Граничные условия в современной теории дисперсных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 532+532.529.5

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

Я. Д. Янков1

В статье обсуждаются некоторые граничные условия в современной теории дисперсных систем и связанные с ними вопросы, касающиеся эффективной вязкости и эффективной теплопроводности.

Ключевые слова: дисперсная система, граничные условия, эффективная вязкость, эффективная теплопроводность.

The article discusses some of the boundary conditions in the modern theory of disperse systems and the associated questions concerning the effective viscosity and the effective thermal conductivity.

Key words: disperse system, boundary conditions, effective viscosity, effective thermal conductivity.

1. Научная проблема. Превратить механику дисперсных систем в науку со своим предметом исследования — важнейшая проблема современной механики. То есть необходимо вывести систему макроскопических уравнений, адекватно отражающих свойства дисперсных систем, при любых значениях размера дисперсных частиц и их объемного содержания, что было сделано автором в [1, 2] и окончательно в [3]. В эти работы не вошли важные вопросы, касающиеся граничных условий, эффективной вязкости и эффективной теплопроводности, что будет предметом обсуждения в настоящей статье.

2. Уравнения движения дисперсных систем. Запишем полученные в [3] макроскопические уравнения

dt ~ ЩУг'

Qg^=ngFg-Vr- Pg+Fgp, (1)

dUg

Qg ^ — Vr ' 4g Pjr • Vj"Ug Cjgpi

dn. ~dt

и замыкающие их соотношения

р = -npVr • ufl — Vr • Jp (2)

Рд = (1 + \ тта3рпр)Рд1 - кТдЬ^Бд,

Чй = _ ^ кйд^гТд, _ 212 Пр

Чдр — — СИрХрр — Рд\Уг ' иа)) ^

^ 1 тп п 3

= ~ о пркТд6.р - - аРХрр — — Р9УГ 1п Тд + - ар¥грд, 2 Ъ гПрПд 5

т 1 ПР (!) {л тЭ ав \ Т7 1 г 1 Пр (1)

3Р = —А ад11--арХрр — V,- 1п Тя - -

4 Пд у \ 75 П1р а* I 2 пд 1

где рд = ПдкТд, 11д = — симметрическая бездивергентная часть тензора Угид, а физиче-

ский смысл всех остальных членов уравнений (1), (2) и соотношений (3) подробно рассматривался в

1 Янков Янко Добрев — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та

МГУ, e-mail: yankov.yankoQyandex.ru.

статье [3]. Здесь нижний индекс д относится к параметрам несущей фазы (газа): тд и ад — масса и диаметр молекул газа, пд — числовая плотность, дд — плотность, и,; — скорость, Тд — температура, рд — давление, Рй — тензор напряжений, qfl — тепловой поток и Ug — внутренняя энергия, а нижний индекс р — к параметрам дисперсной фазы (твердых частиц): тр и ар — масса и диаметр частиц, ар — объемное содержание, пр — числовая плотность, Jp — диффузионный поток, dp — диффузионная сила. Через Ffl и Fp обозначены внешние массовые силы, a Fgp и Qgp — сила и энергия, с которой твердые частицы действуют на несущую фазу. Функция \vv зависит от числовой плотности пр. Коэффициенты aj^ , b^j и cf^j хорошо известны из кинетической теории газов и газовых смесей [4, 5], к — константа Больцмана, Vr — оператор Гамильтона в пространстве координат.

Диффузионная сила dp задается выражением

=^v-1(1+- % (L -1)v- Га) ■ (4)

где Q® — плотность вещества твердых частиц. Зависимость диффузионной силы от градиента осмотического давления pos = (1 + 4аРХрр)пркТд свидетельствует о том, что разрабатываемая теория дисперсных систем является нетривиальным обобщением классической теории броуновского движения [6-8].

Весь предыдущий анализ [3] показывает, что макроскопическое состояние дисперсных систем однозначно определяется полным набором параметров пд, ид, Тд и пр. Этот набор полный в том смысле, что теоретическое или экспериментальное определение данных параметров эквивалентно знанию всех макроскопических свойств дисперсных систем, связанных с поступательными степенями свободы молекул газа и твердых частиц. Изучим вопрос о том, как, зная пд, ид, Тд и пр, вычислить массовую скорость дисперсной фазы ир, числовую плотность п, плотность д, массовую скорость и п внутреннюю энергию U дисперсной смеси. Как и в кинетической теории газовых смесей, указанные макроскопические параметры определяются формулами

п = j fg d3cg + j fp d3cp, g = mgng + mpnp, npup = j сvfv d3cp, gu= I rrlgCgfg (^Сд + j ГПрСр fp (f Сp, gU = I i TTlgCgfg (f Cg + j ^ ГПрСр fp (f Сp,

(5)

где Сд = Сд - ид и Ср = Ср - ид.

