О синтезе минимальных форм стохастических автоматов с конечно-нестационарной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 2

А. Ю. Пономарёва, М. К. Чирков

О СИНТЕЗЕ МИНИМАЛЬНЫХ ФОРМ СТОХАСТИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ С КОНЕЧНО-НЕСТАЦИОНАРНОЙ СТРУКТУРОЙ

Введение. Задачи синтеза минимальных форм представления абстрактной структуры являются одними из наиболее важных в математической теории автоматных моделей любого типа. Применительно к стационарным стохастическим автоматам решение этих проблем известно и, в частности, в работе [1] обоснована эффективная матричная методика синтеза их минимальных форм. Среди методов решения подобных задач для автоматных моделей более сложного типа отметим матричную методику оптимизации абстрактной структуры модели, разработанную применительно к нестационарным, обобщенным над ассоциативными телами, конечным автоматам с периодически меняющейся структурой [2], и ее дальнейшее развитие для важного специального случая стохастических периодически нестационарных автоматов [3]. В последние годы при исследовании принципиально новой нестационарной автоматной модели — обобщенного над ассоциативным телом автомата с конечно-нестационарной структурой [4, 5], методика синтеза минимальных форм представления абстрактной структуры обобщенных периодически нестационарных автоматов [2] была существенно доработана применительно к этой более сложной нестационарной автоматной модели [6]. Вместе с тем, как и в случае периодически нестационарных автоматов, предложенная в [6] матричная методика оптимизации обобщенных конечно-нестационарных автоматов, будучи непосредственно примененной к стохастическим автоматам с конечно-нестационарной структурой, в общем случае нарушает корректность их задания и поэтому требует существенной доработки и, фактически, построения для таких автоматов специальной матричной методики решения указанных задач, что и является целью данной работы.

1. Основные определения. Пусть X, А, У суть алфавиты входных символов, состояний и выходных символов соответственно. Условимся называть элементарной стохастической автоматной структурой следующую систему:

Л(Л = {хЫ),А< А,У(Л, {Р^\у\х)}), (1)

где XС X, А,,АЛ С А, \А^\ = ти \АЛ \ = тЛ, УС У, и {Р^ (у\х)} есть совокупность матриц вероятностей переходов из состояний алфавита А^ в состояния алфавита А^, соответствующих парам (х, у),х € X (Л уеУ Ы).

Стохастическим автоматом с конечно-нестационарной структурой (стохастическим конечно-нестационарным автоматом) назовем систему

= (X, Л,У,РА, дл(С,С,ео,/л)), (2)

где 0л есть структурный граф автомата (конечный, ориентированный, нагруженный граф), имеющий:

— конечное множество вершин С = {со,С1,..., 1}, причем каждой вершине с^, г = 0,с1 — 1, сопоставлен алфавит состояний А^, г = 0,с1 — 1, ^^А^ = А;

© А.Ю.Пономарёва, М.К.Чирков, 2006

— начальную вершину со, для которой задано ра = (рг,... ,рто) —начальное распределение вероятностей состояний аг, г = 1, то, аг € Ао;

— конечное множество О направленных ребер д^, соединяющих вершины графа с,

Сз е С;

— однозначную функцию ]а : О ^Л, где Л — множество стохастических автоматных структур вида (1), приписывающую каждому ребру д3 элементарную стохастическую автоматную структуру Л(г'з), причем еаХ(г'з) = X, еаУ(г'з) = У.

Выделим в структурном графе 0а автомата (2) какую-либо вершину сз е С. Рассмотрим один из путей Поз, ведущий из начальной вершины графа со в вершину сз: со = с0,с1 ,...,сг = 3, и выпишем последовательность элементарных стохастических автоматных структур, отмечающих ребра, через которые проходит этот путь Л(го'11), Л(г1'г2),..., Л(ч-1 'г*). Рассмотрим любую пару слов ю = х81 х82 ...х81>,

х81, € Х^"-1'*"), V = у1гу12 ... г/;4, € у(»-1.»"), у = 1,4, длины 4 в алфавитах X и У. Множество всех пар таких слов назовем множеством допустимых пар слов для пути Поз и обозначим ^доп(Поз)• Вероятность отображения слова ю в слово V, порождаемого путем Поз структурного графа 0а автомата Лру при заданном ра, имеет величину

рА №)= раП Ра-1 \У1„ \хь„ )е(з), (ю^) е ^доп(Поз), (3)

и=1

где е(з) —вектор-столбец размера тз, все элементы которого равны 1.

