О случае кратных корней характеристического операторного многочлена линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика. Физика

УДК 517.937

О СЛУЧАЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРНОГО МНОГОЧЛЕНА ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ п-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.И. Фомин

Кафедра «Прикладная математика и механика», ТГТУ Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым

Ключевые слова и фразы: банахово пространство; задача Коши; характеристический операторный многочлен; кратный корень; общее решение; операторный определитель; операторно-векторное правило Крамера.

Аннотация: Получена формула общего решения линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка в банаховом пространстве в случае кратных корней характеристического операторного многочлена.

В банаховом пространстве Е рассматривается уравнение

и(п) + Л1ы(п~1) +... + Лп-1и'+ Лпи = 0, 0 < г <¥, (1)

где Л1 е Ь(Е), 1 < I < п .

Уравнение (1) можно записать в виде Ьи = 0, где Ь: Сп([0;да);Е) ^ С([0;да); Е), для любой функции Vе Сп([0; да); Е) имеем ¿V =(п) +Л^(п-1) +... + Лп_1ю' + Лпи . В силу линейности операторов Л„ 1 < / < п , дифференциальный оператор Ь является линейным.

Рассмотрим для уравнения (1) характеристический операторный многочлен Р(Л) = Лп + Л1Лп_1 +... + Лп-1Л + Лп Л .

В [1] найдена формула общего решения уравнения (1) в случае простых корней многочлена Р(Л). В данной работе аналогичная задача решается для случая кратных корней многочлена Р(Л).

Определение 1. Формальной производной т-го порядка многочлена Р(Л) называется операторное выражение, получаемое из Р(Л) путем его формального дифференцирования по Л по обычным правилам дифференцирования функций вещественной переменной (обозначение: Р(т)(Л)).

Замечание 1. Для любого 0 < т< п справедлива формула

п_т

Р(т) (Л) = т! X Ст-ЛЛп_т_к, к=0

где А0 = I (в частности, Р(0)(Л) = Р(Л)).

Определение 2. Оператор Л0е Ь(Е) называется корнем кратности г многочлена Р(Л),если

Р(т)(Л0) = 0, 0 <т < г_1, (2)

Р(г)(Л0) * 0. (3)

Пусть ^0 - множество решений уравнения (1).

Лемма. Если Л0 - корень кратности г многочлена Р(Л) и

ЛкЛ0 =Л0Лk, 1 < к < п , (4)

то при любом фиксированном хе Е функции вида

Л0/, ,, „Л0ьг_1„

и! = е 0 X , и2 = е 0 /X , ..., иг = е 0 г X

принадлежат множеству ^0.

Доказательство. Тот факт, что и1 е ^0, проверяется непосредственной подстановкой и1 в уравнение (1), при этом используется (2) при т = 0. Покажем, что

ит+1 = еЛ°гтх е ^0 , 1 < т < г -1.

Заметим, что для любой функции g(t) е С п ([0;да); Е) справедлива формула

п1

Ь(eA^>tg(/)) = еЛ°г £ -Р(к)(Л0)я(к)(/) (5)

к=0 к!

(доказательство формулы (5) аналогично ее доказательству в скалярном случае

(см. [2, с. 83]), при этом используется условие (4)). Полагая в (5) я (/) = гтх

(1 < т < г _ 1), получаем

Ь(еЛ0//тх) = еЛ0г [ Р(Л0)/тх + £т(т _ :)...(т _ к + :)Р(к )(Л0)/т-к X].

к=1 к!

(6)

Из (6) следует в силу (2), что Ьит+1 = 0. Лемма доказана.

Теорема. Пусть характеристический операторный многочлен Р(Л) уравне-

ния (1) имеетр корней Л1, Л2, ..., Лр е Ь(Е) с кратностями соответственно г1, г2, ... , гр (р < п, г1+г2+. +гр= п), удовлетворяющих следующим условиям:

Лк Л; = Л; Лк, " 1 < к < п, 1 < / < р , (7)

ЛiЛj =Л]Л; , " 1 < I, у < р , (8)

3 (Л; - Лу)-1, " 1 < у <; < р. (9)

Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

s=1 k=l

где х& (1 £ 5 £ р, 1 £ к £ г) - произвольные элементы из Е.

Доказательство. При любых фиксированных х5к из Е (1 £ 5 £ р, 1 £ к £ г5) функция вида (10) является решением уравнения (1), что следует из линейности оператора Ь и доказанной выше леммы, применимость которой корректна в силу условия (7). Покажем, что при любом фиксированном наборе начальных значений

Ио, и0,..., и0” 1) решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными условиями

принадлежит семейству (10). Для этого достаточно показать, что среди решений (10) найдется такое, которое удовлетворяет начальным условиям (11).

