CC BY
1
УДК 510.51 DOI 10.24147/1812-3996.2024.1.8-17
О СЛОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ В БИЦИКЛИЧЕСКОМ МОНОИДЕ
К. Д. Пичуев
аспирант, e-mail: pi4uev98@gmail.com А. Н. Рыбалов
канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, e-mail: alexander.rybalov@gmail.com Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Омск, Россия
Аннотация. В статье доказывается, что проблема разрешимости систем уравнений над бициклическим моноидом является NP-трудной. С другой стороны, доказывается полиномиальная разрешимость этой проблемы для некоторого естественного класса уравнений от одной переменной.
Ключевые слова: уравнения, бициклический моноид, NP-трудность.
1. Введение
Решение уравнений и систем уравнений над вещественными, комплексными, рациональными, целыми числами является классической темой исследований в различных областях математики в течение уже нескольких тысяч лет. Классическая алгебраическая геометрия изучает множества решений алгебраических уравнений над полями вещественных и комплексных чисел. В рамках диофантовой геометрии и диофантова анализа изучаются решения алгебраических уравнений над целыми и рациональными числами. В XX в. большую роль начали играть вычислительные аспекты этих теорий. Изучение алгоритмических проблем, связанных с определением наличия решения у систем уравнений, а также с нахождением и описанием множества решений, является темой многочисленных теоретических и практических исследований.
Другим направлением исследований, возникшим в XX в., является изучение и решение систем уравнений над алгебраическими системами, отличными от классических полей вещественных и комплексных чисел и кольца целых чисел. К ярким результатам такого типа можно отнести алгоритм Г. С. Маканина [1], решающий проблему разрешимости систем уравнений в свободных полугруппах, а также результат В. А. Романькова [2] о неразрешимости проблемы решения систем уравнений над некоторыми нильпотентными группами.
В данной работе изучается проблема разрешимости уравнений над бициклическим моноидом В = {а,Ь\аЬ = е). Бициклический моноид играет важную роль в алгебраической теории и теории топологических полугрупп. О. Андерсен [3] доказал, что 0-простая полугруппа с идемпотентом является вполне 0-простой тогда и только тогда, когда она не содержит изоморфной копии бициклического моноида. Бициклический моноид В используется при построении контрпримеров для разного
рода гипотез, а также имеет очень сложное строение решений уравнений. В качестве демонстрации сложности строения можно привести следующий факт: известно, что над бициклическим моноидом В можно построить бесконечную систему уравнений без констант такую, что она не эквивалентна ни одной своей подсистеме [4]. Известно также, что по системе уравнений над бициклическим моноидом В можно построить эквивалентную ей систему над арифметикой Пресбургера [5], а там существует алгоритм, проверяющий разрешимость любых систем уравнений.
В данной статье доказывается, что проблема разрешимости систем уравнений над бициклическим моноидом является МР-труцной. С другой стороны, доказывается полиномиальная разрешимость этой проблемы для некоторого естественного класса уравнений от одной переменной.
2. Предварительные сведения
Бициклическим моноидом будем называть моноид, заданный конечно определенным представлением В = (a, b\ab = е), где е - пустое слово, выполняющее роль единицы, с операцией умножения - конкатенацией слов. Эту операцию мы будем иногда обозначать также *. Нормальной формой слова w над алфавитом {а, Ь} в В назовем слово Ьтап. Очевидно, любой элемент моноида В можно привести к такой нормальной форме.
Легко посчитать, что нормальной формой произведения двух произвольных элементов х = Ьтап и у = bkа1 в бициклическом моноиде В является
X * у = ЬтаП * Ька1 = ¡)m+k-min{n,k} * gl+n-min{n,k}
Под степенью элемента х = Ьтап будем понимать вектор (т,п), где т,п Е N. Говорим, что степень элемента х = Ьпат больше степени элемента у = bkа1, если координаты вектора степени х больше соответствующих координат вектора степени у, то есть п > к и т > I, и говорим, что меньше - наоборот. Под разностью степеней х = Ьпат, у = Ька1 в В будем понимать вектор (п — к,т — I). Пусть х -это элемент бициклического моноида В. Запись а Е х означает, что буква а входит в запись элемента х. Для буквы b, b Е х, определяется аналогично.
