CC BY
103
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 629.7
П.К. Плотников
О СОПОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И СВОЙСТВ КОРРЕКТИРУЕМОГО
ГИРОКОМПАСА С АЛГОРИТМАМИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И СВОЙСТВАМИ ЕГО БЕСПЛАТФОРМЕННО-КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛОГА
Развивается подход построения конструктивно более простых, но алгоритмически более сложных, чем обычные с кардановыми подвесами, бесплатфор-менных инерциальных систем ориентации. В них функции ориентации и кардано-вых подвесов по сигналам закреплённых на борту объекта гироскопов и акселерометров выполняются в бортовых компьютерах. В качестве алгоритмов работы выбирают дифференциальные уравнения движения гировертикалей с радиальной коррекцией [4]. В других случаях - гиромаятниковых вертикалей и маятниковых гирокомпасов [5], не всегда обеспечивающих нужную динамику процесса выставки.
В данной работе за основу берутся дифференциальные уравнения движения однороторных корректируемых (или с косвенным управлением) динамичных гирокомпасов в кардановых подвесах для построения алгоритмов работы бесплатформенно-го гирокомпаса. Показана аналогия свойств исходного корректируемого и аналитически построенного бесплатформенного гирокомпаса, что свидетельствует о перспективности его применения.
Гирокомпас, ориентация, алгоритмы, бортовой компьютер, подвижный объект
P.K. Plotnikov
ON COMPARING THE EQUATIONS OF MOTION AND THE PROPERTIES OF THE CORRECTED GYRO OPERATION WITH ALGORITHMS AND PROPERTIES OF ITS COMPUTER STRAPDOWN COUNTERPART
The article presents an emerging approach for creating strapdown inertial orientation systems which are structurally more simple but algorithmically more complex than the typical systems with gimbals. The orientation and the gimbal functions by the signalcoming from gyroscopes and accelerometers attached to the side of an object are performed by on-board computers. Gyrovertical differential equations of motion with a radial correction [4]are chosen for the algorithms. In other cases, the giro vertical and pendular gyrocompasses [5] do not always provide the necessary dynamics of the exhibition.
In this paper differential equations of motion of single-rotor (or indirectly controlled) dynamic gyrocompasses in gimbals are taken as the basis for the construction of algorithms for the strapdown gyrocompass performance. The article provides the analogy of the properties of the corrected and analytically constructed strapdown gyrocompass, which is an indication of its application perspectiveness.
Gyro, orientation, algorithms, on-board computer, a mobile object
1. Постановка задачи
Тенденцией развития инерциальной навигации является переход от платформенных к бес-платформенным инерциальным навигационным системам (БИНС), которые не имеют сложного карданова подвеса. Датчики первичной инерциальной информации (трехкомпонентный гироскопический измеритель угловой скорости (ТГИУС) с трехкомпонентным измерителем кажущегося ускорения (ТИКУ)) являются одинаковыми по составу, хотя в БИНС они имеют более широкие диапазоны измерений и более высокие точности. Использование их сигналов, функционирование системы, а также карданова подвеса и устройств коррекции в ней выполняют бортовые компьютеры (БК). Алгоритмы БИНС известны [1, 2] и др. Они являются общими, базируются на применении различных
151
разновидностей уравнений маятников Шулера. Для ряда применений систем достаточно использовать не полноразмерную БИНС, а усеченную, которая обеспечивает выдачу информации по отдельным параметрам движения подвижных объектов (ПО), например только по углам ориентации. Усеченная система в компьютерно-алгоритмическом плане проще БИНС и называется, в частности, бес-платформенной инерциальной системой ориентации (БИСО) [3]. Этот подход уже использован на практике [3, 4] и др., а также в теории [5]. В частности, при построении алгоритмов БИСО, в [4], за исходные приняты дифференциальные уравнения движения гировертикали с радиальной позиционно-интегральной коррекцией, в [5] - уравнение пространственного двухроторного гирогоризонтком-паса, а также гиромаятниковой одно- и двухроторной вертикали. В статье для формирования алгоритмов БК бесплатформенного гирокомпаса (БГК) используются дифференциальные уравнения движения однороторного гирокомпаса с косвенной инерциальной коррекцией ( управлением ) [6] или, что очень близко, корректируемого однороторного гирокомпаса [6, 7] (КГК). По виду алгоритмы функционирования БГК отличаются от уравнений движения КГК. В то же время ниже будет показано, что дифференциальные уравнения ошибок КГК и БГК близки по двум углам друг к другу, что свидетельствует о практической идентичности свойств сопоставляемых приборов, в первую очередь, о свойстве измерения угла курса с очень близкими по величине погрешностями.
