О стационарной форме движущейся тяжелой гибкой нити Текст научной статьи по специальности «Физика»

4. Ferziger J.H., Kaper H.G. Mathematical theory of transport processes in gases. Amsterdam; London: North-Holland Publishing Company, 1972 (рус. пер.: Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976).

5. Chapman S., Cowling Т. С. The mathematical theory of nonuniform gases. Cambridge: Cambridge University-Press, 1952 (рус. пер.: Четшен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960).

6. Einstein А. Uber die von der molekular-kinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchem // Ann. Phys. 1905. 17. 549-560 (рус. пер.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М., 1966. Т. 3. 108-117).

7. Einstein А. Zur Theorie der Brownschen Bewegung // Ann. Phys. 1906. 19. 371-381 (рус. пер.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М., 1966. Т. 3. 118-127).

8. Smoluehowski М. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und Suspensionen // Ann. Phys. 1906. 21. 756-780 (рус. пер.: Броуновское движение / Под ред. Б.И. Давыдова. М.: ОНТИ, 1936. 133-165).

9. Happel J., Brenner Н. Low Reynolds number hydrodynamics. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1965 (рус. пер.: Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976).

Поступила в редакцию 21.12.2016

УДК 531.5

О СТАЦИОНАРНОЙ ФОРМЕ ДВИЖУЩЕЙСЯ ТЯЖЕЛОЙ ГИБКОЙ НИТИ

Н. С. Гюльамирова1, Е. И. Кугушев2

Рассматривается модель, описывающая форму стационарного участка тяжелой нерастяжимой гибкой нити при перемещении в неподвижной вертикальной плоскости на заданную глубину из неподвижного состояния в неподвижное. Находятся параметрические уравнения стационарной кривой. Форма стационарного участка и его свойства качественно совпадают с наблюдаемыми в экспериментах.

Ключевые слова: цепной фонтан, стационарное движение, тяжелая гибкая нерастяжимая нить.

We study a model describing the form of the stationary segment of a heavy flexible inextensible thread moving in a fixed vertical plane down to a given depth from a fixed position to a fixed position. The parametric equations of the stationary curve are derived. The form of the stationary segment and its properties are in qualitative agreement with those observed in experiments.

Key words: chain fountain, steady motion, heavy flexible inextensible thread.

Если поместить тонкую тяжелую цепочку в чашу, расположенную на некоторой высоте над полом, а потом быстро потянуть за один конец и отпустить, то цепочка сначала устремится из чаши вверх, а затем под действием силы тяжести будет опускаться к полу. Процесс быстро установится. Цепочка будет перемещаться, образуя стационарную петлю, идущую из чаши вверх, а затем к полу. Это явление получило название "цепной фонтан". Его впервые отметил С. Молд, демонстрирующий на телевидении занимательные научные опыты. В работах [1, 2] рассматривалось данное явление и изучался вопрос о том, какую форму имеет петля цепного фонтана. При этом предполагалось, что в начальной и конечной точках участки петли вертикальны, что не соответствует форме петли, наблюдаемой в эксперименте.

В настоящей работе в качестве модели цепного фонтана рассматривается гибкая нерастяжимая нить, движущаяся в неподвижной вертикальной плоскости в однородном поле тяжести. Нить, имеющая неограниченную длину, разбита на три участка. Левый и правый бесконечные участки неподвижно лежат на горизонтальных плоскостях, причем левая плоскость выше правой. Между этими

1 Гюльамирова Надежда Салаватовна — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: 388771@mail.ru.

2 Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kugushevQkeldysh.ru.

участками располагается промежуточный участок конечной постоянной длины. Этот участок нити совершает стационарное движение в следующем смысле. Его расположение в пространстве неизменно. Точки нити, отвечающие этому участку, в каждый момент лежат на одной и той же неподвижной кривой и движутся с одной и той же по величине скоростью вдоль этой кривой. Таким образом, происходит постоянное перетекание точек нити из левого участка в правый. Решается вопрос о том, какую форму может иметь кривая, вдоль которой располагается промежуточный участок нити.

В плоскости движения нити введем неподвижную систему координат Оху. Ось Оу направим вертикально вверх. Пусть подвижный участок нити имеет форму кривой 7 = (x(s),y(s)), где s — натуральный параметр. Через L обозначим длину этого участка (0 ^ s ^ L). Стационарность движения нити означает, что форма подвижного участка нити не меняется со временем. Нить движется вдоль указанной кривой 7. Поскольку нить нерастяжима, то все ее точки имеют одну и ту же постоянную скорость V.

