О скорости порождения знакопеременной группы полурегулярными инволюциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300-305.

2. Токарева Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ // Прикладная дискретная математика. 2009. №1. С. 15-37.

3. Токарева Н. Н. Обобщения бент-функций. Обзор работ // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2010. Т. 17. №1. С. 34-64.

УДК 512.54.05

О СКОРОСТИ ПОРОЖДЕНИЯ ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППЫ ПОЛУРЕГУЛЯРНЫМИ ИНВОЛЮЦИЯМИ

М. Э. Тужилин

В ряде работ Дж. Бреннера [1] и других авторов изучался вопрос об экспоненте класса сопряженных элементов C конечной неабелевой группы G, то есть минимальном e, для которого выполняется условие Ce = G. Показано, что в знакопеременной группе An почти все классы сопряженных элементов имеют экспоненту е, меньшую или равную 4. Единственным классом, имеющим экспоненту 4, как доказано в [2], является класс полурегулярных инволюций.

Пусть N = 2n.

Условимся обозначать цикловую структуру [h] подстановки h через [t\ai, t2a2,..., tmam ]. Это означает, что в разложении подстановки h на независимые циклы есть ровно ai циклов длины ti,i € {1, 2,..., m}.

Определение. Подстановка h степени N называется полурегулярной инволюцией, если [h] = [2n].

Множество всех полурегулярных инволюций степени N обозначим через Jn . Мощность этого множества равна (N — 1)!!.

Утверждение 1. Подстановка h принадлежит множеству Jn 2 тогда и только тогда, когда [h] = [ti2^1 , t22^2, ...,tm2em].

Утверждение 2. При N = 4 справедливо равенство Jn4 = AN, при N = 4 выполнено Jn = W4, где W4 — четверная группа Клейна.

Утверждение 3. Множество Jn3 не содержит подстановок с цикловыми структурами [1N-3, 31], [11, 2(n-4)/2, 31], [1N-5, 51], [2(n-8)/2, 31, 51], [1N-5, 21, 31], [1N-7, 31, 41], [11, 35].

Напомним [3], что длиной l(G,M) группы G = <M> относительно системы образующих M называется минимальное r, при котором выполняется равенство

Г

G = U Mk, а шириной d(G,M) называется минимальное число слоев Mk, которы-k=1

ми может быть исчерпана группа G.

Утверждение 4.

а) Если n четно и n = 2, то < Jn >= AN, d(AN, Jn) = 1, l(AN, Jn) = 4. При n = 2 выполнено Jn4 = W4.

б) Если n нечетно, то <Jn> = SN, d(SN, Jn) = 2. При n>1 выполнено l(SN, Jn) = 5; при n =1 справедливо l(SN, Jn) = 2, где SN — симметрическая группа.

Рассчитаны мощности слоев 3^к для N ^ 20. В приводимой ниже таблице ука-

т к

зано количество классов сопряженных элементов, содержащихся в слое JN для к = 2, 3, 4,5.

N 2 3 4 5

2 1

4 2

6 3 4 6 5

8 5 8 12

10 7 16 22 20

12 11 36 40

14 15 62 69 66

16 22 113 118

18 30 186 195 190

20 42 313 317

ЛИТЕРАТУРА

1. Brenner J. L. Covering theorems for FINANSIGS VIII — Almost all conjugacy classes in An have exponent ^ 4 // J. Austral. Math. Soc. 1978. V. 25. P. 210-214.

2. Products of conjugacy classes in groups / eds. Z. Arad, M. Herzog // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer Verlag, 1985. V. 1112. P. 198-221.

3. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. Т. II. М.: Гелиос АРВ, 2003.

4. Тужилин М. Э. О порождении знакопеременной группы полурегулярными инволюциями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 4. С. 938-939.

УДК 519.1

СВОЙСТВА ВНЕШНИХ УПРАВЛЯЮЩИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

В. М. Фомичев

Свойства выходной гаммы и преобразований состояний генератора с внешним управлением неравномерным движением существенным образом определяются свойствами управляющей гаммы. Например, в генераторах «<$-т-шагов» и в генераторах с перемежающимся шагом, построенных на основе линейных регистров сдвига (ЛРС) с максимальными длинами периодов, порядок линейной подгруппы циклической группы преобразований состояний генератора определяется длиной периода t управляющей гаммы [1,разд. 18.4.2, 2]: линейные уравнения гаммообразования соответствуют всем тактам работы генератора, номера которых кратны t.

Показано, что в генераторах с внешним управлением доля линейных уравнений гаммообразования тем больше, чем меньше h-период управляющей последовательности, где h — функция, отображающая отрезки управляющей последовательности в подходящее множество. Свойства h-периодов последовательностей над No для конкретной функции h суммирования членов последовательности, полученные в [3], в работе обобщены.

Для аддитивных функций h доказано, что длина h-периода периодической последовательности делит длину периода, для некоторых h исследованы длины h-периодов последовательностей де Брёйна и линейных рекуррентных последовательностей над конечными полями.