О сходимости численного метода линейных граничных элементов для решения полигармонического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК [514.116:517.9123]:519.6 ББК В181.12в631.7

АО. КАЗАКОВА

О СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ*

Ключевые слова: полигармоническое уравнение, численное решение, линейные граничные элементы, оценка погрешности, скорость сходимости.

Получены оценки точности численного метода линейных граничных элементов для решения плоских задач для полигармонического уравнения. Доказательство сходимости указанного метода проведено в два этапа: 1) оценка погрешности вычисления значений искомой функции при переходе от плоской области к многоугольнику; 2) доказательство сходимости интегральных сумм в системе линейных алгебраических уравнений к интегралам в соотношениях для полигармонических функций. Показано, что метод обеспечивает хорошую сходимость для рассматриваемого класса задач. Приведены тестовые примеры, в которых построены графики и таблицы относительных погрешностей искомых функций в зависимости от числа граничных элементов.

В работах [4, 6] был разработан численный алгоритм решения краевых задач для полигармонических уравнений, с помощью которых, как известно, могут быть описаны математические модели многих задач механики сплошных сред [3, 8]. Этот алгоритм основывается на методе линейных граничных элементов [1], который является одним из наиболее эффективных и перспективных для указанного класса задач. Вопрос о строгом математическом обосновании этого метода на сегодняшний день остается открытым. В настоящей статье представлены результаты, позволяющие произвести некоторые оценки точности данного алгоритма в случае плоских задач, и предложена схема доказательства его сходимости. Поскольку численный метод линейных граничных элементов предполагает аппроксимацию границы области некоторым многоугольником и аппроксимацию полигармонических функций в пределах сторон этого многоугольника, то и доказательство сходимости метода должно проводиться в два этапа. Во-первых, следует оценить погрешность вычисления значений искомой функции при переходе от плоской области Т к многоугольнику, ограниченному граничными элементами. Во-вторых, необходимо доказать сходимость интегральных сумм в системе линейных алгебраических уравнений к интегралам в соотношениях для полигармонических функций.

1. Основное интегральное тождество для полигармонической функции. Полигармонической функцией «-го порядка в некоторой плоской области Т называется функция и действительных переменных (х, у), определенная и непрерывная в области Т, имеющая в этой области непрерывные частные

* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00220.

производные до порядка 2п включительно и удовлетворяющая всюду в Т дифференциальному уравнению Апи = 0, где А - оператор Лапласа, п - натуральное число. В [4] дана классификация краевых задач для полигармонической функции по аналогии с краевыми задачами для гармонической функции.

С помощью интегрального тождества Грина [5] можно получить формулу, выражающую значение полигармонической функции и внутри плоской области Т и на ее гладкой границе через граничные значения вспомогательных функций:

п-1 . Г 811 8^

%(РК С-р0)-и С

™ (р ьЕДтт т ( р)-и, (г)^пт ( Ро )к (р), (1)

где Ок = 1

к=0 йТ ,.2к ( 1 к И

2% 4 (к!)2

8

1п1 + I - г = >/( - Хо )2 + (у - Уо )2 , Аки = ;

т=1 т

(к = 0, п -1),--оператор дифференцирования по направлению внешней

8п

нормали к границе области 8Т; Р0(х0, у0) - фиксированная точка внутри области или на её границе; Р(х, у) - переменная точка интегрирования,

в = -

|1, Р0 е Т, [0.5, Р0 е 8Т.

Запись Ок(Р, Р0) означает, что функции Ок зависят только от расстояния между точками Р и Р0. Равенство (1) будем называть основным интегральным тождеством для полигармонической функции.

Каждая вспомогательная функция ир является полигармонической функцией (п - к)-го порядка, и, следовательно, для всех этих введенных промежуточных функций также справедливы соотношения, аналогичные (1). Окончательно получим систему интегральных соотношений вида

п-у-1 _

виу = X | (+к°к - иу+кнк ) (у = 0, п -1), (2)

к=0 8ТТ

80к 8ик где введены обозначения Нк = ——, Ук = ——.

