О сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Чандрасекхаран К. Арифметические функции. М.: Наука, 1975. 272 с.

2. Воронин С.И., Карацуба А.А. Дзета-функция Рима-на. М.: Физматгиз, 1994. 376 с.

3. Кузнецов В.Н., Сецинская Е.В., Кривобок В.В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел,

функциональному анализу и смежным вопросам: Меж-вуз. сб. науч. тр. Саратов, 2005. Вып. 3. С. 47-58.

4. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. 239 с.

5. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир 1967. 511 с.

УДК 517.51

О СХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ-ВИЛЕНКИНА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА

О.А. Лукьяненко

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: olgalukyanenko@mail.ru

Пусть Л^,р[0,1)d есть пространства Лоренца, близкие к L^ [о, i)d. В статье найдена функция т/i, для которой кратный ряд Фурье-Виленкина функции f е Л^,р [0,1)d сходится к f по норме пространства Лоренца Л^,р [0,1)d.

Convergence of Multiple Vilenkin-Fourier Series in Lorentz Spaces

O.A.Lukyanenko

Let [0,1)d be a near to L“[0,1)d Lorentz space. We find

the function $ for which the multiple Vilenkin-Fourier of any f e A^p[0,1)dconvergetofinthenormofLorentzspaceAt p[0,1)d.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] были рассмотрены пространства Лоренца Аф,д измеримых на [0,1] функций /, для которых конечна норма

/1 \1/<1 ||/|к’ = (/ (Щ) 7) (Р £ 1),

и были получены теоремы о сходимости рядов Фурье-Уолша в этих пространствах в зависимости от свойств последовательности (пк}, которую пробегают индексы п в частичных суммах $п(/).

В данной работе будем рассматривать аналогичные вопросы для кратных рядов Виленкина.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пусть (рк}^=0 — последовательность целых чисел рк > 2, к е М0 = N^1 (0}, т0 = 1, тк = шк-1Рк-1 • Будем рассматривать функции Виленкина Уп(£) [2], п е М0 на отрезке [0,1). Каж-

ГО

дую точку £ е [0,1) можно представить в виде £ = ^ ^ , 0 < £к < рк — 1, £к е М0 (если исключить

к=0 Шк+1

точки, для которых £к = Рк — 1, при к > ко, то это представление единственно).

ГО

Далее, если п = ^ актк (ак =0,1,... ,рк — 1, к е М0) является р-ичным представлением числа

к=0

п е М0, функции Виленкина определяются следующим образом:

ГО

Уп(£) = ехр( ак Ьк) (£к = 0,1,... ,рк — 1).

к=0

Если п = (п(1) , п(2),... ,п(т)) е Мт и 1 = (£(1) , £(2),... , £(т)) е [0,1), то кратная система Виленкина состоит из функций Уп(1) = Уп(1) (£(1))Уп(2) (£(2)) ■ ■ ■ Уп(т) (£(т)).

п —1 т

Пусть £п(£) = ^2 Ук (£) — одномерное ядро Дирихле и £п(1) = П Еп(^ (£(г)) — т-мерное ядро

к=0 г=0

© О.А. Лукьяненко, 2007

15

Известия Саратовского университета. 2007. Т.7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Дирихле. Константы Лебега в одномерном и т-мерном случае определяются соответственно

£п = / |£п(£)1 ^, ^п = [ |^п(0|,^.

Мы определим также модифицированное ядро Дирихле D^ (i) = Vn* (i)Dn (i), где n* = akmk,

k=0

ak = (pk — ak) mod pk. По аналогии определяем m-мерное модифицированное ядро Дирихле

m

D*(t) = П D*(i)(i'1») и m-мерную модифицированную частичную сумму

1=0 n

S*(/x) = J /(t)D *(x ®t) dt-

Gm

В работе автора было доказано [3], что для констант Лебега Ln = ||Dn ||i по системе Виленкина в случае, когда образующая последовательность (pj} ограничена числом р, имеет место неравенство

Var(n) т ,

----^— < Ln < Var(n),

р2

ОС ОС

где Var(n) = a0 + S ((ak + ak-1) mod 2dk) + Yl ak(ak-1 — 1), dk = max(ak-l5ak}. В случае, когда k=1 k=0

dk = 0, будем считать (ak + ak-1) mod 2dk = (ak + ak-1)- Если наравне с Var(n) рассматривать

числа

var(n) = a* + ^ (ak + ak-1) mod 2dk + ^ ak(ak-1—1)

{Л n “ p0 k=1 p2k k= p2k ’

то в случае, когда последовательность (pk} неограничена, для констант Лебега справедлива следующая оценка:

Var(n) < Ln < Var(n).

