CC BY
70
ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ
Вестник Омского университета, 2001. №3. С. 112-114. © Омский государственный университет
УДК 37.22:51
О СИММЕТРИЯХ ДОДЕКАЭДРА
Е.В. Киселева, Г.П. Кукин, О.С. Пащенко
Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск пр.Мира 55A
Получена 12 апреля 2001 г.
We presents new proofs of two old theorems: the group of dodecahedron is A5 ; the group A5 is simple.
Задача математики - сделать неизвестное известным. Задача методики преподавания математики - сделать понятным то, что известно в математике.
Доказано (см. [1]), что группа всех симметрий икосаэдра - это А5 . В силу двойственности такая же группа симметрий додекаэдра. Здесь симмет-риями мы называем только вращения, т.е. движения трехмерного пространства, не меняющие его ориентацию. Например, симметрии относительно плоскости не учитываются: они меняют ориентацию пространства.
Цель данной статьи - дать наглядное объяснение тому факту, что группа всех симметрий додекаэдра - это А5. Кроме того, в конце статьи -«лесенка задач», поднявшись по которой, мы получим, что группа А5 - простая. Этот факт используется в теории Галуа для построения уравнения пятой степени, не разрешимого в радикалах.
Многие читают математические работы «с карандашом». Мы советуем читателю этой статьи сделать из плотной бумаги модель додекаэдра. При чтении вы будете наносить на модель пометки, раскраску. Таким образом, модель будет обогащаться. Подобная работа с моделью имеет общее с тем, что мы делаем с конструктором.
Обратимся к следующей задаче. Пусть два ребра додекаэдра называются соседними, если они имеют общую вершину. По условию все точки каждого ребра (кроме вершин) окрашены одним и тем же цветом. При этом у любого ребра все его соседи разных цветов. Какое наименьшее число цветов требуется для такой раскраски? Заметим, что у любых двух соседствующих ребер есть общая соседка, поэтому любые два ребра с общей вершиной окрашены по-разному. У каждого ребра четыре соседки, поэтому потребуется не менее пяти цветов. Покажем на примере, что пяти цве-
тов достаточно. Тогда ответ в нашей задаче: пять цветов.
На рис. 1 схематически изображены шесть граней додекаэдра («вид сверху»). Остальные шесть граней симметричны данным относительно центра додекаэдра. Легко видеть, что среди пяти ребер - сторон одной грани - любые два окрашены по-разному. Поэтому, окрасив пять ребер одной грани, далее восстанавливаем раскраску в пять цветов единственным образом. Два центрально симметричных ребра имеют одинаковую окраску.
Рис. 1
Введем специальные обозначения для ребер додекаэдра (см. рис. 2). Это а, Ь, с, й, е, ао ,Ьо,со,йо, вд,а,1, Ь1,С1,^1,е1. Если р - ребро, центрально симметричное ребру д из названного списка 15 ребер, то р = д .
На рис. 2 показаны 15 ребер этого списка, а также ребра а'0, Ь'0, с'0, й'0,е'0 , центрально симметричные ребрам ао, Ьо, со ,йо, ео соответственно. Заметим аналогию в раскраске граней: пять ребер любой грани окрашены в пять цветов (но порядок цветов может меняться от грани к грани).
5
2
О симметриях додекаэдра
113
е0 Ь0
Ь0 \ / е0 Рис. 2
Рассмотрим «очевидные» симметрии додекаэдра. Во-первых, это тождественная симметрия. Во-вторых, это (нетождественные) вращения вокруг оси пятого порядка. Таких осей шесть: каждая проходит через центры двух параллельных (центрально симметричных друг другу) граней. Поворот происходит на угол 720, 1440, 2160 или на 2880. В-третьих, это нетождественные вращения вокруг оси третьего порядка. Таких осей десять: каждая проходит через две вершины додекаэдра, центрально симметричные друг другу. Здесь - поворот на 1200 или на 2400. В-четвертых, это вращения относительно осей второго порядка. Таких осей 15: каждая проходит через середины двух параллельных ребер, центрально симметричных друг другу. Поворот - на 1800.
Пользуясь рис. 2, рассмотрим повороты относительно оси пятого порядка, которая соединяет центр грани, помеченной звездочкой, с центром додекаэдра. Значения угла поворота: 720, 1440, 2160, 2880, а соответствующие им подстановки на множестве цветов: а Ь с й е \ (а Ь с й е а I , \ с
а Ь с й е й е а Ь с
Мы составили таблицу, рассматривая рис. 2. Если взять другую ось пятого порядка, то вращения вокруг такой оси также приведут к подстановке на множестве цветов (в силу аналогии в раскраске граней, отмеченной выше). Читателю следует составить полную таблицу (с учетом всех осей пятого порядка) и убедиться, что среди выписанных 24 подстановок (циклов порядка 5) все попарно различны.