8п 8п

Таким образом, полигармоническая функция и = и0 определяется через значения п функций ир и их нормальных производных ук на границе области. Кроме того, должны выполняться п интегральных соотношений (2).

2. Краткое описание численного алгоритма. Для дальнейшего необходимо кратко изложить основные этапы построения численного алгоритма, разработанного в [4] для решения краевых задач для полигармонического уравнения. Пусть граница 8Т плоской области Т разбита на N сегментов

N

8Т = ^ (8Т) , каждый из которых аппроксимируется граничным элементом

У=1

Ьу, начальная и конечная точка которого совпадают с началом и концом дуги

(дТ), и имеют координаты (х,, у,) и (х,+ь у?-+1), соответственно. Внутри каждого граничного элемента выбран узел Р, - точка с координатами (х,, у,). Тогда соотношение (1) для /-го узла можно записать в виде

вы (Р ) + Х

к=0

[( N N

\ X | ы, (Р)Я, (Р,Р,)(РV, (Р)Ок (Р,Р)(Р)

} =1 ь

} = ь,

= О (3)

Соотношение (3) будем называть основным соотношением метода линейных граничных элементов. В силу (2) оно справедливо и для всех вспомогательных полигармонических функций ыр, к = 1, п -1:

ВЫ1 (Р ) + X

к=0

N N

XI ык (Р )Нк (Р, Р) (Р )-Х| V, (Р)^к (Р, Р ) (Р)

V , =ь,

, = Ь,

= 0,

N N

ВЫп-2 (Р ) + Х | Ып-2 (р)но (Р, Р ) (Р)-Х I Vn-2 (Р (Р, Р ) (Р) + (4)

,=1 ь, ,=1 ь, ('4)

N N

+ X | Ып-1 (Р )Н (Р, Рг) (Р )-Х | Vn-1 (Р (Р, Р ) (Р) = 0,

}=1 ь, }=1 ь

N N

ВЫп-1 (Р, ) + Х| Ып-1 (Р)Но (Р, Р ) (Р)-Х| Vn-1 (Рро (Р, Р ) (Р) = 0.

=1 ь =1 ь

Следующий шаг построения алгоритма основан на предположении о том, что значения функций ыр и Vк (к = 0, п -1) постоянны на каждом элементе и равны их значениям во внутренних узлах элементов. В случае такой аппроксимации рассматриваемых функций в качестве граничного элемента выбирается прямолинейный отрезок, а в качестве узлов - точки, лежащие на середине граничного элемента, т.е. х, = 0,5(х, + х,+\), у, = 0,5(у;- + у,-+1). Для каждого такого элемента граница является гладкой, поэтому множитель в = 0,5. С учетом такой аппроксимации система равенств (2) окончательно может быть сведена к системе линейных уравнений относительно значений вспомогательных функций в контрольных точках:

(вЕ+А(0)) ип-1) - В(0)У(п-1) = 0,

(вЕ+А(0))) -в(0)У(п-2) + А(1)и(п-1) -В(1)у(п-1) = 0,

У ' (5)

...............................................................?

(вЕ+А(0))и(0) -В(0)У(0) + А(1)и(1) -В(1)У(1) +... + А(п-1)и(п"1) -В(п-1)у(п-1) = 0,

где Е - единичная матрица, и(к), У(к) - вектор-столбцы, компонентами которых являются значения функций в контрольных точках:

и{к = ык (р,), ¥(к) = Vk (), , = Щ, к = м-1,

А(к), В(к) - матрицы, элементы которых вычисляются интегрированием соответствующих функций по граничным элементам:

= | Нк (Р, Р ) Ж, Б™ = 1 Ок (Р, Р ) Ж, /, ] = , к = М—1.

Для построения системы (5) необходимо проинтегрировать функции Ок и их производные Нк вдоль отдельных элементов. В [2] была доказана теорема, согласно которой ни одна из функций Ок, Нк не имеет неинтегрируемых особенностей, поэтому при вычислении значений интегралов не возникает серьезных трудностей. Их можно вычислить численно с любой степенью точности с помощью формул численного интегрирования; при этом следует учесть, что интегралы б(0) имеют логарифмические особенности и для их вычисления необходимо использовать специальные квадратурные формулы [7]. Можно также получить и аналитические выражения для и Б^ .