{pfe}

Пусть функция Л/(y) = ^(x е [0,1)m : |/(x)| > y}, y > 0— есть функция распределения для /(x), x е [0,1)m. Перестановка функции / определяется равенством /* (x) = inf (x : Л/ < x} . Отметим, что /* определена не на промежутке [0,1)m, а на [0,1), и справедливо ||/* ||q = ||/||q.

Определение. Функция Ф называется функцией Лоренца если она удовлетворяет следующим

условиям: 1) Ф(£) > у0 > 0 на (0,1), убывает на (0,1) и выпукла; 2) lim Ф^) = +^;

t ——0

3) I т < +го, (q > 1).

7 0 фд (t)t _

Пространства Лоренца для функций многих переменных определяется как и в одномерном случае, а именно ЛФ,д = j/ е L[0,1)m : ||/||Ф><г = ^ (у) < .

В этой работе будем рассматривать пространства Лоренца, порожденные функцией Лоренца Ф, удовлетворяющей дополнительному условию:

э с > а ф(р) < (1 + T-Cio-^) ф(х) р е N. (1)

В работе [4] были определены пространства Lp,a измеримых на [0,1) функций /, для которых конечна норма

q\ 1/q

(a > 0,q > 1).

а,д — I

п=1

С.А. Асташкин в своей работе [5] отметил, что пространства £д,а есть пространства Лоренца. Так же, как в работе [1], можно показать, что при выполнении условия (1) равенство

- (I /)’)1 и

определяет в пространстве Аф,д([0,1)т) норму, эквивалентную норме ||/||ф,д.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 1. Пусть Ф является функцией Лоренца и удовлетворяет условию (1), в е М, 30 е [1,2в — 1]. Тогда при 3 < 2в — 30 выполняется неравенство

1 * (—1—\ ^ * (—1—\ 2в~3 + 1 (^ 1 чС’

\рк23 ••• рк; + 1/ \рк23 ••• рк3- + ^ СР +1 V 30

Доказательство. Запишем сумму в виде

I* (р^) ‘ *( р^ )(1 * П, (1 ■+т*§= ""

Отдельно рассмотрим произведение

п ( /^1 \ п ( /'‘У \ п ( /'‘У

П (1 + 7+525^) < П (1 + 5тЬ) =ехр1п П (1+ Ср

. 1 + log 22s w V 2s — ij V 2s — i

i=j+1 4 7 i=j+1 v 7 i=j+1 v

= exp in (1 + ^) < exp t ь (1 + ^ f < (fi-n' C

i=j+1 ^ 7 i=j:1 ^ ^

Таким образом, имеет место следующее неравенство:

ttф (—1—) > ф (—1—) (1+tt (2^^Ср| >

vpk2s••• pki+j Vpk2s••• pkj+1y у n=-+1 V2s — j

1 /‘2s---1

> ф ( -----:----- 1(1 + ^----xCp dx ) =

k2s ••• Р^УЧ (2S — j Г" Л

рк23 ■ ■ ■ рк3-+1 / у V 2в — ЗУ СР + 1 ) \рк23 ■ ■ ■ рк3-+1 У V 30 / СР + 1

Лемма 2. Пусть Ф является функцией Лоренца и удовлетворяет условию (1), тогда для функции ( \

Ф (х)=^1п X) ¡х*~ ^ (0 <Ж< 1)- (3)

при 10 < х < 5 ) выполняется неравенство

(D < (i+^Г 1)(1+Cp)3 * (x).