После подстановки выражения для функций распределения и /р [3] и интегрирования по скоростям сд и ср, используя формулы (5), получаем

р>

ди = дид + гПрЗр, прир = прид + 3

О о /о (X2 (6)

ди = - пкТд ОркТдЬМфг • ия),

где ар = (1/6)7г<ТрПр — объемное содержание дисперсной фазы, а диффузионный поток задается выражениями (3) и (4).

Из выражения для массовой скорости дисперсной фазы и;, следует, что относительная скорость и относительное ускорение между фазами могут быть и большими, и малыми в зависимости от конкретных условий, в которых находится дисперсная система. Это говорит о несостоятельности утверждения, что при помощи диффузионных механизмов нельзя объяснить наблюдаемые большие относительные скорости и ускорения между фазами. Дело в том, что коэффициент бародиффузии чрезвычайно велик из-за отношения тр/тд и даже небольшой перепад давления несущей фазы рд может вызвать значительное относительное движение фаз.

Прежде чем приступить к вопросу о граничных условиях, рассмотрим один класс решений обсуждаемых уравнений, который возникает, когда дисперсная фаза достаточно разрежена, чтобы не влиять на движение несущей фазы, а размер твердых частиц достаточно большой, чтобы пренебречь броуновской диффузией. Тогда, зная решения уравнений Навье-Стокса, поле скоростей твердых частиц и;, можно найти сразу по формуле (6). Для числовой плотности пр получается уравнение в частных производных первого порядка, которое легко решается методом характеристик. Однако

если дополнительно предположим, что несущая фаза несжимаема и движется медленно (число Рей-нольдса мало) [9], то тогда значение пр сохраняется вдоль характеристик. Указанный класс решений можно использовать до момента встречи характеристик с поверхностью обтекаемого тела.

3. Граничные условия. Для объяснения и предсказания свойств дисперсных систем необходимо научиться решать дифференциальные уравнения (1) и (2) с замыкающими соотношениями (3) и (4), но для этого нужны начальные условия, определяющие состояние системы в момент времени t = 0, и граничные условия, характеризующие процесс взаимодействия дисперсной системы с обтекаемыми телами. Если начальные условия сильно зависят от конкретной задачи, то граничные условия имеют довольно общий характер, позволяющий применять их при изучении многих вопросов.

Для дальнейшего анализа граничных условий введем несколько новых понятий.

1. Поверхностью дисперсной фазы Sdph будем называть поверхность, отделяющую область с ненулевой числовой плотностью дисперсной фазы от области, где твердых частиц нет. На этой поверхности осмотическое давление твердых частиц, а следовательно, и числовая плотность равны нулю (pos = 0 или пр = 0). Каждая твердая частица может касаться в одной точке поверхности >5dph) по не может проходить сквозь нее.

2. В момент касания центр массы твердой частицы, находясь на расстоянии ар/2 от поверхности >5dph) лежит на поверхности непроницаемости Ss¡, на которой поток массы твердых частиц равен нулю:

Qp {D - Upn) = Qp(D - идп) - rripjpn = 0, (7)

где приняты обозначения: ugn = ug ■ n и Jpn = Jp • n, a n и D — соответственно нормаль и скорость перемещения поверхности непроницаемости Ssí.

3. Поверхность дисперсной фазы Sdph и поверхность непроницаемости Ssi жестко связаны между собой и образуют границу дисперсной фазы Sp.

Обратим еще раз внимание на то, что на границе дисперсной фазы ставятся два граничных условия — непрерывность осмотического давления и непроницаемость самой границы. С математической точки зрения мы имеем дело со слабым разрывом числовой плотности дисперсной фазы.

Например, такие граничные условия необходимы при изучении движения облаков в атмосфере Земли, песчаных бурь, лавин, селевых потоков, и этот перечень можно продолжать и продолжать.

На обтекаемой неподвижной твердой поверхности необходимые граничные условия для уравнений несущей фазы ставятся так же, как в механике гомогенных жидкостей и газов. Граничное условие для уравнения числовой плотности дисперсной фазы определяется из условия (7) в предположении, что скорость поверхности D равна нулю.