3. Оценка погрешности при аппроксимации границы. Выясним сначала вопрос о том, как влияет на значение искомой полигармонической функции аппроксимация границы области дТ некоторой ломаной Ь. Пусть эта ломаная ограничивает некоторую многоугольную область О. По формуле (1) значение п-гармонической функции внутри области Т определяется значениями на границе области вспомогательных полигармонических функций и их нормальных производных:

п—1

^{xo, >о )=у I

к=0 дТ

ди

кОк - ик

дОи

(6)

К К

дп дп

Чтобы оценить погрешность вычисления значения функции и, следует записать модуль разности одного из интегралов в правой части последнего равенства и интеграла от того же выражения по ломаной Ь. В силу тождества Грина получим равенство

' ' ' дОк

Ои — ии-

дп

дт [ дп

дОк

дп

ds — I

дп

сЪ

¡¡(ик°к — ик АОк )с ^-11(ик°к — ик АОк )с'

Т О

Далее, обозначая для краткости Qk (х, у) = АикОк - ик АОк, имеем

(7)

¿к сх<Мк ■

¡IQkd-¡¡Qkdх = ¡I Qkdх < ¡I |0

Т О Т—О Т—О

где - площадь области Т - о, а Мк - наибольшее значение в этой области. Тогда с учетом (7) и (8) получим окончательно для правой части (6)

(8)

п—1

к=0 дТ

дп к к дп ) к=0 ЬI дп

кОк —

О

дп

СЗ

< п ■ М ■ 5

(9)

где М = тах (Мк, к = 0, п — 1) .

Из (9) видно, что погрешность при аппроксимации границы прямо пропорциональна площади S, заключенной между границей области дТ и ломаной ь, составленной из граничных элементов. Понятно, что чем больше число N граничных элементов, аппроксимирующих границу, тем эта площадь меньше, и площадь S должна стремиться к нулю при неограниченном возрастании N.

4. Сходимость интегральных сумм Римана - Стилтьеса. Перейдем теперь ко второму шагу доказательства, т.е. покажем, что суммы в системе (5) сходятся к интегралам (3), (4). В самом деле, можно заметить, что суммы в системе уравнений (5) представляют интегральные суммы Римана - Стилтьеса. Поскольку, согласно определению полигармонической функции, решение ищется непрерывное с непрерывными частными производными до порядка 2п, то, следовательно, справедлива интегральная формула Грина, а значит, интегралы, входящие в (3), (4), существуют. Поэтому при беспредельном увеличении числа N граничных элементов интегральные суммы Римана - Стилтьеса (5) должны сходиться к интегралам (3), (4), что служит обоснованием применяемого численного метода и одновременно доказывает единственность решения. Интеграл Стил-тьеса является непосредственным обобщением обычного определенного интеграла Римана. Определение интеграла Стилтьеса, а также информация об условиях его существования, подробно изложены, например, в [9].

Ниже приведены демонстрационные примеры, в которых дано сравнение численных расчетов с аналитическими данными и построены графики погрешности данного метода, из которых видно, что при увеличении числа граничных элементов погрешность быстро убывает. Эти примеры свидетельствуют о высокой эффективности численного алгоритма.

5. Примеры. В этом пункте рассмотрим числовые примеры решения различных краевых задач для полигармонического уравнения до четвертого порядка в плоских областях. Все представленные примеры построены по следующей схеме:

- в качестве эталона задается некоторая полигармоническая функция, по которой строятся граничные условия той или иной краевой задачи;

- данная задача решается с помощью описанного метода линейных граничных элементов;

- полученное таким образом решение сравнивается с соответствующими значениями для заданной эталонной функции, которая, очевидно, будет являться точным решением рассматриваемой задачи.