Доказательство. Пусть pr+x- < x < pk. Рассмотрим интеграл

Г1 ф(*к ^ Г1 *(t) ^ ^ i51 *(t) 1

л t dt < £ [Г ^ dt < 1 ln p <

p pfc+2 j=k+2 pj j=k+2

< (1+ Cp) £ ф(jlnp < (1 + Cp)2 £ *( jlnp + (1+ Cp)lnp*(1) <

j=k+1 ' j=k У

< (1 + Cp)2 / ^ dt + (1+ Cp) lnp*(1) < (1 + Cp)3 / dt.

J x t J x t

Теперь рассмотрим отдельно

ln p < lnpk+2 = lnpk + lnp2 < ln — + 2 lnp < ln — (1 + 2lnP). x x x ln 2

Тогда окончательно получим

Далее, через С будем обозначать константы, которые, вообще говоря, разные, зависящие от функции Ф и числа р.

Теорема 1. Пусть функция Лоренца Ф удовлетворяет условию (1). Тогда существует постоянная С = С(Ф, д) > 0 такая, что V/ е Лф,д([0,1)т) выполняется

11$п(/)||ф< С||/||ф>,,

где Ф определяется равенством (3).

Доказательство. При любом п е N для одномерных частичных сумм Фурье-Виленкина выполняется неравенство [2, с. 149]:

1

М(£ : ^п(/)| > У} < С ! |/(£)^

0

т.е. оператор $п(/) имеет слабый тип (1,1). Кроме того, оператор $п(/) имеет сильный, а значит, и слабый тип (2, 2). Тогда, аналогично как и в [4], можем получить, что для одномерного случая имеет место неравенство:

11$п(/)Н* < Сд||/||в (д > 2).

Частичную сумму $п(1)п(2)...п(т) (/) = £п(/) можно записать в виде

£п(1) (^п(2) . . . ^п(т) (/)) = 5п(1) (^п(2) (- . . ^п(^) (/) ... )).

Следовательно, в т-мерном случае справедливо следующее неравенство:

||^п(1)...п(т)(/)||в < Стдт||/||,.

Так же, как в работе [6], можно показать, что если функция Ф удовлетворяет условию (1), то существует константа С1 такая, чт т =1). Следовательно, получим

ществует константа С1 такая, что птФ (20 > С1Ф (5П) (в [6] это неравенство было доказано при

Sn(/)|И /Cmkm|ц/

Sn (/Щ q < C21 | | Sn (/)|||| q = C2 £ ^ГГ < C2 £

,q *’q ¡kv * ш/ ¡kv * (*-:

/ C3 |(/)||k ) = c. ||| / |||q < C (ф q)N / Nq

k=1 V ф ^2^.

<

< "ф'!vГ I = C4111/111Ф,, < С(ф,«)|/уф,,• □

Оценка, полученная в теореме 1, является точной, по крайней мере, для функции Ф(х) = Пп .

ГО

Теорема 2. Пусть Уп(1) — функция Виленкина, порожденная последовательностью (рк}ГО=0, которая ограниченна числом р, и £п(/, 1) — кубические частичные суммы ряда Фурье-Виленкина,

'п\. -

Ф — функция Лоренца, которая при 0 < х < 2> совпадает с функцией ^1п Х^ . Тогда для любой

II ^ / II ~

функции а(£) | 0 при £ [ 0, для которой Фа есть функция Лоренца, отношение —||/цфФа’4 — неограниченно.

Доказательство. 1. Проведем сначала доказательство для случая т = 1. Пусть числа п имеют

в

вид п = £ ((рк24-1—1 — 1)тк24_1—1 + (рк24-1 —2 — 1)тк24_1 —2 *---(рк24 — 1)™^;), где к1 > к2 > ■ ■ ■ > к2в.

1=1

Построим / как ступенчатую на (0,1).

1) Если x е (0, mk-], то положим /(x) = Л1 = const.

2) Если x е (—1—, ], то положим /(x) = Л2 = const. Если = —1—, то продолжим

' vmfc2 + i’ mk^ •> V У 2 mfc- 7 mfc2 + - ^ ^

функцию / с(0, m1-] на (mk-, mk2+-] периодически с периодом mk-.