Введем функцию
к,х = ак
de9l{x)-, ^ =
Определим также функцию, возвращающую вектор степени элемента бициклического моноидаdeg2(x) = (к, I), при х = Ька1. Наконец, введем функцию ext, которая возвращает число вхождений неизвестного х в слово. Например, для
w = С\ХС2хс3, ext(w) = 2.
Напомним также, что алгоритмическая проблема распознавания А С I принадлежит классу NP, если существует полиномиальный алгоритм Л и полином р(п) такие, что
х Е А ^Зу Е I : \у\ < р(\х\), Л(х,у) = 1.
Здесь через |ж| обозначена длина входа х. Элемент у еще называют подсказкой и говорят, что алгоритм Л проверяет эту подсказку.
Алгоритмическая проблема распознавания А С I называется НР-трудной, если к ней за полиномиальное время сводится любая проблема В С I из класса НР. То есть существует функция f : I ^ I, вычислимая некоторым полиномиальным алгоритмом, такая, что
х е В ^ f (х) е А.
Если при этом НР-трудная проблема сама принадлежит классу НР, то она называется НР-полной.
3. ^-трудность
Теорема 1. Проблема проверки разрешимости систем уравнений над бицикли-ческим моноидом является ^-трудной.
Доказательство. Докажем, что к проблеме разрешимости систем уравнений в би-циклическом моноиде полиномиально сводится известная НР-полная проблема о выполнимости 3-КНФ.
Напомним, что проблема о выполнимости 3-КНФ заключается в следующем. 3-КНФ Ф(жь... ,хп) - это конъюнкция дизъюнкций вида (а1 V а2 V а3), где а^, г = 1, 2, 3, есть либо булева переменная Хк, либо отрицание булевой переменной хй. Нужно определить, будет ли заданная 3-КНФ Ф(х\,..., хп) выполнимой, то есть существуют ли значения а1,... ,ап е {0,1}га такие, что Ф(^,..., ап) = 1.
Построим по 3-КНФ Ф(ж1,..., хп) систему уравнений над бициклическим моноидом, которая имеет решение тогда и только тогда, когда Ф(ж1,... ,хп) выполнима. Для этого каждой булевой переменной из Ф сопоставим две переменные х и у, а также запишем уравнения:
Хй О/^С,
уа = ау, ху = а.
Первые два уравнения гарантируют, что возможные значения для х и у принадлежат подмоноиду, порожденному а, а третье, что х, у могут принимать значения только а или е. Элемент а будет выполнять роль логической 1, а е - роль логического 0. У самих же переменных роли таковы: х будет моделировать соответствующую логическую переменную, а у - ее отрицание.
Далее смоделируем дизъюнкцию (а1 V а2 V а3). Для этого возьмем переменные ^ъ ^2, z3 над бициклическим моноидом, соответствующие переменным (или их отрицаниям) из дизъюнкции, и запишем уравнения
г1х2х3 = аи,
иа = аи,
где и - некоторая новая переменная. Заметим, что эта система уравнений разрешима в бициклическом моноиде тогда и только тогда, когда хотя бы одна из переменных ^ь £2, ¿3 равна а, что соответствует истинности соответствующей дизъюнкции.
Теперь по каждой дизъюнкции 3-КНФ Ф(ж1,... ,хп) строим подобные уравнения и получаем систему которая имеет решения в бициклическом моноиде тогда и только тогда, когда 3-КНФ Ф(ж1,... ,хп) выполнима. Полиномиальность данной сводимости следует из описанного процесса построения. ■
4. Уравнения с одной переменной
Рассмотрим уравнение вида:
С1ЖС2 ... ск-1Хск = е. (1)
Лемма 1. Если произведение элементов в В равняется е, то первый элемент произведения равен ап, а последний - Ьт, где т,п е {0,1,...}.
Доказательство. Покажем, что если первый элемент произведения не равен ап и последний элемент не равен Ьт, то равенства е достигаться не будет.
