CC BY
29
Вычислительные технологии
Том 15, № 3, 2010
О сходимости диагональных аппроксимаций
Д. С. Петкович, И. Д. Арангелович Университет Приштипы, Косовска Митровица, Сербия e-mail: [email protected]
Исследована сходимость диагональных аппроксимаций Паде в предположении об их принадлежности специальным пространствам при достаточно больших и. Показано, что в этом случае для любого ряда Тейлора рассматриваемые последовательности равномерно сходятся внутри (на компактных подмножествах) к функции, голоморфной в круге.
Ключевые слова: таблицы Паде, диагональные аппроксимации.
функция, голоморфная в точке г = 0 или формальный ряд по степеням г, Рп — множество всех многочленов степени не выше п и Япт — множество рациональных функций вида г = р/д, где р € Рп, д € Тт, д = 0,
При любых целых неотрицательных п, т существует пара многочленов рп,т € Рп, дп,т € Рт, д = 0, для которых выполняется соотношение
Отношение nn,m(z) = pn,m(z)/qn,m(z) G Rn,m для любых пар таких многочленов единственно и называется аппроксимацией Паде типа [n/m] для ряда (1). Из (2) следует, что нахождение знаменателя qn,m и затем числи теля pn,m аппроксимации nn,m сводится к решению системы линейных уравнений (коэффициентами системы являются коэффициенты ряда (1)). Таким образом, все аппроксимации Паде определяются локальными данными (коэффициентами степенного ряда).
Один из основных теоретических вопросов, связанных с таблицей Паде, — изучение сходимости тех или иных последовательностей аппроксимаций Паде [1]. Наиболее интересными и сложными для изучения являются диагональные {nn+j-,n}°=0 (и близкие к ним) последовательности, в частности — главная диагональ nn(z) = nn,n(z), n = 0,1, 2,...
Известно, что для произвольных функций /, голоморфных, например, в единичном круге U = {z : |z| < 1}, последовательноеть nn не сходится даже по мере [2]. Очевидным препятствием для сходимости являются полюсы аппроксимации. Возникает естественный вопрос о том, что можно сказать о сходимости, если заранее предположить, что
U
1. Пусть
(1)
i=0
(qn,mf - pn,m)(z) = O(zn=m+1), z ^ 0.
(2)
nn(z) e H(U).
(3)
© ИВТ CO PAH, 2010.
Этот вопрос был впервые рассмотрен в работе [3], где был получен ответ в предположении, что соотношение (3) выполняется при всех достаточно больших п. Тогда для любого ряда вида (1) последовательность пп равномерно сходится внутри (на компактных подмножествах) и к функции /, голоморфной в этом круге:
Пп(г)—/(г), г € и. (4)
Отметим, что сходимость ряда (1) в условиях теоремы заранее не предполагается; тео-
и
Предположим теперь, что соотношение (3) справедливо не при всех п > по, а только для некоторой подпоследовательности Л = {п^д^бго, В этом случае соотношение (4) уже не выполняется при п — го, п € Л то всем круге и. Точнее, пусть р — радиус максимального круга ир = {г : |г| < р}, для которого из (3) с п € Л вытекает (4) при п — го для любой последовательности Л. В работе [2] доказан о, что р < 4/5,
Теорема 1. Пусть г € (0,1) является корнем уравнения д(г, 1) = 2д(г, 0), где
( п 1
— функция Грина дуги {егв :—< в < тогда р>Г\ = 0.629...
2. В дальнейшем мера — это положительная борелевская мера в конечной плоскости, принимающая значения на компактах в C; s(v) — носитель меры v, |v| = v(C); Vv — ее логарифмический потенциал:
Vv(z) = J log zeC.
Потенциал Vv — супергармоничеекая функция в C и гармоническая в C \ s(v). Будем
писать vn ^ v, если vn слабо сходится к v, т. е. J <^dvn ^ J ^dv для любой непрерывной
финитной функции Если K С C — компакт в C и s(v) С K, то Vвнутри C \ K; при этом для любой точки z £ C имеет место принцип понижения
lim V(z) > Vv (z). (5)
п^те
Если K — регулярный компакт (обладает классической функцией Грина) и vn ^ v, то
lim min VVn (z) = min Vv(z). (6)
п^те z€K z£K
Пусть G — область такая, что G — регулярный компакт в С, и пусть v — мера такая, что supp(v) С C \ G. Мера v' такая, что supp(v') С ÖG и
Vv(z) = Vv\z) + const, z £ G, (7)
называется продолжением меры v на ÖG (мера v' существует и единственна) [4].
Через M(K) будем обозначать множество мер v таких, что supp(v) С K и |v| = 1. Множество M(K) слабокомпактно.
Пусть K — регулярный компакт в C, ß — произвольная мера. Тогда существует единственная мера А = A(ß,K), А £ M(K) такая, что
(Vл + VM)(z) ( = Ш z £ (А), (8)
> ш, z £ K.