Введя обозначение

5=1

Применяя обобщение формулы Лейбница на случай композиции операторной и векторной функций:

u(0) = uo , u(0) = u'ou(n 1) (0) = m0” 1)

(11)

's

Qrs -1« = Z 1 -1 xsk ,

k=1

запишем (10) в виде

m

получаем, что

p m

или

pm

(i)

Тогда

P m (i)

u0m0)(0)=Z Z cm л m -%s-t(0).

s=1 i=0

(12)

Учитывая, что для любого 1 £ s £ p

2 r —1

Qrs —1(t) = XS1 + tXS2 + t XS3 + ■■■ + tS xsrs ,

получаем:

Q(i) (0) = i!xSI+1, 0 < i < г* -1,

Q(i) (0) = 0, i >

(13)

(14)

В силу (12) - (14)

м0™)(0)=

p m

Z Zi!cmLm“Ч-+1Д<m<r-1

s=1 i=0

P Г* -1

Z Zi!cmлrxsl+1,r <m<«-i.

s=1 i=0

Начальные условия (11) принимают вид

'Z, xs1 u0,

s=1

p m

Z Zi!cmLm~'xsi+1=<m<rs-1

s=1 i=0

P r-1

Z Zi!cmLm ixsi+1=«0 >rs <m<«-1.

s=1 i=0

(15)

Система (15) - это система линейных векторных уравнений относительно неизвестных

x11,..., x1r1 xs1,..., xsrs ,■■■, xp1,---, xprp

(16)

Определителем системы (15) является операторный определитель У„, со-

стоящий из р блоков вид X к o3 <D S CO o3 « i VI VI блок определителя ¥„ имеет

" I 0 0 0 ... 0 '

Л* I 0 0 ... 0

л2 с2л* I <N 0 ... 0

л* Сл2 2!С2Л* I rn ... 0

Л** -1 Лг* s Лг*+1 s -Л-2 rs 1 c1 л**-1 rs с1 +,л** rs+1 s 2!C2 ,L**-3 г -1 * s 2!C2 Л** -2 rs 2!C2+,L**-1 rs+1 s 3!C3 .Л**-4 г -1 s s 3!C3 Л**-3 rs 3!C3 +,L**-2 г*+1 * ... (г,-1)!/ ... (г,-1)!С;*-1Л, ... (г,-1)!с;:+-;л2

л«-1 1 vs -2 -1 tC 2!C2 ,Л«“3 « -1 s 3! «С3 1 . * - ... (г,-1)!СП111ЛГ:

Следовательно,

Р Г-1

Уп_(П ПV,

5=1 к=0

*

где Уп - операторный определитель, состоящий из р блоков вида (1 < 5 < р)

I 0 0 0 . .. 0

Ls I 0 0 . .. 0

LS c2Ls I 0. .. 0

lS cW2 CfLs I. .. 0

Lr-1 Cl-L-2 's 1 C2 -^ -3 s c3 ,lSs -4 . r -1 s s .. I

Lrs s C1 Lr-1 rs C lS -2 rs c3 LSs-3 . rs .. Cr-1Ls rs

Lrs+1 s C1 +,LSs rs+1 s C+LS-1 rs+1 s C3 Lrs-2 Crs+1Ls . .. с\>2 rs+1 s

Ln-1 s C1 Ln-2 Cn—1Ls C2 Ln-3 n -1 s c3 дп-4 Cn—1LS . Crs-1An-i .. Cn-1 Ls

Покажем, что

V* = П (L -L j )r

1< j<i< p

(18)

Вычтем из каждой строки определителя Уп , начиная со второй, его предыдущую строку, умноженную на Л1, при этом, используем соотношение

ск ___ск __ск-1

ст+1 ст _ ст ■

Разлагая полученный определитель по первому столбцу, получаем определитель ( п —1 )-го порядка. Вынесем общие множители Л5 - Л1 (2 < 5 < р) столбцов этого определителя и в полученном определителе элементы, записанные в виде разностей, представим в виде сумм.

