CC BY
38
УДК 531.36
О СТАБИЛИЗАЦИИ ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СЛЕДЯЩЕЙ СИЛЫ
Т.В. Муратова
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва e-mail: tamura@bk.ru
Исследована возможность и определены условия стабилизации неустойчивой прямолинейной формы вязкоупругого стержня периодически изменяющейся следящей силой.
Ключевые слова: вязкоупругий стержень, периодически изменяющаяся следящая сила, параметрический резонанс.
ON STABILIZATION OF VISCOELASTIC RECTILINEAR ROD BY PERIODICALLY VARYING FOLLOWER FORCE
T.V. Muratova
Bauman Moscow State Technical University, Moscow e-mail: tamura@bk.ru
The possibility to stabilize the unstable rectilinear form of a viscoelastic rod using the periodically varying follower force is investigated. The stabilization conditions are defined.
Keywords: viscoelastic rod, periodically varying follower force, parametrical resonance.
Эффект дестабилизации малыми диссипативными силами неконсервативной системы, обнаруженный в работах [1, 2], состоит в том, что в пространстве параметров существуют область, где равновесие системы без диссипации устойчиво, а при наличии малой диссипации неустойчиво.
Уравнения движения. На свободный конец консольно закрепленного стержня действует периодически изменяющаяся следящая сила P0 + P1 cos wt; P0,P1 — постоянные величины. Линеаризованное в окрестности прямоугольной формы y = 0 уравнение движения стержня с граничными условиями имеет вид
4y д5y . „ „ . д2у д2y
EI8% + + (p + picos wt) + = 0 (1)
y(0t) = dyM = „. d!yM = d!yM = „ (2)
y(0,t) dx ' dx2 dx3 ' (2)
где EI — жесткость сечения стержня при изгибе, m — линейная плотность стержня.
При составлении уравнения (1) использовалось определяющее соотношение модели Кельвина-Фойгта а = E(e + ve), где a,e,E,v — соответственно напряжение, деформация, модуль упругости и время релаксации.
Введем безразмерное время т = шЬ и вместо х новое переменное £ = х/-1. Уравнение (1) примет вид
д4у ши д5у /2 , ^ ^ . д2у шш214 д2у
4 + Шдф + Ей (р + р'С05т) 4 + шшгдё=°- (3)
Решение уравнения (3) может быть сведено к решению системы обыкновенных диффереенциальных урравнений. Будем искать решение уравнения (3) в виде
у(£,т ) = £ и (т )гк (£), (4)
к=1
где функции гк (£) являются решением краевой задачи
й ^ - Х1 Л =
(5)
d£4
Zk («) = f(0) = 0 f = f ^
Здесь = —— и ük + Ak«fe = 0. El
Решение краевой задачи (5) имеет вид
Zk (£) = Yk (cos ík£ - ch ík£) + sh ík£ - sin 4£, (6)
sin ík + sh ík 2
где Yk = -;-, k = 1, 2 ..., íi = Ak а ík удовлетворяет
cos ík + ch ík уравнению
ch ík cos ík = —1, k = 1, 2 .... (7)
Два наименьших корня уравнения (7) ~ 1,875, £2 ~ 4,694, тогда 71 ~ 1,362 и 72 ~ °,982.
Система функций {гк(£)} удовлетворяет на отрезке [0,1] условию ортогональности
1
У ¿к(£)-М£Н = °, к = ш. (8)
о
Обозначим ак = / г;2 (£)^£ = °, к = ш. Подставляя (4) в уравне-
ок
ние (3), умножая на гк (£) и интегрируя от 0 до 1, учитывая условия ортогональности (8), получаем счетную систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Ограничимся системой двух уравнений
üi + к^~25\й i + p,~2öfui +
+ p^~2(enui + e2i U2) + е cos т (en ui + e2iU2) = 0;
U1 + kц 282.U2 + ц 2S2>U2 +
(9)
^2 u2 + ^ u2 U2 + + pn-2(ei2Ui + e22 U2) + e cos т (ei2 U + e22U) = 0,
7 VW l2 l2 _2
где k = —, p = e =
В системе (9) перейдем к новым переменным Vi, V2 с помощью линейного преобразования
( i _ези_\
^2- 51 - peii
ei2 Р
U2 =4 Vi
V ц2ш1 - S2i - pe22
1
(10)
где ш1,ш2 удовлетворяют уравнению частот
—ш2 + j-28\ + р^-2вц p^-2e2i
det I I = 0.
PV-2ei2 -ш2 + j-2^ + р^-2б22
В переменных V1, V2 система (9) примет вид
Vi + ka(d0nVi + d21 V2) + ш2 Vi + еа cos т (e011Vi + e021V2) = 0;
V2 + ka(di2Vi + d22 V2) + V2 + еа cos т (e?2 Vi + e02 V2) = 0, (11)
а = det L-1.
