О сходимости итерационного процесса для псевдопараболического уравнения третьего порядка с нелокальными краевыми условиями в многомерной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Уравнения математической физики

УДК 519.635

О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ

М. X. Бештоков

Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Бербекова Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

E-mail: beshtokov_maurat@rambler .ru

Рассматривается нелокальная краевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка в многомерной области. С помощью итерационного метода решение нелокальной краевой задачи сводится к решению последовательности локальных задач. Получена априорная оценка сходимости итерационного метода в норме

Ключевые слова: краевые задачи, нелокальное условие, априорная оценка, итерационный процесс, уравнение третьего порядка, псевдопараболическое уравнение.

В замкнутом цилиндре QT = G х основанием которого явля-

ется р-мерный прямоугольный параллелепипед G = {х = (х\,... ,хр) : 0 ^ха^1а, а = 1,2,... ,р}

с границей Г, G = G U Г, рассматривается нелокальная краевая задача

ut = Lu + f(x,t), (x,t)eQT, (1)

Па (х, t') — Р—а (х, t)u(xI, ..., Ха—1,1 сп Ха-\-\ > •••> Хр, 7~)

+ / P-a(t,T)u(X!, ..., Ха-1} la,Xa+1, ...,Xp,T)dT -/J,-a(x,t), При Ха = 0, (2)

J0

Па (х, £) — Р-\-а (х, £)и(ж 1, Ха—1 )0, Ха-1-1, ■■■, %р)

+ / Р+а(Ъ,т)и(х\, ...,Ха-1,0,Ха+1, ...,Хр,т)<1т — Ц+а(х,$, при Ха = 1а, (3)

Jo

и(х,0) = ио(х), х € С, (4)

где Ьи = Т?а=1Ь»и, Ьаи = (ка(х,г)иХа)Ха + (г]а (х, £)«*„*) ^ + Га(х^)иХа ~ - да(х,г)и; 0 < Со ^ г]а(х,г); ка(х,г) ^ си \га\, \да\, |/?-«|, |/?+«|,

Мурат Хамидбиевич Бештоков (к.ф.-м.н., доц.), докторант, каф. вычислительной математики.

ИЗ

|р_«(£,т)|, \р+а^,т)\ ^с2;Па(ж,£) = ка(х,£)иха+г1а(х,1)их^ — полный поток; СО) СЬ С2 — положительные постоянные; р-а(Ь, т), р+«(£, т)— функции, непрерывные на [0,Т]; 0 ^ т ^ си = 1,р; <5т = б х [0 < К Т].

Относительно коэффициентов задачи (1)—(4) предположим, что они обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения и(х,Ь) в цилиндре С,}т- Для обеспечения нужной гладкости и(х,£) вблизи границы потребуем для (1)—(4) выполнения условий сопряжения нужного порядка. В качестве одного из способов решения задачи (1)—(4) рассмотрим итерационный метод [1—4], который сводит решение нелокальной краевой задачи к решению последовательности локальных задач.

Итерационный процесс для задачи (1)-(4) будем строить следующим образом:

5+1 5+1

щ = Ь и +/(ж,£), (ж,г)£(^т, (5)

■5 + 1 5

П а (ж, £) — Р—а (.X, £) и(хх, ..., Ха—\ , 1а, Ха-\-\, ■ ■■, Ж р, т)

+ / р-а^,т)и(х1, ...,Ха-1,1а,Ха+1, ...,Хр,т)(1т — /Х_а(ж,£), при Ха = 0, (6)

Jo

5+1 5

П а (ж, £) Р-\-а(,Х, £) и(^Х\, • • •, Х^— 1,0, Х^-\-1 •)••••) Xр, 7”)

+ / Р+а(^,т)и(Ж1, ...,Жа_1,0, Жа+1, ...,Жр, Г)^ -//+а(ж,^, при Жа = (7)

3-1-1 _

и (ж,0) = «о(ж), ж еС, (8)

где 8 = 0,1, 2,... — итерационный индекс. В качестве нулевого приближения

о

и можно взять, например, значение решения в начальный момент времени «о (ж).

