ГЕНЕРИЧЕСКАЯ NP-ПОЛНОТА ПРОБЛЕМ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НАД КОНЕЧНЫМИ ГРУППАМИ, ПОЛУГРУППАМИ И ПОЛЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Омского университета. 2024. №1 (29). С. 18-22

УДК 510.51 DOI 10.24147/1812-3996.2024.1.18-22

ГЕНЕРИЧЕСКАЯ NP-ПОЛНОТА ПРОБЛЕМ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НАД КОНЕЧНЫМИ ГРУППАМИ, ПОЛУГРУППАМИ И ПОЛЯМИ

И. Ф. Горкун1

аспирант, e-mail: boricos245@gmail.com А. Н. Рыбалов2

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, e-mail: alexander.rybalov@gmail.com

1 Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия 2Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Омск, Россия

Аннотация. В статье доказывается, что проблемы разрешимости систем уравнений над конечными полями, неабелевыми конечными группами и некоммутативными конечными моноидами являются полными относительно генериче-ской полиномиальной сводимости в генерическом аналоге класса NP.

Ключевые слова: генерическая сложность, NP-полнота, конечные алгебраические сиситемы.

1. Введение

Во многих приложениях алгебры в информатике требуется решать системы уравнений над различными конечными алгебраическими структурами: полями, группами, полугруппами, графами и др. Очень часто проблема решения этих уравнений оказывается вычислительно трудной. Например, NP-полнота этой проблемы над конечными полями - общеизвестный факт. М. Гольдманн и А. Расселл [1] доказали, что эта проблема разрешима за полиномиальное время для всех абелевых конечных групп и NP-полна для каждой неабелевой конечной группы. О. Клима, П. Тессон и Д. Териен [2] доказали ее полиномиальную разрешимость для каждого конечного коммутативного моноида, являющегося объединением своих подгрупп, и NP-полноту для остальных конечных моноидов. NP-полнота означает, что не существует полиномиального алгоритма, решающего систему уравнений, при условии P = NP.

В [3] было введено понятие генерической полиномиальной сводимости алгоритмических проблем, которое сохраняет свойство разрешимости проблемы за полиномиальное время для почти всех входов при условии равенства классов P = BPP, где класс BPP состоит из проблем, разрешимых за полиномиальное время на вероятностных машинах Тьюринга.

В данной работе доказывается, что проблемы разрешимости систем уравнений над конечными полями, неабелевыми конечными группами и некоммутативными

Вестник Омского университета. 2024. № 1 (29)

19

конечными моноидами являются полными относительно генерической полиномиальной сводимости в генерическом аналоге класса NP.

2. Предварительные сведения

Дадим основные определения генерического подхода [4]. Пусть I - некоторое множество входов. Для подмножества S С I определим последовательность относительных плотностей

Pn(S) = ^, п = 1, 2, 3,..., I ^П I

где 1п - множество входов размера п, а Sn = S П 1п. Заметим, что pn(S) - это вероятность попасть в S при случайной и равновероятной генерации входов из 1п. В данной статье множеством входов для алгоритмов будет множество натуральных чисел, записанное в двоичной форме. Под размером натурального числа будет пониматься длина его двоичной записи.

Асимптотической плотностью множества S назовем верхний предел

p(S)= lim pn(S).

Множество S называется генерическим, если p(S) = 1, и пренебрежимым, если p(S) = 0. Очевидно, что S генерическое тогда и только тогда, когда его дополнение I \ S пренебрежимо.

Назовем множество S сильно пренебрежимым, если последовательность pn(S) экспоненциально быстро сходится к 0, т. е. существуют константы а, 0 < а < 1, и С > 0 такие, что для любого п

pn(S) < Сап.

Теперь S называется сильно генерическим, если его дополнение I \ S сильно пренебрежимо.

Алгоритм Л с множеством входов I и множеством выходов J U {?} (? ф J) называется (сильно) генерическим, если:

1. Л останавливается на всех входах из I.

2. Множество {х Ф I : Л(х) = ?} является (сильно) генерическим.

Пусть имеется некоторая функция f : I ^ J. Генерический алгоритм Л вычисляет функцию f, если для всех х Ф I таких, что Л =?, имеет место Л(х) = f (х).

Пусть I, J - некоторые множества входов с определёнными на них функциями размера. Множество А С I генерически полиномиально сводится к множеству В С J (обозначается А <GenP В), если существуют вероятностный полиномиальный алгоритм ^ : I х N ^ Р(J) U {?,!} (Р(J) - это множество всех подмножеств J), полином р(п), полином q(n) степени больше 2 и константа С > 0 такие, что:

1. Для всех х Ф I либо (Wn %(х, п) = ?), либо для всех п > q(k), где k = size(x), выполнены следующие условия:

20 Горкун И. Ф., Рыбалов А. Н. Генерическая ЫР-полнота...

(a) У у е К(х, п) (у = ! ^ size(y) = п);

(b) все элементы в К(х, п) \ {!} выдаются алгоритмом К равновероятно;

(c) вероятность получить ответ ! в К(х, п) не больше 2-Ск; (ё) \Я(х,п)1 > 1 .

Ш (р(п))к'

(е) ж е А ^Щх,п) С В; ($ ж/А ^Щх,п) С 7 \ В.

2. Множество {х е I : Уп (К(х, п) = ?)} сильно пренебрежимо.