Чтобы рассмотреть повороты относительно осей порядка три, обратимся к рис. 3. Поворот на 1200 (или на 2400) вокруг оси, проходящей через вершину Р и центр додекаэдра, задает подста-а Ь с й е е Ь а й с
а Ь с й е с Ь е й а
0
Ь й
а
е
й а
с Ь
новку
на множестве цветов
(соответственно подстановку
для 2400). Это циклы порядка три, при которых
ребро цвета Ь (или й) переходит в ребро того же цвета. Аналогично, рассмотрев все оси порядка три, получим 20 таких циклов, и все они попарно различны.
Рис. 3
Наконец, рассмотрим поворот вокруг оси второго порядка (см. рис. 4).
Рис. 4
Речь идет об оси, проходящей через центр додекаэдра и середину ребра а . При таком повороте получим подстановку на множестве цветов
аЬсйе
Ь й ) , т.е. произведение двух независимых транспозиций, причем ребро цвета а переходит в ребро того же цвета. Таких симметрий второго порядка 15, по числу осей. С учетом тождественной симметрии мы указали 60 симметрий. Все они задаются четными подстановками на пяти символах. Всех таких подстановок как раз 60, и они составляют группу Л5 .
Осталось убедиться, что учтены все симметрии додекаэдра. В самом деле, фиксированная
а
114
Е.В. Киселева, Г.П. Кукин, О.С. Пащенко.
вершина додекаэдра (например Л) может под действием симметрии занять одно из 20 мест в пространстве, вначале занятых вершинами додекаэдра в исходном положении. Тройка ребер, выходящих из вершины А, может занять одно из трех положений, если известна точка, в которую поместилась вершина Л. Итого додекаэдр имеет не более 20 * 5 = 60 симметрий. Предъявив 60 симметрий, мы знаем теперь, что не пропустили ни одной симметрии. Итак, Л5 - группа всех симметрий додекаэдра (или икосаэдра).
Напомним, что группа симметрий тетраэдра - Л4, группа симметрий куба (или икосаэдра) -$4 (см. [2]).
ЗАДАЧИ
1. Пусть Р^, К - центры трех граней додекаэдра с общей вершиной Л (см. рис. 5).
6. Пользуясь задачами 4 и 5, докажите, что группа Г = Л5 простая (ее любой неединичный нормальный делитель совпадает с Г).
[1] Клейн Ф. Лекции об икосаэдре. М.: Наука, 1989.
[2] Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Ко-
стрикина. М.: Факториал, 1995.
Б
С
Р
А
И
О
г
Рис. 5
Обозначим через р,д и г повороты на 720 вокруг осей РР' и КК' соответственно, через « и £ - повороты на 1800 вокруг осей $$' и ТТ' соответственно, где $ - середина ребра ЛВ, а Т - середина ребра ЛО. Докажите, что ере-1 = г.
Указание: проверьте, что В в = Л, Лр = В, В в-1 = Л, т.е. врв-1 : В ^ Л,Кв = Р, Рр = Р, Рв-1 = К, т.е. врв-1 : Р ^ К.
2. Обозначим через а, Ь (и т.д.) повороты на 1200 вокруг осей ЛЛ', ( В В' и т.д.), где Л, В, С, В, В, О,.. - вершины додекаэдра (см. рис. 5). Докажите, что вЬв-1 = а.
Указание: проверьте, что Лв = В, ВЬ = В, В в-1 = Л, т.е. вЬв-1 : Л ^ Л,Кв = Р, РЬ = К, Кв-1 = Р, т.е. врв-1 : К ^ Р.
3. Докажите, что рвр-1 = £.
Указание: проверьте, что рвр-1 : Л ^ О,
рвр-1 : Р ^ Q.
4. В обозначениях задач 1-3 докажите, что рг = а,Ьа = рр3,вЫ = г3, где и поворот на 1800 вокруг оси ии', причем и - середина ребра ЛВ.
5. Пусть N - неединичный нормальный делитель группы всех симметрий додекаэдра ( = Л5), неединичный элемент порядка т (т = 2, 3 или 5), т.е. поворот на угол, не являющийся целым кратным, вокруг оси порядка т . Докажите, пользуясь задачами 1-3, что все элементы того же порядка т в группе принадлежат N.
