CC BY
9
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 537.611.43.: 530.145
О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ В ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЕ ЧАСТИЦ С МАГНИТНЫМИ МОМЕНТАМИ
П. А. Андреев, JI. С. Кузьменков
(.кафедра теоретической физики) E-mail: andrap@yandex.ru
Показано,что в двухкомпонентных системах частиц с собственными магнитными моментами наряду с поперечными электромагнитными и продольными волнами могут возбуждаться самосогласованные спиновые волны, а также независимые волны в каждом компоненте, вырождающиеся в колебания для бесспиновых систем. Для всех таких волн получены дисперсионные соотношения путем решения в линейном приближении уравнений квантовой гидродинамики и уравнений поля.
Введение
Наряду с равновесными свойствами парамагнитных систем [1] представляет интерес изучение волновых процессов, существующих в таких системах. Волны в парамагнитных системах рассматривались в работах [2-5]. В работах [3, 4] принималось во внимание движение только легкой электронной компоненты. Были получены дисперсионные соотношения, учитывающие наряду с кулоновскими взаимодействиями также взаимодействия собственных магнитных моментов электронов.
Ниже рассматривается дисперсия волн в системах, состоящих из двух сортов частиц помещенных во внешнее однородное постоянное магнитное поле, с учетом наличия у частиц обоих сортов собственных магнитных моментов. Пространственная дисперсия естественно появляется при представлении уравнений движения квантовой системы частиц в виде уравнений для материальных полей. Поэтому задача о собственных волнах в системах из двух сортов частиц со спином решается методом «квантовой гидродинамики», развитым в работах [6, 7], в которых получены фундаментальные уравнения баланса плотности энергии, плотности импульса, плотности числа частиц и плотности магнитного момента исходя из уравнения Шрёдингера для системы N взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем электромагнитном поле.
1. Дисперсионное уравнение
Система уравнений квантовой гидродинамики в приближении самосогласованного поля имеет вид
(9 Л „ й2 „ л
тпп„ ( — • г',. VI г>„ + - — УДя„ +
4 тп \пп j
= еппп + p"nnVBa,
(í + I ¡Лп = — ,
\dt ) ' тпс ^
VE = A-K^2ennn,
п
[V,B] = [V,4vr + + ^^enrinvn,
п п
1 яд
[V,£] =---VB = 0. (1)
с ot
В этой системе уравнений и далее индекс п принимает значения е для электронов и i для ионов. Во второе уравнение системы (1) входят слагаемые, пропорциональные й2, называемые в литературе квантовым потенциалом Бома [6, 8].
Ниже рассматривается динамика малых возмущений материальных полей rin,vn,pn, электрического Е и магнитного В полей:
пп = «o« + Sn, Е = 0 + Е,
В = Воег + 8В, vn = 0 + vn,
Un = Pon + , м0п = п0пр0п = хВ0,
n0e = n0i.
Здесь % = к/р — отношение равновеетных значений магнитной восприимчивости вещества к к магнитной проницаемости р.
Подставляем эти соотношения в систему уравнений (1) и пренебрегаем квадратами возмущений по сравнению с их первыми степенями. В результате приходим к системе 22 линейных однородных
уравнении в частных призводных с постоянными коэфициентами. Переходя к представлению Фурье, получаем следующую однородную систему алгебраических уравнений:
— ш6пп + топЫп = О,
1 П2
теще(—ш)уе + те-Уре1Ыпе + -—1к2к8пе =
О тс/72^
= -еп0е +ХеВ$1к8Ва,
= ещ{ (е + 1 [VI,В0]) + кВ№8Ва,
(-iu))8ßn = -^-[8ßn,B0] +
тпс ^ тпс
i\k, 8В] = i
Хп_ "О п
Хп
Во, SB
k, 4n^2(n0nSßn + — В08п„
п
LW _ 1/1
--Е+ — > enn0tlvn,
с с
п
i[k,E] = —5B,ikE = 4n^2en5nn, ikSB = 0. (2)
Мы предполагаем, что вектор напряженности электрического поля в волне отличен от нуля.
