Квантовое бесстолкновительное затухание ленгмюровских волн в вырожденной плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.931

КВАНТОВОЕ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛЕНГМЮРОВСКИХ ВОЛН В ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЕ

М. В. Кузслсв

Обнаружено, исследовано и объяснено новое явление квантовое бесстолкновительное затухание ленгмюровских волн в электронной вырожденной плазме. Показа,но, что квантовое затухание происходит в коротковолновой части спектра, т.е. имеет порог по волновому числу. Найдены, численные решения, квантового дисперсионного уравнения, для, комплексных частот ленгмюровских волн. Получены аналитические выражения, для, частот и декрементов затухания, волн в различны,х диапазонах вол,новых чисел.

Ключевые слова: ленгмюровские волны, квантовое черенковское излучение и погло-

Щ6НИ6.

Известно, что в изотропной вырожденной плазме бесстолкновительное затухание (затухание Ландау) ленгмюровских волн полностью отсутствует [1]. Это обусловлено тем, что фазовые скорости волн превышают скорость Ферми Ур = (Эп2)1/3Йп0/3/т, а частиц со скоростями больше Ур в полностью вырожденной плазме нет. Например. В электронной вырожденной плазме в коротковолновой области частота и ленгмюровской волны, называемой нулевым звуком, определяется формулой [2]

и = kVF

1 + 2exp --

2 к2У

2Т/2

F

3 ULe

2

kVF > ULe,

(1)

где К - волновое число, а ире = \j4ne2п0е/т - электронная ленгмюровская частота. Поэтому скорость и/к хотя бы на экспоненциально малую величину, но превышает скорость Ферми. Следовательно условие черенковского резонанса V = и/к, где у<Ур скорость электрона, выполнено быть не может, а бесстолкновительное затухание волны происходит именно на электронах, находящихся с волной в условиях черенковского

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет, Воробьевы горы, 119992 Москва, Российская Федерация; E-mail: kuzelev@mail.ru.

резонанса. При учете квантовых эффектов условие черенковского резонанса при погло-Щ6НИИ записывается в виде [3]

•=I - г ®

где шп = Нк2/2т - важная для дальнейшего квантовая частота. Условие (2), начиная с некоторого к, для спектра (1) легко выполняется, а поэтому возникает бесстолкнови-тельное затухание нулевого звука, имеющее чисто квантовую природу. Рассмотрению этого квантового эффекта посвящена н&стояпд,<вья работа.

Прежде чем изложить основной материал работы, уточним смысл квантового условия черенковского поглощения (2). Пусть электрон при взаимодействии с волной получает от нее энергию е > 0 и импульс р, связанные общим соотношением теории волн П = ек/ш. Законы сохранения энергии и импульса при поглощении записываются в виде

Ш = ш + е, р = р + П, (3)

где - энергия и импульс электрона до взаимодействия с волной, а ш',рр - те же величины после взаимодействия. Учитывая, что ш = р2/2т, Ш = р'2/2т и р = ту, из соотношений (3) находим

ек2

ш — ку =-. (4)

2тш К '

Если теперь положить е = Нш и ку = ку, то формула (4) перейдет в условие (2).

Таким образом квантовая поправка в условии поглощения (2) связана с конечностью

е

черенковское излучение, условие которого имеет вид (4), но со знаком минус перед правой частью. Ниже учитываются оба процесса, как поглощение, так и излучение.

ш

дольных ленгмюровских колебаний квантовой плазмы [1, 2]

1 — / /о®*Р =0, (5)

] (ш — ку)2 — шП

где /0 (р) - функция распределения электронов по импульсам. Интегрирование в (5) осуществляется по контуру, определяемому правилом Ландау. Перейдем от интегрирования по импульсу к интегрированию по скорости у, координатную ось г направим вдоль вектора к, т.е. положим к = {0, 0, к}, и выполним интегрирование по ух и уу. В результате получим

1 _ Щье [ /0(уг= ,пш1е /0(у1) — /0(у2) ^

к2 ] (уг — у\)(уг — у2) к2 шп/к .

