О сложности и глубине вложенных в единичный куб схем, реализующих булевы функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Эволюционные изменения параметров системы с целью увелечения средней приспособленности приводят к уменьшению значения параметров которые характеризуют процесс катализа-ции центральной макромолекулы. При этом компонента положения равновесия, соответствующая данной макромолекуле, приближается к нулевому значению (примерно 310-я итерация). В этот момент средняя приспособленность системы достигает своего максимального значения и практически не изменяется при дальнейших итерациях (см. рис. 2). Заметим, что в процессе эволюции средний фитнес системы / увеличился почти в 4 раза, став равным 0.485.

На рис. 3 показаны графики фазовых траекторий центральной (пунктирная линия) и простых макромолекул (сплошная линия) до начала процесса эволюционного изменения матрицы А. На рис. 4 приведены графики фазовых траекторий на 360-й итерации. Отметим, что в эволюционной системе влияние центральной макромолекулы практически исчезает, в то время как амплитуда колебаний простых макромолекул увеличивается.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Eigen M. Self-organization of matter and the evolution of biological macro-molecules // Naturwissenschaften.

1971. N 58. P. 465-532.

2. Eigen M., Schuster P. The Hypercycle. New York: Springer, 1979.

3. Fisher R. The Genetical Theory of Natural Selection. Oxford: At The Clarendon Press, 1930.

4. Hofbauer J., Sigmund К. Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge: Cambridge University

Press, 1998.

5. Hofbauer J., Sigmund К. Evolutionary game dynamics // Bull. Amer. Math. Soc. 2003. N 40(4). P. 479-519.

Поступила в редакцию 04.04.18

УДК 519.714

С. А. Ложкин, Е. Л. Довгалюк2, О. А. Садовников3

О СЛОЖНОСТИ И ГЛУБИНЕ ВЛОЖЕННЫХ В ЕДИНИЧНЫЙ КУБ СХЕМ, РЕАЛИЗУЮЩИХ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Рассматривается класс схем из функциональных элементов в стандартном базисе из элементов конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Для каждой схемы Е из данного класса наряду с глубиной D( Е) определяется ее размерность R( Е), равная минимальной размерности единичного (булева) куба, допускающего изоморфное вложение Е. Установлено, что для п = 1,2,... и произвольной булевой функции f от п переменных существует реализующая ее схема Е/, такая, что Д(Е/) ^ п — log2 log2 п + 0(1) и -D(E/) ^ 2n — 21og2 log2 п + 0(1). Тем самым доказано, что для п = 1, 2,... почти все функции от п переменных допускают реализацию их схемами рассматриваемого вида, размерность и глубина которых отличаются от минимальных (по всем эквивалентным им схемам) значений указанных параметров не более чем на константу и асимптотически не более, чем в 2 раза соответственно.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, сложность, глубина, геометрическая реализация, единичный куб, изоморфное вложение.

1. Введение. Данная работа посвящена исследованию ряда вопросов геометрической реализации схем из функциональных элементов (СФЭ) над стандартным базисом Б0 = {&, V,-i} в единичном (булевом) кубе И". где В = {0,1}.

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: lozhkinQcmc.msu.ru

2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: k3neartQgmail.com

3 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: oleg.a.sadovnikovQgmail.com

Граф G называется [1] подразбиением графа G, если G можно получить из G заменой некоторых его ребер на простые цепи, и что два графа считаются гомеоморфными, если они имеют изоморфные подразбиения. Будем говорить, что граф G допускает изоморфное (соответственно гомеоморфное) вложение в граф //. если в графе Н существует подграф G, изоморфный графу G (являющийся соответственно подразбиением G). При этом будем считать, что указанное вложение ср графа G в граф Н задается изоморфным (соответственно гомеоморфным) отображением вершин и ребер графа G в вершины и ребра (соответственно простые цепи) графа Н.

Под изоморфным вложением СФЭ S в граф Н будем понимать изоморфное вложение в граф Н ее графа G, т. е. графа, полученного из S в результате снятия ориентации с ее ребер и удаления пометок с ее вершин, а также отождествления (удаления) параллельных ребер.

