Об общем решении линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика. Физика

УДК 517.928.4

ОБ ОБЩЕМ РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ п-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.И. Фомин

Кафедра прикладной математики и механики, ТГТУ Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым

Ключевые слова и фразы: банахово пространство; задача Коши; общее решение; однородное уравнение; операторно-векторное правило Крамера; операторный определитель Вандермонда; характеристическое операторное уравнение.

Аннотация: Получена формула для общего решения линейного дифференциального уравнения п-го порядка в банаховом пространстве.

В банаховом пространстве Е рассматривается уравнение

и( п) + А^п-1) +... + Ап-1ы'+ Апи = / (/), 0 < / <да, (1)

где А1. е Ь(Е), 1 < I < п; /(/) е С(0, да); Е).

Уравнение (1) можно записать в виде

Ьи = /,

где Ь : Сп ([0, да); Е) — С(0, да); Е); для любого V е Сп ([0, да); Е)

Ьи = v(п) + А^(п-1) +... + А лV + А V.

1 п—1 п

В силу линейности операторов А., 1 <. < п, дифференциальный оператор Ь

является линейным.

Определение. Общим решением уравнения (1) называется п-параметрическое

семейство функций и = ф(, (1,..., хп) из Сп ([0, да); Е), где х, х2,..., хп - параметры; Х1, *2,..., хп е Е , удовлетворяющее следующим условиям:

1) любая функция из этого семейства является решением уравнения (1);

2) при любом фиксированном наборе начальных значений м, м0,..., 1) еЕ

решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными условиями

u (0) = u0 , u' (0) = u0,..., u0n 1) = u0n 1) (2)

принадлежит этому семейству.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

(n) + A1u(n-1) +... + A 1 u'+ Au = 0, 0 < t <да. (З)

1 n—1 n ’ v '

и

Пусть характеристическое операторное уравнение

Лп + А,Лп—1 +... + А ,Л+ А = 0 (4)

1 п—1 п 4 '

имеет п различных корней Л. е Ь (Е), 1 <, < п, удовлетворяющих следующим условиям:

Л,Л , = Л,Л,, V 1 < ,, 1 < п; (5)

I ] ] I ■>

3 (Л, —Л, )—1 е Ь(Е), V 1 < , <, < п. (6)

Теорема 1. При выполнении условий (5), (6) общее решение уравнения (3)

имеет вид

ио о = е 1 Х1 + е 2 Х2 +... + е п Хп , (7)

где *1, *2,..., хп - произвольные элементы из Е .

Доказательство. При любом фиксированном Л, и любом фиксированном

х, е Е (1 < , < п) функция еЛ х, является решением уравнения (3). Действительно,

Ь(V*, ) = (,', ) + А. )()1 > + ...+ (,'х)'+ А1!еА'‘х1- =

. п Л, I , . п—1 Л, I , . Л, I , ЛЛ

= Л, е 1 х, + А1Л, е 1 х, +... + Ап_уЛ1е 1 х, + Апе 1 х, =

Тогда в силу аддитивности оператора Ь при любых фиксированных х1, х2,..., хп е Е функция вида (7) является решением уравнения (3).

Покажем, что при любом фиксированном наборе начальных значений М0 , и'0 ,..., и0п 1) решение задачи Коши для уравнения (3) с начальными условиями (2) принадлежат семейству (7). В силу единственности решения задачи Коши для этого достаточно показать, что среди решений (7) найдется такое, которое удовлетворяет начальным условиям (2). Получаем:

' . Л11 . Л21 . Лп t

и = Л,е 1 х + Ле 2 х~ +... + Л е п х ,

о.о. 112 2 п п -

" Л 2 , Л2 Лоt .2 Лnt

М = Л е 1 х + Ле 2 х0 +... + Л е п х ,

о.о. 1 12 2 п п '

м(п—1) = Л,п—+Л2_1еЛ2tx) +... + Л,п—^х .

