ГЕНЕРИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ПРОБЛЕМЫ РАВЕНСТВА В НЕКОТОРЫХ ПОЛУГРУППАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.51

DOI 10.24147/1812-3996.2021.26(1).16-20

ГЕНЕРИЧЕСКИИ АЛГОРИТМ ДЛЯ ПРОБЛЕМЫ РАВЕНСТВА В НЕКОТОРЫХ ПОЛУГРУППАХ

А. Н. Рыбалов

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 07.01.2021

Дата принятия в печать 18.01.2021

Дата онлайн-размещения 26.04.2021

Аннотация. В 2003 г. И. Капович, А. Г. Мясников, В. Шпильрайн и П. Шупп предложили генерический подход к теории вычислимости и вычислительной сложности. В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не на всем множестве входов, а на некотором подмножестве почти всех входов. В данной статье предлагается полиномиальный генерический алгоритм для проблемы равенства в некоторых конечно определенных полугруппах.

Ключевые слова

Генерическая сложность, цепи Маркова, проблема равенства, полугруппы

GENERIC ALGORITHM FOR THE WORD PROBLEM IN SOME SEMIGROUPS

A. N. Rybalov

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Article info

Received 07.01.2021

Accepted 18.01.2021

Abstract. Generic-case approach to algorithmic problems was suggested by I. Kapovich, A. Myasnikov, P. Schupp and V. Shpilrain in 2003. This approach studies behavior of an algorithm on typical (almost all) inputs and ignores the rest of inputs. In this paper we present a polynomial algorithm for the word problem in some finitely defined semigroups.

Available online 26.04.2021

Keywords

Generic complexity, Markov chains, word problem, semigroups

1.Введение

Генерический подход, предложенный в [1], рассматривает поведение алгоритмов на множестве «почти всех» входов, которое называется генериче-ским. На остальных входах алгоритм может работать медленно или вообще не останавливаться. Понятие «почти все» как правило формализуется введением асимптотической плотности на множестве входных данных. С практической точки зрения алгоритмы, решающие быстро проблему на генерическом множестве, так же хороши, как и быстрые алгоритмы для всех входов. Генерический подход может применяться и к алгоритмически неразрешимым проблемам, причем трудноразрешимая или неразрешимая

проблема может оказаться легкоразрешимой в гене-рическом смысле.

В работе [1] был приведен генерический алгоритм, решающий проблему равенства в широком классе конечно определенных групп, включающем классические примеры групп с алгоритмически неразрешимой проблемой равенства. Для обоснования существования этого алгоритма была использована теория случайных блужданий на графах Кэли конечно порожденных групп, развитая в работах Восса, Бартольди и др. Генерический алгоритм для решения проблемы равенства в некоторых конечно определенных полугруппах был предложен в [2]. В частности, этот алгоритм применим к полугруппам

Вестник Омского университета 2021. Т. 26, № 1. С. 16-20

ISSN 1812-3996-

Цейтина и Маканина, имеющим неразрешимую проблему равенства. В [3] был получен генерический алгоритм для проблемы равенства в более широком классе полугрупп, включающем класс полугрупп с одним определяющим соотношением.

В данной статье строится генерический полиномиальный алгоритм для проблемы равенства в еще более широком классе конечно определенных полугрупп. Для обоснования генеричности этого алгоритма используется теория конечных периодических цепей Маркова.

2. Генерические алгоритмы Пусть I есть множество всех входов для некоторой алгоритмической проблемы, а 5 - некоторое его подмножество. Рассмотрим последовательность

|5П/„|

Pn (S) = '

I In I

где In - множество всех входов проблемы размера п. Определим асимптотическую плотность множества S как верхний предел

p(S) = lim pn (S).

n^sj

Множество входов Sс I называется генериче-ским, если p(S) = 1, и пренебрежимым, если p(S) = 0. Непосредственно из определения следует, что S является генерическим тогда и только тогда, когда I \ S пренебрежимо. Понятие генерического множества формализует интуитивное понятие множества «почти всех» входов в том смысле, что при увеличении размера входа вероятность того, что случайно сгенерированный вход попадет в генерическое множество, стремится к 1.

Алгоритм A с множеством входов I и множеством выходов J и {?} (? g J) называется генериче-ским, если:

1) A останавливается на всех входах из I,

2) множество {х е I: A(x) = ?} пренебрежимо.

Генерический алгоритм A вычисляет функцию f: I ^ J, если для всех xе I из A(x) = y е J следует f(x) = y. Ситуация A(x) = ? означает, что A не может вычислить функцию f для аргумента x. Но условие 2 гарантирует то, что A корректно вычисляет f на почти всех входах (входах из генерического множества). Проблема распознавания множества S с I ге-нерически разрешима, если существует генерический алгоритм, вычисляющий характеристическую функцию множества S.