Будем рассматривать куб И" как граф с 2" вершинами и п- 2n_1 ребрами, соединяющими всевозможные пары соседних вершин, т. е. вершин, соответствующих наборам куба, отличающимся ровно в одном разряде. Обозначим через i?(S) минимальную размерность единичного куба, допускающего изоморфное вложение (далее — просто "вложение") СФЭ S, а через D(S) — ее глубину.

Заметим, что элементы & и V с отождествленными входами (т. е. с параллельными входными дугами) можно рассматривать как одновходовые коммутационные элементы, реализующие тождественные функции алгебры логики (ФАЛ). С помощью эквивалентных преобразований СФЭ S, связанных с добавлением и удалением коммутационных элементов, можно изменять структуру ее коммутационных подсхем, соединяющих входы S и выходы ее функциональных элементов с выходами S и входами функциональных элементов. Таким образом можно изменять геометрическую структуру схемы S и, в частности, уменьшить степень ее вершин. При этом, в общем случае, глубина СФЭ S может возрасти.

Обычным образом определим размерность R(f) (глубину D(f)) ФАЛ / как минимальную размерность (соответственно глубину) СФЭ, реализующей ФАЛ /, а затем введем связанные с ними функции Шеннона:

R(n) = max R(f), D(n) = max £>(/), feP2(n) /еР2(и)

где Рг(и) — множество всех ФАЛ от булевых переменных (БП) Х(п) = {Ж1,Ж2, • • • ,жп}.

В работе [2] исследовалось поведение функции Шеннона R(n) и было доказано, что*

П — log log П — Ci ^ R(n) ^ П — log log П + С2-

При этом типичное значение глубины схем, построенных при получении верхней оценки для ФАЛ от п БП имело при п = 1,2,... экспоненциальный относительно п порядок роста, хотя известно [3, 4], что

П — log log П — Сз ^ D(n) ^ П — log log П + С4-

В настоящей работе установлено, что для п = 1, 2,... и произвольной ФАЛ / от п БП существует реализующая ее схема S/, такая, что i?(S/) ^ n^loglogn + C5 и D(S/) ^ 2n^21oglogn + C6- Тем самым доказано, что для п = 1,2,... почти все функции от п переменных допускают реализацию их схемами рассматриваемого вида, размерность и глубина которых отличаются от минимальных (по всем эквивалентным им схемам) значений указанных параметров не более чем на константу и асимптотически не более, чем в 2 раза соответственно. Краткое изложение указанных результатов содержится в [5].

2. Регулярное вложение полного двоичного дерева в единичный куб. Для п = 1,2,...

обозначим через Т>п полное корневое двоичное дерево глубины п. Множество Т>п \ i € [0, п], которое состоит из всех 2' вершин дерева £>„, находящихся на расстоянии i от его корня, будем называть г-м ярусом этого дерева. Очевидно, что при этом корень дерева Vn является единственной вершиной -п(о)

его нулевого яруса V„, ■

Отметим, что каждая вершина v, v € Т>п\ дерева £>„, является корнем полного двоичного поддерева глубины (п — г) дерева Vn. Два таких поддерева будем называть параллельными, если они имеют одинаковую глубину, т. е. их корни лежат в одном ярусе, и соседними, если их корни

*Все логарифмы в данной работе берутся по основанию 2, а буквой с с различными индексами обозначаются по умолчанию некоторые положительные константы.

имеют общую соседнюю вершину в (?! — 1)-м ярусе дерева Т>п. Заметим, что само дерево Т>п состоит из двух своих поддеревьев глубины (п — 1), корни которых соединены ребрами с его корнем.

В работе [6] показано, что дерево V,,, п = 1.2,..., может быть гомеоморфно вложено в куб В"+1, но не может быть гомеоморфно вложено в куб меньшей размерности. Указанная геометрическая реализация полного двоичного дерева является оптимальной по размерности куба, но имеет нерегулярную структуру, которая оказывается неэффективной при вложении схем. Приведенная ниже лемма описывает геометрическую реализацию дерева Т>п в кубе большей размерности, являющуюся при этом регулярной и, как следствие, более удобной.

