CC BY
28
УДК 519.71
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 4
ОПТИМИЗАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ КОНЕЧНО-НЕСТАЦИОНАРНЫХ МИНИМАКСНЫХ НЕЧЕТКИХ АВТОМАТОВ*
А. Ю. Пономарева, М. К. Чирков
С.-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
В работе теоретически обоснован и детально разработан специальный метод минимизации числа состояний и построения минимальных форм обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата, основанный на доказанной ранее теореме о связи максиминных и минимаксных произведений нечетких матриц и разработанной методике матричной оптимизации конечно-нестационарного максиминного нечеткого автомата. Доказано, что от заданного обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата можно перейти к максиминному нечеткому автомату того же типа, являющемуся дополнением для исходного минимаксного автомата. Также доказано, что если заданные обобщенные конечно-нестационарные минимаксный и максиминный нечеткие автоматы являются дополнениями друг друга, то их минимальные формы имеют одно и тоже число состояний, что позволяет сначала перейти от обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата к обобщенному конечно-нестационарному максиминному нечеткому автомату, затем минимизировать известным методом преобразующих матриц полученный обобщенный конечно-нестационарный максимин-ный нечеткий автомат и, перейдя обратно к его дополнению, получить минимальную форму исходного обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата. В результате разработаны процедура и соответствующий ей алгоритм минимизации числа состояний и построения минимальной формы обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата. В заключение дан пример применения предложенного специального метода минимизации к заданному обобщенному минимаксному конечно-нестационарному нечеткому автомату. Библиогр. 7 назв.
Ключевые слова: обобщенный конечно-нестационарный минимаксный («оптимистический») нечеткий автомат, обобщенный конечно-нестационарный максиминный («пессимистический») нечеткий автомат, дополнение конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата, минимальная форма конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата.
1. Введение. В работе [1] был предложен один метод оптимизации стационарного обобщенного минимаксного (иначе «оптимистического») нечеткого автомата, определенного в работах [2-4]. Кроме того, в работах [5, 6] решена проблема оптимизации абстрактной структуры обобщенного (имеющего выходной алфавит) конечно-нестационарного нечеткого максиминного (иначе «пессимистического») автомата, разработаны теоретически обоснованные алгоритмы минимизации такого автомата по числу состояний, основанные на построении семейств специальных преобразующих матриц. Поскольку в работе [4] установлена связь между обобщенными стационарными автоматами обоих видов — «пессимистическим» и «оптимистическим», основная цель данной работы состоит в установлении подобной связи между обобщенными конечно-нестационарными «оптимистическим» и «пессимистическим» автоматами и разработке метода оптимизации конечно-нестационарного «оптимистического» автомата, опираясь на результаты работ [4-6].
2. Нечеткие множества. Обозначим символом L полную дистрибутивную решетку
L = ([0,1], max, min,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00538).
т. е. замкнутый интервал [0,1] с операциями (где a, b G [0,1])
a + b = max(a, b), ab = min(a, b), (1)
условно называемыми «сложением» и «умножением», и обычным упорядочиванием. В дальнейшем в данной работе условимся использовать знаки, обозначающие «сложение» и «умножение», только для записи (тах-тш)-операций (1), а символ L также для обозначения интервала [0,1]. В отличие от четкого множества, нечеткое множество Z над универсальным множеством U определяется как множество упорядоченных пар Z = {z,mz(z)}, где мz(z) G [0,1] для всех z G U. Функция mz(z) в этом случае называется характеристической функцией степени принадлежности (или просто функцией степени принадлежности) элемента z нечеткому множеству Z. В частном случае при мz(z) G {0,1} для всех z G U нечеткое множество Z будет обычным четким множеством над универсальным множеством U. Будем также обозначать через Cm'n множество всех (m х п)-матриц над L и называть матрицы из £m>" нечеткими.
3. Операции над нечеткими множествами и матрицами. Если Zi и Z2 суть нечеткие множества над U, то их объединением называют [7] нечеткое множество Z = Z1 U Z2 с функцией принадлежности mz(z) = MZlUZ2 (z) = max [^Zl (z), mz2 (z)], z G U. Пересечением Zi и Z2 называют нечеткое множество Z = Zi П Z2 с функцией принадлежности = Hz1nz2(z) = min [m^i (z), /-iz2 (z)], z € U. Дополнением нечеткого множества Z называют нечеткое множество Z с функцией принадлежности fJr^-(z) = 1 — yU,Z(z), z (Е U.
