CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 519.175.4 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-299-334
О справедливости закона 0 или 1 для неглубоких свойств первого порядка сильно разреженного случайного графа
Р. Р. Шефрукова
Шефрукова Руфина Руслановна — аспирант, Адыгейский государственный университет
(г. Майкоп).
e-mail: [email protected]
Аннотация
В биномиальном случайном графе G(n,p) ребра проводятся независимо и с вероятностью р каждое. Случайный граф подчиняется ^-закону 0 или 1, если вероятность истинности любой формулы первого порядка, кванторная глубина которой не превосходит к, стремится либо к 0 либо к 1 при п —то. Данная статья посвящена ответу на следующий вопрос: для каких пар к и I случайный граф G(n, п-1-1/е) подчинявтся ^-закону 0 или 1? Мы получили полный ответ при к = 3 и всех натуральных I, а также доказали, что при к = 4 и I € [1, 40] u {72} закон нарушается.
Ключевые слова: Случайный граф, биномиальный случайный граф, логика первого порядка, закон 0 или 1, кванторная глубина, игра Эренфойхта.
Библиография: 16 названий. Для цитирования:
Шефрукова, P.P. О справедливости закона 0 или 1 для неглубоких свойств первого порядка сильно разреженного случайного графа // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 299334.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 519.175.4 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-299-334
On the validity of 0-1 law for shallow first order properties of very
sparse random graphs
R. R. Shefrukova
Shefrukova Rufina Ruslanovna — postgraduate student, Advghe State University (Mavkop). e-mail: [email protected],
Abstract
In the binomial random graph G(n,p) edges between every pair of vertices appear independently with probability p. The random graph obeys 0-1 fc-law, if, for every first order sentence, the probability that G(n,p) satisfies it is either 0 or 1 in the limit (as n —>- to). This paper addresses the following question: given a small k and any I, does G(n,n~l~1/l) satisfy 0-1 fc-law? We answer this question for k = 3 and all t. We also prove that for k = 4 and I € [1,40] u {72} 0-1 fc-law does not hold.
Keywords: Random graph, binomial random graph, first order logic, 0-1 law, quantifier depth, Ehrenfeucht game.
Bibliography: 16 titles. For citation:
Shefrukova, R.R. 2024, "On the validity of 0-1 law for shallow first order properties of very sparse random graphs" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 299-334.
1. Введение
Наука о случайных графах зародилась на рубеже 50-х и 60-х годов. Впервые случайные графы были определены и изучены Эрдёшем и Репьи, именно их труды [5, 6] заложили основы современной науки о случайных графах. В настощее время исследовано множество моделей случайных графов. В данной статье рассматривается наиболее изученная классическая модель биномиального случайного графа G(n,p): ребра между парами вершин п-элементного множества проводятся независимо с вероятностью р.
Классическим результатом в области является теорема Глебского, Когана, Легонького, Таланова [8] и Фагина [7], утверждающая, что случайный граф G(n, 1/2) подчиняется закону нуля или единицы для формул первого порядка (т.е. вероятность истинности любой такой формулы стремится либо к 0, либо к 1 с ростом п к бесконечности). Тот же результат справедлив и для любой другой постоянной вероятности проведения ребра р, а также для р, стремящейся к 0 медленнее любой степенной функции [12]. Если р = п-а, а > 0, то известно следующее [11]. Закон нуля или единицы не выполняется тогда и только тогда, когда либо а — рациональное число из (0,1], либо а = 1 + J для некоторого I £ N. Итак, при а > 1 возникают исключительные точки вида 1 + 1/1, для которых закон не выполнен, мотивируя следующий естественный вопрос. Для каких пар к и I выполняется fc-закон нуля или единицы (т.е. для формул первого порядка глубины не более к) для G(n,n-1-1/l)l Настоящая работа посвящена ответу на этот вопрос при малых к.
Для больших к вопрос был изучен Жуковским М.Е. и Островским Л.Б [2, 10]. При а = 1 +1/1 были получены нижняя и верхняя оценка на наибольшее к, при котором выполнен fc-закон нуля или единицы. А именно был получен следующий результат. Пусть функция Т(г) определена следующим образом (на множестве натуральных чисел): Т(0) = 1,Т(г) = 2Т(г-1\ г > 1. Кроме того, для любого натурального числа х положим
log*(ж) = min{f : Т(г) > х}
(т. е. log*Т(г)) = г).
Теорема 1 (Жуковский, Островский [2, 10]). Пусть к > 7 — натуральное число. Тогда, для любого натурального I < 2Т(к — 4) случайный граф G(n, n-l-l/l) не подчинявтся к закону нуля или единицы. Более того, существует такая константа С, что для любого натурального к > 3 и I > Т(к + log*(fc + 1) + 3) случайный граф G(n,n-1-1/i) подчиняется к-закону нуля или единицы.
В настоящей работе мы изучили справедливость закона нуля или единицы для к = 3 и всех
1, а также для к = 4 и всех I < 40. Заметим, что при к = 2 легко заметить, что единственным значением I, при котором нарушается закон, является I = 1 — см. раздел 3.
Теорема 2. Положим р = п-1-1/£.
• При к = 3 и I < 6 случайный граф G(n,p) не подчинявтся к-закону 0 или 1. Если же I > 7, то случайный граф G(n,n-1-1/l) подчиняется k-закону 0 или 1.
• При к = 4 и I < 40 случайный граф G(n,p) не подчиняв тся к-закону 0 или 1. Кроме того, случайный граф G(n,n-73/72) не подчиняется 4~закону 0 или 1.
Итак, теорема 1 утверждает, что G(n,n-1-1/l) подчиняется 4-закону 0 или 1 при всех I > Т(7 + log* 5) = Т(10), то есть I превосходит "башню" из двоек высоты 10. В полученной нами теореме 2 имеется сплошной интервал значений I, при которых не выполнен 4-закон, и одно отдельное значение 72. Мы не знаем, не выполнен ли 4-закон 0 или 1 для всех I, не превосходящих 72, но ожидаем, что выколотые точки на отрезке [1,1о], где ¿0 — максимальное значение, при котором не выполнен 4-закон, все-таки имеются. Тем не менее, по всей видимости, наилучшая известная верхняя оценка 1о < Т(10) далека от оптимальной. Поэтому наиболее интересным вопросом является нахождение или значительное улучшение верхней оценки 1о-
Доказательство отсутствия fc-закона в теореме 2 проводится конструктивно — приводится формула, вероятность которой не стремится ни к 0, ни к 1. Для доказательства справедливости закона мы использовали теорему Эренфойхта и следствие из нее о связи игры Эренфойхта с законами нуля или единицы. Необходимые определения и формулировки соответствующих теорем приведены в разделе 2. Доказательство теоремы 2 приведено в разделе 3.
Отметим, что законы нуля или единицы используются в задачах о выразимости графовых свойств на языке первого порядка, которые, в свою очередь, могут быть использованы для оценивания временной сложности алгоритмов проверки этих свойств [13, 14]. Справедливость fc-закона для случайного графа G(n,n-a) при а < 1 изучена в работах [15, 16].
2. Используемый в работе математический аппарат
Прежде всего введем ряд понятий, обозначений, утверждений и конструкций, которые необходимы для формальной постановки задачи и ее решения.
2.1. Логический формализм
Пусть М — непустое множество. Будем называть предикатом, арности к € N произвольное отображение Мк —{0,1}. Сами по себе формулы являются формальными записями, и поэтому в их записи участвуют не сами предикаты, а их обозначения, называемые предикатными символами. Так, предикатный, сим,вол, — это произвольный символ, с которым ассоциировано некоторое натуральное число (арность соответсвующего предиката). Сигнатурой, называется произвольное множество предикатных символов. Интерпретация сигнатуры, — множество предикатов, соответствующих символам из сигнатуры и имеющих соответсвующую арность.
Перейдем к определению формулы первого порядка. Определим сперва понятие атома. Атомарная, формула, (атом,) (иными словами, формула, которая не содержит никаких логических связок) — это выражение p(t1,... ,tn), где р € £ — предикатный символ арности п, а h,... ,tn — переменные. Переменные атомарной формулы являются несвязным,и.
Определим, наконец, формулы первого порядка, и, одновременно с этим, кванторную глубины формулы.
1. Любой атом является формулой первого порядка. Кванторная глубина атома равна 0.
2. Если р — формула первого порядка, то и — р — формула первого порядка. Множество несвязанных переменных при этом сохраняется. Кванторная глубина формулы — р равна кванторной глубине формулы р.
3. Если р\,р2 — формулы первого порядка, то и
Р\ V <Р1 А Р2, <Р1 ^ <Р2, <Р1 ^ ^2
— формулы первого порядка. Кванторная глубина каждой из перечисленных новых формул равна максимуму из кванторной глубины р\ и кванторной глубины ^2-
4. Пусть р — формула первого порядка. Тогда
Эх р, Ух р
— формулы первого порядка, переменная х в которых является связанной. Кванторная глубина обеих формул на 1 больше кванторной глубины р.
Формула без несвязанных переменных называется замкнутой или предложением. Заметим, что замкнутая формула р на интерпретации сигнатуры £ принимает одно из двух значений 1 или 0. Иными словами, замкнутая формула выражает, свойство интерпретаций. Если же р (х\,..., хг) — незамкнутая формула с несвязанными преременными Х\,... ,хг, то р выражает предикат, арности г. Заметим, наконец, что кванторная глубина формулы — это, говоря неформально, максимальная длина поледовательности вложенных кванторов.