Два подкуба одинаковой размерности г куба В" от БП Х(п) будем называть параллельными, если множества их фиксированных БП совпадают, и соседними, если, кроме того, наборы значений этих БП, определяющие данные подкубы, являются соседними наборами куба В"~г от указанных БП.

Лемма 1. Для любого п= 1,2,... полное двоичное дерево Т>п глубины п допускает гомео-морфное вложение фп в единичный куб размерности (п + 2), которое:

1) для любого ?!, ?! € [0,п], переводит '1-й ярус Т>№ дерева V,, в некоторый подкуб размерности ?! куба В"+2\

2) переводит любые два соседних (параллельных) поддерева дерева,Т>п в соседние (параллельные) подкубы куба В"+2;

3) переводит дерево Т>п в некоторое поддерево глубины 2п куба В"+2.

Доказательство. Построим для п = 1,2,... требуемое вложение фп дерева Т>п в куб В"+2 индуктивно. Для случая п = 1, который составляет базис индукции, зададим вложение гф\ :Т>1 ^ В3 таким образом (см. рис. 1), что:

1) корень переходит в вершину (ООО) куба В3, а листовые вершины Л1 и Л2 в вершины (001) и (011) куба В3 соответственно;

2) первое ребро П1 и второе ребро П2 дерева отображаются в ребро ((ООО), (001)) и простую цепь ((000), (010), (011)) в кубе В3.

и (000)

Рис. 1. Базисное вложение

Некоторые из вершин куба В3 при таком вложении остаются незадействованными, т. е. не являются образами каких-либо вершин дерева Т>\ в отображении ф\. Отметим дополнительное свойство данного вложения ф\: в кубе В3 существуют незадействованные при вложении ф\ вершины V и образующие с вложенным корнем дерева фг^^-1) = и, простую цепь (?;,,«,«;).

Пусть при некотором п = 2, 3,... существует вложение фп-\ полного двоичного дерева в куб В"+1 с выполнением свойств 1 и 2 данной системы, а также дополнительного свойства, указанного выше. Покажем, что в этом случае для полного двоичного дерева Т>п можно построить искомое вложение фп в куб В"+2 с выполнением тех же свойств.

Обозначим полные двоичные поддеревья глубины (п — 1) в дереве Т>п через V и V", а их корни (или, иначе, вершины первого яруса дерева Т>„) через и' и и" соответственно. Выделим в кубе К размерности (п + 2) два подкуба К' и К" размерности (п + 1), в которые посредством вложения фп-1 отобразим поддеревья V и Т>" соответственно. Согласно дополнительному свойству вложения

фп-1, в кубах К' и К" можно выделить простые цепи (и',г>', ад') и (и", г>", ад"), где г>', ад' и г>", ад" — вершины, оставшиеся свободными при указанных вложениях Т>' в К' и Т>" в К".

Для завершения доказательства остается вложить корень и = Т>п ^ дерева £>„, соединить его с вершинами первого яруса V' и г>", а также обеспечить верность дополнительного свойства, указав две свободные от вложения вершины V ж и) в кубе К, образующие цепь (и,г>, ад). Корень Т>п ^ поместим в свободную вершину г>', а его соединение с вершинами первого яруса проведем по цепям (у',и') и («',«",и"). Наконец, отметим, что оставшиеся свободными вершины ад' и ад" образуют с вложенным корнем фп(Т>^) = и' цепь (и', ад', ад"), что обеспечивает дополнительное условие и доказывает индуктивный переход. Свойства 1-3 утверждения леммы, очевидно, следуют из построения вложения. Лемма доказана.

3. Глубина системы одноцветных связывающих деревьев. Как обычно, под раскраской куба И" в четное число цветов, равное будем понимать отображение /' : И" Г/,, где = {1,...,&} — множество цветов раскраски. Введем специальные обозначения для подмножеств цветов 1\:

Г^ = {1,...,^/2}, Г% = {к/2 + 1,...,к}.

