CC BY
27
МЕХАНИКА
J
УДК 539.3:534.1
В. Е. Палош
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СВОБОДНОГО ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛЕДЯЩЕЙ СИЛЫ
Исследована устойчивость прямолинейной формы свободного вяз-коупругого стержня, на один из концов которого действует постоянная по величине следящая сила. Рассмотрена модель Кельвина-Фойгта. При сравнении критических значений следящей силы в отсутствие вязкости с моделью Кельвина-Фойгта обнаружена потеря устойчивости прямолинейной формы стержня. Найдено предельное значение следящей силы при стремлении коэффициента вязкости к нулю и исследовано поведение действительных частей корней характеристического уравнения в зависимости от ее величины
Уравнение движения стержня. Рассматривается тонкий вязко-упругий однородный стержень длиной I, совершающий равноускоренное движение под действием постоянной по величине следящей силы Р, приложенной к одному из концов (рис. 1). В случае отсутствия вязкости эта задача была рассмотрена в работах [1, 2].
Задачи подобного класса ставятся при расчете на устойчивость упругих систем, нагруженных неконсервативными силами. В частно-
Рис. 1. Стержень под действием следящей силы, 0ху — местная система координат
х
l
P
сти, данную задачу можно рассматривать как модель ракеты, движущуюся под действием реактивной тяги, поскольку реактивная сила является следящей.
Определяющим соотношением для материала стержня служит модель Кельвина-Фойгта
а = Е (е + те),
где а — напряжение, е — деформация, т — время релаксации, Е — модуль упругости.
Уравнение малых колебаний стержня, приведенное в книге [3], имеет вид
д4-у д5-у д / / — х д-у\ д2-у
Е+ Е+ дХ \рНТдХ) + =0,
где р — плотность материала, / — площадь сечения, Е7 — жесткость сечения на изгиб.
Исследование устойчивости прямолинейной формы. Заменой переменных
72. ГрГ
ж ^ lx, t ^ l \ —— t, v ^ lv V EJ
уравнение движения стержня приводится к безразмерному виду
d4v , д5v . d2v dv д2v
+ + - - ^ + = 0
dx4 dx4dt дж2 дх dt2
* /Е7т ,, „ Р/2
где к = \ —- -гг — коэффициент внутренней вязкости; р = —— —
V р/ /2 Е7
безразмерная сила. Граничные условия
дММ-о д2у(1,^) _ д 3у(М) _ 0
дх2 дх3 ' дх2 дх3
соответствуют равенству нулю проекций на ось у изгибающих моментов и перерезывающих сил на концах стержня.
Решение уравнения (1) будем искать в следующем виде:
те
■у(х,£) = ип(¿)<Рп(х),
П=1
где функции ип и находятся из решения задачи
д4-у д2-у + д2 =
с граничными условиями (2).
Подставляя ^п(х,£) = ип(£)<^п(х) и разделяя переменные, получим
+ ип^п = о,
Vn — _ Цп — ¿4
Vn un
где 5n — некоторая постоянная, поскольку получено равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Таким образом, функции Vn(x) удовлетворяют дифференциальному уравнению
Vi" _ ¿n Vn — о, (3)
общее решение которого имеет вид
Vn(x) — C cos ¿nx + C2 sin ¿nx + C3 ch ¿nx + C4 sh ¿nx. С учетом граничных условий (2) приходим к системе уравнений:
'¿n(_Ci + Сз)_ о, ¿n (_C2 + C4) — о,
¿n(—C1 cos ¿n _ C2 sin ¿n + C3 ch ¿n + C4 sh ¿n) — 0,
^ ¿n(Ci sin ¿n _ C2 cos ¿n + C3 sh ¿n + C4 ch ¿n) — 0.
Для того, чтобы данная однородная система имела ненулевое решение, определитель системы должен равняться нулю:
-i2 —n 0 in2 n 0
0 —in 0 in
—cos in —in2 sin in in2 ch in in2 sh in
in sin in — in cos in in sh in in ch in
откуда находим
ch in cos in = 1.