Пусть первый элемент произведения равен ЬРая, а последний - ЬсаЛ и р,<1 > 0, то есть
С1 * С2 * ... * ск-1 * ск = \?ач * С2 ... ск-1 * ЪсаЛ,
где Сг, г = {2,... ,п — 1}, - произвольные слова из В. Заметим, что, перемножая элементы в левой части равенства, степени ЦР и аЛ могут либо остаться такими же, либо увеличиться, следовательно мы можем записать
Ьрад * с2 * ... * ск-1 * ЬсаЛ = Ьга3,
где Ь > р и ^ > ¿.
Ь1а3 = е.
Также необходимо рассмотреть случаи, когда первый элемент произведения не равен ап, а последний равен Ьт, и наоборот. При таких условиях левая часть равенства примет вид:
Ьрад * с2 * ... * ск-1 * Ьт,
р,т > 0 и
ап * с2 * ... * ск-1 * ЬсаЛ,
п,<1 > 0. При перемножении всех элементов в первом и втором случае Ъ? и аЛ соответственно не сократятся, следовательно равенства единичному элементу достигаться не будет. ■
Следствие 1. Если уравнение (1) разрешимо и с1,ск = е, то с1 = ап и ск = Ьт, где т,п е {0,1,...}. Если же с1 = ск = е, уравнение принимает вид
ХС2 ... ск-1Х = е,
то х = е и с2 = ап, ск-1 = Ьт, где т,п е {0,1,...}.
На основе полученных результатов уравнение (1) имеет смысл теперь рассматривать в виде
апхс2 ...ск-г хЬт = е. (2)
Также далее, когда речь будет идти о константах уравнения (2), будем помнить о том, что С\ = ап, ск = Ьт.
Лемма 2. Степень х в уравнении (2) ограничена сверху степенью элемента т = Ьпат.
Доказательство. Покажем неразрешимость уравнения (2) при х = Ьп+кат+1, где к,1 > 0. Подставим данное значение х в уравнение
ап * Ъп+к ат+1 * с2 ...ск-1 * Ъп+кат+1 * Ьт = е,
(апЬп+к) * ат+1 С2 ... Ск-гЬп+к * (ат+1 Ьт) = е,
(Ьк) * ат+1 С2 ... Ск-гЪп+к * (а1) = е.
Так как к,1 > 0, то, по лемме 1, уравнение неразрешимо, следовательно значение для х нам необходимо искать с вектором степени, координаты которого меньше либо равны соответствующих координат вектора степени слова т = Ьпат. ■
Лемма 3. Пусть разрешимое уравнение (2) имеет четное число вхождений х, оно примет вид
п 1 т^Л
а хс2 ... хсЪх ... ск-гхо = е, где сЪ - константа, стоящая в середине уравнения. Тогда
^ йедг{а) - ^ йед^Ъ) > ^ йед^а) - ^ йед^Ъ).
Доказательство. Пусть сЪ = Ъсал, х = Ьра1. Рассмотрим левую половину уравнения
ап(ЬРа1)С2 ... (ЬРа1)ЬС. Так как уравнение разрешимо, то п > р. Тогда
ап-р+1С2 ... (ЬРа1 )ЬС.
Далее будем прибавлять слагаемые к степени ап-р+1 по следующему алгоритму:
1. Если встречается буква а?, тогда прибавляем f к степени ап-р+1, f > 0.
2. Если встречается буква Ь?, то для разрешимости уравнения f должно быть меньше имеющейся у нас степени а, следовательно отнимаем f > 0.
Теперь рассмотрим правую половину уравнения
ал(ЬРа')... Ск-\(Ьра1 )Ьт. Так как уравнение разрешимо, то т > д, следовательно
аа(ЬР а1) ...Ск-гЬт-1+р. Далее будем прибавлять слагаемые к степени Ьт-1+р по следующему алгоритму:
1. Если встречаем Ь?, то прибавляем / > 0 к степени Ьт д+р.
2. Если встречаем а?, то для разрешимости необходимо, чтобы f было меньше имеющейся у Ь степени, поэтому отнимаем f > 0.