2. Математическая модель БГК
При построении уравнений функционирования БГК за основу берутся функциональная схема (рис. 1), а также дифференциальные уравнения КГК для описания виртуального движения трехгранника П, моделируемого в БК по аналогии с [4].
ТИКУ «V (О
(о я
£ вк
ТГИУС IV:
IV,
¥
в
У
Рис.1 .Функциональная схема БИСО
Рис.2. Опорная система координат Рис.3. Схема поворотов СК,
связанной с ПО
Вводятся в рассмотрение следующие правые ортогональные системы координат (рис. 2-4): % -инерциальная; п - сопровождающая географическая [1], ось которой направлена по вертикали места,
оси О ^ и Опз лежат в плоскости горизонта; Х - система координат(СК), связанная с ПО, причем ось ОХі -продольная, ОХ2 - нормальная, ОХз - поперечная, направленная на правый борт. Точку О совмещаем с центром масс ПО; Х’ - система координат, поворачивающаяся относительно п на угол курса; £ - географическая сопровождающая система координат; \у,в,у - углы курса, тангажа и крена; $ $- оценки этих уг-
лов на выходе БК; со^лі (і = 1,2,3) - компоненты абсолютных угловых скоростей ПО и кающегося ускорения точки О; ¿охі&хі (і = 1,2,3) - оценки этих параметров на выходах ТГИУС и ТИКУ.
Рис. 4. Схема поворотов моделируемой в БК горизонтной системы координат
Здесь за положительный угол у принят угол, отсчитываемый против часовой стрелки. Для перехода к общепринятым обозначениям после решения следует у угла курса у(У) изменить знак на обратный; X, р - углы географической долготы и широты места; И - радиус Земли, принятой за сферу; О3 - центр Земли; (і = 1,3) - компоненты переносной угловой скорости системы коорди-
нат і] и кажущегося ускорения точки О по ее осям ОХі (і = 1,3) соответственно.
Переносные угловые скорости трехгранника П в проекциях на его оси определяются по формулам:
V
пз
R
пз ; R ’
2 = U sin ф+-п • tan
¿,2 =
R
(1)
пі
R
л1-R ’
Здесь Vni, Vn3 - компоненты абсолютной скорости точки О ПО по осям О^ и ОцЪ соответственно; УцХ, Уф - компонентні скорости движения ПО относительно Земли. В работе используются кинематические уравнения Эйлера. Для их вывода запишем следующие формулы для проекций абсолютной угловой скорости поворотов ПО на оси трехгранника п :
¿пі =Юці + в • sin^+ у • cos ecos щ;
®п2 = ®п2 + Щ + Y • sin в; (2)
а>п3 = ¿пз + в • cos Щ-j • cos esin щ;
Разрешив (2) относительно / ,6, Y, получим уравнения
6 = (юп1 - юп1 )sin / + (юпз - юпз) cos /; Y = [(шп1 - Шп1) cos / — (шц3 - Шф) sin /] cos-16; / = [(ащ - Шщ)cos / - (®п3 - Шп3) sin /]tan 6 + шп1 - Шп1
(3)
В уравнения (3) вводим члены коррекции по оси ОП1 Следуя методике, приведенной [4], по другим осям - члены горизонтальной и азимутальной позиционной коррекции по аналогии с [6, 7]. Тогда будем иметь следующие алгоритмы БГК:
в = (¿^ - )sin Щ + (¿пз - ¿пз) cos Щ;
Y = [(¿пі - ¿£)^щ - (¿пз - ¿Iз) sin }£]cos-1в
п1
/
V
пз
пз
Щ = [(¿п - ¿n )cos^€ - (¿пз - ¿п^з) sin Щ] tan вв + ¿Л2 +
пз
)к
пз
п2
¿
щ
п2
(4)
V
3 = кв%1 + йП 3; (5)
= - к % + (0$с •
2 к$ ¥У п 1 + 2 •
где й • % (1=1,2,3) - оценки соответствующих переменных на выходах ТГИУС и ТИКУ; ^ , йк3 -угловые скорости коррекции от ТИКУ, вырабатываемые в БК; <^3, СО$$г - члены внешней коррекции, формируемые в БК от датчиков скорости и широты от внешних систем [6, 7], за счет которых прибор назван корректируемым ГК; ку ,..., к$ - коэффициенты передачи по соответствующим переменным.