Решением задачи (3), удовлетворяющим условиям (2), является функция
где
^n(x) = Yn(cos inx + ch inx) + sh inx + sin inx, cos in — ch in
Yn =
sin + sh
Первые три значения таковы: ^ « 4,73, i2 ~ 7,853, £3 ~ 10,996. Ограничимся случаем первых трех слагаемых:
v(x,t) = + M2(í)^2(x) + Мз(^)^з(х). (4)
Далее выполняем следующие преобразования: подставляем выражение (4) в уравнение (1), умножаем на ^¿(ж), i = 1, 2, 3, и интегрируем по ж от 0 до 1, учитывая, что = if^, = и = i3^3,
(5)
функции (ж), <^2(ж) и <£з(ж) ортогональны на интервале [0,1]. Это дает систему дифференциальных уравнений:
'■¿¿1 + к^^ги, 1 + + еп р) +
+«2р(е12 - «12) + е1зр«з = 0, ■¿¿2 + к^г^ + г1р(е21 - «21) +
+ е22Р) + гзР(е2з - а2з) = 0,
«з + к^йз + М1вз1ри1 +
+«2р(ез2 - аз2) + йз(^4 + еззр) = 0. В системе уравнений (5) введены следующие обозначения:
еИ = /(1 - • ,
0 \0 /
1 /1 N -1
о^ = / ^• I /
00
Числовые значения этих коэффициентов приведены в таблице.
Таблица
Числовые значения коэффициентов еу, ау
eii -6,151 612 -0,002 613 25,833
621 -2,47 622 -23,025 623 -9,079
ез1 0,916 ез2 -7,982 езз -49,452
aii 0 «12 -9,044 «13 0
«21 1,235 «22 0 «23 -10,823
«31 0 «32 2,811 «33 0
Рассмотрим сначала случай упругого стержня (к = 0). Тогда характеристическое уравнение системы (5) имеет следующий вид:
Л6 + ы4 + м2 + Ь6 = 0, (6)
где
62 = + + + p(en + e22 + езз),
6з = +eii p)(^2+е22Р) + (^2 +е22Р)(^з+еззР) + (^4+еззр)(^4+enp)-
- p2(ei2 - ai2)(e2i - «21) - р2(е2з - «2з)(ез2 - аз2) - Р^зезъ
¿4 + епр р(б12 - «12) е1зр 6б = р(е21 - «21) ¿4 + е22Р р(е2з - «2з) ез1 р Р(ез2 - «32) ¿4 + еззр
Характеристическое уравнение (6) должно иметь три пары чисто мнимых корней. Если произвести замену Л2 = у, то соответствующее кубическое уравнение
уз + Ь2У2 + Ь4У + Ьб = 0 (7)
должно иметь три отрицательных корня. Рассмотрим общую схему исследования знаков корней кубического многочлена.
Заменой у = у1 - ь2 это уравнение сводится к следующему:
Уз + гУ1 + 5 = °
62, 2Ь2 6264 , гз д2
где г = - — + 64, д = ——---—Ь 6б. Выражение — + —- называют
дискриминантом этого уравнения. По его знаку определяют количество действительных корней у исходного уравнения (7). При условии
гз д2
— +--< 0 уравнение (7) имеет три различных действительных кор-
27 4
ня, если у исходного уравнения все коэффициенты положительны и выполняется условие Рауса-Гурвица 6264 - 6б > 0, то все его корни отрицательны.
Применив указанную схему исследования к уравнению (6), находим такое р* ~ 109,986, что при 0 < р < р* характеристическое уравнение (6) имеет три пары чисто мнимых корней. То есть при 0 < р < р* положение равновесия системы устойчиво. Этот результат совпадает с результатами работы [2], где собственные функции найдены в виде ряда.