Отображение Р(А) : ^доп(Поз) ^ [0,1], определяемое выражением (3), назовем стохастическим отображением, индуцируемым путем Поз •

Пусть Поз есть множество всевозможных путей в структурном графе автомата Ару из начальной вершины со в вершину графа сз е С. Множество = {Р^}^ .еп0-условимся кратко называть стохастическим отображением, индуцируемым вершиной сз. В целом автомат Лру будет индуцировать множество взаимосвязанных стохастических отображений

Р(А) = рА), р(А), ,р(А)} (4)

соответствующих различным вершинам сз е С,] = 0,с1 — 1.

2. Постановка задачи. Пусть заданы два стохастических конечно-нестационарных автомата, автомат Лру (2) и автомат

Вру = (X, В,У,рв, 0в(О, С, со,/в)), (5)

индуцирующий при заданном рв множество взаимосвязанных стохастических отображений Р(В) . Автоматы Ару и Вру имеют одинаковые алфавиты X и У и следующие одинаковые параметры структурного графа — множество вершин С, множество ребер О и начальную вершину со, а остальные параметры могут отличаться.

Выделим некоторую вершину с^ е С, г е {0,1,...,с1— 1}, и будем считать ее начальной вершиной в обоих автоматах (2) и (5). При этом понятно, что полученные таким образом автоматы Лр^ и ВрР^ не выходят из класса стохастических конечно-нестационарных автоматов.

рить, что начальное распределение рА)

Условимся говорить, что начальное распределение рА) вероятностей состояний ав-

томата Лру (2) в вершине с^ и начальное распределение рВ вероятностей состояний автомата Врь (5) в вершине с эквивалентны, если при этих начальных распределениях

Л (г) Р(г)

и Вр^ индуцируют одни и те же множества взаимосвязанных стохастических отображений.

Назовем автоматы и Вру (2) и (6) строго эквивалентными, если для каждой

(г)

вершины вг € С каждому начальному распределению вероятностей состояний рА в автомате Ару в этой вершине найдется эквивалентное ему начальное распределение вероятностей состояний рВ в автомате Вру в этой же вершине, и обратно.

Условимся в дальнейшем считать, что над рассматриваемыми нами исходно задаваемыми стохастическими конечно-нестационарными автоматами уже произведены предварительные эквивалентные преобразования [4, 5], в результате чего структурные графы автоматов не содержат заведомо «неэффективных» ребер, удаление которых не меняет Рр(А) и ТР(В), и не содержат недостижимых из во вершин.

Будем говорить, что автомат Ару (2) находится в минимальной (иначе, приведенной по состояниям) форме, если не существует строго эквивалентного ему автомата Вру (5) такого, что для множеств состояний автоматов и Вру выполняется условие

\Бг\ < \А\ для всех вг € С и Б < \А*\' (6)

аео

Минимальной формой автомата (2) назовем любой строго эквивалентный ему автомат Вру (5), находящийся в минимальной форме.

Таким образом, рассматриваемые задачи синтеза минимальных форм стохастического конечно-нестационарного автомата формулируются следующим образом:

а) задан автомат (2), требуется построить автомат Вру (5), являющийся его минимальной формой;

б) найти все минимальные формы автомата Ару (2).

3. Построение семейства базисных матриц. Пусть в графе 0а автомата (2) путь —один из множества путей рлюбой длины, ведущих из некоторой вершины вг € С в одну из вершин ву € С. Пусть А(1°11'), А(1112\ ..., А(н-14) последовательность элементов из А, отмечающих ребра, образующие путь , и вг = вг0,вг1 , ...,вгг = ву — последовательность вершин, через которые проходит этот путь. Рассмотрим любую пару слов (ю, V) в алфавитах X и У такую, что т = хв1 хв2 ...хв1,, ха„ € V = у1гу12 ... у1„ € 1>г"\ у = 1,4, и образуем вектор-столбец

г

Ыт) = Ц рАт-1'^ ) \хе„ )е(у). (7)

Любая матрица Н(г) размера (тг х г/г), где пг = &шС(вг), столбцы которой образуют базис в пространстве С(ег), порожденном всеми векторами (7) и вектором е(г), для всех ву € С, всех (т,ю) € Zд0п(0ij) и всех

называется базисной матрицей автомата Ару в вершине сг. Совокупность матриц Н(г), сг € С, % = 0, <1 — 1, образует семейство базисных матриц автомата . Согласно определению базисной матрицы автомата она имеет бесконечное множество форм представления

Н(г) = Н(г) а, (8)

где а —любая невырожденная квадратная матрица размера (г/г х г/г).