Пусть в кубе К размерности г на некотором подкубе К', К' С К, размерности п задана раскраска V : В" IV Под системой одноцветных связывающих деревьев для раскраски и подкуба К' в кубе К будем понимать набор Т = (Т1,... , Т^) из непересекающихся поддеревьев Тг,г € Г^, куба К, таких, что множество листьев дерева Т*, г = 1, совпадает с множеством вершин

куба К', раскрашенных в цвет г. Под глубиной системы деревьев Т будем понимать максимальную глубину деревьев Т1,..., Т^, считая при этом, что глубина дерева г € равна минимальной глубине связанных с ним корневых деревьев. Минимальную размерность г куба К, при которой в нем существует такая система деревьев для подкуба К' размерности п с заданной раскраской I/, обозначим г (и).

В [2] для всех п = 2™ — 1 была определена специальная раскраска : И" Гп+1, построенная на основе кодов Хэмминга [7]. Напомним, что (2™ — 1,т)-код Хэмминга задает на множестве наборов из В2 отображение хг™ 'В2 ^ Г 2™, которое и будем считать раскраской Хг™-1 вершин куба В2 в цвета Г2™ = {1,..., 2™}. В [2] были доказаны следующие свойства раскраски Хп-, п = 2™ - 1, в 2™ цветов:

1) г(хп) < п + 3;

2) для каждой вершины а куба Н". раскрашенного специальным образом, в шаре радиуса 1, центром которого она является, найдется ровно одна вершина каждого из 2™ цветов;

3) куб К размерности п = 2™ — 1 с заданной специальной раскраской Хп в цвета Г2™ можно разбить на два непересекающихся равномощных подсемейства К,' и К," семейства всех параллельных подкубов размерности (2ТО_1 — 1) куба К, подкубы которых раскрашены специальной раскраской в цвета Г'2т и Гсоответственно, причем кубы одного подсемейства не могут быть соседними;

4) пусть в кубе К размерности (п + 2) выделены параллельные подкубы К' и К" размерности п; пусть также в подкубе К' задана специальная раскраска : И" Гп+1, а в подкубе К" — некоторая произвольная раскраска /' : И" Гп+1; тогда в кубе К существует система непересекающихся корневых поддеревьев, таких, что

• корень каждого такого дерева принадлежит кубу К', а листья — кубу К", причем корень и листья раскрашены в один и тот же цвет;

• множество всех листьев всех указанных деревьев совпадает с множеством вершин куба К".

Докажем следующее утверждение, устанавливающее оценку для глубины системы одноцветных связывающих деревьев для раскраски Хп-, а также более оптимальную по сравнению с [2] оценку для г(хп).

Лемма 2. Пусть п = 2™ — 1, к = 2™ ив кубе К размерности (п + 2) некоторый подкуб Ь размерности п раскрашен в к цветов специальной раскраской Хп- Тогда в кубе К существует система одноцветных связывающих деревьев для подкуба Ь глубины (п + 1).

Доказательство. Пусть п = 2ТО — 1, А; = 2ТО и в кубе К размерности (тг + 2) выделены параллельные подкубы К00, К^, Ки) и Кц, причем в кубе Каа задана специальная раскраска Хп- Покажем, что в кубе К можно построить систему из к одноцветных связывающих деревьев Т0,... для раскрашенного подкуба К00.

Разделим подкуб К00 на два непересекающихся множества /С'00 и /СЦ0 подкубов размерности к/2 = 2т~1 так, как это описано в свойстве раскраски Хп- В каждом подкубе из множества /С'00 получим специальную раскраску в цвета Г^ = [0, к/2 — 1], а в каждом подкубе из /Сд'о — специальную раскраску в цвета = [к/2, ...,к — 1]. Для каждого а = {(01), (10), (11)} разобьем кубы Ка на множества К,'а и /С", состоящие из подкубов, параллельных подкубам из К,'аа и соответственно. Обозначим

¡с = и к, к" = и с

о- ев2 а ев2

Скопируем раскраску каждого подкуба из множества /С'00 в параллельный ему подкуб Ьа 1 из множества /С'01. Отметим, что при этом в кубе К01 для каждого куба из подмножества )С'а1 раскрашенного в цвета Г^, все соседние с ним кубы принадлежат множеству /С^ и, как следствие, остаются нераскрашенными.

