CC BY
8
УДК 517.958;621.372.8
О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВОЛНОВОДА С ИМПЕДАНСНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых, Ю. В. Мухартова
(кафедра математики)
Рассмотрены нормальные волны в полом цилиндрическом волноводе О, поперечное сечение 5 которого имеет гладкую границу. На границе волновода заданы условия Щукина-Ле-онтовича. Показано, что в данной системе постоянная распространения волн не может быть чисто вещественной.
Одним из способов учета поглощения энергии электромагнитного поля в хорошо проводящих средах (металлах) является использование эквивалентных граничных условий Щукина-Леонтовича [1, 2]
Гп,Е]=ф1, Гп,НТ
с =
шц
2схо
(1)
где со - удельная проводимость металла при постоянном токе. Соотношение (1) записано для монохроматических полей либо для Фурье-амплитуд в случае произвольного поля.
Рассмотрим задачу для нормальных волн в регулярном полом цилиндрическом волноводе
П = {(ж,|/)е5; г€й} (2)
при условии, что граница области $ достаточно гладкая и на <90 выполняются граничные условия Щукина-Леонтовича
гсЛ Н = ^гшЕ, гоЬ Е = шН, [п,Е]|вп=?[п, [п,Н1
(3)
При ? = 0 задача (3) хорошо исследована и система ее собственных волн является полной, но при с Ф О это условие в общем случае не выполняется. Далее будет рассматриваться только случай с^О. Так как уравнения для полей Е и Н однородные, то решение (3) можно искать в виде
Е = grad(div Пе) + ш2Ле - ш гсЛ Пт Н = ш гей Пе + grad(div Пт) + а;21Г
(4)
где электрический и магнитный векторы Герца направлены по оси волновода:
П е = ф,у)е^-ег, Пт = ф(х,у)е^-ег. (5)
Пусть вектор п — нормаль к границе волновода и т = [ег,п] = (—пу,пх, 0) — вектор, касательный к границе. При этом задача (3) сведется к системе [2]
Д2<р + (и;2 - 72) <р = 0, (6)
А2ф + (ш2 — 72) ф = 0, (7)
С
ш
2\ (■ дф ■ дш
= 0. (9)
<эп
Введем следующие обозначения:
Ь =
и =
а)
VI о)' '-("о* {
Функция и удовлетворяет задаче А2и + (со2 - 72) и = О,
(10)
ш1\——и оп
13 {ш2- 72)
(Н)
ш = (12)
Особенность этой задачи состоит в том, что постоянная распространения -у — чисто мнимая величина. Покажем, что это действительно так.
Производная функции и по нормали на границе области $ имеет вид
ди дп
(13)
Формально умножим уравнение (11) на вектор-функцию у(М) = (уг(М), г!2(М))т, где уг(М) и у2(М) принадлежат пространству И/21(6'), проинтегрируем по сечению $ волновода и с учетом граничных условий получим следующее тождество:
Уут V« + г»ти| йз + (и2 - 72 + 1) / у1 и йв +
ш
дБ
(ш2 — 72) Ф < -У1111 + яу2и2 ? йт
1 ш
дЭ
ди2 дт
= (14)
Будем называть обобщенным решением задачи (11), (12) функцию и(7, М), компоненты которой принадлежат пространству Соболева Ш2(Б) и которая удовлетворяет тождеству (14) при любой функции у(М), такой, что у\(М) е Ш2(Б)
и У2(М) е И/21(5') [3]. Пусть некоторая, в общем случае комплексная, 7 = 71 + ¿72 и функция 10(7, М) = (101(7, М), ^2(7удовлетворяют задаче (11), (12). При этом 7 должна быть корнем квадратного уравнения
72iWlw2i(s)
|«;|2<is--!f / \w\2 ds ■
7
(о;2^72)Ф -K|2+?K|2Ur
öS
(¿7
öS
Öu>2 , _ dwi .
—--Нгиг ——ar = (J. (15)
Ör
dr
Преобразуем выражение под последним интегралом в уравнении (15):
_ дw2 _ dwi „ „ dw2 —wi т.--Ь w2 — = — Н,е wi • Re
Ör
дт
дт
■ Im wi • Im —— + Re «J2 • Re —— + Im W2 • Im ■ 1
дт
дт
дт
д
+г——{Re«;2 • Imiüi — Retüi • Im гиг}. (16) дт
Рассмотрим мнимую часть уравнения (15), учитывая, что
Получим следующее равенство:
27172(1 +ш2) [ | |2 ,
-i^2|2-J И dS
s
27172 и „2 • |72|2 ll^llwJiS)
(7i-7l)w
\i
2|2
öS
К
|л/2
KI2 + i|KI2Mr+
27172a; / J 1 | |2 ? , ,2 t .
17Г/ W""1 )ir
ÖS
ш f {\Я\^2{Ю1[ ' yß ÖS
7i I &
—:—гг ф ——{Re«;2 • Imiüi — Retüi • Im 102} dr ¡И7Г дт
12 • -^Kl 2\dr+
öS
72 w|7l5
= (17)
öS
öl
Предположим, что 7 действительна, т.е. положим 72 = 0. При этом из равенства (17) следует, что должно выполняться условие
ш 7?
öS 1
ш
с|л/2
1
к
7!К| }dT
öS
К
IV2
Kl5
^2
W2\
(18)
dr = 0,
так как
ö
——{Re«;2 • Imtüi — Retüi • Im«^}dr = 0. (19)
ÖT
öS
Следовательно, либо -yf = ш2, либо
1 , ,0 k
öS
«71
л/2
Kl M = o.
Так как под интегралом стоят неотрицательные выражения, то равенство интеграла нулю выполняется ТОЛЬКО при Ш1\дз = 1021,95 = 0 ПРИ лк)быХ ПО модулю с- При этом из условия (13) следует, что = 0. Поэтому если 7 — действительная
dw I дп lÖS
величина, то соответствующая функция w должна удовлетворять задаче
A2W + (со2 ^j2)w = 0,
4>s = 0>
dw
дп
= 0,
(20) (21)
(22)
öS
которая имеет только тривиальные решения. Литература
1. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электромагнитных системах с потерями. М., 1983.
2. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.
3. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М„ 1973.
Поступила в редакцию 14.09.05