о.о. 1 12 2 1 п

Начальные условия (2) принимают вид

X, + X0 + ••• + X = un 12 n 0

A1X1 + A 2 x2 + ••• + A nXn = «0 A1X1 +Л 2 x2 + ••• +Л nxn = u0

(В)

Л” 1 хі +л 2 1 х2 + ••• + Л П 1 Хп = и0

Определителем системы (8) является операторной определитель Вандермонда

n-1v -,,(n-1)

I I I

Л1 Л2 • Лп

Vn = л2 Л2 • • Л2

Лп-1 Лп-1 л2 • л П-

В силу (5)

(Лг -Л] ) -лт ) = (Лк -Лт )( -Л] ) V 1 < /, ], к, т < п. (8)

Учитывая (9), получаем методом математической индукции следующую формулу

для вычисления Vn .

V, = П (Ai-AI )•

1< j<i< n

Из (9) следует, что

(Лг -Л] ) ( -Лт )-1 = ( -Лт ) ( -Л] )-1

(10)

(11)

для любых 1 < ] < і < п, 1 < т < к < п. В силу (6), (10), (11) существует

V-1 є L (E) и

V- = П (-Лj)•

1< j <i<n

(12)

Применяя операторно-векторное правило Крамера для решения систем линейных векторных уравнений, приходим к выводу, что система (8) имеет единственное решение

Xm =1 АыКЧк-1);

m = 1, 2, •••, n,

(13)

к=1

где Акт - операторное алгебраическое дополнение элемента Акт операторного определителя Уп (1 < к, т < п):

Акт = (-1)к+т Мкт >

где М^т - операторный минор элемента Акт операторного определителя ¥п, то операторный определитель (п -1)-го порядка, получаемый из Уп вычеркиванием его к-ой строки и т-го столбца.

Итак, решение задачи Коши для уравнения (3) с начальными условиями (2) получается из (7) при значениях параметров, задаваемых формулой (13).

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Если и* - частное решение уравнения (1), то общее решение уравнения (1) имеет вид

u = uo.o. + u* •

(14)

Действительно, при любых фиксированных *1, *2,..., хп е Е функция вида (14) является решением уравнения (1):

L

Л,- t

Z e"'xi +u*

Л ( n л

V e 1 x

.1=1

= L

/

Z e

.1=1

+ Lu* = 0 + f = f •

/

Пусть и - решение задачи Коши (1), (2). Тогда функция и = и - и* является решением уравнения (3):

Ьи = Ь(и - и*) = Ьи - Ьи* = / - / = 0.

Следовательно, в силу теоремы 1 найдутся такие *1, *2,..., хп е Е , что

A1t ~

u = у e 1 X,

откуда

: = Z e 1=1

n

ZA1t -

e 1 x,. + u_.

1=1

а это означает, что и принадлежит семейству решений (14).

Теорема 2. При выполнении условий (5), (6) уравнение (1) имеет частное решение вида

и* =Х (-1)п+к П (-Лу )-1 П (А-Ак )-1(^) / (т) ^ . (15)

к=1 1< у < к к < <п о

Доказательство. Будем искать и* методом вариации произвольных постоянных:

и*=]ГеЛкЧ (?), (16)

к=1

где *к (/) - неизвестные пока функции. Подставим функцию (16) в уравнение (1). Имеем:

и* = Е Л кеК к1хк(*)+ЕеА к14(*). к=1 к=1

Потребуем, чтобы

Ze k хк (t)=°. к=1

u*=Zл keAktxk(t ^

к=1

и* = XЛ2еАкЧ(*) + XЛкеАкЧ(*). к=1 к=1

Потребуем, чтобы

X л кеЛкЧ(*)=°. к=1

Тогда

и*=X л 2 еАкЧ(*^ к=1 ' = £^^4 (*) + ХЛ2еАкЧ (*).

Потребуем, чтобы

u*

к=1 к=1

ZA2eAktx'k (t) = о к=1

Тогда

u*=ZA 3 eAk4(t)’ k=1 =ZA 4 eAk4(t)+Z AkeAktxk(t).

k=1

,(4) = V A 4eAkl

Потребуем, чтобы

u*

k=1 k=1

Zan-2e ktxk (t) = 0. k=1

Тогда

(n-1) = V A n-1eAkt1

= ZAn-1e ktxk (tX k=1 = Z AleAktxk (t) + Z An'^4 (t).