Особый интерес вызывает постановка граничных условий на поверхности раздела двух несме-шивающихся жидкостей, пересекаемой дисперсными частицами.

При выводе граничных условий в этом случае нужно иметь в виду, что два из макроскопических уравнений движения дисперсных систем (1) и (2) невозможно записать в дивергентной форме, а также, что при переходе через поверхности раздела имеется перенос потока импульса и потока энергии дисперсной фазы.

Условия сохранения потоков массы несущей фазы и твердых частиц выражаются формулами

вд] (D ~ ивп) = вд] (D ~ ивп

qP (d - и^дЩ - TYlpJpn = Qp (d - и.

(2)'4

(8)

(2)"l - m J(1)

■gn I Ubp<Jpn j

в которые необходимо подставить выражения (3) и (4). Условия переноса полного потока массы ри получаются из выражений (8) путем их суммирования.

При переходе через любую поверхность должны сохраняться полные потоки импульса П и энергии С^. которые определяются формулами

П = / ГПдСдСд}'д(13Сд + / ШрСрСр/р^Ср +

+ (Т9Р

+ а9Р J I I mg(cg ca)/fl/p(gflp ' kflp)kflp d2fcflpd3cfld3cp +

4

jjjmg(c>g-cg) ^p./f/fv, InJ^

X (ёдр ' ^ кдр(1 Сд(1 Ср

1 2

л.1 4 + 4 ЯрХрр

о ^рХрр J J J ^р^р ^р)/р/р1 (ёрр ' 1%>р)крр (1 крр(1 срс! ср\

Щ Шр(с'р - ср) ■ X

^ (ёрр ' крр)крр & крр(1 СрС1 Ср\, ^ = \ I т9с2дс91д<13с9 + \ ! трс2рСр1р(13Ср + + \а9Р I I I Ш9 (С'д - С1) /й/р(ёйр ' кйр)кйр (12кдр(РСд(РСр +

1

+ Ш &2 ~ « ' ^ ^ Ь 1*) Х

^ (ёйР ' кйр)кйр ^ кдрС1 Сд(1 Ср

~ (ТрХрр Шр {рр ~ ср) /р/р1(ёрр ' крр)крр с1 крр(1 ср(1 ср1 +

1

4

1

+ о стрХрр

Щ тР (<£ - 4) [крр . /(<>>/(;) V, 1п х \ /

■)р 1

^ (ёрр ' крр)крр & кррй Ср(1 Ср\.

В этих формулах, как и в теории Энскога для плотных газов [4, 5], учитывается столкновительный перенос импульса и энергии, вызванный конечностью размеров твердых частиц. После замены переменных

С д = С д + и5, Ср = Ср + ий

несложно записать выражения для П и в виде

П = дидид + тр(ид3р + Зр\1д) + Р,

= Ч + Р % + Еид + ^ трирр,

1

2

где

Е = I \ тдС^д + I ^ ^рЪ = вП + \ Ст9 + ^^ ' "А

— полная энергия дисперсной системы. Тензор напряжений Р и тепловой поток q будут определены далее.

Необходимые условия сохранения полного импульса и энергии при переходе через неподвижную поверхность разрыва выглядят довольно просто:

п = П, п = п,

а из этих условий после замены идп на — (-0 — идп) получаются условия на подвижном разрыве

(^Ч1) + Шр^)) {р - 1$) - Шри«- р(1) ■ п =

= (,(2Ц2) + Шр42)) {Б - и&>) - три£Ь$ - Р(2) ■ п, Я« {В - „$) - ч(1) ■ п - п ■ Р(1) ■ и« - \ шри^2.^ = (9)

= Е^ {Б - и&>) - ^ ■ п - п ■ Р(2) ■ и(2) - ±

в форме, удобной для применения.

Выражения для потоков массы несущей фазы и твердых частиц (8), а также для потоков импульса и энергии (9) позволяют в случае необходимости получить граничные условия на поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей, пересекаемой дисперсными частицами. Поскольку эта процедура известна специалистам в области механики жидкостей и газов, то не станем их выписывать, а только обратим внимание, что в граничных условиях появляются члены, зависящие от диффузионного потока твердых частиц, и как следствие возникают новые интересные задачи для исследования.

