CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №7_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
С.А.Исхоков, О.А.Нематуллоев
О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Институт математики имени АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 24.04.2014 г.)
В работе исследована фредгольмовая разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов высшего порядка с измеримыми коэффициентами и доказана формула, уточняющая асимптотику собственных значений этих операторов на бесконечности.
Ключевые слова: задача Дирихле - эллиптический оператор - степенное вырождение - асимптотика собственных значений.
Пусть О - ограниченная область в п-мерном евклидовом пространстве Яп с (п — 1) — мерной гладкой границей дО, г - целое неотрицательное, а - вещественное число.
Символом (О) обозначим пространство функций и (х), определённых в области й, со следующей нормой
\и;ж; (О)|| = \ Х$Р2а (х)\и[к) (х)|2 сХ+\ |и(х)|2 dxl , (1)
[ Щ=г П П )
где р(х) - регуляризованное расстояние от точки х еО до дО . Замыкание класса С^ (О) по норме
0
(1) обозначим через Щг2.а(О) . Пространство антилинейных непрерывных функционалов, определённых на 2Та(О) , наделённое нормой сопряжённого пространства, обозначим через (ж г2.а(О)) . Символом Ь а (О) обозначим весовое лебегово пространство с нормой
||и^а(О)|| = ||(Ра( х )| и(х)|) .
Рассмотрим дифференциальный оператор
Ь (и) = Е (—1Т {р2а—2^ (х) *« (х) и(Щ> (х))(') (2)
Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]
и связанную с ним полуторалинейную форму
ВМ = £ \р2а—2г+т (х)ак1 (х)п[к> (х)1 (3)
\к\,|/| <г п
первоначально определённую на функциях и,уе Сд (О) . Коэффициенты аи (х) являются ком-плекснозначными функциями.
Символом (•, •) обозначим скалярное произведение в Ь2 (О) .Число Л называется собственным значением оператора Ь, если уравнение В[и,у]=Л (и,у)е С^(О) имеет ненулевое решение и (х) . Это решение называется обобщённой собственной функцией оператора Ь .
Данная работа посвящена изучению некоторых свойств собственных значений и обобщённых собственных функций дифференциального оператора (2). Эти вопросы ранее изучались в работах С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, Н.В.Мирошина [1-3] в предположении, что коэффициенты аи (х) ограничены и удовлетворяют следующему условию эллиптичности
Ке £ 2НФИ (х)аш (х)СкС, > с0р2а (х)^\Ск|2 (4)
т ,|/ <г
для всех х е П и любого набора комплексных чисел }щ<г. В отличие от этого, здесь мы предполагаем, что младшие коэффициенты аи (х) ,|£| +1/| < 2г — 1 принадлежат некоторым весовым пространствам вида Ь ^(О), старшие коэффициенты аи (х) ,|£| = |/ = г непрерывны в замкнутой области О и удовлетворяют следующему условию эллиптичности
Ке £ ак1 (х> сЦ" (5)
для всех х е е Яп (с0 - положительная постоянная, независящая от х,|).
Отметим, что в отличие от условия (4) в (5) участвуют только старшие коэффициенты и, даже в случае нулевых младших коэффициентов, условие (5) слабее, чем условие (4).
В случае выполнения условия эллиптичности (5), однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле с однородными и неоднородными условиями на границе, связанной с формой (3), ранее исследовалась в работах авторов [4,5].
Сформулируем основную задачу, связанную с формой (3):
Задача 1. Для заданного функционала ¥ е (¡И г2 а(О)) требуется найти решение
о
и (х) е И г2.а(О) уравнения
В [и,у] + Л(и) = (¥
для всех уе Сд (О).
Здесь и далее Л - комплекснозначный параметр.
Наряду с этой задачей, рассмотрим отвечающие ей однородную и формально сопряжённую
задачи:
Задача 2. Для заданного функционала О е(щ 2 «(О)) требуется найти решение
0
и ( х )еЩ 2; а(О) уравнения
В [у, и] + Л (и) = (О,у)
для всех Vе Сд (О).