Рассмотрим сечение нити в некоторой точке s*. Нить разделяется на два участка — левый (s ^ s*) и правый (s ^ s*). Считаем, что со стороны правого участка на левый действует некоторая сила F(s*), а со стороны левого участка на правый действует сила —F(s*). Поскольку нить гибкая, то предполагаем, что моменты сил, действующих со стороны одного участка на другой, равны нулю. Высечем из нити малый участок s* ^ s ^ s* + As (звено цепи). Пренебрежем изменением его формы на малом отрезке времени. Будем считать, что это тяжелый однородный отрезок длины As, к которому приложены силы —F(s*) на левом конце и F(s* + As) на правом конце. Считаем, что центр отрезка (центр масс) движется по кривой 7 с постоянной скоростью v и отрезок касается этой кривой. Ускорение центра масс отрезка направлено по нормали п к кривой 7 и равно ас = kv2п, где к = k(s*) — алгебраическая кривизна плоской кривой 7. Обозначим через t(s) касательный вектор кривой 7 в точке s = s*, а через 9(s) угол наклона касательной к оси Ох в этой точке. Тогда

d6 dr

k = —, т = ( eos sin 0), n = (— sin eos 0), — = kn. (1)

ds ds

По теореме о движении центра масс имеем

mac = pAskv2n = F(s* + As) - F(s*) + mg,

где p — плотность нити, g — ускорение свободного падения, m = pAs — масса участка нити. Поделив обе части последнего равенства на As и перейдя к пределу при As —>■ 0, получим

, 2 dF(s)

pkv2 n = —j^- + pg. (2)

Кинетический момент отрезка относительно центра масс равен JÙ, где J = — rriAs2 = — pAs3 —

момент инерции отрезка относительно его центра. По теореме об изменении кинетического момента относительно центра масс имеем

As As

je = — Т х F(s + As) + — (-r) x (-F(s)). (3)

Поскольку J/As —>■ 0 при As —>■ 0, то, поделив обе части (3) на As и перейдя к пределу при As —>■ 0, получим

0 = т x F(s).

Отсюда следует, что нормальная составляющая силы F равна нулю, F = F(s)t, где F (s) — сила натяжения нити. Подставив это равенство в (2), находим

d{FT) dF , ^ , 2 —-— = —— т + кг n = pkv n — pg.

ds ds

Поскольку g = —g sin 9т — g eos On, то это векторное равенство можно записать в виде двух скалярных уравнений

dF

— = gpsinO, kF = pkv2 + gpcosO.

Используя первое соотношение в (1), получим

Добавим еще два уравнения

dF п d9 qp cos в

4^=cos0, —¡— = sin 0. (5)

ds ds

Поместим начало системы координат Оху в начальную точку кривой 7. Тогда ж(0) = у(0) = 0. При заданных начальных условиях F(0), 0(0) система (4), (5) определяет форму кривой 7, т.е. форму стационарного участка нити.

Нас интересуют решения, для которых форма кривой 7 имеет такой же качественный характер, как и наблюдаемая в эксперименте форма цепного фонтана. В левой начальной точке (s = 0) должно быть 0(0) = 91 > 0. На участке 0 ^ s ^ L угол 9 монотонно убывает до некоторого отрицательного значения 9(Ь) = 9 2 < 0:

-I<02<O<01<!. (6)

Координата x(s) монотонно растет, а координата у (s) сначала растет до некоторого максимального значения, а затем убывает. Кроме того, для тонкой гибкой нити сила натяжения неотрицательна

(Hs)> 0).

При построении такого решения будем считать, что F(L) = 0. Такое допущение означает, что участки нити, вышедшие за стационарную часть цепочки, не оказывают воздействия на части цепочки, находящиеся на стационарном участке. В точке выхода из стационарной части участки цепочки движутся со скоростью v. Остановка этих участков происходит из-за сил взаимодействия с нижней опорной плоскостью, на которую перетекает цепочка.

d9 р cos 02 ds v2

d9

Значит, при уменьшении s угол 0 возрастает. До тех пор, пока — ф 0, из (4) имеем

Решение строим от правого конца (в = Ь) к левому (в = 0). На правом конце — =--^— < 0.

ds

dF -,,2\ +„ л г? 2 Л cos 02

- = F = (7)

Тогда

f = tg9 = -^—(s-L) + tg92. (8)

ds V¿ COS 02 V¿ COS 02

Отсюда видно, что при уменьшении s угол 0 строго возрастает и, значит, соотношения (7), (8) справедливы на всем стационарном отрезке (6) цепи.

Найдем форму кривой 7. Параметризуем ее углом 0. Он строго монотонно убывает при 0 ^ s ^ L. Используя (5)-(8), находим

dx ¡i dy ¡i sin 0 v2 cos 02

d9 cos 0' d9 cos2 0' ^ д

Интегрируя эти уравнения, получаем параметрическую запись кривой 7, на которой лежит стационарный участок цепного фонтана:

=

. . 1 — sin 0 / V 1 — sin 01 . .

х х 1\ 4 1/ 7 02 <0<01. (9)

{7^-9-7^9;

Зависимость 0(s) определяется из второго уравнения (8).

В экспериментах с цепным фонтаном заданными параметрами являются линейная плотность цепи р, ускорение свободного падения д и глубина фонтана h, т.е. перепад высоты при движении от чаши, в которой лежит начальный участок цепи, к нижнему основанию, на которое перетекает цепь.