Для более глубокого ознакомления с логикой первого порядка мы рекомендуем читателю обратиться к монографиям [1, 9].
В настоящей работе в роли интерпретаций будут выступать графы.
2.2. Теоретико-графовые и вероятностные конструкции
Простым графом, С (или просто графом) называется пар а множеств (V, Е), где
• V — непустое, конечное множество элементов, называемых вершинам,щ
щ е — конечное множество неупорядоченных пар различных элементов из V, называемых ребрами.
Множество V называется множеством вершин графа С, а, Е — его множеством ребер. Количество вершин и ребер графа будем обозначать, соответственно, ь(О) и е(О).
Рассмотрим граф С = (V, Е). Граф С = (V', Е') называется подграфом графа С, если V' и Е' являются соответственно такими подмножествами V и Е, что ребро } содержится
в Е' только в том случае, если ^ и и,- содержатся в V' . Граф С называется собственным подграфом, С, если Е' — собственное подмножество Е ми V' — собственное подмножество V. Граф С называется индуцированным, подграфом графа С, если множество вершин графа С является подмножеством множества вершин графа С, а множество ребер индуцировано этим множеством вершин, то есть любые две вершины и, V графа С смежны (т.е. соединены ребром) в С' тогда и только тогда, когда они смежны в С.
Граф называется связным,, если для любых двух его вершин и, V существует последовательность вершин и = ьо,ь\,... ,Ук = V такая, что для любого г € {1, ...,&} пара {Уг-\,Уг}
образует ребро. Компонента связности графа — это его максимальный (по включению) связный подграф. Очевидно, любой граф представляется в виде дизъюнктного объединения (т.е. непересекающихся по вершинам) компонент связности.
Простым циклом, С к называется граф на множестве у1,...,ук с множеством ребер {{^1,^2},..., }, {Ук,^1}}- Связный граф, не содержащий как подграф простого цик-
ла, называется деревом,. Самыми "простейшими" деревьями являются звезды и простые пути. Звездой К1,3 называется дерево на в + 1 вершине, одна вершина которого смежна со всеми остальными, простым, путем Ре называется дерево на I вершинах, которое получается из простого цикла удалением одного ребра. Лесом, называется граф, любая компонента связности которого является деревом.
Обозначим через а(С) число автоморфизмов графа С. Авт ом орфизм графа — это отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность. Иными словами, автоморфизм графа — это изоморфизм графа на себя. Два графа С = (У,Е)и С = (V1 ,Е') называются изоморфными (обозначается С = С), если существует биекция (изоморфизм) (р : V —V' такая, что (vi,vj) € Е )) € Е'.
На стыке теории графов и теории вероятностей распологается теория случайных графов. Случайный граф — это общий термин для обозначения вероятностного распределения графов, используемый, в частности, для ответов на вопросы о свойствах простых графов. Случайный граф означает почти всегда биномиальную модель случайных графов Эрдеша-Реньи. Дадим определение случайного графа в данной модели.
Пусть дано множество Уп = {1,...,п}, элементы которого мы будем считать вершинами случайного графа С(п,р), где р € [0,1] — некоторый фиксированный параметр. На этом множестве будем строить случайный граф (а точнее случайное множество ребер) следующим образом. Будем соединять любые две вершины г и ] ребром с вероятностью р независимо от всех остальных пар вершин. Иными словами, случайный, граф — это граф полученный из множества п изолированных вершин путём последовательного случайного добавления соединяющих вершины ребер.
Мы будем рассматривать свойства случайных графов, определяемые формулами первого порядка, которые строятся описанным в разделе 2.1 способом с помощью (сигнатура состоит из символов = арности 2):
• предикатных символов =.
• логических связок —,—о, V, Л.
• переменных х,у,х1,у1,...
• кванторов V, 3.
Напомним формулировку закона 0 или 1, доказанную Ю. В. Глебским, Д. И. Коганом, М. И. Лиогоньким и В. А. Талановым в 1969 году [8], а также Р. Фагиным в 1976 году [7] (ниже мы приводим более общую формулировку, возникшую впервые в работе Дж. Спенсера [12]).
Теорема 3 (Дж. Спенсер [12]). Если р = р(п) — такая функция, что рпа —те и (1 — р)па —ж для любо го а > 0 а А ^ произвольное свойство графов, которое можно выразить на языке первого порядка, то либо Р(С(п,р) € А) —0 щи п —ж, либо ¥(С(п,р) € А)^1.
Далее речь пойдет о справедливости закона нуля или единицы для разреженного случайного графа, т.е. вероятности проведения ребра, равной р = п-а для некоторого постоянного а > 0. Говорят, что случайный граф подчиняется закону 0 и,ли 1, если для любого свойства из класса свойств первого порядка (т.е. выразимого на языке первого порядка) вероятность
выполнения этого свойства стремится либо к 0, либо к 1. В частности, теорема 3 утверждает справедливость закона 0 или 1 для некоторого класса вероятностей проведения ребра р = р(п).
В 1988 году Дж. Спенсер и С. Шелах доказали [11], что случайный граф не подчиняется закону 0 или 1 тогда и только тогда, когда значение параметра а (показателя степени) либо равно 1 + 1/1 для некоторого натурального I, либо является рациональными числом из (0,1].
Основным средством при доказательстве законов 0 или 1 для свойств первого порядка случайных графов является игра, Эренфойхта. Определим эту игру ЕНЫ(С, Н, к) на двух графах С и Н с количеством раундов, равным к. В игре участвуют два игрока: Новатор и Консерватор. Игроки ходят по очереди, начиная с Новатора в первом раунде; каждый из игроков делает к ходов. В м-м раунде, 1 < V < к, Новатор выбирает вершину из любого графа, отличную от уже выбранных (он выбирает либо € V(О) либо уи € V(Н)). Затем Консерватор выбирает вершину из другого графа, отличную от уже выбранных. К концу игры выбраны вершины х\,... ,Хк € V(С) и у\,...,ук € V(Н). Консерватор побеждает в том и только том случае, когда отображение ф : {х\,..., Хк} —^ {у\,..., Ук} переводящее вершину х„ в вершину уи для каждого V € {1,..., к}, является изоморфизмом графов С\{Х1,.,Хк} и
Н\{у1,...,ук}-
В дальнейшей работе будем опираться на теорему Эренфойхта [4] о связи между, так называемой, элементарной эквивалентностью графов (т.е. неразличимостью с помощью формул первого порядка) и описанной игрой.
Теорема 4 (А. Эренфойхт [4]). Для любых двух графов О, Н и любого г € N Консерватор имеет, выигрышную стратегию в игре БИЩС, Н, г) тогда и только тогда, когда для любого свойства первого порядка, выражаемого предложением, кванторная глубина которого не превышает г, либо оба графа обладают этим свойством, либо оба графа не обладают.
Случайный граф подчиняется к-закону нуля, или единицы, если для любого свойства, выражаемого формулой первого порядка с кванторной глубиной не более к, вероятность выполнения этого свойства стремится либо к 0, либо к 1.
Из теоремы 4 вытекает следующий результат о связи игры с законами нуля или единицы (см., например, [11, 2]).
Теорема 5. Пусть к — произвольное натуральное число. С вероятностью, стремящейся к 1 при п, т —ж, у Консерватора есть выигрышная стратегия в игре Эренфойхта на двух независимых случайных графах С(п,р), С(т,р) в к раундах тогда и только тогда, когда случайный, граф С(п,р) подчиняется к-закону нуля, или единицы.
2.3. Вспомогательные утверждения
Пусть С — некоторый фиксированный граф с V вершинами и е ребрами. Назовем отношение р(С) = е/у плотностью графа С. Граф С называется сбалансированным, если плотность любого его подграфа Н не превосходит его собственной плотности, т.е. выполнено следующее неравенство: р(Н) < р(С). Граф С называется строго сбалансированным, если максимальная плотность р его подгафа Н достигается ровно на нем самом и больше ни на ком, т.е. выполнено неравенство р(Н) < р(С) для всех собственных подграфов Н графа С. Очевидно, справедливо
Утверждение 1. Любое дерево является строго сбалансированным графом.
Сформулируем теорему о количестве копий произвольного фиксированного строго сбалансированного графа в случайном графе. Положим ртах (С) = ш&^р^) : Н С О}. Введем случайную величину Же, равную количеству копий графа С в случайном графе С(п,р).
Теорема 6 ([3]). Пусть G ^ произвольный граф. Если р = о(п 1/Pmax(G)); то
lim P(NG > 0) = 0.
п—■
Если же n-1/Pmax(G = о(р), то
lim P(NG > 0) = 1.
п—>■ ■
Пусть теперь G — строго сбалансированный граф. Если n-1/p(G) = о(р), то для любого £> 0 справедливо равенство
lim P(|WG - ENgI < eENG) = 1.
п->■ ■
Если же р = n-1/p(G\ то
nG- i ~ P"K •
где Pois(A) — пуассоновоское распределение с параметром X.
Для графа G(n,p), р = n-1-1/l где I £ N, очевидным следствием утверждения 1 и теоремы 6 является следующее.
Следствие 1. Пусть р = n-1-1/i, I £ N.
1. Вероятность того, что случайный граф G(n,p) является лесом, стремится к 1 при п —те.
2. Для любого s £ N и любого дерева Т с не более чем I вершинами, вероятность того что G(n,p) содержит хотя бы s компонент, изоморфных Т, стремится к 1 при п—те.