4. Эффективная вязкость и эффективная теплопроводность. При обтекании тела дисперсным потоком часто основной интерес представляют расчет силы, действующей на обтекаемое тело, и тепловой поток на его поверхности, поэтому необходимо вычислить тензор напряжений и тепловой поток дисперсной смеси. Выражения для тензора напряжений Р и теплового потока q дисперсной системы имеют вид

Р = / ГПдСдСд/д С^Сд + / ГПрСрСр/р сР Ср +

+ а9Р I I I тд(сд са)/а/р(ёйр ' кЙР)кЙР (¿2/гйрС?3сйс?3ср +

4

+ (Т9Р

X (ёдр ' кдр)кдр (I кдр(1 Сд(1 Ср

1 2

4

о ^рХрр III ^,р(<-'р /р/р1 (ёрр ' крр)крр с? крр(1 Ср(1 ср\

+ 7 арХрр

Щ шр(с; - Ср) (крр ■ /№/£41п ¿Л х \ /

^ (ёрр ' крр)крр й крр<1 срс1 ср\

Р1

'3„ лЗ,

q =\1 ГПдСдСд/д <Р С д + ^ / ШрС^Ср/р Ср +

1

(10)

2 .

+ 9 адр тд {Сд — Сд) /д/р(ёдр ' кйр)кйр С?2кдрСрСдй3Ср +

г(°)\

2

5 IIIщ " ' ^ Уг 1п ^) х

^ (ёйР ' кйр)кйр (I кдрС1 Сд(1 Ср

+ \ арХрр Щ Шр {Ср ~ с2) /р/р!(§рр • крр)крр с12крр(13срс13ср1 +

+ | арХрр Щ гпр (С* - С2) (^крр ■ /(о)/® уР 1п х

^ (ёрр ' крр)крр с? кррс1 ср(1 ср\,

здесь учитывается столкновительный перенос импульса и энергии, вызванный конечностью диаметра твердых частиц. Напомним, что функция Хрр зависит от числовой плотности твердых частиц пр и моделирует процесс экранировки при столкновении твердых частиц между собой.

Если подставить выражения для функций распределения и /р [3] в формулы (10) и проинтегрировать по скоростям, то после громоздких, но несложных вычислений получим

Р =<М1 + ар)рд + (1 + АаРХрр)пркТд И -

у— 2

V 2 Яд Хдд 1

2 о-р о-р з

-кТ ь{1)

-У 1 2 вд 8

1 + - Ц + - арХрр

Чд \ 5 ^ с

2 Л 2 о, 8 \

/ ~2 + ос; аР „2 ^ Г^й'

Ч = _5А:Тй^11 + 5^ + УарХ№ КоЧ"

12

6 12 \ 8\/2 тд о-2

1 + 7 + "Г "Р^рр --2 ~ 1

5 ^ 5 / 15 тр

% +

32

25 ^ Хдд Шр

1536 ~25~

ХРР)УгТд,

1/2

ГПп

т.

V

1Пд(Т2д) 1

свободный пробег молекул газа в точке г. Выполнение неравенств ад <С а<1

Р)

где Лйй =

тд <С Шр, п* <С п*д и Пр(72 <С дает основание ожидать, что почти все содержащие %рр члены малы и ими можно пренебречь.

Согласно выражению для тензора напряжений Р реологические свойства дисперсной смеси характеризуются следующими особенностями.

Формула для эффективной сдвиговой вязкости показывает, что коэффициент при ар является функцией диаметра твердых частиц и числовой плотности газа пд. Пока не удалось выяснить степень согласования теоретически полученной формулы для эффективной сдвиговой вязкости с экспериментом, так как не проводилась обработка экспериментальных данных в соответствии с требованиями обсуждаемой теоретической концепции. Однако с уверенностью можно утверждать, что не существует универсальной формулы, определяющей отношение эффективной сдвиговой вязкости к вязкости несущей фазы как функции только объемного содержания дисперсной фазы.

Тензор напряжений дисперсной смеси Р пропорционален тензору скорости деформаций несущей фазы 8Й, а не тензору скорости деформаций дисперсной смеси Б (в — симметрическая бездивергентная часть тензора Уги). Если при помощи первой из формул (6) выразить ий через и п Зр, то тензор напряжения Р будет зависеть не только от тензора Б, но и от симметрической бездивергентной части

тензора Уг т-е- связь между тензорами Р и Б неньютоновская.