3) Пусть функция / уже построена на промежутке (0, —1— ]. Построим ее на (—1—, -1— ]. Для

— 1 J Г ^ — 1 7 ■

x Є (—1— ] положим fi (x) = Л. = const. Если —1— = —1—, то продолжим f (x) с (0, —1— ]

vmfcj +i ’ mfc^ У j mfcj — 1 7 mfcj + 1 ’ ^ ^ ^ V У V ’ mfcj. — iJ

на (mji. mji] пеРиодически с периодом mji •

4) Таким образом, построим функцию f на промежутке (0, —1— ]. Если —1— = 1, то построе-

mfe2s —fe2s

ние окончено. В противном случае продолжим f (x) с промежутка (0, —1— ] на промежуток (—1—, 1]

—k2s —k2s

периодически с периодом —1— •

— k2s

Будем считать, что |Лі| > |Л21 > ••• > |Л2в| и Л. = (—1)j+1 |Л.|. Рассмотрим множества j = {x Є (0, —.] : |f (x)| = , j = 1, 2, •••, 2s, і = 1 2,...,j, Е. = {x Є (0,1] : |f (x)| = |Л. |},

j = 1, 2, •••, 2s. Нетрудно проверить, что 1) ^£1,1 = —^, 2) ^E.,. = , j = 2, • • •, 2s,

pfei—1 -1

3) = Pk2-T Ej,2, j > 2, 4) = (pfci ^i)1pfe._i j > 3,« = 3,...,j. Отсюда следует, чтої) ^ ^e2, 2) ^ = Из-Pk2j.-T-P,, ■ j = 2'""2s-

Теперь оценим норму ||/||ф>? сверху. Покажем, что ||/||ф,д < С5 Уаг(п). Запишем норму ||/||^д в

виде

Ос* j

И. =/(Ш = j dt

\Ф(*)У * "—Г л у Ф"(*)*’

0 У 1 а 3 _ 1

где а0 = 0, а, =-----------1-------, 3 = 1,..., 2в.

’ 0 Рк2з ^2* _ 1 -^3+1’*' ’ ’

Рассмотрим первое слагаемое. Обозначим через а = рк2зрк2з_ 1 ■ ■ ■ рк2, тогда

«•/4*=«•£/ ,1s-wg4fc-

nk

0 —..............

fe + i

s 1 Ai 1 inp^-----1_---s | at | •

,• (T) (Л _l_ k

(a) k=0 <1 + 2k)Yq ' 1 ФНа,

Таким образом,

2sC6 A | Aj | • in p

її ’ 1

• s |a | • 2SC6____________1 ^ |AJ____________

*,• - |At| ,• f_________1_______) + 2^ ,• f______________1______

Vp2. P2. - 1 -"Р2/ j = 1 Vp2.P2. - 1-"Pj + 1.

Если положим |А, | = Ф(------------1------), то ||/Уф „ < С52в.

1 01 \p2sP2s_1 •••Р3 + 1/’ И’' — 5

Теперь оценим норму ||^п(/)||~а" снизу. Сначала найдем оценку снизу для |$п(/,х)| на каждом множестве Е,. Так как п имеет р-ичное разложение (4), то для $п (/) в точке х е Е, ,3 = 1, 2,..., 2в справедливо следующее:

sn(/, х1) = у/(£)^п(* ® х) ^ = I/(£ © х)^п(£) =

00

1

2в 2в „

^^(—1)г+1 тк^ /(£ © х)^п(£) = Х!( —'1)г+1тк; У /(£) ^^,

*—1 п ¿—1 ^ )

0 д!т;)

где дХ-к;^ — это промежуток вида [ —-, —1), I = 0,1,...т;; — 1,содержащий точку х. Функция /(х) = А, на промежутке дХ—к;^ при г < 3. Следовательно,

j-i л 2s

,ж) =

i=1

Sn(f,x) = X!(-1)i + 1 f (t) ^ X!(-1)i+1mfci / f (t) = E1 + E2. (5)

д(тг) д(ткг)

1

1

1

Рассмотрим сумму Ei в (5) отдельно. Имеем

j-1 j-1

Ei =£(-1)i+1Aj = А,]Т (-1)i+1.

i = 1 i = 1

Отсюда

|E1|<|Aj | = Ф

1

P2sP2s-1 ■ ■ ■ Pj + 1

(6)

Теперь оценим сумму Е2. Выберем зо таким образом, чтобы

Ф

1

P2sP2s-1 ••• Pj + 1 / P \P2sP2s-1 ••• Pj+2

1

, v j < - jo.