3. С вероятностью, стремящейся к 1 при п —те 6 G(n, р) не найдется деревьев на I + 2 вершинах.
4- Для любого дерева Tel + 1 вершиной P(T С G(n,p)) —с(Т) £ {0,1}.
Введем следующие обозначения для описанных в следствии 1 свойств случайного графа. Будем обозначать:
• F свойство являться лесом.
• CS(T) свойство содержать хотя бы s компонент, изоморфных Т.
• T* свойство не содержать деревьев на l + 2 вершинах.
• T(T) свойство содержать дерево, изоморфное Т.
3. Доказательство теоремы 2
Далее мы отдельно докажем теорему для случая к = 3 и случая к = 4. Но прежде для полноты изложения и демонстрации метода докажем, что при к = 2 исключительным значении l, при котором нарушается закон, является l = 1.
При l £ N пусть Pi := T(Ре) П F — свойство содержать Ре ацикличным графом. Заметим также, что число автоморфизмов Ре равно 2.
• Пусть I = 1, т.е• р = п-"2. Докажем, что граф С(п,р) не подчиняется 2-закону нуля или единицы, то есть существует формула кванторной глубины 2, вероятность истиности которой не стремится ни к 0, ни к 1.
По теореме 6 граф С(п, р) обладает свойством Т(Р^+1) с ассимптотической вероятностью, отличной от 0 и 1 (а именно е-1/2), так как, очевидно, граф Рц+\ строго сбалансирован и имеет плотностью 1/2 При этом Т(Р^+1) на языке первого порядка записывается с помощью следующей формулы глубины 2:
ЭХ1ЭХ2 ((Ж1 = Ж2) А (Ж1 ~ Ж2)).
Таким образом, С(п,р) не подчиняется 2-закону 0 или 1, что и требовалось.
• Пусть теперь р = п-(1+1)/1 и I > 2. По теореме 4 для доказательства того, что случайный граф С(п,р) подчиняется 2-закону нуля или единицы, достаточно доказать, что с вероятностью, стремящейся к 1 (при п, т —ж), у Консерватора есть выигрышная стратегия в 2 раундах в игре на двух независимых случайных графах С(п,р(п)) и С(т,р(т)). В
1
двух раундах на любых двух графах С, Н, обладающих свойствами Р, С8(Т) при Т = Р1, Т = Р2 и = 2 (см. Рис. 1). Действительно, оба графа Р^ж Р2 являются деревьями с не более I вершинами.
Рис. 1: Графы С и Н, обладающие достаточными для победы Консерватора свойствами
На таких двух графах Консерватор побеждает за два раунда, так как:
1. Если в первом раунде Новатор в одном из графов выберет вершину с ребром, то Консерватор также выберет вершину, соединенную ребром с некоторой другой вершиной. Во втором руанде, какую бы вершину в каком бы графе Новатор не выбрал (соединенную ребром с первой или же нет), Корнсеватор выберет нужную ему вершину (например, изолированную в случае, когда Новатор выбрал вершину, не смежную с первой).
2. Если Новатор в первом раунде выберет изолированную вершину, то Консерватор тоже выберет изолированную вершину в другом графе. Во втором раунде какой бы выбор не сделал Новатор, Консерватор сделает идентичный выбор, просто выбрав произвольную вершину, отличную от первой.
Таким образом, Консерватор побеждает в двух раундах. Следовательно, закон нуля или единицы выполняется.
3.1. к = 3
• Пусть I = 4, т.е• р = п-5/4 (случаи I = 2 I = 3 анологичны — во всех случаях достаточно рассмотреть свойство Р1+1). Свойство Р1+1 для леса записывается на языке первого
порядка с помощью следующей формулы <р:
3х13ж2 [3жз (х1 ~ жз) Л (ж2 ~ ж3)]Л [3жз (Ж1 ~ Жз) Л (Ж2 Жз)]Л [3жз (Ж2 ~ Жз) Л (Ж1 Жз)].
В силу следствия 1,
Р(0(п,р) |= р) = ¥(С(п,р) |= р, С(п,р) € Р) + о(1)
= Р(С(п,р) € Рш,,С(п,р) € Р) + о(1) = ¥(С(п,р) € Р1+1)+ о(1),
что стремится к числу, отличному от 0 и 1, при п —те. Таким образом, случайный граф С(п,р) не подчиняется 3-закону нуля или единицы.
Пусть I = 5, т.е• р = п-6/5. Рассмотрим свойство Т(^), где Р — путь на 5 вершинах, к центральной вершине которого добавлено ребро (см. Рис. 2).
Рис. 2: Путь на 5 вершинах, к центральной вершнине которого добавлено ребро. Это свойство для леса записывается па языке первого порядка следующей формулой у.
3х1 3х2
3X2
3X2
3жз (Ж1 ~ Жз) Л (Х2 ~ Жз) 3жз (Ж1 Жз) Л (Ж2 ~ Жз)
3жз (Ж1 ~ жз) Л (Ж2 ~ Жз) 3жз (Ж1 Жз) Л (Ж2 ~ Жз) 3жз (жз = Ж1) Л (жз ~ Ж2)
Л
Л
Л
Л
Л (Ж1 ~ Ж2)
Аналогично предыдущему случаю из следствия 1 мгновенно получаем, что Р(С(п,р) == == ф) не имеет предела, а значит случайный граф С(п,р) не подчиняется 3-закону нуля или единицы.
Пусть I = 6, т.е• р = п 7/6. Свойство Р1+1 для леса записывается па языке первого
порядка следующим образом:
3ж1
3X2 Зжэ (ж2 = жэ) Л (ж2 ~ Х1) Л (жэ ~ ж1) 1 3ж2 ^(ж1 ~ ж2) Л (Ужэ (жэ ~ ж2)
(жэ = ж1)^ 1 3ж2 ^3жэ (жэ ~ ж1) Л (жэ ~ ж2)^ Ухэ (хэ ~ ж2) ^ (жэ ~ ж1)
Л
Л
Л
Из следствия 1 получаем, что вероятность истинности этой формулы не имеет предела, а значит случайный граф С(п,р) не подчиняется 3-закону нуля или единицы.
Пусть I = 7, т.е. р = п-8'7. По теореме 4 достаточно доказать, что с вероятностью, стремящейся к 1 (при п,т —ж), Консерватор имеет выигрышную стратегию в 3 раундах в игре на двух независимых случайных графах С(п,р(п)) и С(т,р(т)).
В силу следствия 1 достаточно доказать, что у Консерватора есть выигрышная стратегия в трех раундах на любых двух графах С, Н, обладающих свойствами С3(Т) при
Т € {Р2, Рэ, Р4, Ръ, Р&, Р7, Т*, ^1,э, К14, изолированная вершина}
и в = 3, где Т* — дерево, изображенное на Рис. 2.
Рассмотрим два графа С и Н, обладающих перечисленными свойствами, и опишем выигрышную стратегию Консерватора в 3 раундах.
Очевидно следующее. Предложение 1. Если
1) вершины х1, у1, выбранные в первом раунде, содержатся в компонентах Х1 ,У1 соответственно т,аких, что \Х1\ > 2 тогда и только тогда, когда, |У1| > 2,
2) Новатор выбирает во втором раунде вершину в компоненте связности, отличной от той, которой принадлежит вершина, выбранная в первом раунде,
то для того, чтобы выиграть, Консерватору достаточно чтобы компонента, в которой он выберет, вершину во втором раунде содержала хотя бы две вершины тогда и только тогда, когда хотя бы две вершины содержит компонента с вершиной, выбранной в том же раунде Новатором.
Заметим также, что, если за первые два раунда Консерватор не проиграл, то в третьем раунде Новатору бессмысленно выбирать вершину в новой компоненте, в которой еще не выбрано ни одной вершины. В этой связи и в силу предложения 2 мы можем считать, что Новатор не меняет в ходе игры компонент связности.
Предложение 2. Если Новатор в первом раунде выбирает вершину в компоненте, в которой присутствует не более 3 вершин, то стратегия Консерватора очевидна, — он, просто выбирает изоморфную компоненту и далее копирует, ходы Новатора.
Итак, мы можем считать, что Новатор в первом раунде выбирает вершину в компоненте, в которой хотя бы 4 вершины, а во втором и третьем раунде не выбирает вершину в новой компоненте связности.
Пусть Ж1 — вершина, выбранная Новатором в первом раунде. Пусть ^(ж1) — наибольшая длина простого пути в соответствующем графе, начинающемся с вершины Х1. Стратегия Консерватора будет зависеть от значения величины ^(ж1). Пусть, кроме того, N(х{) — количество соседей вершины Ж1, Иг(х{) — колличество листов, расположенных на расстоянии г от вершины Ж1, N>^1) — колличество листов, расположенных на расстоянии хотя бы г от вершины ж 1. В силу сказанного выше либо ^(ж1) = 1 и N(Ж1) > 3, либо Р(х1) = 2 и N(ж1) > 2, либо Р(х1) > 3.
Вершину, выбранную Консерватором в первом раунде, будем обозначать у1.
1. Если ^(ж1) = 1 и N(Ж1) > 3, то Консерватор выберет неконцевую вершину, принадлежащую компоненте, изоморфной Рз. В следующих двух раундах Консерватор и Новатор выбирают соседей выбранной в первом раунде вершины, и тем самым в третьем раунде Консерватор побеждает.
