О строении минимальных некоммутативных нильпотентных алгебр. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.48

Е.П. Петров

О строении минимальных некоммутативных нильпотентных алгебр. II

Данная работа является продолжением статьи [1]. Напомним некоторые определения и обозначения из указанной статьи. Будем рассматривать ассоциативные нильпотентные алгебры над произвольным полем К

Определение. Нильпотентную некоммутативную алгебру будем называть С-алгеброй, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1) любая ее собственная подалгебра коммутативна; 2) любой гомоморфный образ ее коммутативен.

Будем называть типом конечномерной ниль-потентной алгебры Я следующую строчку натуральных чисел (ті,т2,...т/_і). Где Т. =

1<ііт(Я \ Я + ), 1 < ! ^ ^ ~ ( - индекс нильпо

тентности алгебры Я. Типу алгебры Я соответствует базис-таблица, составленная как совокупность столбцов, состоящих из базисных элементов алгебры, таким образом, чтобы г-тый столбец являлся

к Я1 \ Я,+1, і = 1,< - 1.

базисом ' ’ ’

Заметим, что в работе [1] изучалось строение С-алгебр Я, с условием ЛшЯ2/Я3 < 2. В данной статье изучается строение С-алгебр Я, удовлетворяющих условию Літії*/Я3 — <!-Со

гласно лемме 4[ 1 ] (см. далее по тексту) С-алгебр Я. с условием ' Літ Я, /Я > 3 не существует.

1. Основные замечания

Напомним из работы [1] основные свойства С-алгебр и некоторые ограничения на них.

Заметим прежде всего, что всякую С- алгебру можно считать 2-порожденной, поскольку каждая ее подалгебра является коммутативной (условимся обозначать эти порождающие в дальнейшем через а,Ь). На основании этого заключаем, что всякая С-алгебра будет конечномерной над полем К

Лемма 1 [1]. Всякая С-алгебра Я с индексом

нильпотентности ї удовлетворяет следующему соотношению на порождающих:

где Н* * і и Ф 0.

Следствие. Всякая С-алгебра удовлетворяет тождествам

Лемма 2 [1]. Если нильпотентная 2-

порожденная алгебра Я удовлетворяет тот-

дествам (2), то все ее собственные подалгебры коммутативны.

Лемма 3 [1]. Пусть в нильпотентной индекса ї 2-порожденной алгебре Я выполняется соотношение вида (1),и ф 0. Тогда следующие условия эквивалентны: (а) каждый собственный гомоморфный образ алгебры Я

коммутативен; (б) алгебра Я подпрямо неразложима.

Лемма 4 [1]. Пусть Я - (2-алгебра. Тогда

1) ЖшЯ2/Я3 < 3;

2) если йітЯ / Я3 — 3, то можно считать, что

базисом Р9/Р5 пвляется следующий набор

{сг, а6,6~}.

элементов: 1 ’ 1 9,

3) если сІітЯ2/Я3 — 2, **^-^.но считать, что

базисом Я?/Я3 является набор

{а2, аЬ}\

4) если ЛтЯ2/Я3 — 1, то можно считать, что базисом Я2/Я3 является {а2} либо {аб}.

2. Основной результат

В этом параграфе мы будем описывать строение С-алгебр с помощью некоторого набора матриц над основным полем К Такой метод является достаточно эффективным при построении конкретных примеров С-алгебр. Учитывая зам чания в §1, далее будем рассматривать произвольную нильпотентную алгебру Я с условие dimЯ2IЯ3 = 3. В этом случае, как и ранее в [1] алгебра Я может быть двух типов: (/) в алгеб Я найдется элемент а такой, что а0-1 ф 0, где ї индекс нильпотентности алгебры Я; (II) алгеб Я удовлетворяет тождеству х1 = 0 для некото го I € {3,

... ,ї - 1}. В этой работе мы буде рассматривать только алгебры типа (I). Пре де всего выясним особенности строения бази таблицы таких алгебр.