Сравнение численных результатов с аналитическими данными показано на графиках. Введем также понятие средней относительной погрешности, которое используется для оценки точности результатов численного решения:

Определение 1. Средней относительной погрешностью вычисления

значений функции ы на некоторой к

1 *

5(ы )~Х

Nk=1

зивой г будем называть величину

Ык - Ы (Sk )

•100%, (10)

ы ()

где N - число узловых точек sk на кривой Г; ы^к) - точное значение функции ы в узловой точке sk; йк - соответствующее значение, найденное численно.

5.1. Основная краевая задача в односвязной области. Пусть искомая функция составлена из гармонической, бигармонической функций и полигармонической функции третьего порядка

28

u = Im (x + iy )4 +15 xy (x2 + y2 ) + (x + y )(x4 + y4 ). (11)

Для построения граничных условий основной краевой задачи необходимо задать на границе значения самой функции u, а также ее первой и второй производных. В [6] показан способ определения u1 по указанным граничным условиям. Искомыми являются вспомогательные функции v1, u2, v2, необходимые для определения полигармонической функции по формуле (3).

На рис. 1 представлены результаты вычислений для основной краевой задачи для полигармонической функции третьего порядка (11) в эллипсе с полуосями a = 1, b = 0,75; p = 5,526 - периметр этого эллипса. Зависимость заданных краевых значений функций u, un, unn от s/p показана на рис. 1, а, б, в сплошными линиями, а график функции u показан на рис. 1, в штриховой линией. Результаты вычислений в узловых точках при N = 40 изображены на рис. 1, г, д, е точками; сплошные линии - графики функций, найденных аналитически.

Рис. 1. Результаты численного решения основной краевой задачи

На рис. 2 черными линиями показаны графики зависимости от числа граничных элементов N средней относительной погрешности, вычисляемой по формуле (10), для функций VI, Ы2, V2; серыми линиями изображены графики функции c/N2, где c - некоторая константа. Из графиков видно, что с уве-

личением числа N граничных элементов погрешность убывает как \/Ы2, а также что уже при небольшом значении N можно говорить о высокой точности предложенного метода.

35 30 25 20 15 10 5

2030 40 50 60 70 80 ЭО N

2030 40 50 60 70 80 90 N

2030 40 50 60 70 80 90 N

Рис. 2. Графики средних относительных погрешностей основной краевой задачи

5.2. Задача Дирихле в двусвяз-ной области. Рассмотрим теперь задачу Дирихле для бигармонического уравнения в двусвязной области, ограниченной двумя эллипсами, фокусы которых лежат на оси абсцисс:

дГх :

дГ2

X = а1 0081 + х0, у = -6^ г,

х = а2 008 г,

I е[0,2я), г е[0,2я).

Рис. 3. Двусвязная область, ограниченная эллипсами

[ у = ^т г,

На рис. 3 изображена такая область при значениях а] = 1, Ъ\ = 0,75, Хо = 0,5, а2 = 2, ¿2 = 1,5.

В качестве эталонной выбрана бигармоническая функция

и = х3 (х2 - 5у2 ) + ху (х2 + у2 ). (12)

По ней составим граничные условия задачи Дирихле: заданные граничные значения функции (12) и ее лапласиана и1. Искомыми согласно формуле (3) при п = 2 являются вспомогательные функции у0, у1 .

На рис. 4, а, б показано сравнение результатов численного решения задачи с аналитическими данными, полученными из функции (12). Здесь представлена зависимость функций у0, VI от нормированной дуговой координаты на границе области: значения функций на внешней границе изображены сплошными линиями, на внутренней - штрихпунктирными. Число граничных элементов на каждой границе N1 = N2 = 50.

В таблице приведены значения средних относительных погрешностей (10) на указанных эллипсах для различных значений числа граничных элементов.

Из таблицы видно, что с увеличением числа граничных элементов погрешность убывает. При этом можно заметить, что скорость убывания погрешности соответствует квадратичной сходимости, что согласуются с результатами, представленными на графиках относительных погрешностей на рис. 2.