3. Конечные цепи Маркова и случайные блуждания по графам Кэли моноидов

При изложении нужных нам сведений и результатов теории цепей Маркова будем придерживаться классической монографии Феллера [4].

Пусть 5 - конечно определенный коммутативный моноид с сокращениями и с множеством порождающих А = {аг,..., ат}. Свойство сокращения означает, что для любых а, Ь, с е 5 из равенства аЬ = ас следует Ь = с . Более того, допустим, что моноид 5 конечный и ,...,5г} - все его элементы.

Определим цепь Маркова МС(5) следующим образом. Состояния цепи - ,..., бг }, причем ^ = 1. Матрица Р = ||р..|| цепи МС(Б) - это квадратная гхг

1

матрица, ее элементы определяются так: р.. = —,

т

если имеет место Б:а = б. для некоторого порождающего аеА, и р = 0 иначе. Элемент р.. задает вероятность перехода из состояния б в состояние б . Цепь МС(Б), начиная с состояния б на нулевом шаге, каждом последующем шаге переходит из текущего состояния б в последующее состояние б. с вероятностью р... Это можно представлять как случайное блуждание по графу Кэли моноида 5 с началом в 1, когда в каждый момент времени, находясь в вершине б, равновероятно из всех выходящих ребер (соответствующих всем порождающим из А) выбирается ребро, по которому происходит переход в следующую вершину. В дальнейшем мы будем отождествлять цепь Маркова МС(Б) и описанное случайное блуждание по графу Кэли моноида 5.

Пусть теперь М - бесконечный коммутативный конечно определенный моноид с сокращениями и с множеством порождающих А = {а,..., ат }. Для фиксированного натурального q > 1 добавим к определяющим соотношениям моноида М соотношения {а* = 1,...,ат" = 1} . Обозначим полученный новый

моноид через М(д). Легко видеть, что для любого д моноид М(д) конечен. Но, так как моноид М бесконечный, то число элементов М(д) растет неограниченно с ростом д. У каждого порождающего а есть

обратный аV, так что фактически М(д) является группой.

Матрица называется стохастической, если ее элементы неотрицательны и сумма элементов в каждой строке равна 1. Легко видеть, что матрица Р цепи Маркова МС(5) (как и любой другой конечной

- 17

■ ISSN 1812-3996

цепи) является стохастической. Матрица называется дважды стохастической, если ее элементы неотрицательны и сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце равна 1.

Лемма 1. Матрица P цепи MC(M(q)) является дважды стохастической.

Доказательство. Фактически нужно доказать, что в любую вершину s графа Кэли моноида M(q) входят ровно m ребер, помеченных порождающими ^ат . Действительно, для каждого порождающего a одно ребро, помеченное a, входит в вершину s из вершины, соответствующей элементу so,4-1. Допустим, что два ребра, помеченные a, входят в s из двух разных вершин s и s2 . Это означает, что s = sa = s2ai, откуда, так как моноид M(q) есть моноид с сокращениями, следует ^ = s2. Противоречие. Лемма доказана.

Цепь Маркова называется неприводимой, если для любых двух ее различных состояний s и s- состояние s достижимо из sj, и наоборот, sj достижимо из s . Достижимость означает, что имеется ненулевая вероятность получить одно состояние из другого за конечное число шагов. Заметим, что цепь MC(M(q)) является неприводимой. Это легко следует из того, что в графе Кэли моноида M(q) любые две вершины связаны ориентированным путем.

Периодом состояния s, цепи Маркова называется такое ненулевое наименьшее число t, что вероятность попасть из состояния s, в s(. за t шагов ненулевая, а для любого ненулевого числа шагов < t эта вероятность равна 0. Цепь Маркова называется непериодической, если для каждого ее состояния период равен 1, иначе цепь называется периодической.

Одним из фундаментальных результатов теории цепей Маркова является следующий: любая конечная неприводимая непериодическая цепь является эргодической. Это означает, что для любого ее состояния s существует предельная вероятность, т. е. существует предел

limp n (s,. ) = p(s),

где pn(s ) - вероятность попасть в состояние s, через n шагов. Для цепи MC(5) вероятность p(s;) есть вероятность того, что случайно записанное слово длины n в алфавите A равно элементу s(. в моноиде S.

В случае же периодической цепи все состояния имеют одинаковый период t, а множество состояний

разбивается на классы (подцепи) С0,..., С(-1 и свойство эргодичности имеет место для каждого класса , k = 0,..., t -1 : для любого s, е Ск

1) существует предел limPt„+k (s,. ) = p(s, ),

2) pn (s,. ) = 0, если п Ф k(modt).