Лемма 5. Всякая С-алгебра Я индек к + 2 является гомоморфным образом алге ры и, удовлетворяющей соотношению вида (1 Ьа = аЬ + аак+1 с базис-таблицей А (рис. 1).

а а2 а8 ак а

Ь аЬ а2Ь а‘~ьЬ

С аЬ2 ак~2Ь2

Ъ „к 3П3 а ~ Ъ

Ь

Рис. 1. Базис-таблица А

Доказательство. Учитывая следствие леммы 1 [1], заметим, что произвольная С-алгебра Я индекса к + 2 лежит в многообразии гаг <

ф, г] = [я

. Рассмотрим в этом многообразии приведенно свободную алгебру Р < а, Ь> с порождающими а, Ь и в ней идеал I, порожденный элементом аЬ — Ьа + аа1+1, где коэффициент а О Р выбран таким образом, чтобы в алгебре Я выполнялось соотношение

Тогда базис-таблица В (рис. 2) ^ Г1 < в, 6 > /^имеет следующий

алгебры' вид

а а3 ак ак+1

Ь аЬ а~Ь ак ~ 16 акЪ

Ь1 аЬ“ аК ~2 Ъ 2 ак ~ Ь 2

Ь' „к 3 Т3 а ~ Ь ак ~2 Ь3

Ь аЬ

Ь‘+1

Рис. 2. Базис-таблица В

Согласно лемме 3 [1] всякая С-алгебра под- прямо неразложима, поэтому ЛтЯ1+‘ = 1. Учитывая тип (I) алгебры Я, заключаем, что алгебра Я является гомоморфным образом алгебры и = З/.1 для некоторого

идеала .1 С З11*1.

Лемма доказана.

Через Я далее будем обозначать произвольную 2-порожденную нильпотентную индекса к + 2 алгебру, удовлетворяющую соотношению вида (1) и являющуюся гомоморфным образом алгебры и.

Заметим, что базис-таблица алгебры Я получается из таблицы (А) путем вычеркивания из столбцов некоторых базисных элементов алгебры и, за исключением первого в каждом столбце, т.е. некоторые столбцы становятся короче по высоте. Обозначим через й номер первого столбца байис-таблицы алгебры Я, в котором нет отсутствующих элементов, но в следующем (й + 1)-ом столбце некоторые из базисных элементов отсутствуют.

Лемма 6. Базис-таблица алгебры Я удовлетворяет условию: т! > гпа+г для любого я — й, к, т.е. высота столбцов базис-таблицы с увеличением их номеров, начиная с номера й, либо постоянна, либо уменьшается.

Доказательство. Заметим, что базис- таблица алгебры и удовлетворяет условию: ®»+1 — ^ л ля любого

8 = 1, к. рассмох_

рим в базис-таблице алгебры Я 8-ый столбец, я = й + ї,п, в котором отсутствует элемент ая~‘Ь*. Для доказательства леммы достаточно показать, что в (8 + 1)-

ом столбце отсутствуют

а’_,+16’ и а*“’6,+1..

элементы С этой целью

заметим, что отсутствие элемента а1~1Ь' означает, что он линейно выражается через базис Я\ Но тогда

элементы

кроме первого,

Я'/Я*41.

(8+ 1)-ом столбце базис-таблицы алгебры Я.

Лемма доказана.

Введем для удобства следующие обозначения. Запись

видака'. а'-'6.........6’) »где неко

торые из указанных элементов, отсутствуют, будет обозначать базис Аналогично в линейной комбинации вида (аа" + 0а' • • • 4- уЬ') в отсутствуют те слагаемые,

которые отсутствуют в базисе Я1 /Я+. Ссылку на базис -таблицу алгебры Я мы будем обозначать через (Л)д, имея в виду при этом, что в базис-таблице (А) отсутствуют определенные элементы.