—оо

Здесь у1>2 = ш/к ± шп/к, а /0(уг) - функция, получающаяся интегрированием функции /0 (у) по ух и уу. Интегрирование в (6) осуществляется вдоль действительной оси. Правая часть уравнения (6) описывает бесстолкновнтельное затухание волн в квантовой плазме. Электроны, у которых у г ~ у1, излучают плазменную волну. Механизмом является черенковское излучение. Электроны, у которых уг ~ у2, поглощают плазменную волну механизм черенковский. В целом, в квантовой плазме, как и в классическом случае, бесстолкновнтельное затухание обусловлено конкуренцией процессов излучения и поглощения. При шп ^ 0 квантовое дисперсионное уравнение переходит в классическое дисперсионное уравнение плазменных волн теории Власова Ландау [2].

Если правая часть уравнения (6) мала, то для мнимой части частоты из (6) имеем

. ш\е {дБ(шо)\ 1 /о(шо/к + шп/к) — /о(шо/к — шп/к)

1тш = -ш/к-, (7)

где шо - действительная часть частоты, а О(ш) - левая часть уравнения (6). В классическом пределе из (7) получается известная формула для декремента затухания Ландау ленгмюровских волн [2].

В случае вырожденной плазмы

Ы*) = О — |) ' ^ <

(при у2 > Ур имеем /о(уг) = 0) и уравнение (6) преобразуется к следующему виду:

3

1 + 4к2

2 + Ц—1, — 1+ 1—1, & — 1

2 + 7--- + --^Ш---

. 11 — 12 + 1 12 — 11 12 + 1

• ЗП (12 — 1Ж11) — (12 — 1)^(12)

= —г—л--,

4 ¡1К

Д 1 -п + м м1 > = / дае1)2 > 1 + №"1) /т

112 = К ± К'*(1)=\1, (в*)2 < 1 + №„1)2 (10)

В (9) и (10) использованы безразмерные величины

0)

п-ш, к - ^ ц - шп. - V, (11)

шьв шьв шьв 4

Нш I р2П1/Л1/2

НшЬе _ ( е Пое _\ ^

е е

2

п

- газовый параметр. Основное условие применимости исходного дисперсионного уравнения (5) сводится к малости газового параметра (12) [1, 2].

Правая часть уравнения (9) возникла из-за применения правила Ландау: она равна сумме интегралов по замкнутым контурам вокруг полюсов £ = £^2, лежащих в нижней полуплоскости комплексной плоскости £ = /Ур вне области, где функция распределения (8) равна нулю, что учитывается множителями в(£^2).

Квантовые эффекты тем сильнее, чем больше параметр /л в (11), поэтому проявляться они должны в достаточно коротковолновой области, при к > 1. Имеется, однако, ограничение на величину безразмерного волнового числа к. Рассмотрим еще один параметр

л = ^ « М, (13)

к кУр Л К }

где Л = 2п/к - длина ленгмюровской волны, а (г) = п013 - среднее расстояние между электронами. В случае ленгмюровских волн, обусловленных нарушением квазинейтральности в объемах, содержащих большое число частиц, отношение (13) мало по определению. Поэтому необходимо иметь в виду ограничение л/к = пк/4 < 1 (а также П < 1)-

Рис. 1: Результаты решения дисперсионного уравнения (9): (а) -ц = 0.5, (б) -ц = 0.05; Яе & - обычная линия, \Irnw\ - жирная линия, линия нулевого звука & = к - штрих-пунктир.

Рассмотрим вначале результаты численного решения уравнения (9). На рис. 1 для двух случаев п = 0.5 (рис. 1(а)) и п = 0.05 (рис. 1(6)) изображены действительная и мнимая части безразмерной комплексной частоты &(к) и прямая нулевого звука & = к(и = кУр). Как видно из определения квантового параметра д, при одном и

Рис. 2: Безразмерное пороговое волновое число в зависимости от обратного газового параметра.