Дополнением нечеткой матрицы R = (/лд(а¿, aj))mj„ € £т<п называют нечеткую матрицу R £ £т,п с элементами
Мк(аг, aj) = 1 - №(ai> aj)- (2)
Максиминное произведение нечетких матриц R(1) G Lm,n и R(2) G Ln,k определяется как нечеткая матрица R = R(1) о R(2) g Lm,k с элементами
Mr(ai,aj) = Mr(i)or(2) (aj, aj) = maxmin[Mr(i) (aj,as),Mr(2) (ag, aj)] . (3)
g
Минимаксное произведение нечетких матриц R(1) и R(2) определяется как нечеткая матрица R = R(1) * R(2) с элементами
Mr(aj,aj) = Mru)*r(2) (aj, aj) = minmax[^r(i) (aj, ag),Mr(2) (ag, aj)] . (4)
g
4. Типы конечно-нестационарных нечетких автоматов. Пусть X, A, Y — алфавиты соответственно входных символов, состояний и выходных символов. Будем называть нечеткой элементарной автоматной структурой, заданной над L, систему
Л® = (х(ij), Aj, Aj, Y(ij), {FA'j)(M)}) , (5)
где символ ф обозначает один из символов о или *, определяющих типы произведения матриц (3) и (4) соответственно, X(i'j) С X, Ai,Aj С A, |Ai| = mi, |Aj| = mj, Y(ij) с Y, а {FA'j) (s, l)} есть совокупность нечетких матриц переходов из состояний алфавита Ai в состояния алфавита Aj, где FA'j)(s,1) G Lmi,mj есть матрица, соответствующая паре (xs, y;), xs G X(i'j), y; G Y(i'j).
Пусть задано конечное упорядоченное множество элементарных автоматных структур Л® вида (5) и QA — конечное упорядоченное множество финальных распределений степеней принадлежности (вектор-столбцов с элементами из С) состояний множеству конечных состояний в алфавитах А® С А. Обобщенным нечетким конечно-нестационарным автоматом назовем систему
Л® = (X, Л®, У, ГА, £а(С,С,Со,/а,Ы, Qл>, (6)
где Я а — структурный граф автомата (конечный, ориентированный, нагруженный граф), имеющий:
— конечное множество вершин С = {со, с\,..., с^— 1}, каждой вершине с^, г = 0,й — 1, сопоставлен алфавит состояний г = 0, й — 1, У^ Л^ = Л, |Л^| = ш^;
— начальную вершину с0, для которой задано г а — начальное распределение степеней принадлежности состояний из Ао множеству начальных состояний;
— конечное множество О направленных ребер, д® € О — ребро, соединяющее вершины е^ и с®;
— однозначную функцию /А : О —> Л®, /(д®) = Л®-, Л® € Л®, причем
У X= X, У У= У;
я%о ее я%о ее
— однозначную функцию у а : С —>• С^а, <рл((к) = г = 0, й — 1.
Пусть задан нечеткий конечно-нестационарный автомат (6). Выделим в структурном графе какую-либо вершину с® € С. Пусть ^>а(с®) = qA). Рассмотрим один из путей П0®) длины ведущий из начальной вершины со в вершину с® графа, и выпишем последовательность элементарных автоматных структур, отмечающих ребра, образующие этот путь: Л®^, Л® ^,..., Л®— ^. Рассмотрим любую пару слов (ад,«), ад = х31х32 .. .хаь, € Х^-1'^, V = у,лу12 .. .ук, у^ € V = М, одной
длины £ в алфавитах X и У. Множество всех пар таких слов назовем множеством допустимых пар слов для пути По®) и обозначим ■£доп(п0®)), при этом будем считать, что пустые слова (е, е) € ^доп(П00). Весом отображения слова ад в слово V, порождаемого путем по®) структурного графа Я а автомата Л® при заданном г а , назовем величину
Ф^ад,«) = ГА® П® ГА"-1 •<"^Л)®чА'), (7)
т©
где знак П обозначает произведение нечетких матриц одного из двух типов (3), (4),
определенных в п. 3, (ад,«) € ^доп(п0^®)), |ад| = |«| > 0. Если же |ад| = |«| = 0, то
(Д®) (о) ~
фо / (е, е) = га®чА). Обозначим символом По® множество всех путей в структурном
графе автомата, ведущих из начальной вершины со в вершину с® € С, и символом П(® — множество всех таких путей, имеющих длину и введем обозначение
^доп(П о®) = и ^доп(По®)).