к=1 к=1

Подставляя функцию (16) и ее производные в левую часть уравнения (1), получаем:

X лпеАкЧ (*)+Х лп-1еА кЧ (*)+л X лп-1еА к* Хк (*)+ к=1 к=1 к=1

+... + Ап-1 XЛк^Ч (*) + Ап ]^еА^ Хк (*) = к=1 к=1

ZAk 1eVxk(1)+(n + (1 + •••+А„-1Л1 + An)eVx1())+ k=1

+ (лn + (л2-1 + ••• + Ап-1Л2 + An )24 (1) + ••• + + (лn + А1ЛП-1 + ••• + Ап-1Лп + An )ntxn (1) = ZЛГ1 xk (1 ^

k=1

Итак, функция (16) является решением уравнения (1), если

Z eAk4(t)=0

k=1

ZAke ktxk(t)=0 k=1

ZЛ2eAk4 (t) = 0 k=1

ZЛn-2eAktxk (t) = 0

k=1

Zлn-1eAktxk (t) = f (t)• k=1

Определитель системы (17) имеет вид

Л11 e 1 e 2 e 3 Ant e n

л/^ Л2eA2 ‘ A3eA3t • . Ant ■ Ane n

Д (t) = Л2 eA1( Л2eA2 ( A32eA3t . . Л 2eAnt n

An-2 eA1? Лn-2eA2 ' A3n-2 eA3t . • Лn-2eAn

A^e^ An-1eA2' A^e^ . . An~1ehn

n

= П e i=1

Л t

Получена формула

I I IK I

Л1 Л 2 Л3 K • An

Л12 Л 2 A2 •• • лП

2 -R — С Л n-2 л3п-2 • • лП-2

Af1 Л n-1 2 лП-1 • • ЛП_1

Д (t) п n e i Vn •

п

i=1

Ait т/

e 1 • V

(17)

(18)

i=1

В силу (5)

Л t A ,t A ,t A t

e 1 •e 1 =e 1 • e 1 , V 1<i, j < n • (19)

Из (19) следует, что

-Л- / -Л Д -Л Л -Л- /

е г • е 1 = е 1 • е г, V 1 < г, , < и . (20)

В силу непрерывной обратимости существует Д_1 (/) е X (Е) и с учетом (20)

А-1(/) = ^ .

г=1

или в силу (12)

Д-1(/) = П ( -Л1 )-1 -Пе-Лг/. (21)

1< ,<,<п ,=1

Применяя операторно-векторное правило Крамера для решения систем линейных векторных уравнений, приходим к выводу, что система (17) имеет единственное решение:

для к = 1, 2, ..., п

х /<-._> .\п+к! Т „Л1/

X1

x'k (t) = (-1)n+k П e 1 • П ( -Л1 )д-1(t) f (t)

или в силу (21)

1=1 1< j <i<n

jФk i, 1

xk (t) = (-1)n+k П ( -Л1 )-1 • П ( -Ak

1< 1 <k k < 1 <n

откуда

Хк (/) = (-1)п+к П (к-Л1 )-1 • П (-Лк)-11 е_Лк7(т)(22)

1< 1<к к <г<п о

Подставляя (22) в (16), получаем (15) (использованная здесь коммутативность операторных множителей следует из условия (5)).

Теорема 2 доказана.

В силу замечания 1 и теоремы 2 справедливо следующее утверждение. Теорема 3. При выполнении условий (5), (6) общее решение уравнения (1) имеет вид

и = £еЛк/Хк +£(-1)»‘ П (Лк-Л,)"' • П (Л,-Лк) Рк<'-'>/(,т,

к=1 к=1 1< ,< к к <г<п о

(23)

где Х1(1 < к < п) - произвольные элементы из Е.

Для отыскания решения задачи Коши (1), (2) достаточно в общем решении уравнения (1) подобрать значения параметров Хр х^,..., хп е Е так, чтобы выполнялись начальные условия (2).