Выражая все величины, входящие в систему уравнений, через компоненты вектора напряженности электрического поля, получаем систему трех уравнений
Ла/3(о;, к)Ер(и), к) = 0, (3)
где
Kß = ^2$aß-k'Z | 5,
aß '
kgkß k2
+ J2 -jlA»ßn + XnSaß„ + 16vr2C2 J2 xlDaßn■
n n n
(4)
Далее для краткости используются обозначения
епВ0
9 1 9 Ä
°' = з0"+тк'
vf = vfi, Пп =
тпс
Ш'
2 4же2п т„
В выражение для матрицы Aaß входят матрицы Äaß, Saß, Daß. Эти матрицы имеют вид соответственно
4»- д
iujQn
(ш2 — (Щ + k2)v2)
. Од о\ о
х у + i — kykz - kxkz) О2
U! /
-iujün + ( i^jkl - kxky ) o2
\ \ Ш " J " \ U1
где для компактности использовано обозначение
-i—kxkz - kykA v2n
-i — kykZ-kXkZ ) V2n
CO
i^jkXkZ - kykz ) Vl
<0ü2_n2) + v2(k2 + k2)
те
А = (ш2 - О2) - {(k2 + к2у)ш2 + (о;2 - ü2n)k2z) ■
caß _ c(i)aß , c(2)aß ti ti ' ti >
- _L
^д
-2il2k2
2П2пкхку + шПп(к2х + к2)
■ ^n
00
l i^kykz(0ü2 - ü2n)
v CO ( ttlk2
Si2> =
tt2
iüüünk2
tt2nkxkz + iU)ünkykZ
2ü2nkxky - iujün(k2 + k2) -i^jkykz(u)
2 tt2^
U)^
П2
-2 m
-i — kxkz(LO2 -U)
iüüünk2
i^lkxkz(u;2-il2n)
(jü
tt2nkxkz - iu)ünkykz\
tt2
tt2
tt2
iU)ttnkXkZ + ü2nkykz
tilkykz - iU3Ünkxkz W2 _ <)2
ü2n{k2x+k2u)
U)^
П2
U)^
( П*
вп = -
Ып
(-к2у(к2х + к2у)-к2ук
2и2
г
СО'
СО^
О2 !
»(кхку(к2х + к2у)+кхкук2г-
со-
СО"
)
! )
СО',
■ (кхку(к2х + к2у) + кхкук
<(лГ г ~йр"~
) О
П\-к2х(к2х + к2у) + к2хк2г^
\
О
2. Волны, распространяющиеся
перпендикулярно магнитному полю
Рассмотрим волны, которые могут распространяться строго перпендикулярно внешнему магнитному полю Во. Для таких волн кг = 0.
При вычислениях пренебрежем слагаемым, пропорциональным х2, которое не дает вклада в представленное ниже дисперсионное соотношение. Тогда
со-
со
О
О
О/
матрица Ла/3 принимает вид ,2
со
К/3 = -$а13-к (5,
_ кдк/З
«/3 к2
СО'
• (5)
где
( -I и;2-кЦ^2е + ^(к!+к2)
Ле д
-шПе - кхку (+ ¿2 + Щ)
1
н2
шПе - кхку 1-ире , 4т2Х,.х
А/ —
а;2 - к2уи?п
О
-1соП{ - кхкуи?п
(Ш2 _ 02) _ {Щ + Щ)у2п {и)2 _ т _ (¿2 + ¿2)^
(К+К) \
О
- кхкуу2Г1
ш2 - к2ху2п
у>ил
5Й =
{со2-т-{к2+щь2Т1 О
2П2екхку + 1соПе(к2х + к2у)
А,
О
О
(со2-П2)-(к1 + Щ)и 2П
О -1
2П2екхку - ¿соПе(к2 + Щ)
А,
О
5г- =
_ 2П2кхку-1соП1{к2х + к2у)
{из2 _ П2} _ {Щ + ¿2)02. (ш2 _ 02) _ {Щ + Щ)у2п
2Щ
2П2кхку + гаА'О2 + Щ,)
2 П2к2х
(со2-П2)-(Щ + к\))у2п О
(со2-П2)-(Щ + к\))у2п
О
о
о2
__(к2 + к2)
о о
__к2 + к2)
,2 _ ^2 ККх т КУ>
СО'
О О
1/
А] = {со2 — Гф — {к2 + кЪ
е АтГх
(к2х + к2и
В этом случае дисперсионное уравнение
сЫ А = о
распадается на два уравнения:
кхх №у — АхуАух = О
(6)
Лгг = -к2
со
—| — 4-7Г Щ—т^ = 0- (7)
со-
^ о?