Выделяя в матрице H(i) какие-либо п линейно независимых строк hj, образуя матрицу аГ1 = (hje)0=Y^T и находя обратную ей матрицу а, можно с помощью преобразования (8) найти соответствующую нормализованную форму представления базисной матрицы Н^ такую, что в матрице Н(г) строки с номерами jo, в = 1 ,rji, будут иметь вид hje = h(e) = (0,..., 0,1, 0, ...0), где элемент «1» стоит в в-й позиции.

Для построения семейства базисных матриц Н(г), i = 0, d — 1, автомата Apv может быть использована рекуррентная процедура, схожая с той, которая использована в [6] для построения семейства правосторонних базисных матриц обобщенного конечно-нестационарного автомата.

Пусть ci € C — вершина графа Ga. Обозначим через {ji,... ,jм} множество номеров вершин графа Cjout, iout = ji,jfi, таких, что существует ребро gaout € С с началом в вершине ci и концом в вершине ciout, при этом пусть f (giiout) = A(i,iout).

Процедура построения семейства базисных матриц автомата Apv (2) следующая.

1. Нулевые приближения матриц Н^, i = 0,d — 1, — суть «пустые» матрицы, не содержащие ни одного столбца. Первое приближение матриц H(i) суть матрицы из одного столбца H(i) = (e (i)).

2. Если построены (р — 1)-е и р-е приближения семейства матриц Н^, i = 0, d — 1, и в р-м приближении матриц H(iout), iout € {ji,... ,jм}, по сравнению с их (р — 1)-м приближением, добавились новые базисные векторы-столбцы hiiout \ ..., h\ где qp = qp(iout), то (р + 1)-е приближение матрицы H( i), получается добавлением к ее р-му приближению таких столбцов, чтобы столбцы (р + 1)-го приближения матрицы H( i) образовывали базис в пространстве, порожденном столбцами ее р-го приближения и всевозможными векторами-столбцами вида

где = др(1оиь), '¡-оы = 31,3^- _

Выполнение этой процедуры для всех вершин с^,% = 0,^ — 1, приведет к построению (р + 1 )-го приближения семейства матриц Н(г).

3. Рекуррентная процедура, описанная в п. 2, последовательно повторяется до тех пор, пока при очередном выполнении п. 2 полученные для всех матриц Н(г), i = 0, d — 1, (р + 1)-е приближения не совпадут с р-ми приближениями этих матриц. На этом построение семейства базисных матриц автомата Лру (2) заканчивается.

4. Преобразующие матрицы. Пусть для автомата Ару (2) Н(г) есть его базисная (го; х ^¿)-матрица в вершине с^ и Н(г) = (Ь^) -=1 т.—одна из ее нормализованных форм, при построении которой использованы линейно независимые строки с номерами в = 1, г/», и, следовательно, Ь^ = Ь(0), в = Пусть среди остальных строк матрицы Н1-®) содержится г^ строк Ь.^}, а = с неотрицательными элементами. Возьмем любую из строк Ьзг), которая содержит хотя бы один отрицательный элемент, и пусть < 3 < Зд+\. Тогда в матрице Н( г) строка Ь^ заменяется нулевой строкой, а затем между столбцами с номерами в и в +1 вставляется вектор-столбец Ьтй(3). Преобразованная строка = Ь(в + 1) включается в множество строк, использованных при построении нормализованной формы, то есть далее это множество содержит уже

~(г) -

гц + 1 строку Ь^ , в = 1,Пг + 1. Выполняя последовательно данную операцию для каждой строки матрицы Н(г), имеющей отрицательные элементы (всего таких строк будет

тг — Пг — гг штук), построим соответствующую матрице Н(г) преобразующую матрицу Н(г) размера (тг х (тг — гг)), находящуюся в нормализованной форме.

Псевдообратпой матрицей к Н(г) = (Ь^) будет ((т;-г г) хтгц)-матрица Н*-®^ =

с0 столбцами = \\ТК(з) при 3 ^ а = 1, п, и = 0 при 3 =

<т = 1,П.