Мера А называется равновесной мерой компакта К во "внешнем поле Vм"; ш = ш(ц,К) — константой равновесия. Условия (8) можно записать также в следующем виде:
(VЛ + Vм)(г) = ш1п(Vл + Ум)(г), г € К. (9)
п
Для произвольного полинома р(г) = гп + ■ ■ ■ = П (г — гк) определим ассоцпнро-
к= 1 1 п
ванную с ним меру ип = ип(р) по формуле ип = — ^ 8(гк), где 5{хк) — мера Дирака,
П к=1
сосредоточенная в точке гк. Тогда имеем
1
= -1п—!-гт, Ш\п = (Ю)
п |Р(г)|
3. Пусть К = ди и ц = ¿(1) (ц — мера Дирака в точке 1), Из (8) следует, что существует единственная мера А1 = А(5(1),ди) такая, что
1 §|1-г|\ >иь геди,
где ш1 = ш(8(1),ди).
( п 1
Лемма 1. Пусть Г^/з = < г = егв : — < \9\ < 7г >, тогда вирр(А1) = Г^/з и ш\ =
4
1п
'
Доказательство. Пусть г = ег1р. Тогда
11 1п --Г = 1п
1 0 . <Р
111 2
есть выпуклая функция от < при < € ди\в(и), Пусть Г = {г = егв : 9 < |<| < п} (в <п). Докажем, что впрр (А1) = Г^, 0 < 90 < п (90 — неизвестное число). Предположим противное: существуют 9', 9" € Г0 и (9,9 ) П впрр (А) = 0, 9 € впрр (А), 9 € впрр (А), Тогда из (8) следует, что
VЛl {егв') + 1п 1 = «л = VЛl (ег0") + 1п ■ 1
|1 — егв' | ^ у 1 |1 — егП
и на (0', в") выполняется неравенство VЛ(eгб) +1п ц-— > гах. Но потенциал и внешнее
поле — выпуклые вниз функции на (9' ,9"), поэтому
ухиегв)+Ы-—]-— = 'Ш, б£(б',в"),
у > |1 — ег^ | ^ п
что противоречит строгой выпуклости потенциала и внешнего поля. Таким образом, (А1) = Гв1в2 = {егб, < в < 2п - 02}-Докажем, что в1 = в2, Предположим, что это не так. Равно весной мере А1 поставим в соответствие А^, А^(е) = Л1 (ё), е — борелевское множество на 811, ё — множество, сопряженное множеству е, Тогда
(егв) + 1п_-_/ = ° € '
1 11 — е^| \ >ь), 0 < 9 < 2тт.
Но
1 С 1 1 уА1 ^ + 1п - = / 1п - лЛ1 + 1п. е^-е
|1 - егв| 7 |егб - ег^| 4 ' |1 - егб1
1—^——Л\х(е^) + 1п и 1 ... = |е-гб - ег^| ^ ' |1 - е~гв|
11
__I _ -Ф^кр
J 11 1е-меч>це-ч> - егв\ 11 |е-^||1 - _ Лп, ,, 1 Л\\{е^) + 1п ■ 1
|егб - ег^| ' |1 - егв |
11 1п --+ 1п
г - ¿| |1 - г|'
= ^1, г € Гв2в1 > |г| = 1.
Отсюда следует, что а, — равновесная мера в поле 1п ---. В силу единственности
11 - г|
равновесной меры получаем, что А1 = А1 в1 = в2 вмррА1 = Г^0 = {ег6>, в0 < в < 2тг-0о}.
Пусть дд0(г,оо), дд0(г,1) — функции Грина области С\ Г^ с полюсами в оо и 1 соответственно. Рассмотрим функцию
ф) = + 1п + 2дв0(г, го) - дво(г, 1). (11)
Очевидно, функция <р — гармоническая в С \ Г#0 и на Г#0 и в силу (8) = ш\.
Из принципа максимума для гармонических функций следует, что </?(г) = , г € С, Устремляя г к бесконечности, находим, что = 27^ - дво(го, 1) = 27^ - дво(1, го), где 7е0 — постоянная Рабена дуги Г#0.
Пусть яю{г) = Vх1 (г) + 1п ц-- — дв{%, 1) + 2де(г, го). Функция <р — супергармоническая функция в С \ I » , Из принципа максимума для супергармонических функций
следует, что
ъи(оо) > тти)(г) = тт [ Vх1 (г) +1п-
-гег0 ,гег0 \ 4 у |1 - г|
>
> тт ( УЛ1 (г) + 1п —^ , N=1 \ |1 - г|
= = 27^0 - д^0(1, го).