Получим
ап-р+д-...-с^т-д+р-...-4 = &
Исходя из того, как мы складывали степени, имеем:
п — р + д — ... — с > 0, (3)
т — д + р — ... — d > 0. (4)
Заметим, что так как константа с^ делит уравнение пополам, то в левой и правой части уравнения одинаковое количество х, следовательно в каждом из неравенств (3), (4) равное количество раз встречается р и д. Также заметим, что в неравенство (3) степени а входят со знаком «плюс», а степени Ь - со знаком «минус», в неравенство (4) - наоборот. Перенесем р и д в обоих неравенствах вправо и домножим неравенство (4) на — 1 , получим
п — ... — с > р — д + р — д + ... — д,
d — ... — т < р — д + р — д + ... — д,
следовательно
п — ... — с ^ d — ... — ш,.
■
Лемма 4. Обозначим левую часть уравнения (2) за Ф и х = Ърад, тогда если уравнение (2) разрешимо, то
degl(a) — ^^ degl(b) = ех1(Ф)(гр — д).
Доказательство. Возможны два случая: когда ехЬ(Ф) четное и когда нечетное. Когда ехЬ^Ф) четное, то в середине уравнения стоит константа, обозначим ее с^ = ЬсаЛ :
апхс2 ... хсгх ... си-1хЪт = е. (5)
При ехЬ^Ф), имеющем нечетное значение, в середине уравнения будет стоять х :
апхс2 .. .х ... Ск-1хЬт = е. (6)
Рассмотрим (6). Для начала рассмотрим левую половину уравнения
ап )с2 ...У.
Так как уравнение разрешимо, то п > р. Тогда
ап-р+я С2 ...У.
Далее будем прибавлять слагаемые к степени ап-р+д по следующему алгоритму:
1. Если встречается буква а?, тогда прибавляем f к степени ап р+д, f > 0.
2. Если встречается буква Ь?, то для разрешимости уравнения f должно быть меньше имеющейся у нас степени а, следовательно отнимаем f > 0.
Теперь рассмотрим правую половину уравнения
а'1... Ск-\(Ьрад)Ьт. Так как уравнение разрешимо, то т > д, следовательно
ад ... ск-\Ьт-д+р.
Далее будем прибавлять слагаемые к степени Ьт-д+р по следующему алгоритму:
1. Если встречаем Ь?, то прибавляем / > 0 к степени Ьт-д+р.
2. Если встречаем а?, то для разрешимости необходимо, чтобы f было меньше имеющейся у Ь степени, поэтому отнимаем f > 0.
Получим
ап-р+Я-...-р^т-д+р-...-д = ^
Для (5) будем действовать аналогично доказательству из предыдущей леммы и получим:
ап-р+д-...-с^т-д+р-...-й = &
По определению бициклического моноида, так как равенство достигается, то
п — р + д — ... — р = т — д + р — ... — д,
п — р + д — ... — с = т — д + р — ... — ¿.
Заметим, что в левой части равенств все степени а идут с плюсом, а все степени Ь идут с минусом, в правой части - наоборот. Перенесем р и д вправо в обоих равенствах, а все степени а и Ь справа - влево. Как можно заметить, тогда слева будут все степени а и Ь, принадлежащие константам, а справа р и д, встречающиеся столько раз, сколько х входит в уравнение, причем так, что р со знаком «плюс», а д со знаком «минус». Получили:
в,ед\(а) — ^^ ¿ед\(Ь) = ех1(Ф)(гр — д).
■
(а) —
1<г<к 1<г<к
Рассмотрим уравнение
с\хс2х ... хск-\хск = d (7)
и запишем необходимое условие разрешимости для него. Пусть в уравнении (7) с\ =
Ьд ан, ск = У аи, = Ъ3аг, х = Ърад.
Лемма 5. Если уравнение (7) разрешимо, то д < в и и < I.