Построенные таким образом матрицы Н(г), Н(г)1 для всех вершин структурного графа Сг, г = 0,^—1, автомата Ару (2) образуют соответствующие матрицам Н(г), % = 0, (1 — 1, семейства преобразующих и псевдообратных к ним матриц, которые являются обобщением на рассматриваемую более сложную модель семейств соответствующих матриц, определенных в частном случае периодически нестационарного стохастического автомата, и обладают аналогичными свойствами (см. [3]), в том числе оказывается справедливым следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть Ару —стохастический конечно-нестационарный автомат (2), Н(1\АрУ), % = 0, <1— 1, —семейство его базисных матриц и Ъ1^1\Ару), % = 0, <1— 1, — семейство этих базисных матриц в нормализованной форме. Пусть для семейства матриц Н(г)(Ару) построены семейство преобразующих (тг х (тг — гг))-матриц Н = 0,(1—1, и семейство псевдообратных к ним ((тог — г г) х тг)-матриц

Ару), % = 0, <1— 1, и пусть стохастический конечно-нестационарный автомат Вру (5) удовлетворяет условиям:

1) рв = РаН(0\Ару);

2) если для ребра дгу € О, соединяющего вершины сг,су € С, /а(дгу) = А(г'у), то /в (дгу) = В(гу), где

В(гу) = (X(гу), Вг, В у ,У(гу), {РВ'У) (у\х)}),

(9)

рВ,з) (У\х) = Н(г)1 (Ару )рА'у) (у\х)Н(у) (Ару)

для всех х € X(г,у), у € У(г'у), и всех дгу € О, сг, су € С. Тогда автомат Вру строго эквивалентен автомату Ару и имеет в вершинах структурного графа по \Вг \ = тг — гг, г = 0, с1 — 1, состояний и семейство базисных матриц Н^(¡Вру) = Н(г)(Ару)И^(Ару), 1 = 0,(1-1.

Доказательство этой теоремы в рассматриваемом случае может быть выполнено по схеме, аналогичной доказательству соответствующего утверждения в работе [3].

5. Семейство общих преобразующих матриц. Пусть Н(г\Ару) = Н1г)

есть

зисная матрица автомата А\ру (2) в вершине сг, г € {0,. ..с! — 1}, находящаяся в нормализованной форме. В таком случае, в соответствии с процедурой п. 4, можно построить преобразующую матрицу Н(Ару) = Н 1г). Построим автомат Вру (5), строго эквивалентный автомату Ару, согласно преобразованиям (9) теоремы 1. Базисная матрица автомата Вру в вершине сг будет Н(г\Вру) = Н^ = НН1г). Для следующего шага последовательной оптимизации автомата найдем нормализованную форму базисной матрицы Н2) и построим аналогичным образом преобразующую матрицу Н2) в вершине сг. Повторяя эту процедуру до тех пор, пока в очередной матрице Н^] в любой ее нормализованной форме не найдется ни одной строки с отрицательными элементами, получим последовательность матриц к = 1 ,щ.

Определим общую преобразующую и псевдообратную к ней матрицы в вершине сг,

г € {0,...! — 1} следующим образом:

н« = п Нкг), нг = п н« = п -. (10) к=1 \к=1 / к=1

Используя изложенную процедуру и выражения (10) для всех с^, г = 0, (1 — 1, можно построить для автомата Ар» (2) семейства общих преобразующих Н^ и псевдообратных к ним Н^1 матриц, г = 0, (I — 1, для которых справедливы следующие утверждения, являющиеся обобщением на рассматриваемую более сложную автоматную модель соответствующих утверждений, доказанных в [3] для частного случая стохастических периодически нестационарных автоматов.

Теорема 2. Пусть Лр» — стохастический конечно-нестационарный автомат (2), Н(г\Ар»), г = 0, (1 — 1, — семейство его базисных матриц, Н^(«4рг,), г = 0, (1 — 1, — семейство общих преобразующих (то^ х г/'^-матриц, и Н^)1 (Ар»), г = 0,(1—1, —семейство псевдообратных к ним (П х ш^-матриц, и пусть автомат Вр» (5) удовлетворяет условиям:

1) Рв = РАН^0)(Ар» );

2) если для ребра д^ € О, соединяющего вершины € С, ]а(зц) = Л(г'3), то Iв (дц) = где

В&Я = {X,БиБз,У{Р{В^(у\х)}),

(11)

РВЛ) (у\х) = Н г (Ар» )рал) (у\х)Н Л (Ар»),

для всех х € X (Л ,уеУ Ы), и всех ссл € С. Тогда автомат Вр» строго эквивалентен автомату Ар», имеет в вершинах структурного графа по \ = г = 0, (1 — 1, состояний, семейство базисных .матриц Н(4) (Вр») = Н ^ (Ар» )Н(* ) (ЛрV ), г = 0,(1- 1, и семейство общих преобразующих матриц Н^ (Вр») = 1.{щ), г = 0, (1 — 1.