Определим генерический аналог класса МР. Множество Б С I принадлежит классу если существует полиномиальное строго генерическое множество

С С I такое, что 5 П С е МР. Множество 5 е называется генерически ЫР-полным, если для любого А е имеет место А <сепР

3. Основные результаты

Пусть С - конечная группа. Нетрудно понять, что любую систему уравнений над С (добавлением нужного числа новых переменных и уравнений) можно привести к эквивалентной системе, в которой уравнения есть равенства переменной и произведения двух переменных либо обратных к ним. Поэтому под системой уравнений Б над С будем понимать набор уравнений {е0,..., еп-1}, где е^, I = 0,... ,п — 1, имеет вид уд\+1 = Уз2+2Уз?+з, где у31+г, г < 3, может быть константой из С или переменной хз, ] = 1,..., 31 + г, и б1,2,3 е {1, —1}. Размер системы 5 есть число уравнений п. Пусть 5 = {е1,..., ек} - система уравнений над С. Определим множество

с1(Б ) = {{в1 ,...,бк ,ек+1,... ,бк+т} : т е М},

где каждое уравнение ек+, I = 1,... ,т, может быть произвольным уравнением от переменных хк+1,..., хк+ без констант.

Теорема 1. Пусть С - конечная неабелевая группа. Проблема разрешимости систем уравнений над С генерически ЫР-полна.

Доказательство. Пусть А е МР. Тогда существует полиномиальное сильно генерическое множество С такое, что А П С е МР. Отсюда, по теореме М. Гольдман-на и А. Расселла [1], следует, что существует классическая полиномиальная сводимость f множества А П С к проблеме разрешимости систем уравнений над С. Полиномиальный вероятностный алгоритм К, генерически сводящий проблему А к проблеме выполнимости, работает на входе (х, п) следующим образом:

1. Проверяет, принадлежит ли х множеству С.

2. Если х е выдаёт «?».

3. Если х е С, то строит систему 5 = / (х) такую, что 5 разрешима тогда и только тогда, когда х е А.

Вестник Омского университета. 2024. № 1 (29)

21

4. Случайно и равновероятно генерирует систему из с1(8) размера п.

Проверим свойства полиномиальной сводимости. Свойство 2 следует из того, что множество С строго генерическое. Свойства 1а, 1Ь следуют из описания шага 4. Свойство 1с очевидно выполняется: алгоритм вообще не выдает ответ «!». Свойства 1е и ^ следуют из леммы 2 из [5]. Наконец, свойство 1ё следует из леммы 3 из [5]. ■

Пусть М - конечная полугруппа. Также как с группами, любую систему уравнений над М можно привести к следующему виду. Система уравнений Б над М есть набор уравнений [е0,..., еп-1}, где каждое уравнение , I = 0,... ,п — 1, имеет вид У31+1 = У31+2У31+3, где уы+г, г < 3, может быть константой из М или переменной х^, ] = 1,..., 31 + г. Размер системы 5 есть число уравнений п.

Теорема 2. Пусть М - конечный некоммутативный моноид. Проблема разрешимости систем уравнений над М генерически ЫР-полна.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, с использованием теоремы О. Климы, П. Тессона и Д. Териена [2] и лемм 5 и 6 из [5]. ■

Пусть Р - конечное поле. Также как с группами, любую систему уравнений над Р можно привести к следующему виду. Система уравнений в над Р есть набор уравнений [е0,... , еп-1}, где каждое из уравнений е[, I = 0,... ,п — 1, имеет вид У31+1 = У31+2 + У31+3 или У31+1 = У31+2У31+3, где уъш, г < 3, может быть константой из Р или переменной Xj, ] = 1,..., 31 + г. Размер системы $ есть число уравнений п.

Теорема 3. Пусть Р - конечное поле. Проблема разрешимости систем уравнений над Р генерически ЫР-полна.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, с использованием лемм 8 и 9 из [5]. ■

Благодарности

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН, проект FWNF-2022-0003.

Литература

1. Goldmann M., Russell A. The Complexity of Solving Equations over Finite Groups // Information and Computation. - 2002. - Vol. 178. - P. 253-262.

2. Klima O., Tesson P., Therien D. Dichotomies in the Complexity of Solving Systems of Equations over Finite Semigroups // Theory of Computing Systems. - 2007. - Vol. 40. - P. 263297.

3. Рыбалов А. О генерической NP-полноте проблемы выполнимости булевых формул // Прикладная дискретная математика. - 2017. - № 36. - C. 106-112.

22 Горкун И. Ф., Рыбалов А. Н. Генерическая NP-полнота...

4. Kapovich I., Myasnikov A., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity and decision problems in group theory // Journal of Algebra. - 2003. - Vol. 264. - P. 665-694.

5. Rybalov A., Shevlyakov A. Generic complexity of solving of equations in finite groups, semigroups and fields // Journal of Physics: Conference series. - 2021. - Vol. 1901. - P. 18.

GENERIC NP-COMPLETENESS OF THE PROBLEMS OF SOLVING OF SYSTEMS OF EQUATIONS OVER FINITE GROUPS, SEMIGROUPS AND FIELDS

I.F. Gorkun1

Postgraduate Student, e-mail: boricos245@gmail.com A.N. Rybalov2

Ph.D. (Phys.-Math.), Senior Researcher, e-mail: alexander.rybalov@gmail.com

1Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia 2Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia

Abstract. In this paper we prove that problems of solvability of systems of equations over finite fields, non-Abelian finite groups and non-commutative finite monoids are complete with respect to generic polynomial reducibility in generic analogue of the NP class.

Keywords: generic complexity, NP-completeness, finite algebraic structures.

Дата поступления в редакцию: 09.10.2023