Рассмотрим, например, уравнение второго порядка

ы’ + Alu' + 4ы = /(/), 0 < / <да,

где A1, A2 e L(E), f (t) e С([0, да); E) •

2

Пусть операторный дискриминант Д = А1 - 44 уравнения (24) удовлетворяет следующему условию: Д = ¥2 , где ¥ е О!(Е) = {^ е I (Е) | 3 0_1 е Ь(Е)} , и А1 ¥ = ¥А^. Тогда характеристическое операторное уравнение

Л + A1Л + A2 = 0

имеет два различных корня

при этом, в силу условия A1F = FA1

Л1Л2 = Л2 Л1

и

3 (л2 -л1) 1 = F_1 e L(E),

то есть выполняются условия (5), (6). Следовательно, в силу (23) общее решение уравнения (24) имеет вид

/

ы = еЛ1/Х1 + еЛ2/Х2 + ¥_1 1[еЛ2 (/-т) - еЛ1 (/-т) ] /(т) ёт, (25)

о

где Х1, Х2 - произвольные элементы из Е.

Найдем решение задачи Коши для уравнения (24) с заданными начальными условиями

Для этого подберем в (25) значения параметров Х1, х2 так, чтобы выполнялись начальные условия (26). Имеем:

ы' = Л1еЛ1/Х1 +Л2еЛ2/ + ¥-11[л2еЛ2 (/-т) -Л1еЛ1(/-т) ]/(/)ёт .

о

Начальные условия (26) принимают вид

Применяя операторно-векторное правило Крамера для решения систем линейных векторных уравнений, получаем:

и (0) = U0 , и'(0) = и0 •

(26)

x1 = F 1 (Л2U0 - и0 ), x^ = F 1 (u'0-Ли )•

(27)

Подставляя (27) в (25), получаем решение задачи Коши (24), (26):

и =

F 1 [eA21 (U0 -Л1и0 )-eA1t (0 -Л2 U0 ) +

/ (28) + {[еЛ2 (/-т) - еЛ1(/-Т) ] /(т)ёт . о

Формула (28) известна ([1] - [3]).

Результаты настоящей работы анонсированы в [4], [5].

Список литературы

1. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве: Тез. докл. / «Понтрягинские чтения - XI». Воронеж: Изд-во ВГУ, 2ооо. - С. 145.

2. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве (на англ. яз.) // Вестник ТГТУ. - 2ооо. - Т. 6, № 4. - С. 643 - 646.

3. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. -2оо2. - Е. 38, № 8. - С. 114о - 1141.

4. Фомин В. И. Об общем решении линейного дифференциального уравнения п-го порядка в банаховом пространстве: Материалы VII научной конференции. Тамб. гос. техн. ун-та. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2оо2. - С. 173 - 174.

5. Фомин В.И. Об общем решении линейного дифференциального уравнения п-го порядка в банаховом пространстве: Материалы шк. «Понтрягинские чтения -XIII». Воронеж: Изд-во ВГУ, 2оо2. - С. 154 - 155.

On General Solution of the «-Order Linear Differential Equation with Constant Bounded Operator Coefficients in Banach Space

V.I Fomin

Department of Applied Mathematics and Mechanics, TSTU

Key words and phrases: Banach space; general solution; homogeneous equation; characteristic operator equation; Vandermonde operator determinant; operator-vector Cramer’s rule; Cauchy problem.

Abstract: Formula for general solution of the linear differential equation of the n-order in Banach space is obtained.

Uber der allgemeinen Losung der linearen Differentialgleichung der я-Ordnung mit den konstanten beschrankten Operatorkoeffizienten in den Banachischen Raum

Zusammenfassung: Es ist die Formel fur die allgemeinen Losung der linearen Differentialgleichung der n-Ordnung in den Banachischen Raum bekommen

Sur la solution generale de l’equation lineaire differentielle du я-ordre dans l’espace de Banach

Resume: Est regue la formule pour la solution generale de l’equation lineaire differentielle du n-ordre dans l’espace de Banach