Найдем связь этих параметров с величинами V2, Ь, ¡л, 9\, 02- Заметим, что следующие рассуждения не являются формально строгими, а базируются на физически целесообразных предположениях. Элемент цепи длиной А,в имеет массу т = рА,в. При вхождении на стационарный участок

ту2

цепи его кинетическая энергия возрастает от нуля до , а за время движения по стационарному

участку потенциальная энергия убывает на величину тдН. Если предположить, что при движении по стационарному участку диссипация энергии пренебрежимо мала, то будем иметь

2

tyiv

= mgh, v2 = 2gh, /х = 2/¿cos 02- (Ю)

Используя (9), находим

у{в2) = -h = -2hcos92 1 1

_ COS в 2 COS 01

откуда

cos6»i = 2cos6»2. (11)

Соотношение (11) позволяет найти F(91), т.е. натяжение нити в начале стационарного участка. Из (7) имеем

Такое же значение F(91) получается из следующих неформальных рассуждений. На левом конце

стационарного участка за интервал времени At в движение будет вовлечен очередной участок непо-

2

TÍIV

движной части цепи массой т = pvAt. Он приобретет энергию , при этом пройдет путь vAt и сила натяжения нити совершит работу F(9\)vAt. Используя (7), получаем

m)>.Ai = a¡£ = m) =

Найдем соотношение для длины стационарного участка L. Из (8) при s = 0 будем иметь

40i= 2gL 0 +tg92.

V¿ COS 6*2

Используя соотношения cos 9\ = 2 cos 92 и v2 = 2qh, находим —-- = + sin 92 и

2 v¿

L = h(sm 9\ —2 sin 02) • (13)

Такое же выражение для L получается из следующих неформальных рассуждений. Форма и положение стационарного участка цепи не изменяются. На участок действуют активные силы — сила тяжести и сила —F($i) на левом конце. Эти силы суммарно компенсируют те силы, которые создают нормальное ускорение kv2п центров масс участков цепи, т.е. распределенные силы с плотностью —pkv2п. Сумма указанных сил равна нулю.

Составим баланс сил в проекции на вертикальную ось Оу:

1j

—тд — F{9\) sin 9\ — J pkv2 cos 9 ds = 0.

Поскольку к = —, то ds

L 02

J pkv2 cos 9 ds = J pv2 cos 9 d9 = pv2(sm92 — sin$i).

Используя (12), приходим к соотношению

pLg -\—— sin + pv2(sin02 — sin0i) = 0,

откуда сразу получаем (13). Заметим, что из уравнения баланса сил в проекции на горизонтальную ось Ох следует соотношение (11).

Оценим высоту подъема d стационарного участка, т.е. максимальное значение у (в). В наивыс-

dy

шей точке стационарного участка — = 0, т.е. 0 = 0. Используя (9), (10), будем иметь

d, = 2Л,eos02 ( —— - 1 ) = h( 1 -cos0i). \ COS 01 /

При фиксированном значении начального угла наклона цепи 0i высота стационарного участка растет вместе с глубиной h фонтана. Это согласуется с наблюдаемым в опытах ростом высоты цепного фонтана при увеличении h.

Таким образом, в предлагаемой модели форма стационарного участка цепи качественно совпадает с наблюдаемой в эксперименте. Кроме того, соотношения, получающиеся из физически оправданных предположений, совпадают с соотношениями, выведенными в настоящей работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-01-03747.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Biggins J.S., Warner М. Understanding the chain fountain // Proc. Roy. Soc. A. 2014. 470: 20130689, http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2013.0689.

2. Herrmann F. The chain fountain with momentum currents // Karlsruhe Institute of Technology. 2015, http: / / www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de / publication / Chain_fountain.pdf.

Поступила в редакцию 27.03.2017

УДК 539.4.25

О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ БЕРНУЛЛИ-ЭЙЛЕРА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ

В. И. Горбачёв1, Т. М. Мельник2

В работе изучается процедура сведения трехмерной задачи теории упругости для прямолинейного стержня из неоднородного анизотропного материала к одномерной задаче на оси стержня. Стержень находится в равновесии под действием объемных и поверхностных сил общего вида. Уравнения для внутренних силовых факторов выводятся из условий равновесия части стержня от торца до любого поперечного сечения. При установлении связи между внутренними силовыми факторами и характеристиками деформированной оси стержня используются априорные предположения о распределении перемещений по сечению стержня. Для упорядочения этих предположений перемещения точек стержня разлагаются в двумерные ряды Тейлора по поперечным координатам. При этом используются физические гипотезы относительно поведения поперечного сечения при деформации. Подробно рассмотрены известные гипотезы Бернулли-Эйлера, Тимошенко и Рейснера. Получена замкнутая система уравнений теории неоднородных анизотропных стержней, ос-

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorbyQmail.ru.

2 Мельник Татьяна Михайловна — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: melnik.tatyanaQyahoo.co.uk.