Выясним теперь таблицу умножения алгебры и, а также и алгебры Я, в ’’хвосте” базис- таблиц (Л) и (А)д. Рассмотрим элемент аКЬ = аак+х. Заметим: можно

считать, что а* 6 = 0-Действительно, сделав замену 6' = Ь - аа, получим аКЬ' = 0 и, как нетрудно проверить, не нарушим ни соотношения (1), ни вида базиса Я2/Я3 и, наконец, не изменим тип алгебры

Таким образом, мы имеем дополнительно к (1) следующую совокупность соотношений:

В алгебре Я помимо соотношений (3) могут встретиться

еще и другие определяющие соотношения, каждое из

которых, как нетрудно заметить из предыдущих

рассуждений, соответствует некоторому отсутствующему Ы / 1?> + 1

в (-4)я в базисе элементу. Соответствующее

определяющее соотношение будет выглядеть следующим образом:

а.-»+1Ь.-1 + + з^-1Ь + ... + р;+1ь< +

линейно выражаются через базис Я , т.е. отсутствуют в

МАТЕМАТИКА

^ +/?(з,Ла*+1 =0,

Далее нам понадобятся некоторые вполне

определенные матрицы над пснойным полем К

а ■ — 1

опотяиттеннкте и'? тсп'эгЪгЬиттиетттгт 11 ИЗ

Д(») =

/ 1 о

о

«1

«1

»2

\ «*-» а*-і+і а*-і+2

. а«-1 N

СЧІ

ак /

путем вычеркивания столбцов с номерами, соответствующими номерам отсутствующих в ба-

Ы / В> + 1

зисе / элементов из следующего набо-

/д* А*)

ра: ^ ’ > 'Запись матрицы Д; в яв

ном виде будет выглядеть следующим образом:

Лемма 7. Пусть алгебра Я для некоторого N О удовлетворяет следующим уело

(а) гапд&н < тіу, либо т,\ > (к — N + 2);

ДО гапдАі = ті — (к - j + 2), і = N + \,к

(т.е. все матрицы Дквадратные и невырожденные).

Тогда в алгебре К найдется идеал КК такой,

і л д*+‘ = о.

что

Доказательство. Будем строить главный идеал

и А] € Р - искомые коэффициенты.

Домножим элемент г последовательно на элементы ак~ы+‘, ак~ыЬ,.. .,Ьк~ы+1, получим следующую систему соотношений:

а*-Л'+1 г = (^а*+1 + Л^вЧ + ...

• • • + А%+1ак-”+1Ь")ц = 0 (тосИ), ак-*6*=(Л?а*6 + Л?а*-1Ь2 + ...

...+ ^+,а'1-^+1)я = 0М/),

Положим все коэффициенты при ал+1 в равенст вах (5) равными нулю и найдем ненулевое реш ние {А1?,..., Л$+1)д, полученной в результа" однородной системы с матрицей Аы- Это можн сделать, так как выполняется условие (а).

Будем теперь домножать элемент 2 послед вательно на элементы

г + 1)) для подходящих в. Эти числа,¿^(^1 • • • )»

напомним, являются коэффициентами при ак+ в

соотношениях вида (4). Оставшиеся линейные

комбинации в (6) приравняем к нулю.

У получившейся системы всегда найдется решение

(пусть даже нулевое) (

л N+¡+1 иА'+1 + 1 лЛ+|'+Ь

/1| , . • ••.Лиг,. |,|йс ПОМОЩЬЮ ме

тода Крамера, так как выполняется (б).

т. , чтобы Нк~^+11 = О,

Итак, мы добились, ---------------- и

лй*-/у-,/)пя/с+1 = о, « = ОД-- Л-- ...

Дл

/ пй*+‘ = 0.

Лемма доказана. Следствие. Алгебра R с базис-таблицей, в которой

І Є \d,...,k) ггц >

ст иріглтлплгл

Ш(+і +1, т., = к —s + 2, s — I + 1, к,

не является

С-алгеброй.

