CC BY
29
Формообразование конструктивных сетей многогранных непологих
куполов
А.И. Евтушенко, А.Н. Самсонова, С.В. Скуратов Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Аннотация: В статье исследуется способ образования пространственных конфигураций в форме полуправильных многогранников. Приводится алгоритм геометрического расчета, позволяющий определить координаты узлов конструктивных сетей многогранных полусферических куполов, длины ребер и типоразмеры треугольных граней. Получены пространственные конфигурации в форме 20-, 80-, 320- и 1280-гранников. Результаты проиллюстрированы на 2-х примерах многогранников. Приведены геометрические схемы секториальных частей полусферических куполов по разрезке 320- и 1280-гранников с обозначением типовых узлов и треугольных панелей.
Ключевые слова: Икосаэдр, ребро, грань, полусфера, дублирование, секториальная часть, многогранник, купол, типоразмер, треугольная панель.
В трехмерном пространстве осуществимо построение пяти правильных многогранников, называемых платоновыми телами, к которым относятся:
— Тетраэдр - 4 треугольника;
— Куб (гексаэдр) - 6 квадратов;
— Октаэдр - 8 треугольников;
— Додекаэдр - 12 пятиугольников;
— Икосаэдр - 20 треугольников.
Все вышеупомянутые многогранники могут быть вписаны в сферическую поверхность шара и имеют грани в форме равносторонних трех-, четырех- или пятиугольников [1].
Наиболее широкое распространение для построения конструктивных сетей многогранных куполов получили пространственные точечные решетки икосаэдрального типа. Способы образования пространственных конфигураций в форме полуправильных многогранников рассмотрены в [26], где предпочтение отдается способу дублирования, который заключается в проецировании из центра на сферическую поверхность середин ребер исходного многогранника. При определении значений геометрических параметров и координат узлов конструктивных сетей многогранных
1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2017) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/ п1у2017/4183
полусферических куполов используется алгоритм расчета, основанный на применении способа центральной проекции. В качестве исходной конфигурации принимается икосаэдр, длина ребра 1 которого определяется выражением
1.05146г, (1)
где г - радиус сферы, описанной около многогранника. Введем нумерацию вершин икосаэдра и поместим его в прямоугольной декартовой системе координат таким образом, чтобы центр описанной около многогранника сферы совпадал с началом координатных осей (рис. 1). Координаты 12 вершин правильного 20-гранника в долях радиуса г приведены в таблице 1.
Таблица 1
№№ вершин х/г у/г 2/г
1. 0 0 1
2. -0,52573 0,72361 0,44721
3. -0,85065 -0,27639 0,44721
4. 0 -0,89443 0,44721
5. 0,85065 -0,27639 0,44721
6. 0,52573 0,72361 0,44721
7. 0,52573 -0,72361 -0,44721
8. 0,85065 0,27639 -0,44721
9. 0 0,89443 -0,44721
10. -0,85065 0,27639 -0,44721
11. -0,52573 -0,72361 -0,44721
12. 0 0 -1
Т
Ф
X
Рис. 1
Пространственные точечные решетки икосаэдрального типа обладают пятикратной циклической симметрией[7,8], что позволяет при определении координат узловых точек применять процедуру дублирования только для секториальной части многогранника, выделенной на рис. 1 штриховкой. В рассмотрение принимаем сектор на плане многогранника, для которого координатная ось ОУ является осью симметрии. В этом случае значение координат узловых точек сектора, расположенных симметрично
1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2017) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/ п1у2017/4183
относительно этой оси, совпадают, за исключением значений координат по оси ОХ, которые одинаковы по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Пусть точка i (х^ у^ Zi) и j(xj, у), Zj), являющиеся вершинами икосаэдра, соединены ребром 1у(рис. 2). Из центра О через середину отрезка у.
Рис. 2.
проводим луч ОК до пересечения со сферой радиуса г, описанной около многогранника. Требуется определить координаты точки К (хк, ук, zk) и длины отрезков 1^=1)
Из формулы для отыскания длины отрезка, концы которого
принадлежат сфере, 1у=2гзт^ (2)
определяем центральный угол 8^. Используя формулу (2), находим
также длины отрезков и к).
11к=1к]=2г51п^ (3)
4
Координаты точки Кможно получить с помощью следующих формул:
xk—^ , Ук—j, zk ^^ (4)
Затем находим угол ^кмежду положительным направлением оси OZh лучом ОК:
щ= arcos | (5)
и угол фк между положительным направлением оси ОХ и проекцией луча ОК на плоскость ХОУ
фк = агс^— (6)
С помощью формул перехода от сферической системы координат к прямоугольной декартовой находим: хк= гсозфкзтук
Ук= гешфк^тук (7)
2к= гСОЭук
Таким образом, определяются координаты всех узловых точек секториальной части полученного 80-гранника. Координаты остальных узловых точек сети находятся с использованием формул поворота декартовой системы координат вокруг оси 07.