Уравнение (6) содержит уже известные волновые решения для систем частиц без магнитного момента [9, 10]. При этом вклады от взаимодействия собственных магнитных моментов носят характер ма-
лых поправок. При условии П2 < со2, справедливом для достаточно плотных систем или слабых магнитных полей, решениями уравнения (7) являются следующие дисперсионные соотношения:
М2пХп
ш
:С0„
■ k2
-4nk2c2J2
OJÍ
■Fe2'
íl2
co = 1ЗД1
2irk2
сXn
(8)
(9)
со2 + к2с2-П2/' Уравнение (8) описывает волну, которая без учета собственных магнитных моментов электронов и ионов совпадала бы с обыкновенной волной в маг-нитоактивной плазме [10]. Мы видим, что и в системе с собственными магнитными моментами волна остается поперечной, линейно поляризованной.
Уравнение (9) описывает новую волновую моду со слабой пространственной дисперсией и часто-
той, близкой к циклотронной частоте. Отклонение функции из(к) от постоянной, соответствующей колебаниям системы как целого, является малым вследствие малости парамагнитной восприимчивости. Электрическое поле в такой волне является поперечным и эллиптически поляризованным.
3. Волны, распространяющиеся параллельно магнитному полю
Для волн, которые могут распространяться в двухкомпонентной системе частиц с собственными магнитными моментами в направлении внешнего магнитного поля, матрица Ла/3 принимает вид
Ла/3 = К/3 '
где
А' =
СО'
с
СО'
-*' + 72 "Е
Е
k2V2
2 icoíl
с2 co2-íl2
* - i^k2zv2n
со
О2
Е
со„
- icoíl г,
i^k2v2
U) z п
-kl'
с
со2
Е
О2
2 2 Щ U ■
■klvl
со
' ^п
СО
Е
со„
V2nk¡ П
S' -
kz^n
~co2-íl2 icoílnk2
-icoünk2
со
íl2 kzíln
о
со"-
\
-íl2 со2 — íl2 0 0 0/
В этом случае из дисперсионного уравнения detЛ = 0 получаем
1 ti2
9 9 . 1 2 t,9 П
1-Е,
со
; со„
4т2
k ,
(10)
k2zc2 со2
_'п U)(üj±ün
(П)
____п
'П Ш±йн
В силу малости отношения массы электрона к массе иона в выражении (10) пренебрегли ионным вкладом.
Если в формуле (10) пренебречь вкладом от квантового потенциала Бома, то эта формула будет
описывать спектр высокочастотных ленгмюровских колебаний вырожденной плазмы во внешнем постоянном однородном магнитном поле. Формула (11) при тех же условиях, когда можно пренебречь влиянием собственных магнитных моментов, даст зависимость показателя преломления от частоты поперечных волн в магнитоактивной плазме [10].
4. Спиновые волны
Особый интерес представляют спиновые самосогласованные волны, для которых электрическое поле в волновом возмущении равно нулю, Е = 0, но магнитное поле в волне отлично от нуля, Вф 0.