Эти подцепи С0,..., Ct-1 получаются следующим образом. Полагаем ^ еС0. Далее в С0 добавляются все состояния, достижимые из s ровно за t шагов. Потом добавляются все состояния, достижимые ровно за t шагов из добавленных на предыдущем шаге, и так до тех пор, пока есть еще не добавленные. Получается цепь С0. Теперь цепь С состоит из всех состояний, достижимых из состояний цепи С0 ровно за 1 шаг, цепь С2 - ровно за 2 шага, и т. д. Последняя цепь С^ содержит состояния, достижимые из С0 ровно за t - 1 шагов.

Если матрица исходной цепи есть Р, то матрицы подцепей С0,...,С(-1 равны Pt. Отметим также, что если матрица Pдважды стохастическая, то и Рг тоже дважды стохастическая. Для цепи с дважды стохастической матрицей предельные вероятности одинаковы (см.: [4, с. 386]): 1

1. p(s) = - , где r- число состояний непериоди-

r

ческой цепи.

, ч 1

2. p(s, ) = -—-, если s. еС для периодической

Kl k

цепи, состоящей из подцепей С0,..., С(-1.

Следующий результат является ключевым для данной работы.

Лемма 2. Пусть теперь M - бесконечный коммутативный конечно определенный моноид с сокращениями и с множеством порождающих A = ,...,ат } . Тогда множество

eq(M) = {К, w2 ) е A* х A* : w =M w2} пренебрежимо.

Доказательство. Пусть A = ,...,am} . Тогда

Р (6*м»=в-^-ïï =

ЦК,w2) : Wi,w2 е A ,| Wi | +1 w21= n}|

п

_ ИМИ Eq(Mlk\= 1^\Eq(M)nk\> (1)

^mkmn k

n • m

n k=o m

где eq(M)n k = {(Wi,w2 ) e 4* x 4* :| Wi |= k,| w2 |= n - k} .

k=0

ISSN 1812-3996-

Зафиксируем число q > 1 и рассмотрим моноид M(q), определенный как выше добавлением к определяющим соотношениям моноида M соотношений |ojq = 1,..., ат" = 1} . Легко видеть, что выполняется оценка рп(Eq(M)) <рп(Eq(M(q))).

Пусть M(q) = ,...,sr} - все различные элементы моноида. Рассмотрим конечную цепь Маркова MC(M(q)), построенную по моноиду M(q). Ее состояниями являются элементы моноида {^,..., sr}. Заметим теперь, что

NM)n¿1 v , , , , т --^ = JРк (s, )Рп-к(s,)' (2)

m 1=1

где p (s) есть вероятность того, что после t шагов цепь MC(M(q)) будет находиться в состоянии sf.

Рассмотрим теперь два возможных случая.

Случай 1. Не существует непустого слова w е A такого, что w =м 1. Зафиксируем натуральное число q > 1. Тогда конечная неприводимая цепь Маркова MC(M(q)) является периодической с периодом q. Поэтому множество состояний MC(M(q)) разбивается на q классов C0,..., Cq l так, что для любого seC, имеет место p(s) = 0, если t Ф/(modq). Таким образом, с учетом (2), выражение (1) для моноида M(q) переписывается в виде

р„ (Eq(M(q))) = i = i ¿(¿ft (s (s,.) 1 =

n ¿=o m nk=o \ ,=1 )

' k=0,..., n, k= n-k(modq)

' k=0,...,n,k = n-k(modq) V /=1

1 X |lPk(S/)Pn-k(S/)b- X 1,

) n k=0.....

m

так как имеет место оценка

г

X Рк )Рп-к ) =1

/=1

Теперь

X 1=п,

к=0,...,п ,k=--k(modq) Я

если п = 2e(modg) для некоторого натурального е, и

X 1 = 0 ,

k=0,...,п,k=п-k(modg)

иначе. В любом случае получаем, что 1

рп (Ея(М(я))) < — . При увеличении числа д величина Я

р(Ец(М(я))) , а значит, и р(Ея(М)) стремится к 0.

Случай 2. Существует непустое слово w е A* такое, что w =м 1. Выберем такое слово наименьшей длины f. Зафиксируем натуральное число q > f. Тогда конечная неприводимая цепь Маркова МС(М(д))является периодической с периодом f. Это следует из того, что M - моноид с сокращениями. Множество состояний MC(M(q)) теперь разбивается на f подцепей С0,...,C/:L так, что для любого sеС, имеет место

1) pt(s) = 0, если t Ф /(modf),

1

2) lim ptf+l (s) = p(s) = — .

