Применение метода коллокации к решению основной краевой задачи для полигармонического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

GILEV ANTON YURYEVICH - assistant of Chair of Computer Science and Information Technologies in Education, Birsk Branch of Bashkir State University, Russia, Birsk

МОРОЗКИН НИКОЛАИ ДАНИЛОВИЧ - доктор физико-математических наук, ректор, Башкирский государственный университет, Россия, Уфа (morozkin@bashedu.ru).

MOROZKIN NIKOLAY DANILOVICH - doctor of physical and mathematical sciences, rertor, Bashkir State University, Russia, Ufa.

ЧУДИНОВ ВАЛЕРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и прикладной математики, Бирский филиал Башкирского государственного университета, Россия, Бирск (chudinovvv@rambler.ru).

CHUDINOV VALERIY VALENTINOVICH - candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor of Mathematical Analysis and Applied Mathematics Chair, Birsk Branch of Bashkir State University, Russia, Birsk.

УДК 517.95 ББК 22.161.6

А.О. КАЗАКОВА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ К РЕШЕНИЮ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Ключевые слова: оператор Лапласа, полигармоническое уравнение, краевая задача, односвязная область, конформное отображение, ряд Тейлора, метод коллокации, система линейных алгебраических уравнений.

Решена основная краевая задача для полигармонического уравнения в односвязной области. Для аналитического решения используется конформное отображение внутренности области на единичный круг. Искомая n-гармоническая функция представляется через n аналитических функций комплексного переменного, каждая из которых отыскивается в единичном круге в виде ряда Тейлора. Для вычисления коэффициентов ряда предложен численный метод коллокации. Рассмотрены примеры, дано сравнение результатов численного расчёта и аналитических данных.

A.O. KAZAKOVA

THE APPLICATION OF THE COLLOCATION METHOD TO A SOLUTION OF THE BASIC BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE POLYHARMONIC EQUATION

Key words: Laplacian, polyharmonic equation, boundary value problem, simply connected domain, conformal map, Taylor series, collocation method, system of linear algebraic equations.

The basic boundary value problem for the polyharmonic equation in a simply connected domain has been solved. The conformal map of the domain’s interior to the unit disk is used to the analytic solution. The required n-harmonic function is represented by n analytic functions of complex variable every of which is found as Taylor series in the unit disk. The numerical collocation method for the calculation of series coefficients has been suggested. The examples have been considered and the numerical results and analytic data have been compared.

Наиболее подробно эллиптические уравнения высших порядков рассмотрены И.Н. Векуа с использованием аппарата теории аналитических функций. Применение теории функций комплексного переменного к решению бигармонических уравнений в двумерных задачах теории упругости рассмотрено ранее Г.В. Колосовым,

Н.И. Мусхелишвили и др. Решение бигармонического уравнения с применением метода коллокации рассмотрено в работах А.Г. Терентьева (например, [5]) при исследовании движения цилиндра в ограниченной жидкости. Нами предлагается компьютерное моделирование численного решения полигармонического уравнения, полученного с использованием интегральной формулы Грина сведением к системе интегральных уравнений [3].

В настоящей работе основная краевая задача для полигармонической функции сведена к системе линейных алгебраических уравнений на границе области. Решение

этой системы численным методом коллокации даёт достаточно точные результаты, что подтверждается примером, представленным в данной работе.

§ 1. Постановка основной краевой задачи для полигармонического уравнения. Необходимо найти функцию и(х, у), удовлетворяющую в односвязной области Б полигармоническому уравнению Дим = 0, непрерывную вместе со своими производными до (п - 1)-го порядка включительно в Б = Б и дБ и удовлетворяющую на границе дБ условиям:

A SD = 8o(s)

д ки

дпк

= gk (s), s eдD, (к = 1, n -l),

(1)

dD

д

где------производная по направлению внешней нормали к границе области. Здесь

дп

д

д

д

А = —2 + —7 =--------— (2 = х + У 2 = х ~ ІУ)- оператор Лапласа.

дх ду д2д2

§ 2. Аналитическое решение. Непосредственным интегрированием полигармонического уравнения можно получить, что вещественная я-гармоническая функция и представима через я аналитических функций комплексного переменного:

я-1 , 1 я-1г ______,

и(2) = Яе X 2кфк (2) = ~2 Ьфк (2) + 2 фк (2)] . (2)

к=0 2 к=0 Этот же результат в несколько ином виде получен И.Н. Векуа.

Пусть Б - односвязная область. Если конформно отобразить область Б плоскости 2 на единичный круг плоскости С, то задача сведётся к нахождению я аналитических функций фк(С) (к = 0, я -1), которые можно представить в виде рядов Тейлора с комплексными коэффициентами:

<*> п N ______

фк (С) =Е а(тк )Ст (к = 0, я -1). (3)

Обратная отображающая функция 2(0) и её степени также представимы в виде степенных рядов:

2 (О = 2 m, z(0 = 2

а2

» ------- о ь(к)

-аm, 2k (o =2 ьтхm, 2k (o =2 T-mmam, (4)

где b0k) = c0,

b(k ) = 1 m (ik - m + ¡)c.h(k )

на2

-2 (ik - m + i)cib[m-i при m > 1.

mco i=i

Последнюю формулу можно найти, например, в [1. C. 17].