о
Задача 3. Требуется найти решение и (х) е Щ 2-а(О) уравнения
В [и ,у]+Л(и ,у ) = 0
для всех Vе Сд (О).
о
Задача 4. Требуется найти решение и (х) е Щ г2.а(О) уравнения
В [у, и] + Л (и,у) = 0
для всех Vе Сд (О).
Теорема 1. Пусть 0 <а< г и старшие коэффициенты аы (х), |к| = |/| = 2 непрерывны в
замкнутой области О и удовлетворяют условию (4). Пусть также младшие коэффициенты ак1 (х), |к| +|/| < 22 — 1, принадлежат пространству (О), где
\Чы при \к\ < г —< r, к 1 Чщ при \к\ = г,|/| < г —1,
а числа д1к определяются соотношениями:
П <чк1 < п. . , если п > 2(г — Щ), п > 2(г — 2 '
22 — \к\ — И _ 2 — И
п
2 —
<Чк1,0 < —, если п > 2(г — Щ), п < 2(г —1/|);
Щ + ^ п~ЧИ' 1 2
«и =
г — I/ + п' 2 2
П ,0 <е2 < —, если и < 2(г — |к|), п > 2(г —1/|),
любое конечное число > 1, если п < 2(г — |к|), п < 2(г —1/|).
Тогда:
а) задача 1 разрешима для тех и только тех ¥ е (ИИ г2а(О)) , для которых |¥= 0 на всех
и(х), являющихся решениями задачи 4;
б) размерности пространств решений задач 3 и 4 равны;
в) задача 3 имеет отличные от нуля решения только для счётного числа значений параметра Л = Л ,7 = 1,2,..., причём |Л;| ^ ю при ю;
г) задача 4 разрешима для тех и только тех значений параметра Л, что и задача 3. Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда собственные значения Л оператора Ь таковы, что
£|Л| <ю
7=1
где у - любое число, удовлетворяющее неравенство у > п / (г — а).
Поступило 25.04.2014 г.
<
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирошин Н.В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свойства.-Диффернц. уравнения, 1976, т. 12, № 6, с. 199-1111.
2. Мирошин Н.В. Гладкость решения краевой задачи и задачи на собственные значения для эллиптических операторов, вырождающихся на границе. ДАН СССР, 1988, т. 299, № 6, с. 1310-1312.
3. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. Известия вузов. Математика. 1988, №8. с.4-30.
4. Исхоков С.А., Нематуллоев О.А. О разрешимости однородной вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области. - ДАН РТ, 2012, т. 55, № 8. с. 617-621.
5. Исхоков С.А., Нематуллоев О.А. О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области. - ДАН РТ, 2013, т. 56, № 5, с. 352-358.
С.А.Исхо^ов, О.А.Нематуллоев
ОИДИ ФУНКСИЯ^ОИ ХОС ВА ЦИММАТ^ОИ ХОСИ ЯК СИНФИ
операторной эллипсии таназзулёбандаи дара^аи олй
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола хдлшавандагии фредголмии масъалаи вариатсионии Дирихле барои як син-фи операторх,ои эллипсии дарачаи олии таназзулёбанда бо коэффитсиентх,ои ченшаванда тадкик карда шудаааст ва формулае исбот карда шудааст, ки асимптотаи кимматх,ои хоси ин операторх,оро дар беохирй аник мекунад.
Калима^ои калиди: масъалаи Дирихле - операторной эллипси - таназзулёбии дарацагй - асимптотаи цимматуои хос.
S.A.Iskhokov, O.A.Nematulloev ON EIGENVALUES AND EIGENFUNCTIONS OF A CLASS OF HIGHER ORDER
DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The paper is devoted to Fredholm property of the variational Dirichlet problem for a class of higher order degenerate elliptic operators with miserable coefficients. A formula is proved to precise an asymptote of eigenvalues of the operators on the infinity.
Key words: Dirichlet problem - elliptic operator - power degeneracy - asymptotes of eigenvalues.