->МС о(')
Нечетким отображением, индуцируемым вершиной с® структурного графа автомата ___(Д® ) _(£)
Л® при заданном гА, назовем отображение Ф® / : ^доп(П°®)) —> С, определяемое
выражением
{(-4®)
шах< еп£ ф/ ' М при ^о/ = 0, (8)
0 при П 0/ = 0,
где = |V| = 4 = 0,1,..., и 0 — пустое множество. Будем говорить, что нечеткое отображение ф/^) является нулевым отображением, если для всех пар слов
з
' I ТЭТ_ТТТГЛ TTTLrOU"/"» fp ■>
вать спектр взаимосвязанных нечетких отображений
(w, v) G ¿j-1) выполнено Фз f (w, v) = 0. В целом автомат 4l® будет индуциро-
Ф f = ^Ф 0^Ф^Ф
соответствующих различным вершинам Cj G C, j = 0, d — 1, его структурного графа.
При этом нулевые отображения в спектре Ф(-4®- можно не учитывать. В зависимости от того, какой тип произведения матриц используется в выражении (7), т. е. какой из знаков о, * должен подразумеваться под символом ф, можно определить следующие два различных типа обобщенных конечно-нестационарных нечетких автоматов 41® (6):
— максиминные (иначе, «пессимистические») обобщенные конечно-нестационарные нечеткие автоматы 4f;
— минимаксные (иначе, «оптимистические») обобщенные конечно-нестационарные нечеткие автоматы 4f.
5. Формулировка задачи. Пусть заданы два нечетких конечно-нестационарных автомата, имеющих одинаковый входной X и выходной Y алфавиты, одно и то же множество ребер G, одинаковые множества вершин C и одну и ту же начальную вершину с0 структурного графа, — автомат 41® (6) и автомат
B® = (X, B®, Y, гв, Gb(G, C, со,/ß), QB>, (9)
индуцирующий при заданном г в спектр взаимосвязанных отображений ФБудем называть автоматы (6) и (9) эквивалентными, если они индуцируют одни и те же спектры взаимосвязанных автоматных отображений, обозначим это 4l® ~ B®.
Будем говорить, что автомат 4® (6) находится в минимальной форме, если не существует такого эквивалентного ему автомата B® (9) того же типа, у которого найдется хоть одна вершина с G C, такая что |Aj | < |Bj|. Минимальной формой нечеткого конечно-нестационарного автомата 4® (6) назовем любой эквивалентный ему автомат B® (9) того же типа, находящийся в минимальной форме (обозначим B® = min 4®).
В соответствии с введенными определениями может быть сформулирована следующая задача: задан обобщенный нечеткий конечно-нестационарный автомат 41® (6) и требуется построить его минимальную форму — автомат того же типа B® = min 4l®.
Данная задача решена в работах [5] и [6] путем последовательного применения преобразований с помощью специальных матриц для случая «пессимистических» автоматов 4f. Основная цель данной работы — разработка и обоснование методов минимизации «оптимистических» конечно-нестационарных нечетких автоматов 4f.
6. Связь между автоматами. В работе [4] доказано следующее утверждение относительно произведений нечетких матриц переходов стационарных нечетких обобщенных автоматов А°, В*, которые являются частным случаем конечно-нестационарных нечетких автоматов.