В системе уравнений (2) положим £ = 0. Тогда придем к следующему дисперсионному уравнению:
иа/3(со,к)В/3(со,к) = 0, (12)
па/3 = + 4тг Хп^а/Зп, (13)
7Г„
/
'kz
ikz
COÍln
со2-ü2
co2-ü2
ü2 -ik n
zco2-№
-kz
COÍln
co2-ü2
kxCOÜn - ikyíl2 kyCOÜn + ikxíl2
co2-íl2
co2-íl2
ikyXnBo((k2x + k2y)co2 + k2(co2 - O2)) - ^enn0nB0(cokx + iünky)co2 \
co2{co2 - íl2) - v2(co2(k2 + Щ) + (o;2 - íl2)k2) -ikxxnBl((k2x + Щ)со2 + k2(uj2 - O2)) - i^enn0nB0(iünkx - kyco)co2 Ш2(Ш2 - ü2) - v2{co2{k2 + Щ) + (o;2 - íl2)k2z)
_jennonB0kzoo(oo2 - íl2)_
со2(со2 - ü2) - v2(uНЩ + k¡) + (o;2 - ü2)k2)
Для спиновых волн, распространяющихся параллельно внешнему магнитному полю,
-Auk Хп
п=
\
из-
ik l+4vr^x«
2 ^п из2-П2„
-4тг£ J2 Хп
изПп
из
' ^п
en0i -
Xi^k
из*
АР
еп0е-
XeUk
* - Ш2 - ikk4
Дисперсионное уравнение сЫ П = О
распадается на два уравнения. Решением одного из них является
из = |0„|(1 -4тгх„). Второе уравнение имеет вид
Хе Xi
U3
(lv2
3 uFe
Ä*2)*2
из*
V
Ti
k2
= 0.
(14)
(15)
Это уравнение не имеет решений при условии Хг = Хе ■ При условии Хг Ф Хе уравнение имеет следующее решение:
4т,?
из = к
AiXe
(Не +
(16)
Хе - Xi
Пренебрегая тепловым движением ионов, получаем
W2 = (lvFek2 ■
11
4 т2
k4
Xi
(17)
Хл - Хе
Этой формулой представлена дисперсия самосогласованных спиновых волн в электрон-ионной системе частиц с собственными магнитными моментами. Вектор индукции магнитного поля такой волны перпендикулярен направлению ее распростронения и является эллиптически поляризованным. При Хг < Хе частота становится мнимой и распространение волн невозможно. Эти результаты качественно согласуются с результатами численных вычислений, проведенных на основе модели Гейзенберга в работе [2], и с результатами экспериментальных измерений, предетавленых в [11].
Таким образом, мы получили количественные вклады в дисперсионные соотношения волн в двух-компонентных системах частиц с собственными магнитными моментами. Для известных поперечных электромагнитных и продольных волн квантовые
вклады являются поправочными. Вместе с тем могут возбуждаться волны, которые распространяются независимо (в линейном приближении) в электронной и ионной компонентах и дисперсия которых представлена формулой (9). Такие волны вырождаются в колебания для бесспиновых систем на циклотронной частоте. Мы получили также дисперсионное соотношение для самосогласованных спиновых волн (формула (16)), которые могут распространяться только при наличии у частиц собственных магнитных моментов.
Литература
1. Ашкрофт П., Мермин П. Физика твердого тела. М., 1979.
2. Xiuping Tao, Landau D.P., Schulthess Т.С., Stocks G.M. 11 Phys. Rev. Lett. 2005. 95. P 087207.
3. Кузьменков Jl.С., Максимов С.Г, Федосеев В.В. 11 Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 2000. № 5. С. 3 (Moscow University Phys. Bull. 2000. N 5. P. 1).
4. Кузьменков Л.С., Харабадзе Д.Э. // Изв. вузов. Физика. 2004. № 4. С. 87.
5. Ким Н.Е., Поляков П.А. // Сб. трудов Межд. конф. МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность». Москва, 23-25 ноября 2004. М„ 2004.
6. Кузьменков Л.С., Максимов С.Г. // ТМФ. 1999. 118, № 2. С. 287.
7. Кузьменков Л.С., Максимов С.Г., Федосеев В.В. 11 ТМФ. 2001. 126, № 1.С. 110.
8. Александров А.Ф., Рухадзе A.A. Лекции по электродинамике плазмоподобных сред. М., 1999.
9. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В. и др. Электродинамика плазмы. М., 1974.
10. Александров А.Ф., Вогданкевич Л.С., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы. М., 1988.
11. Lynn J.W. 11 Phys. Rev. B. 1975. 11. P 2624.
Поступила в редакцию 09.06.06