Доказательство следует из леммы, поскольку

пи > (к — I + 2). ’ ’

Далее мы будем рассматривать только алгебры с базис-таблицами С и D (рис. 3-4):

а 2 <Г ad~x "ad .... ' a ad+2 . .. * a a-TT

Ь аЬ ad- 'rb ad~4 1 • •

ь2 аи~жЬ2 ad~2b2

ь«-1 a b d *

bd

Рис. 3. Базис-таблица С

a a2 Лd l a ~ ad a ad+‘d ak a‘+l |

b ab ad~4 ad~lb

b2 ad~'dbJ aa~Aba

bd-L abd~1

ba

Рис. 4. Базис-таблица D

высота столбцов, начиная с некоторого момента, последовательно уменьшается ровно на 1.

Замечание. Легко видеть, что в случае базис-

к (С) к = 2d. '

таблицы ' ' т что следует из ра-

венств:т<І"*"1 — k — (d+ l)-f2 = d+1 Аналогично, в случае (D) имеем к — 2d — I.

Теорема. Пусть R - 2-порожденная нильпо-тентная алгебра с базис-таблицей (С) или (D) и соотношениями (1) и (3). Тогда для того, чтобы алгебра R являлась С-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы для любого г — 1 ,к:

Доказательство. Предположим сначала, что алгебра R является С-алгеброй. Тогда, рассуждая от противного, предположим, что найдется такое число N £ {1,..., А*}, что rang An ф ms, причем N -наибольшее с таким свойством. ; Предположим также сначала, что N > (d + 1). Тогда, поскольку матрица Ддг - квадратная по - : рядка к - N + 2 = тдг, то rang An < niN и

выполняются условия леммы 7. Следовательно, в алгебре R найдется такой идеал I < R, что

/ П Rk+1 — 0

Получим противоречие с подпря- мой

неразложимостью алгебры R.

Итак, мы доказали, что

Пусть теперь N < (d + 1) и rang An ф m/у. Заметим, что в случае (D) рассуждения, аналогичные вышеприведенным, ведут к противоречию.

Покажем, что в случае (С), когда тл+1 = тд, в матрице Дд найдется ненулевой минор порядка (d + 1). Действительно, при сравнении матрицы Дд порядка (d +

2) х (d + 1)

*

+

(где к = 2d согласно замечанию) с невырожденной матрицей Дд+і порядка (d + 1) х (d+1)

\ Lik-d-l Qk-d+l ■■■ /R

(где отсутствует один из столбцов, кроме первого) непосредственно видим, что все столбцы матрицы Ad+i встречаются в строках матрицы Ай-

Итак, в обоих случаях (С) и ф) имеем:

Покажем далее, что" для любого Рассмотрим матрицу Д, порядка^' — 1 х

(?)

Если все миноры порядка (i+ 1) в этой матрице равны нулю, то по теореме Лапласа, учитывая строение матрицы Дц, получим, что ranged < d + 1, противоречие с (7). Таким образом, для любого “ *N €: {1» ■ • ч

рДлг = ты-

rang

Покажем, теперь, обратное. Предположим, что все названные в условии теоремы матрицы удовлетворяют условию

(8)

Проведем доказательство от противного.

Предположим, что алгебра Я не является С- алгеброй. Тогда, учитывая леммы 2 [1] и 3 [1] (см. §1), мы можем заключить, что в алгебре Я найдется ненулевой главный идеал I = (г) такой, что I П Я1+ — 0. Пусть разложение

элемента г по базису алгебры Я такое же, как при

доказательстве леммы 7. Тогда коэффициенты ' 1 не все равные нулю, удов

летворяют однородной системе с матрицей А Противоречие с (8) доказывает теорему.

Литература

1. Петров Е.П. О строении минимальных не -коммутативных нильпотентных алгебр /

Алт. гос. ун-т. Барнаул, 1996. Деп. в ВИНИТИ 21.06.96, № 1985-В96.