Теорема 1. Пусть (ад, V), ад = ж81 жЯ2 ... , V = у;2 ... , есть любая пара слов длины й > 0 в алфавитах X, У, а для стационарных обобщенных нечетких автоматов А°, В* выполнено |А| = |В| = т, Еа(хя,у;) = Ев(ж8, у;) = Е(ж8,у;) € £т,т для всех ж8 € X, у; € У. Тогда, если
а а
Е°(ад, V) = Е(ж84), Е*(ад, V) = П*^*,уи)
4=1 4=1
суть, соответственно, максиминное и минимаксное произведения нечетких матриц переходов, то справедливы следующие соотношения:
4=1 4=1
где согласно (2) ¥(хВг,у1г) = (1 -
44®)
Введем следующее определение. Условимся говорить, что Ф есть дополнение нечеткого отображения автомата А® в вершине е®, г € {0, й — 1}, если для
~ - (4®) -(.4®)
любых (ад, V) € ^доп(П0®), |ад| = |V|, Ф ® / (ад, V) = 1 — Ф® / (ад, V). Будем называть нечеткий конечно-нестационарный автомат А® дополнением нечеткого конечно-
нестационарного автомата А®, если он индуцирует спектр взаимосвязанных нечетких отображений
Ф(.®)={1^, ф!4®',..., фЙ;
В таком случае оказывается справедливым следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть заданы два конечно-нестационарных обобщенных нечетких автомата А° (6) и В* (9), для которых выполнено следующее:
1) г а = тв, \Аг \ = \Вг\, для всех С£ € С;
2) если для каждой вершины е® € С выполняется ) = qAA), то (е®) =
« -(¿) ¿г* « -(¿)
= qА , и множество Цв включает в себя все различные векторы = qА , е® € С;
3) если для ребра д® € Я /л(дг®) = А°, то /в(д®) = В*, где
для всех € X, у; € У, и множество В* включает в себя все такие различные автоматные структуры В*®, д® € Я, е®, е® € С. Тогда для этих автоматов выполняется
А° «В*, А° «В*. (10)
Доказательство. Для того чтобы показать, что 4° «В£, необходимо установить, что автоматы 4° и В£, индуцируют одни и те же спектры взаимосвязанных нечетких отображений Ф() и Ф). Заметим при этом, что согласно определению дополнения автомата В£ выполнено Ф) =ф(В/).
Зафиксируем вершину е^ € С. Рассмотрим любой путь О04;) € О04)), который проходит через последовательность вершин е0 = е^0, е^,..., е^ = е^, пару слов (ад,«) € ^доп(О04)), |т| = |V| = и пусть этот путь отмечен последовательностью элементарных автоматных структур 4°^, 4°^,..., 4°4-1 ^ в автомате 4°. Запишем вес отображения слова т в слово V (7), порождаемого путем О04) структурного графа ^А автомата 4°, тогда:
\ ТТ°Т1(»1—1,»1-)/ 7 \ (ч) — TT0T7г(i^'-1'i^')/ 7 \ —(»*)
(и},у)= гАо || Е^ {ви,1и)ос£А = гво || ¥в {зи,1и)ос£в' =
^=1
согласно теореме 1 и условиям теоремы 2.
В силу произвольности выбранного пути О04;) € О0^ можно утверждать, что
— (-4о) ~ (В*) — (4)
Ф4 / (т, V) =Ф 4 / (т, V) для всех пар слов (т, V) € ^доп(О0/), |т| = |V| = вершина е^ € С тоже была выбрана произвольно, значит можно утверждать, что
ф(-4/) =ф(В/) = ф(В/) и согласно определению эквивалентность автоматов 4° и В£.
Проведя аналогичные рассуждения можно установить, что 4° « В£. Теорема доказана.
Следствие. Если конечно-нестационарные нечеткие автоматы 4° и В £ удовлетворяют условиям теоремы 2 и автомат 4° находится в минимальной форме, то автомат В£ также находится в минимальной форме, обратно, если автомат
В£ находится в минимальной форме, то и автомат 4° находится в минимальной форме.
Справедливость данного следствия очевидна, поскольку указанные конечно-нестационарные нечеткие автоматы согласно (10) эквивалентны, и возможность удаления любого состояния в какой-либо вершине одного из автоматов непосредственно приводит к возможности редукции соответствующего состояния в другом автомате с необходимым преобразованием элементов матриц переходов, начальных и финальных векторов.
7. Алгоритм минимизации автомата 4£. Опираясь на результаты п. 6, можно сформулировать следующую процедуру построения минимальной формы заданного «оптимистического» конечно-нестационарного нечеткого автомата 4£ (6):
а) используя теорему 2, построить для автомата 4£ его дополнение — автомат
4£ = В)°, являющийся «пессимистическим» конечно-нестационарным нечетким автоматом;
б) используя методику минимизации конечно-нестационарных максиминных («пессимистических») нечетких автоматов, предложенную в работах [5, 6], найти минимальную форму автомата — автомат f = min ;
в) перейти от полученного автомата f к автомату V◦, который согласно теореме 2 и следствию из нее дает решение данной задачи, т. е. минимаксный («оптимистический») нечеткий конечно-нестационарный автомат D* =V} такой, что D* = min A*.