2. Пусть Р(х1) = 2 и N(ж1) > 2, Ж1(ж1) > 0 N2(x1) > 0. В данном случае Консерватор выбирает одну из центральных вершин компоненты, изоморфной Р4.
Если во втором раунде Новатор выбирает вершину, смежную с Ж1, которая при этом является концевой вершиной. Консерватор тогда выбирает вершину, смежную с у1, которая также является концевой вершиной. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Если Новатор во втором раунде выбирает вершину смежную с Ж1, которая не является концевой, тогда и Консерватор выбирает не концевую вершину смежную с У1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой, вершина, смежная со второй, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Если во втором раунде Новатор выбирает вершину, расположенную на расстоянии 2 от Ж1, то и Консерватор выбирает вершину на расстоянии 2 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: в обоих графах есть общий сосед выбранных вершин, сосед только первой из двух, а также вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
3. Если Р(х1) = 2 и N(ж1) > 2, ^1(ж1) = 0 ^2(х1) > 0, то Консерватор выбирает центральную вершину компоненты, изомрфной Р$.
Если во втором раунде Новатор выбирает смежную вершину с Ж1, тогда и Консерватор выберает вершину, смежную с уь В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой, вершина, смежная только со второй, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они. Если же Новатор выбирает вершину, расположенную на расстоянии 2 от Ж1, то и Консерватор выбирает вершину на расстоянии 2 от у 1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: в обоих графах есть общий сосед выбранных вершин, сосед только первой из двух выбранных вершин, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
4. Если 0(х{) > 3 и N(Х2) = 1, то Консерватор выберет концевую вершину, принадлежащую Р4.
Пусть во втором раунде Новатор выбирает вершину, смежную с Ж1, тогда и Консерватор выбирает вершину, смежную с у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Если Новатор во втором раунде выбирает вершину на расстоянии 2 от выбранной ранее, тогда и Консерватор выбирает вершину на расстоянии 2 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная сразу с двумя выбранными ранее вершинами, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они. Если Новатор во втором раунде выбирает вершину на расстоянии не менее 3 от выбранной ранее вершины, то Консерватор выберет вершину на расстоянии 3 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
5. Пусть И(х1) > 3 и N(ж1) > 2, М1(х1) > 0 Х2(х1) > 0 Х>э(х1) > 0. Консерватор выбирает неконцевую и нецентральную вершину Ръ, к центральной вершине которого добавлено ребро наружу (см. Рис 2).
Предположим, что во втором раунде Новатор выбирает вершину, смежную с Ж1, не являющуюся листом. Тогда и Консерватор выбирет вершину, смежную с вершиной У1, не являющуюся листом. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершины, смежная только с первой вершиной, вершины, смежные только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Предположим, что во втором раунде Новатор выбирает лист, смежный с Жь Тогда и Консерватор выбирет лист, смежный с вершиной у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они. Предположим, что во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии 2 от Ж1, не являющуюся листом. Тогда Консерватор выбирет вершину на расстоянии 2 от вершины у1, не являющуюся листом. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались все возможные наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина смежная толко с первой вершиной, вершина смежная с первой и со второй вершинами, вершина смежная только со второй, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй.
Предположим, что во втором раунде Новатор выбирает лист на расстоянии 2 от Ж1. Тогда и Консерватор выбирет лист на расстоянии 2 от вершины у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой, вершина, смежная с первой и со второй вершинами, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Предположим, что во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии не менее 3 от ж^. Тогда Консерватор выбирет вершину на расстоянии 3 от у1. В
третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с перовой, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
6. Если Р(х1) > 3 и N(ж1) > 2 ^1(х1) = 0 Щ(Х1) > 0 N>^1) > 0, то Консерватор выбирает одну из двух центральных вершин
Пусть во втором раунде Новатор выбирает вершину, смежную с жь Тогда и Консерватор выбирет смежную вершину с вершиной у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Пусть во втором раунде Новатор выбирает лист на расстоянии 2 от жь Тогда и Консерватор выбирет лист на расстоянии 2 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершинаЮ смежная только с первой, вершина, смежная с первой и со второй вершинами, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Пусть во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии 2 от Ж1, не являющуюся листом. Тогда Консерватор также выбирает не лист на расстоянии 2 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались все возможные наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой, вершина, смежная только со второй, вершина смежная с первой и со второй вершинами, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй. Пусть во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии хотя бы 3 от Ж1. Тогда Консерватор выбирет вершину на расстоянии 3 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
7. Если Р(х1) > 3 и N(ж1) > 2 ^1(х1) > 0 N2(x1) = 0 N>3(x1) > 0, то Консерватор выбирает неконцевую и нецентральную вершину Р5.
Если во втором раунде Новатор выбирает лист, смежный с Ж1, то и Консерватор выбирет лист, смежный с у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Если во втором раунде Новатор выбирает, смежную с Ж1, не являющуюся листом, то и Консерватор выбирет также вершину, смежную с у1, не явлляющуюся листом. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Если во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии 2 от Ж1, то и Консерватор выбирет вершину на расстоянии 2 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах есть все возможные наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой, вершина, смежная как с первой, так и со второй вершиной, вершина смежная только со второй, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй.
Если во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии не менее 3 от Х1, то Консерватор выбирает вершину на расстоянии 3 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой, вершина, смежная только со второй, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
8. Если И(х1) > 3 и N(х-\) > 2, М1(х1) = 0 Х2(х1) = 0 Х>э(х1) > 0, то Консерватор выбирает центральную вершину Р7.
Если во втором раунде Новатор выбирает вершину, смежную с Х1, то и Консерватор выбирет смежную вершину с вершиной у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Пусть во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии 2 от вершины Х1. Тогда Консерватор также выбирает вершину на расстоянии 2 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах есть все возможные наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершина, смежная как с первой, так и со второй вершиной, вершина, смежная только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Пусть во втором раунде Новатор выбирает вершину на расстоянии хотя бы 3 от вершины Х1. Тогда Консерватор выбирает вершину на расстоянии 3 от у1. В третьем раунде Консерватор победит, так как в обоих графах остались одинаковые наборы "расширений" двух выбранных вершин, а именно: вершина, смежная только с первой вершиной, вершина, смежная только только со второй вершиной, и вершины, не смежные ни с первой, ни со второй, и только они.
Таким образом, Консерватор побеждает в трех раундах. Следовательно, закон нуля или
единицы выполняется.
Для I € [6] закон нуля или единицы уже опровергнут в предыдущем пункте. В этом разделе мы докажем, что для каждого I € {7, 8,..., 40, 72} 4-закон нуля или единицы не выполняется, так как найдется такое дерево Р на 1+1 вершшине, что существование подграфа, изоморфного Р (при условии, что наш граф — это лес), записывается с помощью формулы глубины 4.
Для более наглядной и короткой записи формулы, введем ряд вспомогательных обозначений:
1. Формула, записанная ниже, обозначает, что в графе (который является лесом) содержится путь на 5 вершинах, концевая вершина которого совпадает с Х1:
3.2. к = 4
Л
Л
2. Формула, записывающая свойство содержать путь на 6 вершинах, выходящий из Ж1, имеет следующюю запись:
И6(Х1) = 3Ж2 3жз ^(Ж1 = Ж2) Л (Ж1 = Жз)^
3ж4 (ж4 ^ Ж2) Л (ж1 ~ Ж4) Л (ж4 ~ жз 3ж4 (жз ~ ж4) Л (ж4 ~ ж2)^ ^3жз (3ж4(жз = Ж4) Л (жз ~ Ж2) Л (Ж4 ~ Ж2^ .
3. Записанная ниже формула обозначает, что найдется путь на 7 вершинах, исходящий из Ж1, любой сосед пятой вершины которого имеет соседа отличного от него:
Л
Л
Л
£7(^1) = 3Ж2 3жз( (Ж1 = Ж2) Л (Ж1 = Жз)^
3ж4 (ж4 ^ ж2) Л (ж1 ~ ж4) Л (ж4 ~ жз)^
3ж4 (жз ~ ж4) Л (ж4 ~ ж2) 3жз (3ж4(жз = ж4) Л (жз ~ ж2) Л (ж4 ~ ж2) Л (жз ^ ж4)^ Ужз (жз ~ ж2) ^ 3ж4(ж4 = ж2) Л (ж4 ~ жз) ).
Л Л Л Л
4. Записанная ниже формула обозначает, что найдется путь на 8 вершинах, исходящий из Ж1, такой что, у любого соседа пятой вершины есть сосед отличный от этой вершины и любая вершина на расстоянии 2 от пятой вершины имеет соседа не смежного с этой пятой вершиной:
Дз(ж1) = 3ж2 3жз^(Ж1 = Ж2) Л (ж1 = жз^ Л
3ж4 (ж4 ^ ж2) Л (ж1 ~ ж4) Л (ж4 ~ жз)^ Л
3ж4 (жз ~ ж4) Л (ж4 ~ ж2)^ Л
Ухз (жз ~ ж2) ^ (3ж4 (ж4 ~ жз) Л (ж4 = ж2))^ Л
Ухз (3ж4 (ж2 ~ ж4) Л (ж4 ~ жз) Л (ж2 = жз)) ^ (3ж4 (ж4 ~ жз) Л (ж4 ^ ж2))^.