Рис. 4. Результаты численного решения задачи Дирихле Средние относительные погрешности в задаче Дирихле

N1=N2 ЗМал) ЗМгл) БО^Ьв!) 8( Vl|8в2)

30 0,517 0,708 0,383 0,603

50 0,186 0,255 0,138 0,216

70 0,095 0,130 0,070 0,110

90 0,057 0,079 0,043 0,067

5.3. Задача Неймана в односвязной области. В эллипсе с полуосями а =1, Ь = 0,4 рассматривается задача Неймана для полигармонической функции четвертого порядка и = ху |х6 + у6^ , т.е. на границе области зададим значения функций V, уь у2, v3. Кроме того, для однозначности решения задачи Неймана необходимо также задать значение искомой функции и в некоторой заданной точке: пусть, например, и(а, 0) = 0. Искомыми являются граничные

значения вспомогательных функций и, и1, u2, u3. Зная граничные значения всех восьми функций, можно по формуле (3) определить значение искомой полигармонической функции четвертого порядка в любой точке области.

На рис. 5, а показана зависимость граничных значений функций v, v1, v2, v3 от нормированной криволинейной координаты s/p, на рис. 5, б, в, г, д - результаты вычислений. Число элементов на эллипсе N = 160; p = 4,603 - периметр эллипса. Граничные значения всех функций имеют период T = 0,5p и антисимметричны относительно s0 = T/2 = 0,25p.

а

0 0.05 0.1 0.15 0.2 , 0.25 0 0 05 0 1 0 15 0 2 , 0 25

s р s р

0.05

0.1

0.15

0.2 0.25 s/p

0.2 , 0.25 s/p

0.05 0.1 0.15

д

Рис. 5. Результаты численного решения задачи Неймана

На рис. 6 показана зависимость величин 5(и), 5(и1), 5(и2), 5(и3), вычисленных по формуле (10), от N (сплошная толстая линии); сплошными тонкими линиями изображены графики функции сШ2, где с - некоторая константа.

■ 5(^)1

■ 76-400/^

50 100 150 200

120 100 80 60 40 20 04

Ы

ä(Uj)-io3

124-400/ N2

50 100 150 200

3025 20 15 10 5

04

N

50 100 150 200

Рис. 6. Графики средних относительных погрешностей в задаче Неймана

Выводы. Для плоского случая проведена оценка точности численного алгоритма решения краевых задач для полигармонического уравнения, предложенного в [4, 6], и дана схема доказательства его сходимости. Показано, что указанный алгоритм обеспечивает хорошую сходимость. Рассмотрены тестовые примеры, в которых приведены графики и таблицы зависимости от числа граничных элементов средних относительных погрешностей искомых вспомогательных функций. Расчеты показывают, что с увеличением числа N граничных элементов погрешность убывает как c/N2.

Литература

1. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

2. Казакова А.О. Граничное интегральное представление полигармонической функции // Научный форум: Технические и физико-математические науки: сб. ст. по материалам XI Меж-дунар. науч.-практ. конф. М.: МцНо, 2018. С. 76-87.

3. Казакова А.О., Микишанина Е.А., Терентьев А.Г. Математическое моделирование в механике сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и их систем // Современные проблемы механики сплошной среды: тез. докл. Междунар. конф., посвященной памяти академика Л.И. Седова в связи со 110-летием со дня его рождения / Математический институт имени В.А. Стеклова; Российский фонд фундаментальных исследований. М, 2017. С. 116-118.

4. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 11. С. 2050-2059.

5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. СПб.: БХВ-Петербург, 2017. Т. II. 842 с.

6. Терентьев А.Г. Компьютерное моделирование решений полигармонических уравнений // Механика: современное состояние, проблемы, перспективы: материалы Всерос. науч.-практ. конф., посвященной 95-летию первого ректора Чувашского госуниверситета С.Ф. Сайкина. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. С. 174-185.

7. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1987. 80 с.

8. Терентьев А.Г., Казакова А.О. Применение полигармонических функций к решению двумерных задач теории упругости // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сб. докл. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2015. С. 3703-3706.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физ-матлит, 2008. Т. III. 728 с.

КАЗАКОВА АНАСТАСИЯ ОЛЕГОВНА - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (kazakova_anastasia@bk.ru).

A. KAZAKOVA

ON THE CONVERGENCE OF NUMERICAL LINEAR BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR SOLVING POLYGARMONIC EQUATION

Key words: polyharmonic equation, numerical solution, linear boundary elements, error estimation, rate of convergence.