Подставив разложения (3) и (4) в (2), после некоторых преобразований получим:

1 n-1 О)

a(Q = 2АРаp, Ap =-2 2в.

(k ) mp

(5)

Здесь

B(k) = mp

b-k)

,(k )

ICI2

(k) |C I2(m-p) a (k)

m - p ’

bik)|Ch *

b (k ) a (k ) u0 a p *

b0k ) a -? ICI-2 p,

b0o 0,

b (k ) a (k ) + b (k ) a (k ) u0 a0 ^^0 a0 *

k=0 m=-»

m < 0; m < p, m > 0; m > p, p > m = 0, p < m = 0,

p = m = 0, m (m - p) < 0.

2

2

m=0

c

m=0

m=0

Теперь необходимо перейти от граничных условий (1) в плоскости г к граничным условиям в плоскости

du

dn1

U си = ~о(е'е)=go(z(e‘e));

= ~і(е'е) = gi( z(e'e ))| z'(e‘e )|;

Kl=l

d n~—u

^ n

dni

=)=4\r u

ich

ICH

du

Подробно остановимся на первой производной по нормали. Пусть-----------производ

dn

du

ная в плоскости z, а----в плоскости C. По определению нормальной производной:

dn

du

dn

du

= (Vu • n) = |Vu|• |n|cos(Vu,n), -----= (V1u •n1 ) = |V1^• |n!cos(Vu,n1)

dn1

( 9и 9м | (9и 9и Л

где у и = I —,— I - градиент функции и в плоскости г; у1и = I —,— I - градиент

^ 9х 9у) ^ 9£ 9^ )

функции и в плоскости Тогда

У ( 9и 9х + 9и 9у 9и 9х + 9и 9у I

1 |9х 9£, 9у 9| ’ 9х 9^ 9у 9^|

Обратная отображающая функция г(0 является аналитической, поэтому

./„ч 9х 9у 9у 9х

г' (С) = — + / — = —-1— ,

4 ' 9£ 9^ 9^ 9^

а значит,

lViul =

dd^Re z'(C) +-d^Imz'(C)l +(/‘drRe z'(C) —dxImz'(C)^ =

dx dy ) ydy dx )

■■ л/Re2 z ' (C) + Im2 z ' (Q = |Vu||z ' (C)|.

Учитывая теперь, что |n| = |nj = 1, а также что при конформном отображении имеет место консерватизм углов и поэтому cos(Vu, n) = cos(Vu, n1), получим окончательно

z' (eie )| = gi( z(ete ))| z' (eie )|.

du

dn

|C|=1

du

dn

Несложно показать, что производные по внешней нормали единичного круга

Р!

dku dku

dnk dpk p=—» p (p — k)!

= Z Ap

C p—keM

k = 1, n—1,

(6)

іде p = |C|.

Разложим теперь в ряды функции

ад ______

~ (е®) = Е 5Р^, к = 0,п -1

р=-ад

и удовлетворим краевым условиям, полагая в (5) и (6) ^ = ев. Приравнивая коэффициен-

р!

ты при е 1ре, получаем бесконечную систему линейных уравнений Ар--------------------1— = 5 Р),

______ (Р - к)!

к = 0, п -1, р е 2 относительно неизвестных коэффициентов а^). В полученных таким

образом линейных уравнениях необходимо выделить действительные и мнимые части

коэффициентов. При этом линейность системы не нарушается, и её можно решить известными методами, сохранив конечное число коэффициентов.

При кажущейся простоте метода реализация его сопряжена с рядом трудностей, связанных с конформным отображением односвязной области на единичный круг, с разложением отображающей функции в ряд Тейлора и решением бесконечной системы линейных уравнений.

§ 3. Нахождение коэффициентов численным методом коллокации. Метод коллокации предусматривает выполнение краевых условий лишь в конечном числе отдельных (коллокационных) точек границы. Обозначим через (д = 1,2Ы) колло-кационные точки на границе 9Б. Сохраним в рядах (3) по N членов:

N ... ______

Фк (С) =Е ~(к )Л т

т=1

% m (k = 0, n-1). Искомая функция и может быть представлена в виде:

(7)

1 n—1 N Г

(С)=-

2 k=0 m=1

(k )f(k)

(k) Ak)

(C)],

где йк\С) = гк (С)Ст.