В (11) коэффициенты dj, e0 выражаются через eirj,81,82,р и j.
Стабилизация прямолинейной формы стержня комбинационным резонансом суммарного типа. При е = 0, k = 0 прямолинейная форма y(x,t) = 0 устойчива при р < р0 & 20,15 [3]. В случае k > 0, е = 0 эта форма асимптотически устойчива при р < р1 & 9,328 и достаточно малом k. Имеем явление падения критической нагрузки при малой вязкости. Отсюда возникает задача о возможности стабилизации прямолинейной формы стержня в области р1 < р < р0 при наличии комбинационного резонанса.
Пусть частоты ш1 и ш2 удовлетворяют условию ш1 + ш2 — 1 = 0. Предварительно вместо переменных V1, V2 в системе (11) введем переменные r,, p,, i = 1, 2 по формулам V, = r, sin p,, V = т,ш, cos p,, i = 1, 2. Тогда система (11) примет вид
01 = + sin <£i cos + d2lr2rl 1 sin <£i cos 02) +
+ 1 (e11 sin2 + e01r2r-1 sin sin 02) cos т
02 = w2 + ka(d02r1rl"1w1 w-1 sin 02 cos + d°2 sin 02 cos 02) +
=0 , -22 1
+ £аш2 1 (e12r1r- 1 sin sin 02 + e°2 sin2 02) cos т;
r1 = — ka(d11 cos2 01r1 + d°1w2w-1 cos cos 02r2) —
— 1 (e°1 sin cos 01r1 + e21 cos sin 02r2) cos т
11 1 1 1 21 1
r2 = — ka(d02wiw- cos cos ri + d02 cos2 ^2r2) —
— £ffw-1(e02 sin cos + e22 sin cos ^2r2) cos т.
Введем расстройку A = + w2 — 1, A ~ e и, сделав замену переменных ,т ^ , <^2, 0, 0 = + — т, приведем систему
уравнений (12) к виду, в котором резонанс устранен за счет увеличения на единицу числа медленных переменных. Осредняя эту систему по быстрым переменным и <^2, получаем уравнения, описывающие эволюцию медленных переменных, для которых сохранены прежние обозначения
0 = A — 1 eaeí^w-1 r2r-1 cos 0 — ^ eae12w-1r1r-1 cos 0;
Г1 = — -kad01r1 — -eaw-1e21 r2 sin 0; (13)
2 4
r2 = — - kad^2r2 — - r1 sin 0.
2 4
На границе устойчивости система (13) имеет ненулевое стационарное решение, которое находится из системы уравнений
4A — eae21w-1r2r-1 cos 0 — eae02w-1r1r-1 cos 0 = 0;
2kd11r1 + ew1"1e21r2 sin 0 = 0; (14)
2kd22r2 + ew1"1e02r1 sin 0 = 0.
Условием существования стационарного решения является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при r1 и r2 во втором и третьем уравнениях
4w1W2k2K — e2 sin2 0 = 0, (15)
d0 d0 11 22
где к = -q—о-. Равенство (15) справедливо только при к > 0.
e12e21
Численный расчет показал, что на резонансной кривой + + ш2 — 1 = 0 выполняется условие к > 0 при pQ < р < р0. Если
0 < p < рь то к < 0.
Таким образом, при комбинационном резонансе w + w2 — 1 = 0 возможна стабилизация прямолинейной формы упруговязкого стержня в области, где без параметрического возбуждения прямолинейная форма неустойчива.
Исключая r1, r2 и в из системы (14), с учетом (15) получаем с точностью до величины е2 уравнение границы области устойчивости
е2 = 4(^2к[4ДУ (¿4 + ¿4)-2 + k2 ].
Отметим, что случай параметрического возбуждения, когда закрепленный конец стержня совершает вдоль вертикали периодические колебания, рассмотрен в работе [4], где показана возможность стабилизации при комбинационном резонансе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ziegler H. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik // Ind.-Arch. - 1952. Bd. 20. H. 1.-S. 49-56.
2. B o l o t i n V. V., Zhinzher N. I. Effects of damping on stability of elastic systems subjected to non-conservative forces // Intern. J. Solids and Structures. -1969. - Vol. 5. - No. 9. - P. 965-989.
3. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961. - 339 c.
4. А г а ф о н о в С. А. Стабилизация параметрическим возбуждением упруго-вязкого стержня, находящегося под действием следящей силы // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1996. - № 3. - С. 137-141.
Статья поступила в редакцию 21.03.2012
Татьяна Владимировна Муратова — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 20 научных работ в области теории устойчивости.
T.V. Muratova — Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 20 publications in the field of theory of stability.
