated a set containing semidihedral groups is a locally finite group. Keywords: periodic group, semidihedral group.