1
ж1:
¿1(Ж1) =
УХ2 (Ж1 ~ Ж2) ^ (3жз (Ж1 = Жз) Л (Ж2 ~ Хз)
6. С помощью ¿2 будем обозначать формулу, записывающую свойство отсутствия листьев на расстоянии 2 от Ж1:
¿2(^1) =
УХ2 3хз (Ж1 ~ жз) Л (жз ~ Ж2)
3жз (Ж2 ~ Хз) Л (жз Ф Ж1)
3
ж1:
Ьз(х{) =
Уж2 (3жз ( 3ж4 (ж1 ~ жз) Л (жз ~ ж4)
(
(жз = Ж2) Л (Ж1 = Ж4) Л (Ж4 ~ Ж2)^ ^3жз 3ж4 (жз = ж4) Л (ж2 ~ ж4) Л (ж2 ~ жз)
Л
8. Рассмотрим формулу, записывающую свойство отсутствия листьев на расстоянии 4 от ж1:
¿4(^1) =
(
Уж2 ( 3жз (3ж4 (ж1 ~ жз) Л (жз ~ ж4)
(жз = Ж2) Л (Ж1 = Ж4) Л (Ж4 ~ Ж2))^ ^Ужз (жз ~ ж2) ^ 3ж4 (ж4 ~ жз) Л (ж4 = ж2)
Л
5
ж1:
Ь5(Х1) = УХ2
3жз ^3ж4 (ж1 ~ ж4) Л (жз ~ ж4)) Л (ж4 ф ж2)^ 3ж4 (ж2 ~ ж4) Л (жз ~ ж4)
Л
Ухз [жз ~ ж2] ^ [3ж4 (жз ~ ж4) Л (ж4 = ж2)
10. Рассмотрим формулу, из которой следует отсутствие листьев на расстоянии 6 от Ж1:
¿6 (Ж1) = УХ2
3жз ^3ж4 (ж1 ~ ж4) Л (жз ~ ж4)) Л (ж4 ф ж2)
^3ж4 (ж2 ~ ж4) Л (жз ~ ж4)^ Ухз ^ ^3ж4 (жз ~ ж4) Л (ж4 ~ ж2)^ Л ^ж2 = жз 3ж4 (жз ~ ж4) Л (ж4 ф ж2)
Л
Рассмотренная формула означает, что для любой вершины Ж2 на расстоянии 4 от Ж1 и у любой вершины на расстоянии 2 от Ж2 есть еще один сосед (отличный от общего соседа этой вершины с Ж2), а следовательно, отсутствуют листья на расстоянии 6 от жь Конъюнкция Ьб и ¿4 равносильна отсутствию листьев на расстояниях 4 или 6.
11. Рассмотрим, наконец, формулу, утверждающую наличие хотя бы 3 соседей у Х1:
Щ(Х1,Х2,Х3) =
3х2 3х3 Эх4 (х2 = х3) Л (х3 = х4) Л (х2 = х4)
(х1 ~ х2) Л (х1 ~ х3) Л (х1 ~ х4)
Л
Теперь перейдем непосредственно к записи искомых формул.
Пусть I = 7, т.е. р = п 8/7. Докажем, что вероятность истинности формулы 3x1 0%(х1) на случайном графе стремится к некоторому пределу с € (0,1).
По утверждению пункта 4 следствия 1
Р(С(п,р) э Р8)^ с € (0,1).
Кроме того, пусть Q — это свойство, которое заключатся в том, что граф ялвяется лесом, в котором отсутствуют деревья на 9 вершинах. По утверждению пункта 1 следствия 1
¥(С(п,р) €
Следовательно, разложив
¥(С(п,р) |= р) = ¥(С(п,р) \= <р, С(п,р) € Я) + р(С(п,р) 1= <р, С(п,р) €Я),
получим
¥(С(п,р) == ф)= ¥(С(п,р) == р,С(п,р) € Я) + о(1) = ¥(С(п,р) э Р8,С(п,р) € Я)+ о(1) = Р(С(п,р) э Р8)
- ¥(С(п,р) э Р8,0(п,р) €Я)+ о(1) = Р(С(п,р) э Р8)+ о(1) ^ с.
• Пусть I = 8, т.е. р = п~9/8. Тогда формула
3ж1 N3^1) Л Бъ(Х1) Л Ь1(Х1)
записывает (для леса) свойство, существования подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Рз,Рз,Ръ с общим концом. Докажем, что вероятность истинности данной формулы для леса на случайном графе стремится к некоторой с € (0,1).
Обозначим 08 рассматриваемый подгаф, образованный путями Рз,Рз,Ръ с общим концом. По утверждению пункта 4 следствия 1
Р(С(п,р) э С8)^ с € (0,1).
Кроме того, пусть ^ — это свойство, которое заключатся в том, что граф ялвяется лесом. По утверждению пункта 1 следствия 1
¥(С(п,р) €
Следовательно, разложив
Р(С(п,р) |= р) = Р(С(п,р) = <р, С(п,р) е Я) + Р(С(п,р) = р, С(п,р) /Я),
получим
Р(С(п,р) = р)= Р(С(п,р) = р,с(п,р) е Я) + 0(1) = Р(С(п, р) Э Се, С(п,р) е Я) + о(1) = Р(С(п,р) Э Се)
- РС(п,р) Э 08,0(п,р) /Я)+ о(1)
Р(С(п,р) э Сз)+ о(1)
Э Св)+ 0(1) —^ с.
• Пусть I = 9, т.е. р = п 10/9. Тогда формула
3Ж1 Жз(Ж1) Л ^1(Ж1) Л ^2(Ж1)
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Р4 с общим концом. Вероятность истинности данной формулы на случайном графе стремится к некоторой константе с е (0,1), что доказывается по аналогии со случаем I = 8.
Во всех дальнейших пунктах мы будем пользоваться схемой доказательства, аналогичной предыдущим пунктам. Поэтому мы в каждом случае приведем формулу и опишем свойство, которое она записывает, но опустим вывод того, что предел вероятности отличен от 0 и 1, из следствия 1.
• Пусть I = 10, т.е• р = п-11/1°. Тогда подходящая нам формула
3ж1 Из(Ж1) Л Б5(Х1) Л ¿1(^1) Л ¿2(^1)
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Р4, Р4, Р5 с общим концом.
• Пусть I = 11, т.е• р = п-12/11. Тогда подходящая нам формула
3ж1 Жз(Ж1) Л ^б(ж1) Л ^1(ж1) Л ^2(Ж1)
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Р4, Р4, Рб с общим концом.
• Пусть I = 12, т.е• р = п-1з/12. Тогда подходящая нам формула
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Р5 с общим концом.
• Пусть I = 13, т.е• р = п-14^. Тогда подходящая нам формула
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Р^,Р^,Рб с общим концом.
Пусть I = 14, т.е• р = п 15/14, Тогда подходящая нам формула
3x1 Щ(Х1) Л Ю7(Х1) Л Ь^х^
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 15 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Ръ,Ръ,Р7 с общим концом.
Пусть I = 15, т.е• р = п~16/15. Тогда подходящая нам формула
3x1 Щ(Х1) Л ^Д и(х1)^
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями с общим концом.
Пусть I = 16, т.е• р = п~17/16. Тогда подходящая нам формула
3X1 Щ(Х1) Л ЩХ!) Л ^ Д Ьг(х1)^
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 17 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Рб,Рб,Р7 с общим концом.
Пусть I = 17, т.е. р = п~1,8/17. Тогда подходящая нам формула
3x1 N3^1) Л Б8(Х1) Л ^ Д и(Х1)^
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 18 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Рб,Рб,Р8-
Пусть I = 18, т.е• р = п~19/1,8, Тогда подходящая нам формула
3x1 Щ(Х1) Л ^Д и(х1)^
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного тремя путями Р7 с общим концом.
Пусть I = 19, т.е• р = п~20/1,9. Тогда подходящая нам формула
3X1 Щ(Х1) Л Б8(Х1) Л ^ Д Ьг(х1)^
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 20 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р7, Р7, Р8.
• Пусть I = 20, т.е. р = п 21/2°. Тогда подходящая нам формула
(4X2 [Х2 ~ х{\ ^
[3жз3ж4 (ж2 ~ жз) Л (жз ~ ж4) Л (ж1 = жз) Л (ж2 = ж4)\)Л (3жз [3Ж2 (Ж1 ~ Ж2) Л (Ж2 ~ Хз) Л (Ж1 = Жз)\Л [-[3ж4 (ж1 ф ж4) Л (жз ~ ж4)\\).
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 21 вершины) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованного одним Ре и двумя р7 с общим концом, при этом к одному из трех путей прикреплен лист, находящийся на расстоянии 2 от их общего конца.
• Пусть I = 21, т.е. р = п-22/21. Тогда подходящая нам формула
записывает (для леса) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р$ с общим концом.
• Пусть I = 22, т.е. р = п-2з/22. Тогда подходящая нам формула
(4Ж2 [ж2 ~ Ж1\ ^
[3жз3ж4 (ж2 ~ жз) Л (жз ~ ж4) Л (ж1 = жз) Л (ж2 = ж4)\Л (3жз [3ж2 (Ж1 ~ Ж2) Л (Ж2 ~ Жз) Л (Ж1 = Жз)\Л [-[3ж4 (ж1 ф ж4) Л (жз ~ ж4)\\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 23 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р$, к одному из которых прикреплен лист, находящийся на расстоянии 2 от общего конца.