Но ад (го) = 270 - дв (го, 1) = 27в - дв(1, го) Тогда для любой дуги Гв имее м 27^ -дв (1, го) > 2700 - дв0 (1, го) где Гв0 — носитель равновесной меры. Так им образом, в0
й
определяется из уравнения — 9гв( 1, оо)) = О,
Пусть Р(г,То0) — функция, конформно отображающая С \ Гд на внешность еди-
гого
Р(г,Го)
+ 1 + ^ г2 - 2х сое В + 1 2 сое вЪ '
и значит
дв0го) = 1п
1 + У^^^^^собДГ+Т
9 00
2 сое —
(12)
дв01) = 1п
1 - Р(1,во)Р(г, во)
Р(г, во) - Р(1,во)
Из (12) и (13) находим
(13)
1
7(? = 1п-- и 270 - дв(1, оо) = 1п
1
сов ■
вв 008-1 1 + вт -
(14)
во
2вт2- + 8т-- 1 = О,
п 4
отсюда во = — и Ш1 = 1п —, Лемма доказана, 3 3 V 3
Из (11), (12) и (13) следует, что
□
VД1 + 1п
|1 - г|
1п
(г + 1 + v/5J^7TT)(z - 2 + У^^ТТТ)5
+ - г+1)2
(15)
г
1
4. Пусть 7гп = 7гга(/) = —, degpn = п, degqn = п. Из (2) следует, что функция
Яп
2п+1
((яп/ — рп)(г))/шп(г) голоморфы а в и, шп = П (г — гк), Применяя формулу Коши,
получаем
к=1
и 1 г
Шп 2т ]ди \ Шп £ — г
где ф (г) — произвольный полином степей и не выше п. Отсюда имеем
(/ — Пп) (г)
27гг ]ди шп(г) £ - г '
г е и.
(16)
Пусть ||/Цди = М, — > шт4еди — из (10) следует
11 Р^ди) ЖШ)- Тогда
I/(г) — п(г)|<
М
Р(г,ди)
Шп(г)
(г)
Шп
Е(п) (п)
ели г1 = г2
, , 2п+1
■ ■ ■ г2п+1 = 0 ^ Шп(г) = П г = г2п+1, то
к=1
(17)
4.1. Если = 1, то
I/(г) — п(г)|<
М
Р(г,ди)
I ,2п+1 ||яп(£)|д^1
N
М
< . |г| + ■
<
М
Р(г,ди)
|г|2п+1 П
|1 +
<
|9п(г)| "р(г,ди)
М
п'
П1* — |
=1 ди-1
п'
П(г — )
3=1
<
п 2 М / 2г2 гг _1_< ___
и получаем
2г
1 — г
<1=^2г2 + г-1<0=^ Г1)2 < ^ 2'
1.
п
1
124
Д. С. I In кот, ч. И. Д. Аралгелович
4.2. Если Qn(z) = qn(—z), то
l/W-7r(z)|<-477TN2ra+1
llQqn
dU
M
|z|
2ra+l.
qn(t)qn(-i)|su
p(z, dU) |Q(z)qn (z)| p(z,dU) |qn(z)(z)qn (-z)|
<
niz?|
<
M j=1
-|z|2n+l^_
t2
z2
dU
p(z,dU)
П |z2l
j=1
i -
Mn
_Ы2га+1 n
t2
z2
dU
i
M , l2 + n 2 M / 2z2
=_\z\2n+l П _< _ _
p(z, dU)1 1 /ii 1 - z2 - p(z, 8U)y 1 - z2
2r2 2 2 1 1
и получаем-- < 1 =>• 3r < 1 => r < — => r < —=.
1-r2 3 у/г
4.3. Пусть vn и pn — меры, ассоциированные с полиномами Q и qn соответственно. Тогда из (17) следует
-ln|(/-7rra)(z)| < 2In Izl + (У" + V^)(z) - min(VVn +V^)(t) + o(l), n ->• oo. (18) n tedu
Выберем полином Q так, чтобы носитель supp(pn) С dU; то условию supp (An) С C\U для n G Л С N Пусть рП — продолжение меры pn па dU, т, е, (VMn — V)(z) = const для Vz G U, Тогда (18) можно переписать в следующем виде:
1
-In |(/ - 7гга)Ы| < 2 In Izl + (VVn + FM(z) - Tmn(VVn + FM(i) + o(l), n tesu
Отсюда получаем
<
n —> oo, n G Л, z G U.
(V* + V^) ( i j - min(^ + ( i ) <
1
(T/Ai + y*) ^-J - rnin (VXt + V*) I I djl(t) < < (Vxt +Vst) (ij -min (Vxt + Vst) 1
(19)
(20)
где |£| = 1, arg£ = argт.е.
lim-ln|(/-7rra)(z)|<ln п€Л n
-Г 2 (О'-И
-\ 2 0-H
z
z
z
j
Нетрудно подсчитать, что правая часть неравенства (21) меньше нуля при |z| < r, где r определяется из уравнения
2#п/з(Г 0) - gn/з(r> 1) = 0.
Теорема доказана, □
Список литературы
[1] Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986.
[2] Рахманов А.Е. О сходимости аппроксимаций Паде в классах голоморфных функций // Мат. сборник. 1980. Т. 112(154), № 2(6). С. 162-169.
[3] Гончар A.A. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде // Там же. 1982. Т. 118(160), № 4(8). С. 535-556.
[4] Ландкоф С.Н. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию Ц апреля 2010 г.