Выполняя первую операцию дублирования над икосаэдром, получаем полуправильный 80-гранник, который характеризуется двумя типами треугольных граней (рис. 3). Полученный многогранник в диаметральных плоскостях трех направлений образует правильные десятиугольники, что позволяет, используя процедуру дублирования, получать пространственные конфигурации для построения конструктивных сетей куполов в виде полусферы с плоским опорным контуром многоугольного очертания.
1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2017) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/ п1у2017/4183
I
Рис. 3.
Выполнение второй и третьей процедур дублирования над икосаэдром позволяет с помощью изложенного алгоритма последовательно определить координаты узлов построенных конфигураций в форме 320- и 1280-гранников. Геометрические схемы этих многогранников представлены на рис. 4 и 5. Выполнение последующих процедур дублирования приводит к образованию многогранников со значительно большим числом граней (5120 и более), что усложняет использование таких конфигураций в качестве поверхностей купольных покрытий.
1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2017) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/ п1у2017/4183
Ш
Рис. 4
Z
X
Рис. 5
:
На рис. 6 и 7 представлены геометрические схемы секториальных частей полусферических куполов по разрезке 320- и 1280-гранников с обозначением типовых узлов и треугольных панелей. В таблицах 2 и 3 приведены значения длин ребер соответствующих типоразмеров.
Рис. 6
1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2017) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/ п1у2017/4183
Рис. 7
Таблица 2
Элемент Длины ребер в долях радиуса гописанной сферы
1-2 0,275900
1-3 0,312869
2-2 0,321244
2-3 0,285473
3-3 0,324920
Таблица 3
Элемент Длины ребер в долях радиуса гописанной сферы
1-2 (2-6) 0,138280
1-3 (3-7) 0,156918
2-2 0,162173
2-3 0,144288
2-4 0,157997
2-8 0,139481
3-3 0,164484
3-4 0,139510
3-5 0,158458
4-4 0,162284
4-6 (4-7) 0,143102
4-8 0,144388
5-5 0,164648
5-7 0,163002
6-8 0,161146
Рассмотренная методика может быть использована при разработке архитектурных решений купольных сооружений (спортивных, выставочных и д.р.), состоящих их треугольных ячеек, в т.ч. при проектировании уникальных зданий и сооружений [9,10].
Литература
1. Ермолов В.В. Построение сетки геодезических куполов способом центральной проекции. - Строительная механика, расчет и конструирование сооружений: МАрхи, Москва, 1976, вып. 5, с. 79-83
2. Robert Jyhvyl; Translator: Ghanbar Ebrahimi - Housing and Building Research - Volume 2 - Edition 1, 1986, 354 p.
3. Василькин А.А., Рахмонов Э.К. Системотехника оптимального проектирования элементов строительных конструкций // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2203.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - Москва: Наука, 1984-832с.
5. Кабаков С.Ю., Грачев С.Е. Геометрическое формообразование многогранных сферических куполов // Архитектура и градостроительство на Дальнем Востоке. - Хабаровск, 1985. - с. 100-104.
6. Металлические конструкции. Справочник проектировщика. -Москва: Стройиздат, 1980-776с.
7. Журавлев А.А., Муро Г.Э. Новое конструктивное решение покрытия системы Цолингера // Инженерный вестник Дона, 2011, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/706.
8. Gotz K.H., Hoor D., Mohler K., Holzbau Atlas. Munchen, 1978, 272 p.
9. Ammer Th., Brunaner A. Zollingers Rauten neu entdeckt. Bauen mit Holz, H.6, 1999. - pp.24-28
10. Фурсов В.В., Пурязданхах М., Бидаков А.Н. Сравнительный анализ результатов теоретических и экспериментальных исследований натурной арки из клееной древесины // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1608.
1КЛ Инженерный вестник Дона. №1 (2017) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/ nly2017/4183
References
1. Ermolov V.V. Postroenie setki geodezicheskih kupolov sposobom central'noj proekcii. [A Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers] -Stroitel'naja mehanika, raschet i konstruirovanie sooruzhenij: MArhi, Moskva, 1976, ed. 5, pp. 79-83
2. Robert Jyhvyl; Translator: Ghanbar Ebrahimi - Housing and Building Research. Volume 2 - Edition 1, 1986, 354 p.
3. Vasil'kin A.A., Rahmonov Je.K. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2203.
4. Korn G., Korn T. Moskva: Nauka, 1984-832p.
5. Kabakov S.Ju., Grachev S.E. Arhitektura i gradostroitel'stvo na Dal'nem Vostoke. Habarovsk, 1985. pp. 100-104.
6. Metallicheskie konstrukcii. Spravochnik proektirovshhika. [Metal constructions. Reference book of the designer.] Moskva: Strojizdat, 1980-776 p.
7. Zhuravlev A.A., Muro G.Je. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/706.
8.Gotz K.H., Hoor D., Mohler K., Holzbau Atlas. Munchen, 1978, 272 p.
9. Ammer Th., Brunaner A. Zollingers Rauten neu entdeckt. Bauen mit Holz, H.6, 1999. pp.24-28
10. Fursov V.V., Purjazdanhah M., Bidakov A.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1608.