Далее, упрощаем полученный определитель, используя свойство линейности определителя по столбцу и тот факт, что определитель, содержащий два одинаковых столбца, равен нулю, при этом, получаемые общие множители столбцов определителя выносим за знак определителя. В итоге приходим к формуле вида

V* =

П (Li -Li)r i=2

Vn

n-1 ■■

(19)

где Уп_1 - определитель (п-1)-го порядка, получаемый из определителя Уп вычеркиванием его последней строки и г1-го столбца (назовем совокупность действий, приведших к формуле (19), одним шагом). Продолжая выполнять вышеуказанные действия, проходим после г1 шагов к формуле

Vn =

П (Li-Li)

i=3

V„.

(20)

где Уп - определитель (п—Г])-го порядка, получаемый из определителя ¥п вы-

черкиванием его последних г строк и первых г\ столбцов (назовем совокупность действий, приведших к формуле (20), одним циклом). Далее, вычитая из каждой

строки определителя V , начиная со второй, его предыдущую строку, умноженную на Л2 и продолжая выполнять вышеуказанные действия, получаем после второго цикла формулу вида

V =

У П—1

П (Li-L2)r2ri

i=3

Vn.

где Vn_і _Г2 - определитель (п-гі-г2)-го порядка, получаемый из определителя

Vn

Г вычеркиванием его последних г2 строк и первых г2 столбцов. В итоге после

выполнения р циклов приходим к формуле (18).

В силу (17), (18)

г

Vn =

p rs-1 A

ППк! П (Li-LJ)r

^ s=1 к=0 )1< j<i< p

(21)

В силу (8), (9), (21) существует Vn 1 Є L(E) и

i p rs-1 A-1

V_1 =

У Y!

ППк! П

^ s=1 к=0 ) 1< j <i< p

(Li -L j )

-1

(22)

r.r. i J

Заметим, что неизвестное х.к (1 < 5 < р, 1 < к < г.) в наборе неизвестных (16) имеет порядковый номер

5-1

т(5, к) = ^ г} + к,

7=0

где го = 0. Тогда по операторно-векторному правилу Крамера [3] система (15) имеет единственное решение

п

х5к = Xл1т(.,к/п1ио "Я 1 £ 5 £ РД £ к £ Г, (23)

I=1

где Л/ц(. к) - операторное алгебраическое дополнение элемента операторного

определителя ¥„, записанного в 1-ой строке и |т(5, к) -ом столбце; V-1 задается формулой (22).

Итак, решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными условиями (11) получается из (10) при значениях параметров, задаваемых формулой (23).

Т еорема доказана.

Замечание 2. Общее решение линейного неоднородного уравнения Ьы = /имеет вид ы = ы00 + ы*, где ы00 задается формулой (10), ы* - некоторое частное решение данного уравнения. Для нахождения ы* можно, как и в случае простых корней многочлена Р(Л) (см. [1]), применить метод вариации произвольных постоянных.

Список литературы

1 Фомин, В.И. Об общем решении линейного дифференциального уравнения и-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве. // Вестник ТГТУ. - 2003. - Т. 9, №1. - С. 76-84.

2 Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А. Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. - М.: Наука, 1985. - 232 с.

3 Фомин, В.И. Операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве // Вестник ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. - 2002. - Т. 7, вып. 2. - С. 237-238.

On Case of Multiple Roots of Characteristic Operator Polynomial of the «-Order Linear Homogeneous Differential Equation with Constant Bounded Operator Coefficients in Banach Space

V.I. Fomin

Department “Applied Mathematics and Mechanics ”, TSTU

Key words and phrases: Banach space; characteristic operator polynomial; multiple root; Cauchy problem; operator determinant; operator-vector Cramer’s rule; general solution.

Abstract: Formula for general solution of the linear homogeneous differential equation of the n-order in Banach space in case of multiple roots of a characteristic operational polynominal is obtained.

Über Fall der Divisibelwurzeln des charakteristischen Operatorenpolynomes der linearen gleichartigen Differentialgleichung der «-Ordnung mit den ständigen begrenzten Operatorenkoeffizienten im Banachischen Raum

Zusammenfassung: Es ist die Formel der Gesamtlösung der linearen gleichartigen Differentialgleichung der «-Ordnung im Banachischen Raum im Fall der Divisibelwurzeln des charakteristischen Operatorenpolynomes erhalten.

Sur le cas des racines multiples du polynôme caractéristique opérateur de l’équation différentielle uniforme non-linéaire de l’ordre-« avec les coefficients opérateurs continus limités dans l’espace de Banach

Résumé: Est reçue la formule pour la solution générale de l’équation différentielle uniforme non-linéaire de l’ordre-n dans le cas des racines multiples du polynôme caractéristique opérateur.