8. Пример. Пусть задан обобщенный «оптимистический» нечеткий конечно-нестационарный автомат A* = (X, A*, Y, rA, GA(G, C, c0, ¥>a), Qa), граф которого представлен на рисунке.
X(0,1) = {xq}, Y(0,1) = {yo,yi}, Aq = {ао,а1,а2,аэ}, Ai = jao, ai, 02, 03},
fAq,1)(O, 0) =
X (1'1) = {X1},
F
(1,1)
(1, 0)
0, 8 0, 6 1 0, 6
0, 3 0, 9 0, 7 0, 9
0,4 0, 8 0, 7 0, 8
0, 5 0, 9 0, 9 0, 8
Y(1,1) = {У0,У1}
0, 9 1 0, 5 1
0, 7 0, 8 0, 7 0, 3
0, 6 0, 7 0, 9 0, 7
0, 4 0, 3 0, 7 0, 2
fAm)(0, 1) =
F
(1,1)
(1,1)
0, 7 0, 6 0, 3 0,
0, 7 0, 5 0, 9 0,
0, 7 0, 5 0, 8 0,
1 0, 6 0, 8 0,
0, 4 0, 7 0, 8 0,
0, 5 1 0, 9 0,
0, 8 0, 6 0, 5 0,
0, 5 0, 8 0, 9 0,
X(1,2) = {xo,x1}, Y(1,2) = {yo,У1}, A2 = {00,01,02,03},
F
(1,2)
F
(1,2)
(0, 0) =
(1, 0) =
/0, 9 0,1 0, 8 0, 9
/0, 5 0, 8 1 0, 9
0, 9 0, 7 0, 2 0, 8
0, 9 0, 8 0, 6 0,4
0,7 0, 7^
0, 5 0, 6
0, 7 0, 7
0, 8 0, 8
0, 6 0, 6 0, 9 1
0, 7 0, 7
0, 9 0, 9
F
(1,2)
(0,1) =
fA1,2)(1, 1)
0, 7 0, 3 0, 6 0,
0, 1 0, 8 1 0,
1 0, 9 0, 7 0,
0, 5 0, 9 0, 8 0,
0, 6 0, 9 0, 7 0,
1 0, 7 0, 2 0,
0, 8 0, 8 1 0,
0, 5 0, 7 0, 4 0,
А
А
А
А
А
X(°.2) = {хо}, У(°.2) = {уо, у 1},
Е
(0,2)
(0, 0) =
/0,9 0,9 0,7 0,
0 ,5 0 ,6 0 ,9 0 ,7
0,7 0,5 0,9 0,7
0, 7 0, 7 0, 7 0, 9
X(2,0) = {хо}, У(2'0) = {уо,У1},
Е
(о,2)
(0,1) =
/0, 4 0, 8 0, 9 0, 8
0, 4 0, 9 0, 9 0, 8
0, 6 0, 8 0, 8 0, 9
0, 6 1 0, 9 0, 8
Е
(2,о)
(0, 0)
0, 9 0, 8 0, 7 0, 9
ЧА0)
(0,4 0, 7 0, 7 0, 7)
0, 8 0, 8 1
0, 9 0, 8 0, 8 1
0, 4 0, 4 0, 9 1
0, 1 0, 1 0, 5
т qA1) = (0, 6
Е
(2,0)
(0,1)
0, 2 0, 6 0, 8 0, 6
0, 4 0, 6 0, 7 0, 7 1
1 0, 7 0, 7 0, 81 ,
0, 8 0, 9 0, 9 0, 7
(2) qA = (0, 9 0, 9 0, 4 0, 7)т
0, 5 0, 7 0, 5)т,
Требуется построить его минимальную форму. В соответствии с первым шагом
алгоритма из п. 7 для заданного автомата строим автомат А £ = (9) согласно теореме 2, представляющий собой обобщенный «пессимистический» конечно-нестационарный нечеткий автомат с теми же структурным графом и алфавитами входов и выходов, где Во = {&0, &1, &2, &э}, В = {60, 61, 62, 63}, В = {60,61,62,63}, гВ = (0, 7 0, 3 0, 3 0, 3),