том же значении к квантовые эффекты тем сильнее, чем больше газовый параметр ц. На рис. 1 можно выделить три характерные области: первая - длинноволновая область незатухающих ленгмюровскпх волн; вторая - промежуточная область (вблизи порога возникновения затухания) слабозатухающей волны типа нулевого звука; третья - коротковолновая область сильнозатухающих колебаний, которые к волновым возмущениям можно отнести только условно. Вторая промежуточная область видна тем отчетливее, чем меньше параметр п (т.е. чем меньше квантовые эффекты), что видно из сравнения рис. 1(а) и рис. 1(6). Третья область существенно квантовая, она может быть продолжена в область еще более коротких длин волн, вплоть до к ^ 4/п (когда параметр (13) приближается к единице).

Для трех указанных характерных областей удается найти приближенные аналитические решения дисперсионного уравнения (9). В первой длинноволновой области имеем известный спектр [1, 2] (приводим в безразмерной и размерной формах)

"=)А + !к + 11 п2к4 - - =\/4. + 5*2V? +(2. (14)

В третьей коротковолновой области комплексный спектр сильнозатухающих квантовых колебаний оказывается следующим:

I 2 I 2 /— \ ^/2

П = ¡1 +у3П(1 - г)Л/^кк — — = —п + у3П(1 " ^ ( —2 у ^. (15)

При получении формулы (15) было учтено, что в коротковолновой области правая часть уравнения (9) является большой по абсолютной величине.

Для решения дисперсионного уравнения (9) в промежуточной области волновых чисел удобно воспользоваться приближенной формулой (7), поскольку вблизи порога затухания мнимая часть у частоты мала. Предварительно следует определить пороговое значение, обозначим его кр. Сделаем это для почти классического случая п ^ 1 когда безразмерное волновое число к ~ кр достаточно велико. Приравнивая левую часть уравнения (9) нулю, находим известное выражение для действительной частоты нулевого звука

П = к

1 + 2ехр ( - 3 к2 - 2

(16)

или в размерном виде (1). Подставляя далее (16) в условие черенковского поглощения, получаем следующее уравнение для определения порогового волнового числа к,'

Р(к) = пк - 8ехр ( -2к2 - 2 ) = 0.

(17)

Решение уравнения (17) показано на рис. 2. Напомним, что затухание возникает при к > к^, или в размерном виде при к > к,шье/Ур- Наконец, подставляя (16) в формулу (3.6), находим выражение для декремента затухания нулевого звука в вырожденной плазме

П П

1тП = -%—кР(к) тш = -%—кУР 82

шн

кУ,

- 2 ехр - -

р

2 к2У

22 р

3

2

(18)

Формула (18) справедлива только при к > кр; при к < кр следует полагать 1т ш = 0. Приближенные формулы (14) (18) хорошо согласуются с результатами численного решения дисперсионного уравнения (9).

В заключение выскажем предположение о структуре частотных спектров рассмотренных ленгмюровских волн в еще более коротковолновой области, когда параметр (13) является большим и представление о самосогласованном поле становится некорректным. В этом случае взаимодействие электронов плазмы происходит только за счет столкновений. Если же таковые отсутствуют, то частота продольных квантовых колебаний плазмы определяется формулой

ш = шн. (19)

В отличие от коллективных ленгмюровских колебаний волны (19) являются одноча-

к

к

мое престает нарастать, а затем вообще уменьшается до нуля.

ЛИТЕРАТУРА

[1] В. П. Силин. А. А. Рухадзе, Электромагнитные свойства плазмы, и плазмопо-добных сред (М.. Атомиздат, 1961).

[2] А. Ф. Александров. А. А. Рухадзе. Лекции по электродинамике плазмоподобных сред (М.. Изд-во Московского университета. 1999), 336 с.

[3] М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, УФН 178(10), 1025 (2008).

Учреждение Российской академии паук Институт общей физики

им. А. М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 23 октября 2009 г.