О соотношениях, вытекающих из условия пластичности максимального приведенного напряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.214

О СООТНОШЕНИЯХ, ВЫТЕКАЮЩИХ ИЗ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРИВЕДЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ

М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко

В работе рассматривается вопрос об альтернативной форме записи условия пластичности максимального приведенного напряжения. Для рассматриваемого условия пластичности получен аналог уравнения Леви, вытекающего из условия пластичности Треска

Ключевые слова: условия пластичности, пластический потенциал, пластическое тело

Условие пластичности максимального приведенного напряжения [1, 2] определяет предельное значение одного из главных значений девиатора тензора напряжений, которое допускает тело при переходе в пластическое состояние

тах{| (у -1К (у )Е) : 1 ® 11,| (у -1К (у )Е : т ® т |,

" " (1)

3

3

I (у -3ьг(у)Е :п <8> п |} = к.

Здесь у — тензор напряжений, 1, т, п — собственные векторы тензора напряжений, к = 2ат / 3 , ат — предел текучести при одноосном растяжении или сжатии, Е — единичный тензор второй валентности.

Будем полагать, что собственным векторам тензора напряжений 1, т, п приписаны порядковые номера 1, 2 и 3 соответственно. Учитывая, что собственные векторы тензора напряжений являются собственными векторами девиатора тензора напряжений

8 = у - 3 Ну )Е,

вводя обозначения

51 = 8 • 1 ® 1, s2 = 8 • т ® т , 53 = 8 • п ® п , приходим к альтернативной форме записи условия (1):

тах{| 5і |,| 52 |,| 53 I} = к, ^ ^ + 53 = 0. (2)

Рассмотрим грань поверхности пластичности максимального приведенного напряжения, для которой

П 5і |= к,

| 52 |— к, (3)

|53 |— к, 51 + 52 + 53 = 0

При выполнении (3) девиатор тензора напряжений

Гв = К1 ® 1 - (кк + 53)т ® т + 53п ® п,

) 3' 3 (4)

[- к — 53 — к, к = sign(s1) имеет один независимый инвариант. Из (4) находим,

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат.

наук, профессор, тел. (473) 246-32-85

Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел.

(473) 220-83-37

Якубенко Андрей Павлович — ВГУ, преподаватель, тел. (473) 220-83-37

что второй главный инвариант девиатора тензора напряжений

•^2(8) = 1 *: * = + к2, к2 < < 3к2, (5)

третий главный инвариант

33 (*) = ёе1(«) = -к253 - кка\ . (6)

Главными инвариантами тензора называют коэффициенты его характеристического уравнения. Знак второго главного инварианта разные авторы выбирают по-разному [2, 3].

к = -1:

При к = 1 : - 2к — ёе1(в) — 0, при

0 — det(s) — 2к3. Из (5) и (6) следует, что

К3(8) + кЫ 2(8) = к3. (7)

Это уравнение (7) также следует из того, что тензор

в - ккЕ = -(2кк + 53)т ® т + (53 - кк)п ® п

— вырожденный, поэтому

det(s - КкЕ) = 0 . (8)

В терминах главных значений девиатора тензора напряжений уравнение (8) имеет вид

(^1 - кк)(52 - К)(^3 - К) = 0 (9)

или в терминах главных значений тензора напряже -ний

(<Г1 - £г(у )/3 - кк)(ст2 - £г(у)/3 - К): х (СТ3 -ґг(у)/3 -К) = 0.

(10)

На девиаторной плоскости решением уравнения (8) является множество точек, изображенных на рис. 1.

Случай к = +1

Случай к = -1

Несложно заметить, что уравнение (1) не эквивалентно условию пластичности (7) (вектор напряжений может выходить за поверхность пластичности). Поэтому использование уравнения (7) при решении задач необходимо дополнять проверкой условия (1).

В 1871 году М. Леви [4] предложил уравнение грани поверхности Треска в виде

а

2

4( J 2 - 4k 2)2( J 2 - k 2) - 27 J 2 = 0. (11)

Уравнение (11) может быть представлено в виде [5]:

[(а1 -а2)2 - 4k 2][(а3 -а1)2 - 4k 2] x

x [(а2 -аз)2 -4k2] = 0.

(12)

Аналогом уравнения Леви (12) для условия пластичности максимального приведенного напряжения будет уравнение

(sf - k2)(- k2)(s32 - k2) = 0.

(13)

Уравнение (13) в терминах главных инвариантов девиатора тензора напряжений запишется следующим образом:

k2J2(2k2 - J2) + J32 - k6 = 0.

(14)

Данное уравнение также не эквивалентно условию (1) [7]. Множество решений уравнения (13) или (14) геометрически представляет множество точек на девиаторной плоскости, изображенных на рис. 3.

Рассмотрим ребро поверхности пластичности максимального приведенного напряжения

1*1 = к,

■К1= к, (15)

.К < к, *1 + *т + ‘*п = 0

где индексы I, т, п образуют циклическую перестановку индексов 1, 2, 3.

Девиатор тензора напряжений при выполнении условий (15) 8 = кк(1 ® 1 - m ® m) имеет фиксированные значения главных инвариантов

33 = det(s) = 0.

J 2 = — s: s = k2, 22

Определим два тензора второй валентности по формулам:

р1 = * - кЕ, р2 = * + кЕ.

Эти тензоры ненулевые, первые инварианты этих тензоров /г(р1) = -3кк и /т(р2) = 3кк . При выполнении условия (14) тензоры р1 и р2 будут вырожденными, третьи главные инварианты этих тензоров равны нулю

det(p1) = 0, det(p2) = 0. (16)

Множество решений уравнений (16) определяет множество точек на девиаторной плоскости (рис. 3).

Рис. 3

Вершины шестиугольника соответствующего условию максимального приведенного напряжения будут определяться системой (рис. 3):

det(p1) = (* - кк)(*2 - кк)(*3 - кк) = 0,

det(p2) = (* + кк )(*2 + кк)(*3 + кк) = 0,

*1 + *2 + *3 = 0.

Выводы

Следствия, вытекающие из условия максимального приведенного напряжения, представляют собой уравнения, не являющиеся полным аналогом этого условия. Использование этих уравнений при решении задач должно сопровождаться проверкой условия пластичности максимального приведенного напряжения.

Литература

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности.

— М.: ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

2. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высш. школа., 1969. — 608 с.

3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

4. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости / М. Леви. — Теория пластичности. — М.: ИЛ, 1948. — С. 20-23.

5. Радаев Ю.Н. О соотношениях перестановочности Ишлинского в математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2007. — №6 (56). — С. 102-113.

6. Ишлинский А. Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001. — 704 с.

7. Артемов М. А. О записи кусочно-линейных условий пластичности / М.А. Артемов, А.П. Якубенко // Кибернетика и высокие технологии XXI века. Труды X Ме-ждунар. науч.-техн. конференции. — Воронеж: ВГУ, 2009.

— Т. 2. — С. 823-833.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

ABOUT RELATIONS ARISING FROM THE MAXIMUM REDUCED STRESS

PLASTICITY CONDITION

M.A. Artemov, N.S. Potapov, A.P. Yakubenko

This article is considered with the question of alternative forms of the maximum reduced stress plasticity condition. For the considered plasticity condition the analog of Levi's equation was deduced

Key words: plasticity conditions, plasticity potential, plastic body