При <^3 = й$2 =0 прибор в кардановом подвесе называют ГК с косвенным управлением. Будем называть его компьютерный аналог бесплатформенным ГК с косвенной коррекцией (управлением). Задав начальные значения $0, в, ^0 и имея на выходе БК оценки углов ориентации, представим их в виде
$ = $ + А$ • в= в + Ав • €= у + Ау, (6)
где у,0,у - истинные углы ориентации; Ду, Д0, Ду - их малые погрешности, отсчитываемые вокруг осей Оп3,ОХ’1,ОХ1. Для удобства обращения эти погрешности приводят, как в [6] к осям трехгранника П, моделируемого в БК:
а = -Аусо$$со$в - Ав8т$
Р = -А$-Ау$,тв (7)
X = -Ав С08 $ + А у$т $ со8 в
3. Анализ свойств КГК и ББК.
В (7) сохранены члены, линейные относительно Ду, Д0, Ду. По аналогам с [6] после преобразований получили уравнения ошибок БГК:
а = -йт - < - йХ + + Аап1
х = -юЦ3 - (окП3 + ШЯ2а - + Аап2 (8)
в = -%2 - ^2 -ап3а+ V + А%3 где Аа>п (1=1,2,3) - суммарные угловые скорости поворотов трехгранника П относительно географического от погрешностей ТГИУС и ТИКУ, а также от угловых скоростей внешней коррекции. Не учитывая члены второго порядка малости, имея в виду, что [6]
%1 = %1 + 8Х~ %3в + А%1;
$п3 = %3 + §а- %шв + А%,3, где А%п1, А%п3 - погрешности акселерометров, приведенные к первой и третьей осям трехгранника
П, будем иметь преобразованные по отношению к (8) уравнения:
I I
*
а + кг%а + к‘гЕ= -ап1 - кг(Ех~%п3в + А%п1) + кг£|(&х~+ А%п1)<^т~ Аа*п1 (9)
¿0 ¿0
Р - к$ ^Х-ац1Х = -Ыц2 + к$ (а%П + %п3в+А%п1)-Аа*п2 '
Х + кв§Х+ап1в =-ап3 - кв%п1 - кв (%п3в + А%п1) -Аа*п3 \ ( )
В (9) А%(1=1,2,3) вошли с соответствующими коэффициентами в состав Ай)*^ (1=1,2,3). Левые части системы дифференциальных уравнений (10) совпадают с левыми частями уравнений (66) КГК в [6] с точностью до обозначений. Уравнение (9) описывает поведение трехгранника П по углу а, т.е. процесс приведения его к плоскости горизонта с последующей стабилизацией. Оно практически не связано с двумя другими уравнениями (10). При этом условии уравнения (10) описывают поведение
трехгранника П по двум другим углам погрешностей ф,%), где в - погрешность по углу курса, и
0
X - погрешность по другому углу отклонения трехгранника П от плоскости горизонта. Отметим, что дифференциальные уравнения движения (9) и (10) по углам ошибок получаются из алгоритмов (4), (5), (7) с учетом значений:
у=0=х=0; vлl=vлз=0.
После выкладок получили уравнения (9) и (10). Для оценки гирокомпасного эффекта по уравнениям (10) положим, что погрешности в ТГИУС и ТИКУ отсутствуют, т.е.
ДюЛ1=Д1Л1=0 (1=1,2,3).