• Пусть I = 23, т.е. р = п-24/23. Тогда подходящая нам формула
(4Ж2 [Ж2 ~ х{\ ^
[3жз 3ж4 (ж2 ~ жз) Л (жз ~ ж4) Л (ж1 = жз) Л (ж2 = ж4)\)Л (3ж'з 3жз [3Ж2 (Ж1 ~ Ж2) Л (Ж2 ~ Жз) Л (жз = Ж1)\Л [- [3ж4 (ж1 ф ж4) Л (жз ~ ж4)\\Л [3ж2 (ж1 ~ ж2) Л (ж2 ~ ж'з) Л (х'з = ж1) Л (жз = ж'з)\Л [- [3ж4 (ж1 ф ж4) Л (х'з ~ ж4)\\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 24 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р% и двумя листьями, соединенными ребрами с вершинами, находящимися на расстоянии 1 от Ж1 (см. Рис. 3).
Пусть I = 24, т.е. р = п 25/24. Тогда подходящая нам формула
3x1 N3^1) Л Л и(х1)\ Л
(УХ2 [Х2 ~ Х1] ^
(3х3 [3х4 (х2 ~ х4) Л (х4 ~ х3) Л (х4 = ж1)]Л [3х4 (х3 ~ х4) Л (х4 ф ж2)]))Л (3X2 [Х2 ~ х{]Л
(3X3 [(Х3 ~ Х2) Л (Х3 = Х1)]Л
— [3х4 (х4 ~ х3) Л (х4 ф ж1)])Л
(3х3 [3х4 (х4 ~ х3) Л (х4 ~ х2) Л (х4 = ж1)]Л
— [3X4 (Х4 ~ Х3) Л (Х4 ф Х2)]))
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 25 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р8, исходящими из одной и той же вершины Х1 и двумя листьями, находящимися на расстояниях 1 и 2 от одной и той же вершины одного из Р8, смежный с Х1 (см. Рис. 4).
Рис. 4: Дерево на 25 вершинах
• Пусть I = 25, т.е. р = п 26/25. Тогда подходящая нам формула
(4X2 [Х2 ~ ®1\ ^
[3жз [3ж4 (ж2 ~ ж4) Л (ж4 ~ жз) Л (ж4 = ж1)\Л [3ж4 (жз ~ ж4) Л (ж4 ф ж2)\\)Л (4X2 [®2 ~ х{\ ^
[3жз 3ж'з (Ж2 ~ Хз) Л (Ж2 ~ х'з) Л (жз = ж'з)Л (Ж1 = жз) Л (Ж1 = ж'з)\)Л (3Ж2 [Ж2 ~ Ж1\ Л
[3жз [3ж4 (ж4 ~ жз) Л (ж4 ~ ж2) Л (ж2 = жз) Л (ж1 = ж4)\Л - [3Ж4 (Ж4 ~ Жз) Л (Ж4 ф Ж2)\\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 26 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р$, исходящими из одной и той же вершины Ж1 и тремя листьями. Из них два листа находятся на расстоянии 1, а третий лист на расстоянии 2 от вершин смежных с Ж1 (см. Рис. 5).
• Пусть I = 26, т.е. р = п 27/26. Тогда подходящая нам формула 3ж1 Жз(ж1)Л
(3Ж2 [Ж2 ~ Ж1\Л
(4жз (3Ж4 [(Ж4 ~ Жз) Л (Ж4 ~ Ж2) Л (жз = Ж2)\) ^ (3Ж4 [(Ж4 ~ Жз) Л (Ж4 ф Ж2)\))Л
(3жз [3ж4 (ж4 ~ жз) Л (ж4 ~ ж2) Л (жз = ж2) Л (ж4 = ж1)\Л
- [3Ж4 (Ж4 ~ Жз) Л (Ж4 ф Ж2)\))
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 27 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного бинарному дереву с глубиной 3 и корнем степени 3, к четырем листьям У1,... ,У4 которого, имеющих общего предка па расстоянии 2 от них, подвешено по одному листу, а также еще один лист подвешен к одному из родителей У1, ... ,У4. (см. Рис. 6).
Рис. 5: Дерево на 26 вершинах
(4Ж2 [Ж2 ~ Ж1\ ^
[3жз 3ж'з [(жз = ж'з) Л (жз ~ Ж2)Л
(х'з ~ Ж2) Л (жз = Ж1) Л (ж'з = Х1 )\\)Л (4Ж2 (3жз [(жз ~ Ж2) Л (жз ~ Ж1) Л (Ж2 = Ж1)\) ^ (3жз 3жз [(жз = жз) Л (жз ~ Ж2) Л (жз ~ Ж2)Л
(жз ф Ж1) Л (жз ф Ж1)\))Л
Рис. 6: Дерево на 27 вершинах Пусть I = 27, т.е. р = п-28/27. Тогда подходящая нам формула
3x1 N3^1) Л ^ Д и(х1)^ Л
(УХ2 [Х2 ~ Х1] ^
(3х3 [3х4 (х2 ~ х4) Л (х4 ~ х3) Л (х4 = ж1)]Л [3х4 (х3 ~ х4) Л (х4 ф ж2)]))Л (4X2 [Х2 ~ х{] ^
[3X3 3x3 (х2 ~ Х3) Л (Х2 ~ х'3) Л (Х3 = х'3)Л (Х1 = Х3) Л (Х1 = х'3)})
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 28 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р8, исходящими из одной и той же вершины Х1 и тремя листьями находящихся на расстоянии 2 от вершин Р8, смежных с Жь (см. Рис. 7).
Рис. 7: Дерево на 28 вершинах
Пусть I = 28, т.е. р = п 29/28. Тогда подходящая нам формула
[К ^(х^
3X1 Щ(Х1) л Д иОл) I Л \г=4
(4Ж2 [Х2 ~ Х1 \ ^
(3жз [3х4 (х2 ~ х4) Л (х4 ~ жз) Л (х4 = ж1 )\Л [3х4 (хз ~ ж4) Л (ж4 ф ж2)\))Л (3^2 (Х2 ~ ) Л
[3жз (жз ~ Ж2) Л (хз = Ж1 )Л
- (3ж4 (х4 ~ жз) Л (ж4 ф х2))\)Л (3ж2 (х1 ~ ж2) Л [3^з 3жз (хз ~ ж2) Л (^з ~ ж2) Л (жз = ж1)Л
(^з = Л (хз = 4)\Л [4жз (3ж4 (х4 ~ ж2) Л (ж4 ~ жз) Л (х2 = жз)) ^
(3^4 (Х4 ~ Жз) Л (^4 = Ж2)))\Л [4жз (хз ~ Ж 2) ^
(3^4 (Ж4 ~ Жз) Л (Х4 = Ж2))\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 29 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р8, исходящими из одной и той же вершины ж1 и двумя листьями. Один из этих листьев находится на расстоянии 2, а второй лист — на расстоянии б от вершин этих Р8, смежных с ж1 (см. Рис. 8).
Рис. 8: Дерево на 29 вершинах
Пусть I = 29, т.е. р = п '30/2'9. Тогда подходящая нам формула
[К ^(Х1)^
3X1 Щ(Х1) л Д ьгОл) I Л \г=4
(4X2 [Х2 ~ Х1 ] ^
(3х3 [3x4 (х2 ~ х4) Л (х4 ~ х3) Л (х4 = х1 )]Л [3х4 (х3 ~ х4) Л (х4 ф х2)]))Л (3x2 (Х2 ~ Х1) Л
[3х/3 3x3 (х3 ~ х2) Л (х3 ~ х3)Л (Х3 = Х1) Л (Х2 = ж3)]Л — [3х4 (х4 ~ х/3) Л (х4 = х2)])Л (3x2 (х1 ~ х2) Л [3х/3 3x3 (х3 ~ х2) Л (х/3 ~ х2) Л (х3 = х1)Л
(х3 = Х1) л (х3 = х3)]Л [4х3 (3x4 (х4 ~ х2) Л (х4 ~ х3) Л (х2 = х3)) ^
(3x4 (Х4 ~ Х3) Л (Х4 = Ж2)))]Л [4X3 (Х3 ~ Х2) ^
(3x4 (Х4 ~ Ж3) Л (Х4 = Х2))])
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 30 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р8, исходящими из одной и той же вершины х1 и двумя листьями. Один из этих листьев находится на расстоянии 3, а второй лист — на расстоянии б от вершин этих Р8, смежных с х1 (см. Рис. 9).
Рис. 9: Дерево на 30 вершинах
Пусть I = 30, т.е. р = п з1/з0. Тогда подходящая нам формула
[К ^1))
3x1 Щ(Х1) Л /\Ьг(х1)\ Л
г=4
(4X2 [Х2 ~ Х1 \ ^
(3жз [3ж4 (х2 ~ х4) Л (ж4 ~ хз) Л (ж4 = х1 )\Л [3ж4 (хз ~ ж4) Л (ж4 ф х2)\))Л (3^2 [Х2 ~ Ж1 \Л
(3жз [(жз ~ Х2) Л (жз = Ж1)\Л
- [3ж4 (х4 ~ жз) Л (ж4 ф ж1 )\)Л
(3жз [3ж4 (х4 ~ жз) Л (ж4 ~ ж2) Л (ж4 = ж1 )\Л
- [3^4 (Х4 ~ Жз) Л (^4 = Ж2)\)) (3^2 [Х2 ~ Ж1 \Л
[3жз 3^з (жз ~ х2) Л (^з ~ х2)Л
(жз = Ж1) Л (х'з = Ж1) Л (хз = ^з)\Л [4жз (3ж4 (х4 ~ ж2) Л (ж4 ~ жз) Л (х2 = жз)) ^
(3^4 (Х4 ~ Жз) Л (Ж4 = Ж2)))\Л [4жз (хз ~ Ж2) ^
(3^4 (^4 ~ Жз) Л (Х4 = Ж2))\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 31 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р8, исходящими из одной и той же вершины х1 и тремя листьями. Два листа находятся на расстояниях 1 и 2 от одной и той же вершины, смежной с х1, а третий лист — на расстоятии б от некоторой другой вершины, смежной с ж1 (см. Рис. 10).