Доказательство. Необходимо показать, что если д > 8 и и > Ь, то уравнение неразрешимо. Действительно, пусть д > 8 и и > Ь, тогда д = 8 + р и и = Ь + д, где р,д > 0, но тогда при перемножении всех элементов
Ь3+ранхс2х ... хск-1хЬ1 аг+д
степени Ь3+р и аь+д могут только увеличиться или остаться такими же, но не уменьшиться, что следует из определения бициклического моноида В. Следовательно необходимого равенства достигаться не будет, что показывает, что д < 5 и и < Ь. ■
Лемма 6. Если уравнение (7) удовлетворяет необходимому условию разрешимости, то вектор степени х имеет координаты меньше либо равные соответствующим координатам вектора (8 + к — д,Ь + f — и).
Доказательство. Достаточно показать, что при х = Ь3+н-д-и, 5 + к — д > 0, Ь + f — и > 0 уравнение удовлетворяет необходимому условию разрешимости, а при х = Ь(з+н-д)+к-и">+1, где к,1 > 0, необходимое условие разрешимости не выполняется.
Ьданхс2х ... хск-1х&аи = Ъ3аь, Ьд ан * Ъ3+н-д -и * с2х... хск-1 * Ъ3+н-д -и * ¥ аи = Ъ3а\ Ъ3а1+1 -и * С2Х... хск-1 * Ъ3+н-д а1 = Ъ3а1,
как видно, при х = Ъ3+н-д-и уравнение удовлетворяет необходимому условию разрешимости. Покажем теперь, при х = Ь3+н-д+к-и+1, где к,1 > 0, уравнение становится неразрешимым:
Ьд ан * Ь3+1г-д+к -и+1 * С2Х... хс— * Ь3+1г-д+к -и+1 * & аи = Ъ3а\
Ъ3+каь+г-и+1 * с2х ... хск-1 * Ъ3+н-д+каь+1 = Ъ3аь.
■
Лемма 7. Если в уравнении (7) д < 8 и и <Ь, то его можно представить в виде (1) так, что оно будет удовлетворять необходимому условию разрешимости (1), сформулированному в следствии 1.
Доказательство. Домножим уравнение
анхс2х ... хск-1хЪ^аи = Ь3аь
слева на а3 и справа на Ь1. Получим
ан+3-дхс2х ... хск-1 хЪ*+г-и = е. к + 5 — д> 0 и f + г — и > 0. ■
Теорема 2. Существует полиномиальный алгоритм, определяющий разрешимость любого уравнения вида
с\хс2х ... xck-ixck = d над бициклическим моноидом.
Доказательство. Из лемм 6 и 7 следует, что если это уравнение разрешимо, то длина х ограничена полиномиально от длины записи самого уравнения. Поэтому достаточно перебрать и проверить все такие х, записанные в нормальной форме. Их число также ограничено полиномом от длины уравнения. ■
Благодарности
Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003.
Литература
1. Маканин Г. С. Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе // Математический сборник. - 1977. - Т. 103, № 2. - С. 147-236.
2. Романьков В. А. Об универсальной теории нильпотентных групп // Математические заметки. - 1979. - Т. 25, № 4. - С. 487-495.
3. Andersen O. Ein Berichtuber die Struktur abstrakter Halbgruppen : PhD Thesis. - Hamburg, 1952.-84 p.
4. Harju T., Karhumaki J., Plandowski W. Compactness of systems of equations in semigroups // Automata, Languages and Programming: 22nd International Colloquium (ICALP, 1995, Szeged: Hungary). - 1995. - Vol. 944. - P. 444-454.
5. Diekert V, LohreyM. Word Equations over Graph Products//IJAC. -2008. - Vol. 18. -P. 493533.
ON THE COMPLEXITY OF SOLVING OF EQUATIONS IN THE BICYCLIC MONOID
K.D. Pichuev
Postgraduate Student, e-mail: pi4uev98@gmail.com A.N. Rybalov
Ph.D. (Phys.-Math.), Senior Researcher, e-mail: alexander.rybalov@gmail.com Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia
Abstract. In this article we prove that the problem of solvability of systems of equations over the bicyclic a monoid is NP-hard. On the other hand, we prove polynomial decidability of this problem for some natural class of equations in one variable. The work of the second author was carried out in the framework of the State Contract of the Sobolev Institute of Mathematics, Project No. FWNF-2022-0003.
Keywords: equations, bicyclic monoid, NP-hardness.
Дата поступления в редакцию: 09.10.2023