Сведя систему уравнений к единственному по углу ошибки курса, получим
Р + кв%Р + йп1(йп1 + к$8)в = кв8Шп2 (11)
Обозначив
2h= keg ; Q^ = ю„і(ю„і + Кg) = U cos фЦ' cosp + kvg),
(12)
приведем его к стандартной форме
/& + 2hf& + Q= kegU sin ф
Для начальной выставки назначают величину частоты собственных колебаний порядка
^0«1Гц=6,28 с-1, а оптимальный показатель затухания
И=^^0 « 0,707^0 = 4,44с-1 Решением уравнения для нулевых начальных условий будет формула
(13)
в =
kggU sinф
U cosф(U cos ф + kv g)
1 _^° е_ht sin(Qt + Л) Q
; Q2 =Q2 _h2; tgA = Qh•
(14)
После затухания переходного процесса (тпп~3/И=0,676с) имеет место статическая ошибка р,
kвgU 81П ф
в ст и cosф(U cos^+kwg)
Для всех широт применения КГК kvg>>Ucos9 и
Рст = tan ф’ кв / К Пример. Для определения ke, kv из (12), (13) имеем
keg = 2h = 42& 0 = 42 ■ ^UcOS^(UcOS^+~k^g7 42
(15)
(16)
кв =------JU cos ф(Р cos ф + kv g)
g
42
При ф = 45o имеем ke =-----------6,28=1,41-6,28/9,8=0,9с/м;
g
k = (keg)2
v 2g cos ф cosф
= 0.77 -105, с/м
Для ошибки по курсу имеем в процессе начальной выставки
в = ^
г ст j
kY
0.9
= 1.17 -10_5 рад
0.77 • 103
Угол Рст при этом возрастает, но его можно учесть в алгоритмах работы. После проведения начальной выставки производят перенастройку параметров на частоту Шулера невозмущаемости к горизонтальным ускорениям ПО, которые возникают после начала его движения. При отсутствии внешней коррекции, т.е. при (2 = (3 = 0, условие настройки БГК с косвенным управлением на частоту Шулера по углам в и % имеют вид формулы
И=0; V = 4§/К = 4((^+К8) ; у=1,23'10-3с-1 По углу а настройка на частоту Шулера производится в соответствии с формулами [4]:
(17)
ky=0; V = д/g / R =JkTg или kY = 1 / R
(18)
Условие ку=0 - необходимое условие обеспечения свойства инвариантности БГК к действию а=1,3). При выполнении этих условий горизонтальные ускорения ПО практически не влияют на точность БГК с косвенным управлением, как и в случае выполнения этих же условий в КГК. Нетрудно видеть, что аналогия уравнений ошибок БГК уравнениям ошибок КГК свидетельствует об анало-
гиях свойств этих приборов как в статическом, так и в динамическом режимах, в том числе в процессе начальной выставки и при работе на движущемся ПО. Аналогичен во многом расчет параметров приборов, анализ влияния демпфирования и возмущений на поведение БГК и на его погрешности.
Достоинством БГК по отношению к КГК являются меньшие, примерно вдвое, вес и габариты, а также стоимость, большие возможности использования современной элементной базы, в первую очередь БК, и идеология построения системы. В заключение отметим, что при начальной выставке требуется малое время готовности БГК. Для обеспечения этого условия, как показано в примере, частота собственных колебаний ^0 делается выше на 1-3 порядка, чем частота Шулера, в зависимости от типа ПО за счет к¥, к'г , а коэффициенты ку,ке подбираются из условия оптимальности для двух характеристических уравнений - одно для (9), а второе - для (10). В рабочем режиме обеспечиваются условия (11),(12) при к¥ = кв = 0 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы / В.Д. Андреев. М.: Наука, 1966. 579 с.
2. Бранец В.Н. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1992. 280 с.
3. Ривкин С. С. Определение параметров ориентации юбъекта бесплатформенной инерциальной системой / С.С. Ривкин, З.М. Берман, И.М. Окон. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 1996. 226 с.
4. Плотников П.К. Элементы теории работы одной разновидности бесплатформенных инерциальных систем ориентации / П.К. Плотников // Гироскопия и навигация. 1999. № 3. С. 23-35.
5. Челноков Ю.М. Определение местоположения и ориентации подвижных объектов по показаниям чувствительных элементов БИНС посредством решения на бортовом вычислителе кватерни-онных уравнений движения гироскопических систем / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1991. №4. С. 3-12.
6. Одинцов А.А. Теория и расчет гироскопических приборов / А.А. Одинцов. Киев: Вища школа, 1985. 392 с.
7. Кошляков В.Н. Теория гироскопических компасов / В.Н. Кошляков. Наука. 1972. 344 с.
8. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем / А.Ю. Ишлинский. М.: АН СССР.
483 с.
9. Меркин Д.Р. Гироскопические системы / Д.Р. Меркин. М.: Наука, 1974. 344 с.
Плотников Петр Колестратович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Приборостроение»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Petr K. Plotnikov -
Dr. Sc., Professor Department: Instrumentation,
Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 15.11.2011, принята к опубликованию 01.12.11
