О СТАБИЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ РИССА ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ИТЕРИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2022. № 2. С. 13-16

УДК 517.95

П. В. Денисов1

О СТАБИЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ РИССА ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ИТЕРИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В работе получено достаточное условие стабилизации средних типа Рисса порядка в ^ Р — 1 но времени решения и(х,£) задачи Коши для итерированного уравнения теплопроводности.

Ключевые слова: стабилизация, средние Рисса, итерированное уравнение, уравнение теплопроводности.

Пусть П = (А — т|) — оператор теплопроводности в полупространстве (х € Е1^, £ > 0), д _ оператор Лапласа в Символ р € N р ^ 2, обозначает результат р-кратного

повторного применения оператора П к функции и(х, ¿) из масса С2р'р(£ > 0) (т.е. функция и(х, ¿), имеющая непрерывные производные по х в до порядка 2р включительно и непрерывные производные по £ > 0, до порядка р включительно).

В работе [1, с. 254-264] дается обобщение известной формулы Пуассона [2], представляющей решение задачи Коши для уравнения теплопроводности, в случае решения задачи Коши для итерированного уравнения теплопроводности

П(р)и(х,£) = 0, ¿> 0, (1)

с начальными условиями

lim u(x,t) = (x), (2)

В работе [1] доказано, что если функции Vü(x),..., Vp-i(x), x € EN, удовлетворяют условиям:

1) Vk(x), k = 0,... — 1, принадлежат классу C2(p-k-1)(EN), k = 0,... — 1;

2) существуют положительные постоянные M и K, такие, что

|vki) | <MeK |x|2, i = 0,1,..., 2p — 2, k = 0,... ,p — 1.

Тогда существует функция u(x, t) из класса C2p'p при t > 0, удовлетворяющая уравнению (1) и начальным условиям (2), и для функции u(x,t) справедливо следующее интегральное представление:

*) = Ё £ Е (з)

1=0 ' k=0

где

ck =

И

1 кЩ-к)\

1 Г \*-у 2

Ui(x,t) =-—дг / 44 dVi (4)

(2y/ñVt) JN

N

|x - y|2 = ^(xfc - yfc)2.

fc=Q

1 Факультет BMK МГУ, нач. отд. кадров, e-mail: denisovpvQcs.msu.ru

Функция (4) — это решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией <^(ж) [2].

Нашей целью является изучение стабилизации решения (3) задачи Коши (1), (2) при р ^ 2. Конечно, свойство стабилизации решения задачи (1), (2) не может быть таким, как в случае (4) задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Действительно, если ^(ж) € С2(ЕМ) и гармоничны в , т.е.

Д^(ж) = 0, г = 0,1,... ,р - 1, ж € Еи, то решение задачи (1), (2) имеет вид

р- 1

г!

£i

u(x,t) = ^2/—Lpi(x), х € EN. (5)

i=о '

Из формулы (5) тогда очевидно следует, что для решения задачи (1), (2) стабилизация не имеет места. Отметим, что из гармоничности функций (ж), i = 0,...,p — 1, вытекает при а ^ 0 справедливость равенств

2 f 2 а

= wnB{N/2, а + 1) Д" У i1 " У) = ^ i = (ß)

r^R

Предположим, что <pi(ж), i = 0,... ,p — 1, непрерывны в EN, равномерно по ж на каждом компакте K , и что существуют пределы средних (6)

lim SR^i(x) = Ai(x), (7)

где а ^ 0, i = 0,... ,p — 1. Тогда, как доказано в [4], предельные функции АДж) в (7) являются гармоническими функциями в EN:

AAj(x) = 0, i = 0,... ,p — 1.

Поэтому будем изучать стабилизацию при £ ^ го не самого решения и(ж,£) задачи (1), (2), а стабилизацию следующих усреднений по времени £ решения и(ж,£) задачи (1), (2).

Предположим, что ß ^ p — 1, где p — порядок уравнения (1). Тогда средние типа Рисса по £ порядка ß от решения и(ж,£) задачи (1), (2) определим формулой

(—1)Р-12 \ /д \р-1г / т2\

2о

Теорема. Если ß ^ p — 1 и функции (ж), i = 0,... ,p — 1, непрерывны и имеют, пределы шаровых средних Рисса (7) равномерно по ж на каждом компакте K в EN порядка а ^ 0, то решение и(ж, £) задачи (1), (2) имеет предел, при £ ^ го средних Рисса (8) по £ порядка, ß ^ p — 1

lim S(ж,£,в;u) = Ар-1(ж), (9)

t—^^о

ж K EN

Сформулированная теорема дает достаточные условия стабилизации средних типа Рисса (8) по £ от решения (3) задачи Коши (1), (2).

