О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ и-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© В.И. Фомин

Fomin V.I. On a solution of the Cauchy problem for the linear differential equation of n-order with the constant bounded operator coefficients in the Banach space. The Cauchy problem for the linear differential equation of n-order with the bounded operator coefficients in the Banach space is analysed.

В банаховом пространстве E рассматривается задача Коши

uw + А,и^х) + ... +A„.iu'+A„u 0<?t<oo, (1)

«(0) = но, «'(0) = «о: ..., «('”1)(0) = ио(м_1), (2)

где Ai е L(E), 1 < i < n;j[t) е С([0,°о); Е).

Определение. Общим решением уравнения (1) называется и-параметрическое семейство функций и = (р (Г, Х[, XI, ..., х„) из С"([0,оо); Е), где х\, х% х„ -

параметры; xt, х% ..., х„ е Е, удовлетворяющее следующим условиям:

1) любая функция из этого семейства является решением уравнения (1);

2) при любом фиксированном наборе начальных значений щ, щ', но" е Е решение задачи Коши (1), (2) принадлежит этому семейству.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

г/”^ + Aiu^"-1^ +... + А„-\и'+ А„и = 0, 0 ^ t< оо . (3)

Пусть характеристическое операторное уравнение

Лп + А\Л" 1 + ... + Ап~\Л + Ап = 0

имеет п различных корней Л е ЦЕ), 1 <i<n, удовлетворяющих следующим условиям

AtAj = AjAi, VI <i,j< и;

3 (Л - Л/ У' е ЦЕ), V 1 < j < i < п.

(4)

(5)

Теорема 1. При выполнении условий (4), (5) общее решение уравнения (3) имеет вид

Мо.о. = ]£«^*4

(6)

И — Мо.о.-*- Иц.н. ?

где i/o.o. задается формулой (6),

(7)

” с

= У[НГ* П (Л* - Лj)~' П (Л,-Л*)-1

f—' l£j<k J k<j<Ln j

частное решение уравнения (1).

Введем в целях краткости записи следующее обозначение:

Вк=(-1)п+к П 04—Л,.)-1 П (Л, -At)_1;

\<,j<k k<i<n

к= 1,2,

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4), (5) и МеС~-\[0,ссу,Е).

Тогда задача (1), (2) имеет решение вида

и = УеА‘‘хк +у [Вк f

к=1 к=\ п

где

хк=А 'Ак(Ьу, к = 1,2,

(8)

(9)

Л - операторный определитель, Л^Ь) - операторновекторные определители системы уравнений

X** =н°

(10)

к=1

=««-£[s^a-1-v(p)(°)]; *>1,2,...,»-1,(п) *=1 *=1 р=0

то есть,

где Хк (1 < к < и) - произвольные элементы из Е.

Теорема 2. При выполнении условий (4), (5) общее решение уравнения (1) имеет вид

а*0) = £А*** ,

(12)

т=\

где Атк = (-1 )т+кМ,„к, Мтк - операторный определитель (п - 1)-го порядка, получаемый из А вычеркиванием его т-ой строки и к-то столбца; Ь = (Ьт)пт=х - вектор-столбец правых частей уравнений системы (10), (11). Замечание 1. ([1]).

Д= П (Л,.-Л,), А-1 = П (Л, -Л )'1.

\<]^<п 1 <7</<и

і

и = еА'Іх1 + еА*'х2 + 1[еАЛ'~г) - еА'('~х)]/(т)<Л, (15)

где X], х2 - произвольные элементы из Е.

Известная формула ([5] - [7]) для решения задачи (13), (14) получается из (15) при *1 = Ел(Лгщ - щ’), XI = К\щЛ\щ), найденных по формуле (9).

Замечание 2. При доказательстве теорем 1-3 используется операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве ([2]).

Замечание 3. Теорема 2 анонсирована в [3],

[4].

Рассмотрим, например, задачу (1), (2) при п = 2:

и"+А\и'+А2и = /(0, 0<ґ<оо, и(0) =и0 , м'(0) = и'0 ,

(13)

(14)

где Аи А2е Ь(Е);М е С([0, да); Е).

Пусть операторный дискриминант О = А\2 - ЛАг уравнения (13) удовлетворяет следующему условию: О - Г3, где Г е СЦЕ) = {(2 е ЦЕ) 13 2-1 € ЦЕ)}, и А\Е = РА]. Тогда характеристическое операторное уравнение Л2 + А\Л + Аг = 0 имеет два различных корня Л, =^(-А\ -Е), Л2 = +Р), при этом

А\Л-1 = ЛгЛ\ и Лг - А\ = Р е ОЬ(Е), то есть выполняются условия (4), (5). Следовательно, в силу (7) общее решение уравнения (13) имеет вид

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомин В.И. Об операторном определителе Вандермонда // Вести. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 2. С. 235-236.

2. Фомин В.И. Операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 2. С. 237-238.

3. Фомин В.И. Об общем решении линейного дифференциального уравнения п-го порядка в банаховом пространстве // Тез. докл. VII науч. конф. ТГТУ. Тамбов: ТГТУ, 2002. С. 173-174.

4. Фомин В.И. Об общем решении линейного дифференциального уравнения и-го порядка в банаховом пространстве // Сб. материалов шк. «Понтрягинские чтения - XIII». Воронеж: ВГУ, 2002. С. 154-155.

5. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Тез. докл. шк. «Понтрягинские чтения - XI». Воронеж: ВГУ, 2000. С. 145.

6. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве (на англ. яз.)//Вестн. ТГТУ. 2000. Т. 6. №4. С. 643-646.

7. Фомин В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения . 2002. Т. 38. № 8. С. 1140-1141.

Поступила в редакцию 18 декабря 2002 г.