Теорема 3. Стохастический конечно-нестационарный автомат находится в минимальной форме в том и только том случае, если все его общие преобразующие матрицы являются единичными.

6. Синтез минимальной формы автомата Лр». Процедура построения одной из минимальных форм стохастического конечно-нестационарного автомата Лр» (2), которую условимся называть естественной минимальной формой, состоит в следующем.

1. Найти для исходного автомата Ар» семейство его базисных матриц Н(г)(Лр»), г = 0, (I — 1, (см. п. 3) и положить Н^ = Н^г\Ар»), г = 0, (I — 1.

2. Если на шаге к, 1 < к < щ, найдено семейство базисных матриц Н^, г = 0, (1 — 1,

то привести каждую матрицу семейства базисных матриц к одной из нормализованных

~ (г) -

форм Нк , г = 0,! — 1.

3. Для каждой матрицы г = 0, (I — 1, построить преобразующую матрицу Н^, г = 0, (1 — 1, согласно методу, предложенному в п. 4.

4. Построить из семейства матриц Н^, г = 0, (1 — 1, новое семейство базисных матриц Н^р г = 0, (1 — 1, согласно свойствам автомата Вр» в теореме 1.

5. Повторяя п.п. 2, 3, 4 данной процедуры, построить, согласно п. 5, всю последовательность семейств преобразующих матриц н£>, к = т , щ для каждой верши-

ны г = 0,^—1, и найти по формулам (10) семейства общих преобразующих матриц Н^(«4рг,), г = 0, (1 — 1, и псевдообратных к ним матриц Н^1(Лру), г = 0, (1 — 1.

6. Используя матричное преобразование (11), построить стохастический конечно-нестационарный автомат Вру, являющийся естественной минимальной формой исходного автомата Ару.

7. Синтез множества минимальных форм автомата Ару. Вырожденным начальным распределением рА вероятностей состояний автомата Ару (2) в вершине сг будет называться распределение вида рА = (0,..., 0,1,0,..., 0), где 1 соответствует одному из состояний множества Аг. Назовем автоматы Ару и Вру строго инициально эквивалентными, если они удовлетворяют следующему условию: для каждой вершины сг € С, каждому вырожденному начальному распределению вероятностей состояний

(г) Т

Ра в автомате Ару в этой вершине найдется эквивалентное ему вырожденное начальное распределение вероятностей состояний р^ в автомате Вру в этой же вершине, и обратно.

Решение второй сформулированной в п. 2 задачи основано на справедливости следующих утверждений, обобщающих на принципиально более сложный случай стохастических конечно-нестационарных автоматов соответствующие положения, доказанные для частного случая периодически нестационарных стохастических автоматов [3].

Теорема 4. Пусть Ару есть стохастический конечно-нестационарный автомат (2) и пусть Вру (5) есть его любая минимальная форма. Тогда автомат

Т>ру = {X, V, У, ро, дв(О, С, со, ¡о)) (12)

есть минимальная форма автомата Ару в том и только том случае, если \Пг\ = \Бг\, г = 0,1 — 1, и автомат ТТру строго инициально эквивалентен автомату Вру.

Теорема 5. Пусть автомат Вру (5) есть какая-либо из минимальных форм стохастического конечно-нестационарного автомата Ару (2) и пусть И(^') (Вру) = И(^'), ] = 0, 1 — 1, есть семейство базисных матриц автомата Вру. Тогда автомат Т>ру

/ о \ _

(12), имеющей \Ву \ = \Бу \ = ), ] = 0,(1— 1, строго инициально эквивалентен автомату Вру, причем эквивалентными в каждой вершине являются одинаковые вырожденные начальные распределения, в том и только том случае, если при всех ] = 0, (1 — 1 и всех дц € С выполняются условия

Р^ (у\х)Н(^) = Р^ШН^, Р(у\х) = ^ Ш)тв тв,

г ' о

Р(№(у\х) > 0, хя € X(гЛ, у1 € У(г'Л.