(mfc.)

Пусть х е Е0 и 3 < 2в — 3о. По построению функция / на промежутке Дх ; есть сдвиг / с промежутка Д0-*;^. Тогда можем записать

2s „ 2s „

E2 = J^(-1)i+1 mfci J f(t) = ^(-1)i+1 J f(t) =

"=j (mk ) *=j (mfc. )

a; ) a( fc*)

2s-jo

*=J

2s

(-1)i+1 rnfci / f (t) (-1)i+1 / f (t) dt =

(mfc. )

i=2s-jo + 1

(mfc. )

2s-jo i „ 2s i „

^(-1)г+1тк^^ / f (t) (-1)i+1mfc^^ / f (t) dt = E21 + E22-

i=j / = 1 TTI _ i = 2s-j0 + 1 / = 1 T-I _

(7)

^ i=2s-jo+i

Рассмотрим сумму E22. Для внутренней суммы имеем

2s-jo 2s

o

^ / f (t) dt = А/^ЕМ + А/^ЕМ.

/ = 1E / = 1 /=2s-jo + 1

(8)

В силу выбора 30 последовательность {|Аг|яЕг,г}2—100 является возрастающей. Кроме этого меру множества Ег г можем записать в виде яЕг г = яЕг г------1----—1, г > I. Поэтому окончательно получим

5 5 •••р^г 1 р 1

2s-jo

У, A/^Ei,/ /=1

<

1

Ф

1

2-'2s+jom*, \Pk2, ••• Pk

(9)

2s -^k2s-jo+1

Для второй суммы в (8) после некоторых преобразований получим

2 Л / 1

У А/ дЕ

/=2s-jo + 1

i,/

<

X *

™fc /=2s-jo + 1 VPfr2- Pk‘+1

(10)

Подставляя (9) и (10) в (8), получим

У А/MEi,/

/=1

1 + j0 2i-2s+jo+1 т < ----- _. „ . .----Ф

1

mk, 2i-2s+jo Uk2s ••• Pk2s-jo + 1

Подставляя последнее неравенство в (7) для суммы E22, получим

1

E22 < Ф

Pk2s ' ' ' Pk2s-jo + 1

(2 jo + 1).

(11)

o

o

Оценим сумму Х21 в равенстве (7). Во внутренней сумме числа {|Аг|яЕг,г}^—1 образуют возрастающую последовательность. Поэтому

У АгЯЕм

г—1

> |Аг|ЯЕг,г — | Аг —1 |МЕг,г —1 > “о |Аг | р-1---------

р2 рк; т-;

^ АгЯЕг,Н = (АгяЕг,г) = ( —1)

г+1

Л — 1

Отсюда

1

2в—0о

я21 = |Е21|> 2рг £ |А,|.

г—0

Объединяя полученные оценки (6),(11) и(12), получим при х е Е,

1 2в 1 00 / 1

|^п (/,х)| > 2р2 ^ |Аг | — |АУ | — (230 + 1)|А2в-00 | — 2р2 Ф ( р-2 ... рк

г—0 г — 1

(12)

2з ^к23_30+1+;

Выберем 31 > 30, 3 < 2в — 31 < 2в — 30. Пусть 30 и 31 удовлетворяют следующим условиям:

30 + 1 Л — —^ Р > 4р2, ---------

Ср + 1 ^ 3о У > р , Ср + 1

31 + 1 Л ^ Ср

1 — 30

> 16р3

2в

Тогда учитывая лемму 1, при 3 < 2в — 31, получим |£* (/, х) | > — Ф

1

8р4 \ р—23 •••

2э •"Рй,-

г— 0 V -‘'"-г+1 /

Пусть теперь а(х) | 0 при х | 0. Оценим норму ||£п(/)||фад. Функция Ф определена равенством (3) в котором т = 1.