До сих пор изучались свойства дисперсных систем типа газ-твердые частицы, но если условимся экспериментом определять коэффициенты переноса в макроскопических уравнениях (1) и (2) и в определяющих соотношениях (3) и (4), то все полученные результаты можно использовать для описания макроскопических свойств дисперсных систем типа газ-жидкие капли, жидкость-твердые частицы, жидкость-пузырьки газа или пара и жидкость-капельки другой жидкости, так как свойства поступательных степеней свободы одинаковы для всех типов дисперсных систем.

5. Заключение. Математический анализ свойств макроскопических уравнений с целью выяснения области их применимости и отыскания возможных противоречий с экспериментом показал, что они адекватно отражают свойства дисперсных систем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Янков Я.Д. Основные проблемы механики дисперсных систем. Деп. ВИНИТИ АН СССР 05.04.88, № 2584-В88.

2. Янков Я.Д. Современная теория дисперсных систем. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2003.

3. Янков Я.Д. Современная теория дисперсных систем. Деп. ВИНИТИ РАН 30.08.2016, № 123-В2016.

4. Ferziger J.H., Kaper H.G. Mathematical theory of transport processes in gases. Amsterdam; London: North-Holland Publishing Company, 1972 (рус. пер.: Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976).

5. Chapman S., Cowling Т. С. The mathematical theory of nonuniform gases. Cambridge: Cambridge University-Press, 1952 (рус. пер.: Четшен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960).

6. Einstein А. Uber die von der molekular-kinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchem // Ann. Phys. 1905. 17. 549-560 (рус. пер.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М.. 1966. Т. 3. 108-117).

7. Einstein А. Zur Theorie der Brownschen Bewegung // Ann. Phys. 1906. 19. 371-381 (рус. пер.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М.. 1966. Т. 3. 118-127).

8. Smoluehowski М. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und Suspensionen // Ann. Phys. 1906. 21. 756-780 (рус. пер.: Броуновское движение / Под ред. Б.И. Давыдова. М.: ОНТИ, 1936. 133-165).

9. Happel J., Brenner Н. Low Reynolds number hydrodynamics. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1965 (рус. пер.: Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976).

Поступила в редакцию 21.12.2016

УДК 531.5

О СТАЦИОНАРНОЙ ФОРМЕ ДВИЖУЩЕЙСЯ ТЯЖЕЛОЙ ГИБКОЙ НИТИ

Н. С. Гюльамирова1, Е. И. Кугушев2

Рассматривается модель, описывающая форму стационарного участка тяжелой нерастяжимой гибкой нити при перемещении в неподвижной вертикальной плоскости на заданную глубину из неподвижного состояния в неподвижное. Находятся параметрические уравнения стационарной кривой. Форма стационарного участка и его свойства качественно совпадают с наблюдаемыми в экспериментах.

Ключевые слова: цепной фонтан, стационарное движение, тяжелая гибкая нерастяжимая нить.

We study a model describing the form of the stationary segment of a heavy flexible inextensible thread moving in a fixed vertical plane down to a given depth from a fixed position to a fixed position. The parametric equations of the stationary curve are derived. The form of the stationary segment and its properties are in qualitative agreement with those observed in experiments.

Key words: chain fountain, steady motion, heavy flexible inextensible thread.

Если поместить тонкую тяжелую цепочку в чашу, расположенную на некоторой высоте над полом, а потом быстро потянуть за один конец и отпустить, то цепочка сначала устремится из чаши вверх, а затем под действием силы тяжести будет опускаться к полу. Процесс быстро установится. Цепочка будет перемещаться, образуя стационарную петлю, идущую из чаши вверх, а затем к полу. Это явление получило название "цепной фонтан". Его впервые отметил С. Молд, демонстрирующий на телевидении занимательные научные опыты. В работах [1, 2] рассматривалось данное явление и изучался вопрос о том, какую форму имеет петля цепного фонтана. При этом предполагалось, что в начальной и конечной точках участки петли вертикальны, что не соответствует форме петли, наблюдаемой в эксперименте.

В настоящей работе в качестве модели цепного фонтана рассматривается гибкая нерастяжимая нить, движущаяся в неподвижной вертикальной плоскости в однородном поле тяжести. Нить, имеющая неограниченную длину, разбита на три участка. Левый и правый бесконечные участки неподвижно лежат на горизонтальных плоскостях, причем левая плоскость выше правой. Между этими

1 Гюльамирова Надежда Салаватовна — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: 388771@mail.ru.

2 Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kugushevQkeldysh.ru.