Рис. 10: Дерево на 31 вершине
Пусть I = 31, т.е. р = п '32/'31. Тогда подходящая нам формула
3x1 N3(Х1) Л ^ Д Ьг(х1Л
(4x2 [Х2 ~ Х1 ] ^
(3х3 [3x4 (х2 ~ х4) Л (х4 ~ х3) Л (х4 = х1 )]Л [3х4 (х3 ~ х4) Л (х4 ф х2)]))Л (4X2 [Х2 ~ Х1 ] ^
[3X3 3x3 (Х2 ~ Х3) Л (Х2 ~ х3) Л (Х3 = х3)Л (Х1 = Х3) Л (Х1 = х3)]) (3x2 [Х2 ~ Х1 ] Л
[4х3 (3x4 (х4 ~ х2) Л (х4 ~ х3) Л (х2 = х3)) ^ (3X4 (Х4 ~ Х3) Л (Х4 = Ж2)))])
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 32 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р8, исходящими из одной и той же вершины х1 и тремя листьями. Два листа находятся на расстоянии 2, а третий лист — на расстоятии б от вершин, смежных с х1 (см. Рис. 11).
Рис. 11: Дерево на 32 вершинах Пусть I = 32, т.е. р = п-33/32. Тогда подходящая нам формула
3x1 N3(Х1) Л ^ Д Ьг(х1Л
(4x2 [Х2 ~ Х1 ] ^
(3х3 [3x4 (х2 ~ х4) Л (х4 ~ х3) Л (х4 = х1 )]Л [3х4 (х3 ~ х4) Л (х4 ф х2)]))Л (4x2 [Х2 ~ Х1 ] ^
[3X3 3x3 (Х2 ~ Х3) Л (Х2 ~ х\3) Л (Х3 = х\3)Л (Х1 = Х3) Л (Х1 = х\3)]) (3х4 [3x2 3x3 (х1 ~ х2) Л (х2 ~ х3) Л (х3 ~ х4)Л (Х1 = Х3) Л (Х2 = Х4)]Л [4X3 (Х3 ~ Х4) ^ 3x2 (Х2 ~ Х1) Л (Х2 ~ Х3)]Л [3X2 (3X3 (Х3 ~ Х2) Л (Х3 ~ Х4) Л (Х1 ф Х2))])Л (3x2 [Х2 ~ Х1 ]Л
[4х3 (3x4 (х4 ~ х2) Л (х4 ~ ж3) Л (ж2 = х3)) ^ (3X4 (Х4 ~ ^3) Л (^4 ф Ж2)))])
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 33 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, образованному тремя путями Р8, исходящими из одной и той же вершины х1 и четырьмя дополнительными "ветвями" (см. Рис. 12).
Рис. 12: Дерево на 33 вершинах Пусть I = 33, т.е. р = п-з4/зз_ Тогда подходящая нам формула
(А ^))
3x1 Щ(Х1) Л /\Ьг(хл) ) Л
г=2
(4X2 [Х2 ~ Х1\ ^
[3хз 3х'з (хз ~ х2) Л (х'з ~ х2)Л
(хз = Х1) Л (х'з = Х1) Л (хз = х'з)\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 34 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному вершиной степени 3, каждый сосед которой отождествлён с концами двух путей Р6 (см. Рис. 13).
Рис. 13: Дерево на 34 вершинах
Пусть I = 34, т.е. р = п з5/з4. Тогда подходящая нам формула
3x1 Щ(Х1) Л ^ Д Ьг(х1 Л
(4X2 [Х2 — Х1 \ ^
(3хз [3х4 (х2 — х4) Л (х4 — хз) Л (ж4 = ж1)\Л [3х4 (хз — ж4) Л (ж4 ф ж2)\))Л (4x2 [Х2 — \ ^
[3жз 3жз (^2 — Хз) Л (^2 — х'з) Л (жз = х'з)Л (Х1 = Жз) Л (Х1 = Жз)\) (3ж4 [3ж2 3жз (х1 — ж2) Л (ж2 — жз) Л (хз — ж4)Л (^1 = Жз) Л (^2 = Х4)\Л [4хз (хз — Ж4) ^ 3^2 (Х2 — ) Л (Ж2 — Жз)\Л [3^2 (3жз (хз — Ж2) Л (жз — Ж4) Л (Х1 ф Х2) Л (Ж2 = ^4))\)Л (3^2 [^2 — Х1 \Л
[4жз (3ж4 (ж4 — ж2) Л (х4 — жз) Л (ж2 = жз)) ^ (3^4 (Х4 — Жз) Л (^4 ф Ж2)))\)Л (4жз [(3^2 (^1 — Х2) Л (^2 — Хз))Л
(- (3^4 (хз — Ж4) Л (3жз (х'з — Ж4) Л (жз = Жз) Л (Х1 = Жз))))\ ^ [3ж4 3х'4 (х4 — жз) Л (х'4 — жз)Л
(х4 = ^4) Л (ж4 ф х1) Л (^4 ф ж1)\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 3-5 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, изображенному на Рис. 14.
Рис. 14: Дерево на 3-5 вершинах
Пусть I = 35, т.е. р = п 36/35. Тогда подходящая нам формула
3x1 N2(Х1) Л ^Д Ьг(х1 ^ Л
(3X2 (Х1 ~ Х2)Л
[3х3 3х'3 (х3 ~ х2) Л (х'3 ~ х2)Л
(Х3 = хГ3) Л (Х3 = Х1) Л (х!3 = Ж1)])Л (4x3 [3x2 (Х1 ~ Х2) Л (Х2 ~ Х3) Л (Х1 = Х3)] ^ [3x4 3х'4 (х4 ~ х3) Л (х3 ~ х'4) Л (х4 = х4)Л (х4 ф х1) Л (х'4 ф Х1)])
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 36 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, изображенному на Рис. 15.
Рис. 15: Дерево на 36 вершинах Пусть I = 36, т.е. р = п-37/36. Тогда подходящая нам формула
3x1 N3(Х1) Л ^Д Ьг(х1)^ Л
(3X2 (Х1 ~ Х2)Л
[3х3 3х'3 (х3 ~ х2) Л (х'3 ~ х2)Л
(Х3 = х3) Л (Х3 = Х1) Л (х'3 = Х1 )])Л (3X2 (Х1 ~ Х2)Л
(3X3 (Х3 ~ х2) Л (Х3 = Х1))
[- (3x3 (х3 ~ Х2) Л (х'3 = Х1) Л (х'3 = Ж3))])Л
(4x3 [3x2 (Х1 ~ Х2) Л (Х2 ~ Х3) Л (Х1 = Х3)] ^ [3x4 3х'4 (х4 ~ х3) Л (х3 ~ х'4) Л (х4 = х'4)Л (х4 ф Х1) Л (х'4 ф Х1)])
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 37 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, изображенному на Рис. 16.
Рис. 16: Дерево на 37 вершинах Пусть I = 37, т.е. р = п-з8/з7. Тогда подходящая нам формула
3x1 ^Д Ьг (х1 ^ Л
(3x2 (Х1 — Х2)Л
[3хз 3х'з (хз — х2) Л (х'з — х2)Л
(хз = х'з) Л (жз = Х1) Л (ж'з = Х1 )\)Л (4хз [3X2 (Х1 — Х2) Л (^2 — Хз) Л (^1 = Жз)\ ^ [3ж4 3^4 (х4 — жз) Л (хз — ^4) Л (ж4 = ^4)Л (ж4 ф х1) Л (^4 ф ж1 )\)Л (3x2 (Х1 — Ж2)Л
(3хз (хз — Ж2) Л (хз = Ж1))
[- (3х'з (х'з — Ж2) Л (х'з = Ж1) Л (х'з = жз))\)Л (3х2 3х'2 (х2 — ж1) Л — ж1) Л (ж2 = ж2)Л
(4хз [((Х2 — Жз) V (х'2 — Жз)) ^ (хз = Ж1 )\))Л (3ж2 34 (х2 = ) Л (х2 — ж1) Л (х'2 — ж1)Л (3жз (хз — Ж2) Л (жз = Х1 ))Л (3жз (жз — Л (жз = Х1)))
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 38 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, изображенному на Рис. 17.
Х1
Рис. 17: Дерево на 38 вершинах
Пусть I = 38, т.е. р = п '39/'338. Тогда подходящая нам формула
[К ь(*1))
3x1 N2(Х1) Л ) ) Л
(4X2 (Х1 ~ Х2) ^
[3х3 3х'3 (х3 ~ х2) Л (х'3 ~ х2)Л
(Х3 = х') Л (Х3 = Х1) Л (х3 = Ж1)])Л (4x3 [3x2 (Х1 ~ Х2) Л (Х2 ~ Х3) Л (Х1 = Х3)] ^ [3x4 3х'4 (х4 ~ х3) Л (х3 ~ х'4) Л (х4 = х4)Л (х4 ф Х1) Л (х'4 ф Х1)])
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 39 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, изображенному на Рис. 18.