Доказательство. Рассмотрим средние типа Рисса по £ порядка ß. Учитывая формулу (8), применяя правило Лейбница, выделяя при этом группу слагаемых, содержащих функцию ир-1(ж,£), получим

2( —1 )Р-1 \ / г2ч в

S(x,t,ß]u)= , I-— тР-1 (1--5-) X

V ' ; B(p/2,ß + l)V> J \ t2J

о

О стабилизации средних Рисса по времени решения задачи Коши.

15

(д \Р-1/ тР-1 \ Р- , 1 тР-1

^if-lV-^-TTX

д1 р~2 ^ Л 1 дкu,-к

х т) + ^ - Сг (-1) —к-

1=0 ' к=0

dT.

Далее интегрируя по частям, имеем

t я

2. ß

2 f ( T 2 \

0

t

+_?_ / -гР-1

ß(p/2,/3 + l)iP J ' V t2 J I^^p-1 0 j=0

дтp-1-J

dT+ (10)

+ Б(р/2,/? + 1)^ j тР Ч1" ¿2) [Е^-Л-1)'^!)

t tSß , 1

■ x

0 1=1

. - -. д+Р-1-j

¿JC^iip-l)...^-^ 1 3 _1_jup-i-i(x,T) + j=0

p-2 1 1 1

+ E TT E E Cj-iW - 1) • • • (i - J + 1):

1=0 k=0 j=0

. . dk+p-1-j

—— (u1-k(x, t)

dT =

дтk+p-i-j

= "^(х, ¿) + "2(х, ¿) + "з(х, ¿).

Из формулы (10) следует, что для доказательства теоремы достаточно установить справедливость следующих предельных равенств:

2 /• , В(р/2, ß + l)tP

/2 ß

тр~1(\ up-i(x,t)cIt = Ap_i(x), (11)

0

t

Um _l_ (TP~Ui -llYrldlUp-l{X'T)dT-0 (12)

B(p/2, ß +1 )V> J T l1 t2) т дт1 ат u> M

0

v<l- (13)

lim

B(p/2, ß + 1)tp

0

По условию v функции vp-1(x) существует предел (7) шаровых средних Рисса порядка а ^ 0.

Тогда, как известно, решение задачи Коши up-1(x, t) с начальной функцией vp-1(x) стабилизируется к Ap-1(x) равномерно по x на каждом компакте K в En:

lim up-1(x,t) = Ap-1(x). (14)

Так как средние Рисса по t порядка ß в (11) очевидно обладают свойством регулярности [3], то из (14) и вытекает справедливость равенства (11).

х

Далее, в силу условий теоремы v начальных функций (ж), i = 0,... ,p—1, существует предел (7) шаровых средних Рисса порядка а ^ 0.

ж

каждом компакте K в EN соответствующих решений и^ж,£) задач Коши:

lim ui(ж,t) = АДж), i = 0, ...,p — 1.

Кроме того, в силу существования пределов (7), получаем, что существуют пределы равномерно ж K EN

„ д1 и(ж,£) lim tv У ' = 0,

t—<x dt1

где v ^ I. Поэтому существуют пределы (12), (13), равномерно по ж на каждом компакте K в EN

Автор благодарит проф. М.В. Шамолина за внимание и ценные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. N icol es cu М. Ecuatia iterata a caldurii Studii Si-Cercetari Matematice // Academia Republicii Populare Romine. 1954. 5. N 3-4. P. 243-333.

2. Тихонов A. II.. Самарский А. А. Уравнения математической физики. M.: Изд-во МГУ, 1999.

3. Хард и Г. Г. Расходящиеся ряды. Изд. 2-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2006.

4. Денисов В. И. О стабилизации средних по времени от разности решений задачи Коши для гиперболических уравнений // Дпфференц. уравн. 1987. 23. № 1. С. 47-62.

Поступила в редакцию 04.04.22 Одобрена после рецензирования 06.04.22 Принята к публикации 06.04.22