5+1 5+1 / \ / \

Пусть г = и —и — погрешность метода (5)-(8), где г/, —решение зада-

5+1 5 + 1

чи (1)-(4). Тогда, подставляя и = г +и в (5)—(8), получим задачу для

5+1

погрешности г :

Ч1 = ьЧ1, (ж,£) € <5т, (9)

5 + 1 ^

П а (ж, £) — Р—а (Х)Ъ') ^ (Ж1, •• •, Жо,_1, , Жо,-|-1, ..., Жр, т)~Ь

+ / р-а(г,т)г(х1,...,ха-1,1а,ха+1,...,хр,т)(1т, при жа = 0, (10)

Jo

5+1 5

П а (ж, £) Р-\-а(х,^ г(хЪ ..., Ха—1,0, Жо;-|-1, ..., Жр, т)

+ / Р+а^,т) 1(Ж1, ...,Жа_1,0, Жа+1, ...,Хр,т)(1т, при Ха = 1а, (11)

Jo

где

V

5+1 -г 5 + 1 -г 5 + 1 /т 5 + 1 \ / 5 + 1 \ 5 + 1 5 + 1

5+1 5 + 1 5 + 1 / 5 + 1 ч / 5 + 1 ч 5 + 1 5 +

Ь г =у ьа г , Ьа г = (ка г ) + {т]а г ) + га г -да г

£^ 4 Ха а X<*£ Ха гг.~.

06= 1

Введём скалярное произведение и норму:

{и, у) = [ ьМх, {г, г) = \\z\H (г, г) = [ гЧх

■Ю -Ю

р г1а

4 = \\4ь2(0,1а)= г2{х,^ха.

а=1

5 + 1

Для оценки решения задачи (9)—(12) умножим уравнение (9) скалярно на г :

(‘г1,'?) = (емх,1)^1) + (£ (^1,)1„л1)+

^«=1 “ ' ^«=1 “ '

'<2=1 ' '<2=1

3+1 5 + 1 I п\

2,2 • (13)

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (13):

Остальные слагаемые в правой части (13) оценим с помощью неравенства Коши:

(V'' < .л ■5+1 ■5+1\ [ Х"' •5+1 ■5+1 л [ •5+1 ■5+1 л ^

I 2_^г»{х,ЦгХа, х I = / 2_^г»хха х<1х = 2_^ гахХа г йх ^

'«=1 ' а=1 а=1

«?е/Д£)^+?е/с№< <17>

а=1 а=1

( ^2 да(х, г)3Р, 8г1}=-['^2 да(х’ ^ ^ =

'«=1 ' а=1

]! сгж^с2^у (1х, (18)

где С = {X' = (х1,х2,... ,ха-1,ха+1, ■ ■ ■ ,Хр) : 0 < хк < 1к, к = 1, 2, ..., а — 1, а + 1, ..., р}, с1х' = с1х1(1х2 ■ ■ ■ (1ха-\(1ха+1 ■ ■ ■ с1хр. Подставляя (14)—(18) в тождество (13), получаем неравенство

1 СI 8+1 ||2 1 й

2 (Й * 2 (Й

и Г?а(ж,£)( Йа) <1Х + и &<* (ж, £)(£**) йх ^

1 ^ С ( +1 \ ^

(1х' + 2 ^ ^

а=1

(19)

Учитывая краевые условия (10), (И), второе слагаемое в правой части (19) оценим так [5]:

Л;7

а= 1

2 ка гХа +т]а гХа1

йх1 =

а=1

Е/ /5 + 1 5 + 1 5 + 1 5_|_1 \

/ [П«(1,() г иа=га - П«(з:,() г

___1 •/

/■ N Я+1 I

Р /.

/ \Р+<*(х,г)г(х,т)+ р+а^,т)г(х,т)(1т)\Ха=о3г \Ха=1а(1х'~

а=1]с'К ™ '

Р п

^2 / (/3-а(ж,£)1(ж,т) + / Р-а^, Г) 1(ж, Г^т) 1^=^ 1^=0^' ^

а=1 •’С'

Тогда из (19) с учётом (20) находим

а=1

5+1 ' %Ха

<м3(|Г?||§+цг‘||§

’-+1"2Чм2

0 до

• (21)

Проинтегрируем (21) по т от

’£ По + II ‘£ Над, « М41‘ (|| II? + II и1 11?)*-+

I м2

I 2 116 +

+

J (||^ Но + 11-4 ||о)^ + J ! (н 2 Но + II 4 \\2^(1т1(1т

Второе слагаемое в правой части (22) оценим следующим образом:

I I (н 2 Но + II 4 \\fjdTidr ^ Т I (|| I По + II £х По)йг. Учитывая последнее неравенство, из (22) получим

о I 1 _ „ I 1

(|| 3*1 Но + II 3*х \\о)<1т + М6 J

(22)

I м2 I м 5+1 по ^

I 2 Но + II По ^

2 По + II 2Х По)йт. (23)

Обозначая

^(г) = м6 у (|| I По + II4 Но

м2'

с1т

J о 4

и применяя к неравенству (23) лемму Гронуолла, получим оценку £ (п ^ ||§ + П и1 \\ojdT < Тем^(£)

и, следовательно,

|| 8г1 ||о + || 3*х По ^ ТМ(1;) I (|| 11|§ + || гх \\fjdr ^

<

Из (24) имеем

такт) [ (||!||?+ || 4 !!§)*. (24)

й И'^Ницо) «™(Т)

*т

, 5 м2 м 5 м2

2 По + II По

Продолжая неравенство (25) вправо, получим

max

OsCtsCT

О

Z

2

В итоге получаем оценку погрешности итерационного метода (9)—(12):

Из оценки (26) следует, что при Т2М(Т) < 1 итерационный метод (9)—(12) сходится в норме И/Г21(С). Сходимость итерационного процесса может быть обеспечена за счёт малости времени Т, то есть сходимость будет только в малом.

Следует отметить, что полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда в уравнении (1) Ьаи имеет другой вид:

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. М. Н. Бештоков, “О сходимости итерационного процесса для одной нелокальной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка” / В сб.: Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы X Школы молодых учёных. Нальчик: КБНЦ РАН, 2012. С. 24-26. [М. Kh. Beshtokov, “On the convergence of the iterative process for one nonlocal boundary value problem for a hyperbolic equation of the third order” / In: Non-local Boundary Value Problems and Problems of Modern Analysis and Informatics. Nal’chik: KBNTs RAN, 2012. Pp. 24-26].

2. Д. Г. Гордезиани, О методах решения одного класса нелокальных краевых задач: Препринт, Тбилисский Ордена Трудового Красного знамени Государственный университет, Институт прикладной математики им. И. Векуа. Тбилиси, 1981. 32 с. [D. G. Gordeziani, On methods of resolution of a class of nonlocal boundary value problems: Preprint Tbilis. Gos. Univ., Inst. Prikl. Mat. Tbilisi, 1981. 32 pp.]

3. D. G. Gordeziani, “Finite-difference schemes for solving nonlocal boundary value problems (in Russian)” // Tr. Inst. Prikl. Mat. Im. I. N. Vekua, 1987. Vol. 19. Pp. 20-25.

4. N. Gordeziani, P. Natalini, P. E. Ricci, “Finite-difference methods for solution of nonlocal boundary value problems” // Comp. Math. Appl, 2005. Vol. 50, no. 8-9. Pp. 1333-1344.

5. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.; англ. пер.: О. A. Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics / Applied Mathematical Sciences. Vol. 49. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1985. 322 pp.

s+l

Lau= (ka(x,t)uXa)Xa + (r]a(x,t)uXa)Xat + ra(x,t)uXa -qa(x,t)u.

Поступила в редакцию 29/III/2013; в окончательном варианте — 01 /IV/2013.

MSC: 35S15; 47G30

ON CONVERGENCE OF THE ITERATIVE PROCESS FOR THE THIRD ORDER PSEUDO-PARABOLIC EQUATION WITH NONLOCAL BOUNDARY VALUE CONDITIONS IN A MULTIDIMENSIONAL DOMAIN

M. H. Beshtokov

Kabardino-Balkarian State University,

173, Chernyshevskogo St., Nalchik, 360004, Russia.

E-mail: beshtokov_mauratSrambler.ru

In this paper the nonlocal boundary value problem for the pseudo-parabolic equation of the third-order in a multidimensional domain is considered. Using an iterative method, the solving process of the nonlocal boundary value problem is reduced to solving the series of some local problems. An a priori estimate for the convergence of the iterative method in the norm, TU21(G) is obtained.

Key words: boundary value problems, nonlocal condition, a priori estimate, iteration process, third order equation, pseudo-parabolic equation.

Original article submitted 29/111/2013; revision submitted 01/IV/2013.

Murat H. Beshtokov (Ph. D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept, of Computational Mathematics.