(13)

Следствие. Пусть Ару есть стохастический конечно-нестационарный автомат (2), и автомат Вру (5) есть любая его минимальная форма с семейством базисных матриц Н^\Вру),] = 0,(1—1. Тогда с точностью до нумерации состояний множество всех минимальных форм автомата Ару совпадает с множеством всех автоматов ТУру (12), имеющих \ = \Бу\, ] =0,1— 1, и удовлетворяющих условию (13) теоремы 5.

Процедура синтеза с помощью найденной естественной минимальной формы Вру

автомата Ар» всего множества его минимальных форм, основанная на теореме 5 и следствии, состоит в следующем.

1. Для автомата Вру, используя семейство его базисных матриц Н^\Вру), у = 0,!— 1, составить (для тех базисных матриц, которые не являются квадратными) системы уравнений (13).

2. Решить построенные системы уравнений, используя в качестве неизвестных часть параметров, и найти ограничения, накладываемые на значения параметров.

3. На основании результатов п.п. 1, 2 процедуры построить искомый частично определенный стохастический конечно-нестационарный автомат Т)р» (12) с матрицами вероятностей переходов, зависящими от параметров, который и будет задавать (с точностью до нумерации состояний) все (в общем случае бесконечное) множество минимальных форм автомата Лр».

8. Пример. Задан стохастический конечно-нестационарный автомат Лр» (2), где X = {Х1}, У = {у1, У2}, А = {а,1, о,2, аз, см, а&, ац}, структурный граф 0а имеет вид

начальное распределение — ра = (0,1; 0, 2; 0, 2; 0,15; 0,05; 0, 3), а элементарные стохастические автоматные структуры Л(г,3) определяются следующими матрицами вероятностей переходов: структура

0 \

0

0, 05 0,04 ,

0,1 0

рА0Д)Ых1) =

0 0

0 0,1

0, 125 0, 125

0, 1 0, 04

0, 2 0, 2

0, 15 0, 1

0,25 0

0,15 0 0,1625 0,1

0, 24 0, 08

0,17 0, 08

0, 09 0,16

Р

(0,1)

(у2 \Х1)

0, 25 0, 15 0, 15 0, 2 0

0, 25 0, 15 0, 1 0, 2 0,05

0, 125 0, 1 0, 0625 0, 1 0,05

0, 15 0, 11 0, 11 0, 12 0, 01

0, 05 0, 07 0, 02 0, 04 0, 07

0, 25 0, 1 0,1 0 0, 05У

структура

(1,2)

А

РА1,2) (у1\х1)

( 0, 03 0, 066 0, 15 0, 03 0, 078 0, 096

0 0, 07 0, 2 0 0,11 0, 12

0, 15 0, 11 0, 15 0, 15 0, 03 0,16

0, 075 0, 0825 0, 15 0, 075 0, 06 0,12

0 0, 04 0, 1 0 0, 07 0, 04

р

(1,2)

Ых1)

0, 042 0, 124 0, 166 0, 12 0, 05 0, 048

0 0, 2 0, 2 0,1 0 0

0, 09 0 0, 07 0 0, 01 0, 08

0, 09 0, 07 0, 12 0, 075 0, 0325 0, 05

0, 06 0, 11 0, 18 0, 2 0,12 0, 08

структура

Л(2-1)

р

(2,1)

(У11Х1)

структура

р

Л(2,°)

(2,1)

(У2 |х1)

0, 05 0, 15 14/300 16/300 0, 05

0 0,09 0, 03 0, 04 0, 04

0, 05 0, 01 0, 05 0, 08 0, 06

0 0,3 0, 025 0 0, 025

0,1 0, 35 0, 06 0, 04 0, 05

0, 075 0, 285 0, 0525 0, 04 0, 0475

5/30 0, 3 5/300 4/30 1/30

0, 2 0, 51 0, 04 0, 04 0, 01

0, 3 0,24 0, 01 0, 16 0, 04

0 0,6 0, 05 0 0

0 0,15 0 0, 2 0, 05

0, 05 0, 24 0, 01 0, 16 0, 04

Р^ (У1|Х1)

р

(2,°)