С,

Последнее равенство выполняется в виду того, что матрица вероятностей переходов для каждой подцепи С, является дважды стохастической по лемме 1. Кроме того, заметим, что размеры классов С0,...,С{-1 растут с ростом числа д, так как растет число элементов моноида М(д). Это следует из процедуры построения подцепей С0С{-1, описанной

выше. Теперь оценим выражение (1) для моноида М(д)

Рп (Ея(М(я))) =

_1^|Ея(м)пЛ|^ + 1 п--^]|Ея(м)пЛ|. (3)

пк=0 т п пк=щ т

Пусть число п достаточно большое, чтобы для каждого I и каждого б еС, выполнялось неравенство

Рч+/ (б)

при tf +1>у[п . Оценим сумму из (3) 1 ^ |Ед(М)„л| 1

- X --= ~ X I X Рк )Рп-к ) 1<

" ~~~ "" /=1

14

-,n-M(f-i( „ , - - -

<1 X X Xpr <1 X Xr

n k=[,/n] V /=0 ^seC/ |C\ | ) J n k=[,f] V /=0 \C/ ]( f-1

4 ^ 1

<- X Xi^ |<

4(n - 2yfn) f -f nC С '

llk=[,J-]{ 1=0 |С/| ,

где С = тт{|С0|Ц . Так как число С растет с

ростом д, то р(Ея(М)) стремится к 0. Лемма доказана.

4. Основной результат

Пусть имеется конечно определенная полугруппа 5 = (Л\и) с множеством порождающих

Вестник Омского университета 2021. Т. 26, № 1. С. 16-20

-ISSN 1812-3996

A = {а1,..., am}. Определим по S коммутативный моноид S* с сокращениями, добавив к определяющим соотношениям R полугруппы S соотношения коммутативности для всех порождающих а(.а. = а.а(., 1 — ', j — m, а также единицу. Также допускаем, что в 5* выполняется свойство сокращения.

Теорема. Если для 5 моноид 5* бесконечен, то проблема равенства в 5 генерически полиномиально разрешима.

Доказательство. Пусть моноид 5* бесконечен. Генерический полиномиальный алгоритм для проблемы равенства в полугруппе 5 работает на паре

слов (щ,щ) е А* х А* следующим образом. Слова ,Щ рассматриваются как входы для проблемы равенства в моноиде 5*. Известно, что коммутативный моноид с сокращениями 5* вкладывается в абе-леву группу с тем же множеством порождающих, что и 5*. Методом Гаусса решаем за полиномиальное время, равны ли слова щ,щ в 5*. Если они не равны в 5*, то тем более они не равны и в 5. В этом случае выдаем ответ НЕТ. Иначе, выдаем ответ НЕ ЗНАЮ.

Генеричность данного алгоритма следует из леммы 2.

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Kapovich I., Myasnikov A., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity, decision problems in group theory, and random walks // Journal of Algebra. 2003. Vol. 264, Iss. 2. P. 665-694.

2. Won D. W. Word problems on balanced semigroups and balanced groups: Dissertation: UMI Number: 3296964. City University of New York : ProQuest Dissertations Publishing, 2008. 79 p. URL: https://search. proquest.com/openview/8be5a7afc906a9000760bb810a1a244a/1?pq-origsite=gscholar&cbl=18750&diss=y.

3. RybalovA. A generic algorithm for the word problem in semigroups and groups // Journal of Physics: Conference Series. 2020. Vol. 1546 : IV International Scientific and Technical Conference "Mechanical Science and Technology Update" (MSTU-2020) 17-19 March, 2020, Omsk, Russian Federation. Art. 012100. P. 1-10. DOI: 10.1088/1742-6596/1546/1/012100.

4. Феллер У. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2 т. М. : Мир, 1964. Т. 1. 511 с.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Рыбалов Александр Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной математики и программирования, Институт математики и информационных технологий, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: alexander.rybalov@gmail.com.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Рыбалов А. Н. Генерический алгоритм для проблемы равенства в некоторых полугруппах // Вестн. Ом. ун-та. 2021. Т. 26, № 1. С. 16-20. DOI: 10.24147/1812-3996.2021.26(1).16-20.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Rybalov Alexander Nikolaevich - Candidate of Psysical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Computer Mathematics and Programming, Institute of Mathematics and Information Technology, Dostoev-sky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: alexander.rybalov@gmail.com.

FOR QTATIONS

Rybalov A.N. Generic algorithm for the word problem in some semigroups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2021, vol. 26, no. 1, pp. 1620. DOI: 10.24147/1812-3996.2021.26(1).16-20. (in Russ.).