Обозначим, как и раньше, п' = 2ТО_1 — 1. Представим куб К в виде декартова произведения М х Ь кубов Л/ и I. размерности (п' + 1) и (п' + 2) соответственно так, чтобы каждая вершина куба М соответствовала некоторому подкубу из множества К,'а или /С", где а € В2. Отметим, что при этом разбиение подкуба К на подкубы К.а порождает аналогичное разбиение куба М на подкубы Ма, а € В2. Разобьем множество вершин куба М на два подмножества М' и М", составленных из вершин, соответствующих некоторому подкубу из множества К,' или К," соответственно.

Построим вспомогательный надкуб М размерности п с заданной специальной раскраской Хп-, такой, что М01 является его некоторым подкубом, выбранным таким образом, чтобы вершины М01 из множества М'а1 оказались раскрашены в цвета Г^', а вершины из множества М^ — в цвета Г^. Нетрудно проверить, что это возможно. Тем самым мы зададим частичную специальную раскраску в кубе

Покажем, что полученная раскраска обладает следующим свойством: для каждой вершины V, V € М^, и для любого цвета 7, 7 € Г^, в кубе М'а1 существует вершина ираскрашенная в цвет 7. В самом деле, из свойства специальной раскраски Хп следует, что цвета всех 2т~1 вершин, соседних с V в кубе М01, попарно различны. Кроме того, все эти вершины принадлежат множеству М^, а следовательно (по построению), раскрашены в цвета из множества Г^ = {0,1,..., 2т~1}. С учетом вышесказанного, для каждого цвета 7 € Г^ найдется хотя бы одна соседняя с V вершина, раскрашенная в цвет 7, что и требовалось доказать.

Для каждой вершины из множества М^ раскрасим весь соответствующий ей подкуб в кубе К01 в тот же цвет. Заметим, что, с учетом доказанного выше утверждения, для любого подкуба II из множества 1С'й1, раскрашенного в цвета из Г^, и любого цвета 7 € Г^ найдется соседний с II подкуб из множества /С^, раскрашенный целиком в тот же цвет, а следовательно — все вершины куба 17, раскрашенные в цвет 7 можно соединить с соседними им вершинами того же цвета в некотором соседнем с II подкубе. Проведем указанные соединения для всех подкубов II из множества К.{л.

Для каждого подкуба Ш размерности п' = (2т~1 — 1) из множества /С^, целиком раскрашенного в некоторый цвет 7, отобразим вершину го, го € Ш, с координатами т_1(7) в соседнюю ей в кубе Кц. (Здесь т_1(7) — набор, соответствующий числу 7 в двоичной системе счисления.) Кроме того, проведем внутри подкуба Ш корневое остовное дерево с корнем в вершине го и зададим ориентацию ребер от листьев к корню.

Обозначим через К~11 подкуб размерности 2ТО_1, составленный из всех вершин подкубов из множества /С^и/С'/!, которые имеют координату <7(7). Заметим, что окончание построения одноцветного связывающего дерева Т7 для каждого цвета 7, 7 € Г^, сводится к построению ориентированного к некоторому корню остовного дерева для всех вершин куба К^, а также для всех вершин в каждом подкубе II из множества К,[п.

Нетрудно проверить, что для куба В1 всегда можно построить ориентированное остовное дерево глубины I с корнем в любой заданной вершине. Как следствие, глубина остовного дерева куба К^ равна 2т~1. Кроме этого, при подсчете глубины дерева Т7 к ней прибавляется глубина

остовных деревьев в кубах из множества /Cq1; равная (2™ 1 — 1), а также — константа 2, получаемая за счет переходов из в KQi и из KQi в Кц. В результате глубина дерева Т7 равна 2'" 1 + (2'" 1 - 1) + 2 = 2™ + 1 = п + 2.