Е
(0,1)
Е
(1,1)
(0,0)
(1,0) =
ев1,2)(0, 0)
Е
(1,2)
Е
(0,2)
Е
(2,0)
(1,0)
(0,0)
(0,0) =
qB0) = (0, 6 0, 3
0, 2 0 4 0 0 4
0 7 0 1 0 3 0,11
0 6 0 2 0 3 0 2
0, 5 0 1 0 1 0 2
/0 1 0 0 5 0 \
0 6 0 2 0 3 0 ,7 1
0 4 0 3 0 1 0 3
/0 6 0 7 0 3 0,8
/0 1 0 1 0 3 0, 3\
0 0 3 0 5 0,4 1
0 2 0 8 0 3 0, 3
1 0 2 0 2 0, 2
/0 /0 5 0 1 0 4 0, 4\
0 2 0 2 0 1 0 1
0 0 4 0 3 0, 3
1 0 6 0 1 0, 1
/0 /0 1 0 1 0 3 0, 3\
0 5 0 4 0 1 0,3 1
0 3 0 5 0 1 0, 3
3 0 3 0 3 0, 1
/0 /0 1 0 2 0 2 0\
0 2 0 1 0 2 0, 2 1
0 3 0 6 0 6 0, 1
0 1 0 0 0, 5
со 0, 3) т, qB1) = (0, 4
Е
(0,1)
(0,1)
еВм)(1, 1)
ев1,2)(0, 1)
Е
(1,2)
Е
(0,2)
Е
(2,0)
(1,1)
(0,1)
(0,1) =
/0, 3 0, 3
0, 3 0
0, 6 0, 5 0, 2 0, 5
0, 3 0, 9 0
0, 5
0, 4 0 0, 2 0, 5
0, 6
0, 2
0, 1
0, 2
0, 8 0, 6 0 0, 2
30 0
40 20
70 2
10 30 2
30
60
20
0, 5 0, 3 0, 5)т
qB2) = (0,10,10, 6 0, 3)т
А
А
А
А
В
В
0
В
4
В
В
6
0
4
0
В
В
В
В
Далее, в соответствии со вторым шагом алгоритма производим минимизацию автомата с помощью алгоритма, приведенного в работе [6]. Получаем конечно-нестационарный «пессимистический» нечеткий автомат = (X, V*, У, гу, Яу (С, С, с0, /у, уу), } с теми же структурным графом и алфавитами входов и выходов, где У0 = {«о, VI}, VI = {«о, VI,«2}, = {«0,^1}, гу = (0, 7 0, 3),
Е
(0,1)
(0, 0)
Е
(1,1)
(1,0) =
'0, 2 V0' 7
'0,1
0, 6 уД 4
е[1'2)(0, 0)
Е^2)(1,0)
е[0'2)(0, 0) =
0, 4 0, 2
0 0, 8 0, 3
0, 1 0, 3 0, 8
'0, 5
0, 6 0, 4
0, 1 0, 5
0
0, 3
0, 5^ 0, 3 0, 1
0, 3^ 0, 5 0, 3
0,4^ 0, 1 0, 3
0, 3 0, 3
Е
(0,1)
(0,1
Еу,1)(1,1
е[1,2)(0, 1
Е^2)(1,1
е^2)(0,1
Е
(2,0)/
0, 2
у ;(0,0)= ^0,3 qV0) = (0, 6 0, 3)т
0, 2 0, 6
Е
(2,0)
0, 3 ч0,3
0, 6 0, 5 0, 2
0, 7 0, 9 0, 1
0, 4 0, 5 0, 2
0, 6 0, 2
0, 4 0, 5
0, 3 0, 2 0, 4
0, 4 0, 2 0, 3
0, 3 0, 8 0, 3
0, 4 0, 2
0, 7 0, 2
0, 2 0, 1 0, 5
0, 8 0, 2
0, 4 0, 3
у (0,1
qУ1) = (0,4 0, 5 0, 3)т, qV2) = (0,1 0, 6)т.