Рассмотрим теперь случай к > 0. Характеристическое уравнение системы (5) принимает следующий вид:
Лб + 61 Л5 + 62Л4 + 6зЛз + 64Л2 + 65Л + 6б = 0, (8)
где
61 = к(54 + ¿4 + 54), 62 = к2(^24 + ¿454 + ¿454) + ¿4 + ¿4 + ¿4 + р(еи + в22 + езз),
6з = к^^4 + к ((¿4 + ¿ад + еззр) +
+ (¿4 + ^ + е22р) + (¿4 + ¿4)^4 + еир)),
6з = k2 ^(¿4 + еззр) + ¿4¿4^4 + e22p) + ^4^4(^4 + enp)) + + (¿4 + enp)(^4 + e22P) + (¿4 + в22Р)(^4 + езз p) + (¿4 + еззр)(^ + enp) -
- p2(ei2 - ai2)(e2i - «2i) - р2(е2з - «2з)(ез2 - аз2) - p^^i,
С помощью критерия Рауса-Гурвица при каждом конкретном значении коэффициента к можно определить такое значение р, что при 0 < р < р положение равновесия системы будет асимптотически устойчивым. Например, при к = 0,1 находим р ~ 102,645. Таким
образом, если время релаксации т = - , то критическая сила
P w 102,645—-.
I2
Рассмотрим предельное значение, lim p = 87,812 = p*, т.е. значе-
ние критической силы при коэффициенте к, стремящемся к нулю, не совпадает с ее же значением при к = 0. Данное явление называется парадоксом дестабилизации. Обзор результатов, посвященных этому парадоксу, приведен в работе [4].
Анализ собственных значений. Исследуем поведение собственных значений Л в зависимости от силы р при малом значении коэффициента к, а также предельный переход критической силы р. Так как собственные значения Л непрерывны как функции к, то при стремлении коэффициента к к нулю, они стремятся к собственным значениям системы при к = 0.
На рис. 2 показана зависимость действительных частей корней характеристического уравнения (8) в зависимости от величины силы р при некоторых малых значениях к. При сравнительно больших значениях к > 10-4 небольшое возрастание нагрузки сверх значения р приводит к заметному увеличению действительных частей. Однако при малых к роль р как критической нагрузки уменьшается, поскольку небольшое увеличение р свыше значения р уже не приводит к большому увеличению ЯеЛ. Существенное возрастание ЯеЛ теперь
65 = £(¿4 (¿4 + e22p)(£34 + еззр) + ¿¿(¿i + eiip)(£34 + еззр) +
+ ¿^ + enp)^4 + e22p) - ¿4р(е2з - «2з)(ез2 - а^)-
- ¿4ре^вз! - ¿4p(ei2 - ai2)(e2i - «2i)), ¿4 + enp p(ei2 - ai2) e^p 6б = p(e2i - «2i) ¿4 + e22p p(e2з - «2з) . eзlp p^2 - аз2) ¿4 + еззp
EJ
k=Q,001
/ к -0,00С
J
к=( 3,00001
80 85 90 95 100 105 110 Р
Рис. 2. Зависимость собственных значений корней характеристического уравнения от величины силы р
связано с увеличением нагрузки сверх значения, несколько меньшего, чем р*. При стремлении к к нулю, ЯеЛ также стремится к нулю при любых р < р*.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Г о п а к К. Н. Потеря устойчивости свободным стержнем, ускоренно движущимся под действием следящей силы // Изв. АН СССР. ОТН. Сер. "Механика и машиностроение". - 1960. - № 4. - С. 136-137.
2. Ф е о д о с ь е в В. И. Об одной задаче устойчивости // Прикладная математика и механика. - 1965. - Вып. 2. - С. 391-392.
3. Феодосьев В. И. Избранные вопросы и задачи по сопротивлению материалов. - М.: Наука, 1973. - 400 с.
4. С е й р а н я н А. П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем // Успехи механики - 1990. - Т. 13. - Вып. 2. - С. 89-124.
Статья поступила в редакцию 5.06.2006
Виталий Евгеньевич Палош родился в 1984 г., студент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области устойчивости движения механических систем.
V.Ye. Palosh (b. 1984) — student of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of motion stability of mechanical systems.