Проведя аналогичные рассуждения для всех цветов 7, 7 € Г^, а также двойственные рассуждения для цветов 7, 7 G Г^', с построением аналогичных конструкций в подкубе Кю, мы построим требуемую систему непересекающихся одноцветных связывающих деревьев в кубе К размерности (п + 2). Заметим, что глубина полученного вложения равна в точности (п + 2) и поэтому r(xn) ^ п + 2. Теорема доказана.

Следствие. Пусть п = 2ТО — 1, А; > 2ТО и в кубе К размерности п + 2 + [log (k2~m)~\ некоторый подкуб L размерности п раскрашен в к цветов специальной раскраской Хп- Тогда в кубе К существует система одноцветных связывающих деревьев для подкуба L с глубиной, не больше чем

к

п

log-

4. Верхние оценки глубины и размерности схем для произвольных ФАЛ.

Теорема. Для любой ФАЛ / из Р2(п) существует такая реализующая ее СФЭ S/ в базисе Б0, что

R(Ef) ^ п — log logп + С5, D(Ef) ^2п — 21oglogn + cq.

Доказательство. Известно [3], что при п ^ 2 для любой ФАЛ / € Р2(п) существует реализующая ее формула F в стандартном базисе Б0 с глубиной не больше, чем \п — log log п + 1], такая, что отрицания в ней либо отсутствуют, либо расположены только у входов (так называемая формула с поднятыми отрицаниями). Для краткости введем обозначениер(п) = D(F) = [п —loglogn+1].

По построению, формула F представляет собой полное двоичное дерево £>р(п) и, согласно лемме 1, допускает гомеоморфное вложение фр(п) в некоторый единичный куб размерности (р(п) + 2). Осуществим указанное вложение, заменяя простые цепи, образуемые в процессе вложения, на цепочки из тождественных одновходовых коммутационных элементов. Полученный помеченный подграф куба Вр^+2 очевидно является изоморфным вложением некоторой СФЭ S' в базисе Б0, реализующей формулу F.

Будем строить искомую СФЭ S в виде суперпозиции построенной выше подсхемы S' и подсхемы S" из коммутационных элементов е, соединяющей входы xi,... ,хп СФЭ S с нужными входами подсхемы S'. Рассмотрим единичный куб К размерности r(n) = р(п) + q(n) + 1, где

q(n) = 3

п

п — log log п

Выделим в кубе К соседние подкубы К' и К" размерности (г(п) — 1). В эти подкубы мы будем вкладывать СФЭ Е' и Е" соответственно. Поскольку СФЭ Е' представляет собой полное двоичное дерево £>г(п), мы можем использовать в качестве вложения <у?(Е) — известное из [6] вложение в куб размерности (р(п) + 1).

Модифицируем это вложение так, чтобы вершины последнего яруса полного двоичного дерева, соответствующие входам СФЭ Е , были размещены в некотором подкубе К'0 размерности р(п) куба К. Для этого на последнем этапе вложения соединим два поддерева глубины р(п) — 1 несколько иным способом. Расположим их в соседних подкубах С\ и размерности р(п) одинаковым образом. После этого соединим их корни в соседнем подкубе размерности р(п) + 1 (см. рис. 2), в результате чего дерево -Сг(„) будет целиком размещено в кубе размерности р(п) + 2.