Рис. 18: Дерево на 39 вершинах
Пусть I = 39, т.е. р = п 40/3. Тогда подходящая нам формула
3х1 М3 (х1) Л
(Я Нх1 ^
л
(4x2 [Х2 ~ х{] ^
[3х3 3х'3 (х3 ~ х2) Л (х'3 ~ х2)Л
(Х3 = хл) Л (х'3 = Х1) Л (Х3 = х'3)])
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 40 вершин) свойство существование подграфа, изоморфного дереву, образованному вершиной степени 3, каждый сосед которой отождествлён с концами двух путей Р7 (см. Рис. 19).
Рис. 19: Дерево на 40 вершинах
Пусть I = 40, т.е. р = п 41/40. Тогда подходящая нам формула
3x1 ^Д Ьг (х1 ^ Л
(3x2 (Х1 — Х2)Л
[3хз 3х'з (хз — х2) Л (х'з — х2)Л
(хз = х'з) Л (хз = Х1) Л (х'з = Х1 )\)Л (3х2 3х/2 (х2 — х{) Л (х'2 — х1) Л (х2 = х/2)Л
(4хз [((Х2 — Хз) V (х'2 — Хз)) ^ (хз = Х1 )\))Л (4X2 (3хз (Х1 — Х2) Л (Х2 — Хз) Л (Х1 = Жз)) ^ (3ж'з(ж2 — ж'з) Л (ж'з = хз) Л (ж'з = Х1 )))Л (4жз [3^2 (^1 — Ж2) Л (Ж2 — Хз) Л (Ж1 = Жз)\ ^ [3ж4 3^4 (х4 — жз) Л (хз — ^4) Л (х4 = ^4)Л (ж4 ф Х1) Л (^4 Ф ж1)\)
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 41 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, изображенному на Рис. 20.
Рис. 20: Дерево на 41 вершине
Пусть I = 72, т.е. р = п 7з/72. Тогда подходящая нам формула
(Д ^(Х1))
3X1 т(Х1) Л /\Ьг(Х1 ) ) Л \г=з
(4X2 [Х2 — Х1 \ ^
[3жз (хз — Х2) Л (хз = Ж1)\Л
-[3ж4 (х4 — хз) Л (х4 = ж2)\)Л (4хз [3x2 (Х1 — Х2) Л (Ж2 — Хз) Л (Ж1 = Жз)\ ^ (3ж'з (х'з = Ж1) Л (хз = ж'з)Л
[3^2 (^2 — х'з) Л (Ж2 — Х1 )\Л [3^2 (Х2 — Хз) Л (^2 — х'з)\Л [3ж4 (х4 — х'з) Л (ж4 ф ж1)\))Л (4хз [3X2 (Х1 — Х2) Л (^2 — Хз) Л (^1 = Хз)\ ^ [3ж4 3x4 (х4 — хз) Л (жз — х'4) Л (ж4 = ^4)л (ж4 ф х1) Л (^4 ф х1 )\)Л
записывает (для леса, все деревья которого имеют не более 73 вершин) свойство существования подграфа, изоморфного дереву, изображенному на Рис. 21.
Х1
Рис. 21: Дерево на 73 вершинах
4. Заключение
В работе был исследован вопрос о справедливости ^-закона нуля или единицы для случайного графа С(п, п- 1-1/1) при к е {2,3,4} и I е N.
Были получены следующие результаты. При к = 2 закон справедлив тогда и только тогда, когда I > 2. При к = 3 закон справедлив при I > 7. Наконец, при к = 4 закон нарушается при I е {1, 2 ..., 39,40, 72}. Мы предполагаем, что и при I е {41,42,..., 71} закон нарушается, но построить подходящих формул нам не удалось. Было бы интересно понять, существуют ли какие-то "пропуски" в множестве I, при которых 4-закон нарушается.
В дальнейшем мы планируем значительно улучшить известную верхнюю оценку на наименьшее I, при котором 4-закон справедлив. Также было бы интересно рассмотреть остальные к > 5, н0 получение полного описания всех I, при которых закон будет нарушаться, выглядит неподъемной задачей. Тем не менее, разработка новых методов могла бы помочь значительно сократить разрыв между нижней и верхней оценкой на наиеныиее I, при котором справедлив &-закон, в теореме 1.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Верещагин, Н.К., Шень, А. Языки и исчисления // МЦНМО. 2012. 4-е изд. С. 240.
2. Жуковский, М.Е., Островский, Л.Б. Свойства первого порядка ограниченной кванторной глубины сильно разреженных случайных графов // Изв. РАН. Сер. матем.- 2017.- Вып. 81,- С. 100-113.
3. Bollobas, В. Threshold functions for small subgraphs // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1981. P. 197-206.
4. Ehrenfeucht, A. Anapplication of games to the completeness problem for formalized theories // Warszawa, Fund.Math. 1960. P. 121-149.
5. Erdos, P., Renvi, A. On Random Graphs // Publicationes Mathematicae (Debrecen). 1959. Vol. 6. P. 290-297.
6. Erdos, P., Renvi, A. On the evolution of random graphs // Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci. 1960. P. 17-61.
7. Fagin, R. Probabilities in Finite Models //J. Symbolic Logic. 1976. Vol. 41. P. 50-58.
8. Глебский, Ю.В., Коган, Д.И., Легонький, М.И., Таланов, В.А. Объем и доля выполнимости формул узкого исчисления предикатов // Кибернетика 1969. Т. 2. С. 17-26.
9. Libkin, L. Elements of finite model theory // Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series, Springer. 2004.
10. Ostrovskv, L.B., Zhukovskii, M.E. Monadic second-order properties of very sparse random graphs // Annals of pure and applied logic. 2017. Vol. 168. P. 2087-2101.
11. Shelah, S., Spencer, J.H. Zero-One Laws for Sparse Random Graphs // J.Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 1. P. 97-115.
12. Spencer, J.H. Threshold spectra via the Ehrenfeucht game // Discrete Applied Math. 1991. Vol. 30. P. 235-252.
13. Verbitskv, O., Zhukovskii, M. On the First-Order Complexity of Induced Subgraph Isomorphism // Logical Methods in Computer Science. 2019. Vol. 15. P. 25:1-25:24.
14. Verbitskv, O., Zhukovskii, M. The Descriptive Complexity of Subgraph Isomorphism without Numerics // Theory of Computing Systems. 2019. Vol. 63. P. 902-921.
15. Zhukovskii, M.E. On the zero-one fc-law extensions // European Journal of Combinatorics. 2017. Vol. 60. P. 66-81.
16. Zhukovskii, M.E. Zero-one fc-law // Discrete Mathematics. 2012. Vol. 312. P. 1670-1688. REFERENCES
1. Vereshchagin, N.K., Shen, A. 2012, "Languages and calculus", MCCME, 4th ed, P. 240.
2. Zhukovskv, M.E., Ostrovskii, L.B. 2017, "First-order properties of bounded quantor depth of strongly sparse random graphs", Izvestiya:Mathematics, Vol. 81, pp. 100-113.
3. Bollobas, В. 1981, "Threshold functions for small subgraphs", Math. Proc. Camb. Phil. Soc., pp. 197-206.
4. Ehrenfeucht, A. 1960, "Anapplication of games to the completeness problem for formalized theories", Warszawa, Fund.Math., pp. 121-149.
5. Erdos P., Renvi, A. 1959, "On Random Graphs", Publicationes Mathematicae (Debrecen), Vol. 6, pp. 290-297.
6. Erdos, P., Renvi, A. 1960, "On the evolution of random graphs", Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci., pp. 17-61.
7. Fagin, R. 1976, "Probabilities in Finite Models", J. Symbolic Logic, Vol. 41, pp. 50-58.
8. Glebskii, Y.V., Kogan, D.I., Liogon'kii, M.I., Talanov, V.A. 1969, "Range and degree of realizabilitv of formulas in the restricted predicate calculus", Cybern Syst Anal, Vol. 5, pp. 142-154.
9. Libkin, L. 2004, "Elements of finite model theory", Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series, Springer.
10. Ostrovskv, L.B., Zhukovskii, M. E. 2017, "Monadic second-order properties of very sparse random graphs", Annals of pure and applied logic, Vol. 168, pp. 2087-2101.
11. Shelah, S., Spencer, J.H. 1988, "Zero-One Laws for Sparse Random Graphs", J.Amer. Math. Soc., Vol. 1, pp. 97-115.
12. Spencer, J.H. 1991, "Threshold spectra via the Ehrenfeucht game", Discrete Applied Math., Vol. 30, pp. 235-252.
13. Verbitskv, O., Zhukovskii, M. 2019, "On the First-Order Complexity of Induced Subgraph Isomorphism", Logical Methods in Computer Science, Vol. 15, pp. 25:1-25:24.
14. Verbitskv, O., Zhukovskii, M. 2019, "The Descriptive Complexity of Subgraph Isomorphism without Numerics", Theory of Commuting Systems, Vol. 63, pp. 902-921.
15. Zhukovskii, M.E. 2017, "On the zero-one fc-law extensions", European Journal of Combinatorics, Vol. 60, pp. 66-81.
16. Zhukovskii, M.E. 2012, "Zero-one fc-law", Discrete Mathematics, Vol. 312, pp. 1670-1688.
Получено: 02.03.2024 Принято в печать: 04.09.2024