||А’п(/)|Ца, =

>

1

0

д 2в-01 / 2в

I (I

|^п(/,£)Л ^ [

Ф(*)а(*^ * Е,

>

Ф

1

1

/а,_1 Фд(£)ад(£) t

Заменяя Ф(£) и а(£) наибольшим значением и используя Лемму 2 при т = 1 получим,

||»п(/)«•,., > (8^)д£ (IФ (р^))’^7-1- 1пр"+'

Применяя лемму 2, получим

д 2в-01 ( 2

ф д

1

р&2э •••рй,

ад

Р^2й •"р*3 + 1

||ЗД1)||

>

1

(

Ф

8р2У 0—1 Чр-23 ••• р-;+1

1

(1+Ср)3 1П рк, + 1 ад

ф д

1

Р^2й "^*3 + 1

р-23 ■ ■ ■ рк, + 1

Рассмотрим отдельно

(13)

Ф

1

р-23 ■ ■ ■ рк; + 1

2в —1 ^2£!

Ф(*)

<

«2э ^Кз + 1 2в

<

г—0

г—0 + 1

1

р-23 ■ ■ ■ рк; + 1

1п р-;

1

д

а

1

1

£

Подставляя последнее неравенство в (13) имеем

2s-ji

IS-(/)IIL, > С £ -

,9 j=i a9

i

Pk2s •••pkj + 1

>

2s-ji

с E

a9

j = 1 V22s-j.

Отсюда с учетом оценки нормы ||/||ф,д имеем

1 2s-j1 1

IIS»(f)IHa„ > с X V

IW,9 > 2s a? (2^)

(14)

при 25 ^ +ГО.

2. Теперь докажем теорему для произвольного т > 1. Обозначим Ф1 (х) = Фт(х), д1 = тд, а1 (х) = ат(х) и пусть /1 — функция, построенная в первом пункте по функциям Ф1 (х), а1(х) и числу дь /(х) = /1 (х(1))/(х(2)) ■ ■ ■ /1 (х(-)).

Сначала оценим сверху норму ||/||ф,д.

с E (If-,

, = 1 \Ф V2.

с IIf-II¿ C7E limTT

i=1

< Cs uz- ii9\ .

W m ,qi

Обозначим через Ф1 = Ф m. Рассмотрим

1 1

\ m — 1 р / * ^ Ш7

Ф(ж)=(1п-' x

1п — d 1п — < 1п —

x x V x

= Ф1 (x).

Теперь рассмотрим норму ||Sn(/)||фа д. Так как ||S„(/)||¿ = ||Sn(/i)||m, то

(

IIS» (f )II^ M > C>£

i=1

\

IISn(f )IIi

ф( a 2І

/

C>£

i = 1

us-(/1) i im

ф Г(2^ a/i

= C9

C>£

/ V1

I I Sn(/1 )ii

i=1

V

> C10 11 Sn(/1) 11 91

^1^1,91

Окончательно, учитывая (14), получим

I I Sn (/) I I

Ф a,9

9

Ф,9

> Cn-

I I I Sn (/1) I 11 91

Ф1 «1,91

I I /1 11 W1,91

и теорема доказана. □

1

1

1

m

2

9

9

Библиографический список

1. Lukomskii S.F Convergence of Fourier series in Lorentz spaces // East J. on Aproximat. 2003. V. 9, № 2. P. 229238.

2. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джаварли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонического анализа на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981.

3. Лукъяненко О.А. О константах Лебега для системы Виленкина // Механика. Математика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 70.

4. Лукомский С.Ф. О сходимости рядов Фурье Уолша в пространствах, близких к // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 6. С. 882-889.

5. Асташкин С.В. Об экстраполяционных свойствах шкалы Ьр-пространств // Мат. сборник. 2003. Т. 194, № 6. С. 26-42.

6. Лукомский С.Ф. О подпоследовательностях частичных сумм рядов Фурье-Уолша в пространствах Лоренца // Известия вузов. Математика. 2006. № 6. С.48-55.