Теперь покажем, как разместить его листья в подкубе размерности р(п). Рассмотрим более ранний этап данного вложения, а именно, вложение двухъярусного дерева в куб размерности 3. Заметим, что на следующих этапах изменяются соединения этих вершин, но при этом, если на этапе вложения двухъярусного дерева в куб размерности 3 вершина оказалось листом, то и в дальнейшем она продолжает им оставаться. Также нетрудно видеть, что такой куб размерности 3 всегда можно разбить на 2 куба размерности 2 так, что в каждом из них ровно 2 вершины являются листьями. Соответственно, разобьем наши подкубы С\ и С2 размерности р(п), содержащие поддеревья глубины р(п) — 1, на такие соответствующие друг другу кубы размерности 2, в каждом из которых

Подкуб С) размерности р(п)

и 1

г

; и г

Подкуб С; размерности р(п)

И 7

г

\ и г

Подкуб размерности р(п) Подкуб размерности р(п)

Рис. 2. Размещение дерева £>,.(„) в кубе: размерности р(п) + 2

находится по 2 листа. После этого скопируем эти листья в соседние кубы С\ и С'2 размерности р(п) (см. рис. 3).

Рис. 3. Копирование: листьев дерева

Заметим, что уже использованные в подкубах С[ и С2 вершины занимают в них идентичные места (т.е. эти вершины являются соседними по некоторой переменной). Далее рассмотрим скопированные листья подкуба С'2. Так как их можно разбить на подкубы размерности 2, в каждом из которых по два листа соответственно, то во всех таких подкубах можно соединить каждый лист с другой вершиной этого подкуба. Теперь эти листья можно скопировать в подкуб С[ соответствующие им вершины будут свободны из-за идентичного расположения сначала поддеревьев в Сi и С2, а потом и их листьев в С[ и С2 соответственно.

Выделим в подкубе К" подкуб К'0': соседний с подкубом К'0. Для каждого входа вложения СФЭ vp(S') в подкубе К'0 проведем соединительное ребро в соседнюю с ним вершину подкуба КЦ, тем самым "скопировав" в К" содержимое подкуба К'. В подкубе К" сопоставим каждому "скопированному" таким образом входу переменной цвет с номером i для всех i = 1, п.

Согласно следствию к лемме 2, система одноцветных связывающих деревьев для подкуба размерности р(п) = |~п — log log п + 1], раскрашенного в п цветов, может быть построена в надкубе

размерности

71 ТЬ

р(п) + 3 + log —- 5$ р(п) + 3 + log-5—5- 5$ р(п) + с5.

р(п) п — log log n

Построим указанную систему Тр(п^п одноцветных связывающих деревьев для подкуба размерности р(п) в кубе К" размерности (p(n) + ci), тем самым завершив построение СФЭ S" и указав ее изоморфное вложение в куб К" и соединение ее выходов с соответствующими входами СФЭ S' в подкубе К'. Полученная конструкция описывает вложение СФЭ S, являющейся суперпозицией СФЭ S'(S"), в куб К размерности r(n) = п — log log n + Cß. При этом для построенной СФЭ S' справедливо

D(S') = р(п) + с5= \п — log log n] + с5, а из следствия к лемме 2 по построению СФЭ S" вытекает, что

Г Т1

D(S")^n + l+ log--—-- <n + c6.

n — log log n

Глубина D(S) построенной СФЭ S очевидно не превышает суммарной глубины подсхем, поэтому

D(S) < -D(S') + D(S") < n - log log n + c5 + n + c6 = 2n - loglogn + c7. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.

2. Сед ел ев О. Б. Реализация функций алгебры логики схемами из функциональных элементов, вложенными в единичный куб // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2008. № 1. С. 44-50. (Sedelev O.B. Realization of Boolean functions by combinational circuits embedded in the hypercube // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2008. 32. N 1. P. 47-53.)

3. Ложкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. 1996. Вып. 6. С. 189-214.

4. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики. М.: Изд-во МГУ, 2004.

5. Ложкин С. А., Садовников O.A., Довгалюк Е. Л. О сложности и глубине реализации булевых функций схемами, вложенными в единичный куб // Проблемы теоретической кибернетики: XVIII Международная конференция. М.: МАКС Пресс, 2017. С. 147-150.

6. Bhatt S.N., Ipsen I.С.F. How to embed trees in hypercubes. Research Report 443. Yale University, 1985.

7. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн H. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.

Поступила в редакцию 17.02.18