О соотношениях между компонентами тензора второй валентности в случае кратного собственного значения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ТЕНЗОРА ВТОРОЙ ВАЛЕНТНОСТИ В СЛУЧАЕ КРАТНОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ М.А. Артемов, А.П. Якубенко

Для симметричного тензора второй валентности получены соотношения, которым должны удовлетворять его компоненты в случае, когда равны два собственных значения этого тензора

Ключевые слова: полная пластичность, гипотеза Хаара-Кармана, инварианты тензора

В работе [1] приведены соотношения, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений (симметричный тензор второй валентности), если принимается гипотеза Хаара-Кармана [2]. В настоящей работе рассматривается более общий случай: предполагается лишь равенство двух собственных значений симметричного тензора второй валентности и устанавливаются соотношения, которым должны удовлетворять его компоненты.

Обозначим через 1, т, п - собственные векторы, а через а (/ = 1,2,3) - собственные значения симметричного тензора второй валентности а . Если равны два собственных значения тензора а, например, а2 = а1, то будет справедлива формула

в виде

а = а1Е + (а3 - а1)п ® п.

(1)

Здесь Е - единичный тензор второй валентности, п - собственный вектор, соответствующий некратному собственному значению а3 тензора а . В базисе 1, т, п тензор Е = 1 ® 1 + т ® т + п ® п .

Из (1) следует, что след тензора а

/г(а) = 2а1 + а3. (2)

Учитывая (2), равенство (1) запишем в виде

а = а1Е + (/г(а) - 3а1)п ® п . (3)

Кратное собственное значение тензора а можно

выразить через инварианты /г(а) и /г(а2). Из ра-

венства (3) следует, что

6а2 - 4/г(а)а1 + /г2 (а) - /г(а2) = 0 .

Решая это уравнение относительно а1, получим

а112 = -6[2/г(а) +д/6/г (а 2) - 2/г 2(а) ]. (4)

При выполнении условия а2 = а1 будет спра-

ведливо равенство

д/б/г(а2) - 2/г2(а) = 2 | а3 - а1 |. (5)

Кроме того, второй главный инвариант девиатора

8 = а - -3/г(а)Е [3] будет иметь вид

1 2 1 2

12(8) = -2/г(8 ) = -3(а3 - а:) . (6)

Учитывая (5) и (6), равенство (3) можно представить

Артемов Михаил Анатольевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 246-32-85 Якубенко Андрей Павлович - ВГУ, преподаватель, тел. (473) 220-83-37

а = (— ґг(а) ±.11 /г(з2)Е ±«/— /г(«2)п ® п .

1

'3 ' ' \6 ' ' Ї2

Из этого равенства следует, что

8 /г(82)Е = ^"3/г(82)п ® п . (7)

При выполнении равенства а2 = а1 из определения девиатора 8 следует, что s2 = s1, s3 = -2s1. В этом случае

8 = 51Е - 351п ® п . (8)

Из (8) получаем, что

•2 = 7 /г(*2) = -112 (в) ■

6 3

1

1

• =-------/Т(8 ) =--------det(s) .

6

2

(9)

Из этих формул следует, что инварианты ґг(в ) и

/г(83 ) тензора 8 связаны соотношением /г3(82) = 6/г2(83) .

Если воспользоваться формулой (9), то получим

4

1

в + 3|^е^)Е = 33

-1^е^8)п ® п.

Введем обозначение со = ^-^е^а) , тогда

8 + оЕ = 3 оп®п.

Тензор п ® п вырожденный, имеет две независимые компоненты, ранг его матрицы компонентов равен единице.

Тензор, компонентами которого являются алгебраические дополнения тензора п ® п , будет равен нулю, поэтому компоненты тензора 8 + со Е должны быть связаны соотношениями:

•23 = (і'22 + ю)( 533 + ю),

(10)

513 = (^11 +ю)(533 + ю)

• 2 = (% +Ю)( ^22 +Ю).

513523 = (533 + ю)^2,

512523 = (522 +ю)s\3,

•12 ^13 = (•п + ю)^23.

Если попарно перемножить правые и левые части равенств (11), то можно получить соотношения (10).

(11)

Если тензор a интерпретировать как тензор напряжений, который будем обозначать у , то в случае равенства двух его собственных значений компоненты девиатора тензора напряжений дополнительно к трем уравнениям равновесия должны удовлетворять трем соотношениям (10). Отметим, что соотношения (10) никак не связаны с какими-либо уравнениями стояния материальных тел.

При выполнении условия полной пластичности

[2]

О = 01,

(12)

'1 - “и | о3 -o1 |= 2k

2k

компонента s1 = +— и

3 2k

s + — E = +2kn ® n .

3

(І3)

2k,

У тензора 8 +— Е две независимые компоненты и

соотношения (10) позволяют выразить все недиагональные компоненты тензора 8 через любые его две диагональные компоненты [4].

Соотношения (10), (11), для случая, когда дополнительно выполняется условие полной пластичности (12) приведены в [1, 5, 6].

Обобщение [7] гипотезы Хаара-Кармана на случай условия пластичности общего вида приводит к уравнению вида

/ (/г (у ), /г(82)) = 0.

При выполнении условия (13) тензор у имеет один независимый инвариант.

Исходя из свойств функции пластичности, можно предположить, что условия теоремы о неявной функции будут выполняться, поэтому можно записать

/г(у ) = я (/г(82)).

С учетом равенств (10), получаем, что все компо-

ненты тензора у определяются через компоненты девиатора s . В случае, когда функция пластичности не зависит от инварианта tr(у), будет выполняться

равенство tr(s2) = const.

Используя соотношения (10), (13), можно получить различные формы записи уравнений равновесия [4, 8].

Выводы

В случае, когда равны два собственных значения симметричного тензора второй валентности, будут выполняться определенные соотношения, которым должны удовлетворять компоненты девиа-тора этого тензора.

Литература

1. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. - 704 с.

2. Хаар А. К теории напряженных состояний в пластически сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности. Сб. статей. - М.: ИЛ, 1948. - С. 41-56.

3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1980. - 512 с.

4. Артемов М.А. Соотношения пространственной задачи теории пластичности при условии полной пластичности / М.А. Артемов, Н.С. Потапов // Материалы международной научной конференции «Математика, механика и информатика». - Тула: ТулГУ, 2009. - С. 125-129.

5. Ивлев Д.Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности и статике сыпучей среды / Д.Д. Ивлев // ПММ. - 1958. - Т. 22, вып. 2. - С. 90-96.

6. Быковцев Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. - Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.

7. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики / А.Ю. Ишлинский. - Т. 1. - М.: Наука, 1986. - C. 62-83.

8. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев. - Самара: СамГУ, 2006. - 340 с.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

ABOUT RELATIONS BETWEEN COMPONENTS OF TWO VALENT TENSORS M.A. Artemov, A.P. Yakubenko

For a two valent symmetric tensors the relations between components are determined. These relations hold in case of equality of the two eigenvalues of this tensor

Key words: full plasticity, Haar-Karman’s hypothesis, tensors invariants