Выполняя преобразование V ◦ = , получаем обобщенный конечно-нестационарный «оптимистический» нечеткий автомат = (X, 2*, У, гв, Яв (С, С, С0,/в, ув ),^в}, эквивалентный автомату *4*, с теми же структурным графом и алфавитами, что и у автомата У полученного автомата гв = (0, 3 0, 7),
еД0,1)(0, 0) =
0, 8 0, 6 1 0, 3 0, 8 0, 7
Е
(0,1) в
(0,1) =
0, 7 0, 6 0, 3 0, 7 0, 5 0, 8
Е
(1,1) в
(1,0)
0, 9 1 0, 4 0, 2 0, 6 0, 7
0, 5 0, 7 0, 9
ЕД,1)(1,1)
0, 4 0, 5 0, 8
0, 7 0, 8 0, 6
0, 8 0, 9 0, 5
ев1,2)(0, 0) =
0, 9 0, 7 0, 2
0, 7 0, 5 0, 7
ев1,2)(0, 1)
0, 3 0, 1 0, 9
0, 6 0, 8 0, 7
ев1,2)(1, 0)
0, 5 0, 4 0, 6
0, 6 0, 9 0, 7
ев1,2)(1, 1)
0, 6 0, 5 0, 8
0, 7 0, 2 0, 7
Е
(0,2)
(0,0)
0, 9 0, 5
0, 7 0, 7
еВ,2)(0, 1)
0, 4 0, 8
0, 6 0, 8
в
Fg->,0)=(0:? jj), F<i?'0,(0,1)=(0:2 0:?).
q<0) = (0, 4 0, 7)T, q< = (0, 6 0, 5 0, 7)T, q<2) = (0, 9 0, 4)T, и он является минимальной формой исходного автомата Af.
Литература
1. Пономарева А. Ю., Чирков М.К. Об одном методе минимизации обобщенных «оптимистических» нечетких автоматов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Вып. 3. Сер. 1. 2013. С. 75—81.
2. Santos E. S. Maximin, minimax and composite sequential machines //J. Math. Anal. Appl. Vol. 24. 1968. P. 246-259.
3. Kandel A., Lee S. C. Fuzzy Switching and Automata: Theory and Applications. New York: Crane, Russak & Comp. Inc., 1979. 303 p.
4. Хохулина В. А., Чирков М.К. О разложении «оптимистических» нечетких автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 11. СПб.: ВВМ, 2010. С. 134-147.
5. Пономарева А. Ю., Строилов Р. В. Приведенные формы конечно-нестационарных нечетких автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 12. СПб.: ВВМ, 2011. С. 150-166.
6. Пономарева А. Ю., Строилов Р. В., Чирков М. К. Матричные методы построения минимальных форм конечно-нестационарных максиминных нечетких автоматов // Стохастическая оптимизация в информатике. Т. 10. Вып. 1. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2014. С. 101-121.
7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2014 г.
Сведения об авторах
Пономарёва Александра Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]
Чирков Михаил Константинович — доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]
OPTIMIZATION OF GENERALIZED FINITE NON-STATIONARY MINIMAX FUZZY AUTOMATA
Aleksandra Yu. Ponomareva, Mikhail K. Chirkov
St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]
In the paper it is theoretically ground and elaborated a special method for minimization of the states number and construct a minimal form of a generalized finite non-stationary minimax fuzzy automata which is based on the previously proven theorem about maximin and minimax fuzzy matrices product and elaborated matrix method for optimization of a generalized finite non-stationary maximin fuzzy automata. It is proved that from the given generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton may be turn to generalized finite non-stationary maximin fuzzy automata, which is an addition to the initial minimax automaton. It is also proved that if given the generalized finite non-stationary minimax and maximin fuzzy automata are addition of each other, their minimal forms have the same number of states, which allows first turn from the generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton to generalized finite non-stationary maximin fuzzy automaton, then to minimize this obtained generalized maxmin fuzzy automaton by known method of transform matrix and turn back to its addition, get a minimal form of initial generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton. As a result, the procedure and the corresponding algorithm of minimization of the number of states and construct a minimal form of a generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton worked out. Finally, an example of application of the proposed special method of minimization to the given generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton is given. Refs 7.
Keywords: generalized finite non-stationary minimax ("optimistic") fuzzy automaton, generalized finite nonstationary maximin ("pessimistic") fuzzy automaton, addition of a finite non-stationary minimax fuzzy automaton, a minimal form of a finite non-stationary minimax fuzzy automaton.