(У2|х1) =

/0,1 0 0,1 0 0, 2 0, 1

0, 1 0, 1 0

0, 02 0

\0, 04

0, 06 0,1 0,05 0,12 0,1 0, 2

0,16 0, 02 0,25 0, 01 0, 3 0, 2

0, 2 0, 32 0 0, 2 0, 2 0, 08

0, 12 0 0

0, 04 0 0,1

0, 04 0, 07 0, 05 0,16 0, 02 0, 12

0, 03 0, 11 0, 24 0, 06 0, 03 0, 01

0

0, 08 0

0,19 0, 01 0, 115

0, 09 0, 1 0, 11 0

0, 04 0, 015

0, 1 0 0, 1 0, 2 0, 1

0 )

0 \

0,1 0, 1 0 0

0, 02 = 6

Есес А | = 17-

Таким образом, у заданного автомата |А°| = 6, Требуется найти одну из его минимальных форм.

Применяя к заданному автомату предложенную в п. 6 процедуру построения его естественной минимальной формы, найдем семейство общих преобразующих матриц автомата:

Н

(°)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0, 25 0, 25 0, 5

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0, 5 0 0, 5/

Н

(1)

0, 4 0, 2 0,4 ^

1 0 0

0 1 0

0, 25 0, 5 0, 25

0 0 1

Н

(2)

семейство псевдообратных к ним матриц: /1 0 0 0 0 0

Н

(°)1 _

0

0 0

Н

(1)1 _

Н

(2)1 _

/1/3 1 0 0 0 1/4

0 0

0 0

1/3 0 1 0 0 0

1/3\ 0 0 0 1

3/4/

0 0 0 0

А

А

А

А

и, используя матричные преобразования (11), получим стохастический конечно-нестационарный автомат Вру (5), у которого общий алфавит состояний В = {61,62,63,64}, начальное распределение рв = (0,1; 0,4; 0, 2; 0, 3), и структурный граф 0в отличается от 0а лишь отметкой ребер — вместо символов элементарных стохастических автоматных структур А(,) ребра отмечаются символами новых элементарных стохастических автоматных структур В(,), задаваемых следующими матрицами вероятностей переходов:

структура

(0,1)

Р

структура

Ы^) =

(1,2)

( 0 0,25 0

0,1 0,15 0

0,1 0, 3 0,1

\0, 3 0, 25 0, 2у

Р

(0,1)

(У2\Х1) =

0, 3 0, 3 0, 2 0, 1

0, 3 0, 25 0, 2 0, 05

0,15>

0, 2 0,1 0, 1

/ 0,1 0,2 0 0,2^ РВ1,2)(у11x0=1 0,2 0,2 0,15 0,2

\0, 05 0,1 0 0,1/

/ 0, 2 0, 2 0,1 рВ,2) (у2 \Х1) = 0, 05 0,1 0 \0,15 0, 2 0, 2

структура

(2,1)

Р

(2,1)

(У1|х1)

( 0,1 0, 05 0, 05 0, 1

0, 3 0, 025

\0,4 0,1

0, 05 0,1 0, 025 0,1

Р

(2,1)

(У2 \Х1)

/0,6 0,1 0,

0,4 0,15 0, 2

0,6 0,05 0

\0,2 0,1 0,1,

структура

(2,0)

Р

(2,0)

(У1|х1) =

0 0, 1 0 0, 2

0,18 0,1 0, 27 0, 2

0, 15 0, 24

0, 05 0, 05

0, 21 0, 39

0, 07 0,16/

Р

(2,0)

(У2 \Х1) =

/ 0,1 0,07 0,11 0,15>

0 0,3 0,24 0,16

0, 02 0, 02 0, 07 0, 02

\ 0 0,3 0,03 0,04у

Построенный стохастический конечно-нестационарный автомат Вру является минимальной формой исходного автомата Ару и имеет \Во\ = 4, \В1\ = 3, \В2\ = 4, 2с-ес \Вг\ = 11, т. е. в сумме по вершинам структурного графа он имеет на 6 состояний меньше.

Найдем теперь все минимальные формы исходного автомата Ару, используя построенный автомат Вру и поцедуру, изложенную в п. 7. Семейство базисных матриц автомата Вру в соответствии с теоремой 2 будет иметь вид

н(0)(Вр

1 0, 25 0, 41250 0, 1875

1 0, 25 0, 3875 0, 1625

1 0, 5 0, 275 0, 3

1 0, 75 0, 1125 0, 3875

Н(1)(В.