Estimates of the accuracy of the numerical linear boundary element method for the solution of plane problems for a polyharmonic equation are obtained. The proof of the convergence of this method was carried out in two stages: 1) the estimation of the error in

calculating the values of the desired functions when going from a plane domain to a polygon; 2) the proof of the convergence of integral sums in a system of linear algebraic equations to integrals in relations for polyharmonic functions. It is shown that the method provides good convergence for the class of problems under consideration. Test examples are given, and graphs and tables of relative errors of the unknown functions, depending on the number of boundary elements, are constructed.

References

1. Brebbia K., Walker S. Boundary Element Techniques in Engineering, Newnes-Butterworths, London, 1980 (Russ. ed.: Primenenie metoda granichnykh elementov v tekhnike. Moscow, Mir Publ., 1982, 248 p.).

2. Kazakova A.O. Granichnoe integral'noe predstavlenie poligarmonicheskoi funktsii [The boundary integral representation of polyharmonic function]. Nauchnyi forum: Tekhnicheskie ifiziko-matematicheskie nauki: sb. st. po materialam XI Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. [Proc. of Int. Sci. Conf. «Scientific forum: Technical and physical and mathematical sciences»]. Moscow, 2018, pp. 76-87.

3. Kazakova A.O., Mikishanina E.A., Terent'ev A.G. Matematicheskoe modelirovanie v mekhanike sploshnykh sred s ispol'zovaniem poligarmonicheskikh uravnenii i ikh sistem [Mathematical modeling on continuum mechanics with using of polyharmonic equations and systems of those]. Sovremennye problemy mekhaniki sploshnoi sredy: tez. dokl. Mezhdunar. konf., posvyashchennoi pamyati akademika L.I. Sedova v svyazi so 110-letiem so dnya ego rozhdeniya [Proc. of Int. Sci. Conf. «Modern problems of continuum mechanics»]. Moscow, 2017, pp. 116-118.

4. Kazakova A.O., Terent'ev A.G. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlyapoligarmoniches-kogo uravneniya [Numerical solution of the boundary-value problems for polyharmonic equation]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Journal of computational mathematics and mathematical physics], 2012, vol. 52, no. 11, pp. 2050-2059.

5. Smirnov V.I. Kurs vysshei matematiki [Course of higher mathematics]. St. Petersburg: BKhV-Peterburg, 2017, vol. 2, 842 p.

6. Terent'ev A.G. Komp'yuternoe modelirovanie reshenii poligarmonicheskikh uravnenii [Computer modeling of solutions of polyharmonic equations]. Mekhanika: sovremennoe sostoyanie, problemy, perspektivy: materialy Vseros. nauch.-prakt. konf., posvyashchennoi 95-lrtiyu pervogo rektora Chuvashskogo gosuniversiteta S.F. Saikina [Proc. of Rus. Sci. Conf. «Mechanics: current state, problems, prospects»]. Cheboksary, Chuvash State Univesity Publ., 2009, pp. 174-185.

7. Terent'ev A.G., Afanas'ev K.E. Chislennye metody v gidrodinamike [Numerical methods on the hydrodynamics]. Cheboksary, Chuvash State Univesity Publ., 1987, 80 p.

8. Terent'ev A.G., Kazakova A.O. Primenenie poligarmonicheskikh funktsii k resheniyu dvumernykh zadach teorii uprugosti [The application of polyharmonic functions to the solution of two-dimensional problems of the theory of elasticity]. XI Vseros. s"ezd po fundamental'nym problemam teoreticheskoi i prikladnoi mekhaniki: sb. dokl. [Proc. XI Rus. Congress on Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics]. Kazan, 2015, pp. 3703-3706.

9. Fikhtengol'ts G.M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya [Course of the differential and integral calculus]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, vol. 3, 728 p.

KAZAKOVA ANASTASIYA - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Actuarial and Financial Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

Формат цитирования: Казакова А. О. О сходимости численного метода линейных граничных элементов для решения полигармонического уравнения // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 3. - С. 206-216.