ру)

п 0,5 0,19 \ 1 0,75 0,2625 1 , Н(2)(В. Ч1 0,25 0,095 /

ру)

/1 0,2

1 0,25

1 0,35

\1 0,6

0, 57^ 0, 3 0, 87 0, 63у

в

в

в

в

в

в

В вершинах с° и С1 базисные матрицы квадратные, что означает, что система уравнений (13) для каждой из этих вершин имеет единственое решение и матрицы Рд^(у|х) совпадают с матрицами Р^^ (у|х) для ] = 0,1. В вершине С2 получаем две системы уравнений (13) для матриц структуры Р(1,2):

'0, 5 0,19 0, 243 \ /Pii Pi2 Pi3 Pi4

0, 75 0, 2625 0,4305 = P21 P22 P23 P24

0, 25 0, 095 0, 1215 \P3i P32 P33 P34

1 0, 2 0, 57

1 0, 25 0, 3

1 0, 35 0, 87

1 0, 6 0, 63

/ 0,5 0,125 0,261 \ /р'н p'12 Р13 Р14 \ '

0,25 0,095 0,1215 = p2i p22 р2з p2J 1 0' 25 0 87! >

\0,75 0,27 0,4455^ \р'з1 р'з2 р'зз p3J °0,g 0,83/

гДе Pßp = Рмр2)(У1 \xi),P'ßp = tAp'^MXi)-

Для решения этих систем необходимо выбрать какие-то элементы в качестве параметров, поскольку число неизвестных больше числа уравнений. Пусть это будут элементы последних столбцов матриц Р^'2'1 (у|ж), т.е. рц, p'iA, г = 1,3. Решая системы относительно остальных неизвестных, получим

Pg'2) (yiixi)

>(1.2)(

-0, 5 + 3Pi4 0, 6 - 2Pi4 0, 4 - 2Pi4 Pi4

-0, 4 + 3P24 0, 6 - 2P24 0, 55 - 2P24 P24

-0, 25 + 3P34 0, 3 - 2P34 0, 2 - 2P34 P34

' 0, 2 + 3p'I4 0, 2 - - 2p'i4 0, 1 - 2pi4 p'i4N

-0, 25 + 3p24 0, 3 - - 2p24 0, 2 - 2P24 P24

-0,45 + 3p34 0, 6 - - 2рз4 0, 6 - 2рз4 Р34 t

откуда из условий PßP,p'fJ/P > 0 следуют ограничения

1/6 < pi4 < 0, 2; 2/15 < p24 < 0, 275; 1/12 < p34 < 0,1; 0 < p'14 < 0, 05; 1/12 < p24 < 0,1; 0,15 < p'34 < 0, 3.

(14)

(15)

Таким образом, автомат Ару имеет бесконечное множество минимальных форм Т)ру, имеющих те же множества вершин и ребер в структурных графах, что и автомат Ару, число состояний в вершинах |Д°| = = 4, |^1| = 3, ^^ = 11, и элементар-

ные автоматные структуры, матрицы вероятностей переходов которых совпадают для структур Р(°,1), Р(2,1) с матрицами соответствующих структур автомата Вру, а матрицы вероятностей переходов структуры Т>(1,2) определяются выражениями (14) и (15).

Summary

A. Yu. Ponomareva, M. K. Tchirkov. On the synthesis of minimal forms for stochastic automata with finitely non-stationary structure.

The problems of minimization of the number states and synthesis of minimal forms for automata models of a new type, namely, for stochastic automata with finitely non-stationary structure are studied.

Литература

1. Чирков М. К., Наср Я. О методах и алгоритмах оптимизации стохастических автоматов // Математическое моделирование дискретных систем. СПб., 1995. С. 38-70.

2. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Оптимизация обобщенных автоматов с периодически меняющейся структурой. СПб., 2000. 96 с.

3. Пономарева А. Ю. Оптимизация абстрактной структуры периодически нестационарного стохастического автомата // Вестник молодых ученых. Серия Прикладная математика и механика, 1'2003. СПб. С. 77-91.

4. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Канонические формы конечно-нестационарных обобщенных автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 2. СПб., 2002. С. 4-18.

5. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Оптимальные формы задания обобщенных конечно-нестационарных автоматных моделей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1 (№1). С. 33-42.

6. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Матричные методы построения приведенных форм обобщенных конечно-нестационарных автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 3. СПб., 2003. С. 49-66.

Статья поступила в редакцию 14 февраля 2006 г.