Общее число неизвестных вещественных и мнимых частей коэффициентов равно 2пЫ. Пронумеровав эти коэффициенты от 1 до 2пЫ:

Яе ~10), т = 1, N,

С„ =

Im ~(0)

ШШт-N>

Re a!n—-2N, (1)

m-3N>

m = N + 1, 2N,

m = 2N +1, 3N,

Im a

m = 3N +1, 4N,

a( n -1)

m-(2n-2)N>

m = (2n - 2)N +1, (2n -1)N,

[Im Of--2U N, m = (2n -1)N ,2nN,

можно представить искомую функцию в виде ряда

2nN

и(С) = Z CmFm (С),

(8)

где

Fm (С) =

Re ГЧС),

- Im f™ (С),

Re /i-)2N (С),

- Im/-3N (С),

Re /^U n (С),

= 1, N,

m = N +1, 2 N,

m = 2 N +1,3N,

m = 3N +1, 4N,

(9)

m = (2n - 2)N +1, (2n -1)N,

г Im/m--2UN (С), m = (2n -1)N, 2nN.

Разобьём единичную окружность на 2N частей и получим 2N коллокационных

точек С q = e q, Tq = тс q / N. Введём следующие обозначения:

,(*) _

Fm(k чс)=

= Ok (Cq), k = 0, n -1, q = 1, 2N, dkF„ (C) = dkFm (C),

dnf dpk

k = 0, n -1, m = 1, 2nN,

Lmq = F,f> (cq ) k = 0, n -1, m = 1,2nN, q = 1,2N.

m=1

Далее

Mqm =

N,

q = 1, 2 N,

q = 2N +1, 4N,

m = 1, 2nN,

м(иЧ)

q—2(n—1)N * r(0) mq L(1) m,q—2N *

q = 2(n — 1)N +1, 2nN, q = 1, 2 N,

(11)

q = 2 N +1, 4 N,

m = 1, 2nN.

A“—V1)N, q = 2(n — 1)N +1, 2nN,

D .,,(*) T(k)

Все значения uq' и L'mq легко вычисляются, и значит, наша задача сводится к

системе линейных алгебраических уравнений U = MC для нахождения неизвестных коэффициентов Cm. Решение запишется в матричной форме

C = M—1U . (12)

Коэффициенты рядов (7) вычисляются через компоненты вектора C по формулам:

am '> = Cm+2kN + iCm+(2k+1)N , (k = 0, n —1) . (13)

Примеры 1. В качестве примера аналитического решения рассматривается следующая задача: найти функцию u(x, y), удовлетворяющую в круге радиуса R уравнению Д3и = 0, непрерывную вместе со своими производными до 2-го порядка включительно в |z| < R и удовлетворяющую на границе |z| = R условиям:

u\\z|=R = R5 C0SQsin0(cos3 9 + sin3 9),

= 5R 4 cos 9sin 9(cos3 9 + sin3 9),

du

dn

d 2u

z |=R

= 20R3 cos 9sin 9(cos3 9 + sin3 9).

|z|=R

0 <9 < 2л

(14)

В силу (2) и (3) решение ищется в виде:

и(z) = Яе[ф0 (z) + Гф1 (z) + z2ф2 (z)],

Ф^ ^(С)) = ф£ (Q) = z(am) ) )Q m (k = 0,2).

(15)

(16)

Обратная отображающая функция z(Q = RQ. Подставив теперь (16), отображаю щую функцию и Q = p(cos9 + /sin9) в (15), получим:

и = (pa01) + p3a(2)) cos 9 + (pP01) +p3pf2)) sin 9 + p2a02) cos29 + p2p02) sin29 +

+ ¿{(A01+p2an+1 +p4an+2 )pn cos n9—(РП0) +p2Pn?1 + p4Pn+2 )pn sin n9\

(17)

С учетом, что П1 = (соб9, 8ш9), первая и вторая нормальные производные функции (17):

du

dni

= (a01) + 3p2a(2) )cos9 + (p01) + 3p2p(2) )sin 9 + 2pa 02) cos29 + 2pP02) sin29 -

+ E

m=0

na

(0)

+ p(n + 2)an'+1 + p3(n + 4)an2)2 |pn cosn9 —

(2)

p

nP(n0) p

+ p(n + 2)P(„1_+1 + p3(n + 4)Pn+2 |pn sinn9

d 2u dn12

= 6pa(2) cos 9 + 6pP(2) sin 9 + 2a 02) cos29 + 2P02) sin29 +

3(2)

(2),

^(2)<

+ E

m=0

n(n — 1)a

(0)

+ (n + 2)(n + 1^^+ +p2(n + 4)(n + 3)an2_'l2 |pn cosn9 —

p

n(n — 1)P p3

(2)

(0)

(19)

+ (n + 2)(n + 1)P(n1+1 +p2(n + 4)(n + 3)Pnz+)2 |pn sinn9k

(2)

Граничные условия (14) в плоскости Q после преобразований примут вид:

(113 3 1 1 I

ul,Q|=, = R51 — cos9+— sin9-cos39+-sin39+-cos59+-sin59 I

l|Q=1 18 8 16 16 16 16 )

du

dn1

d 2u

= R51 — cos 9 +—sin 9 — —cos39 + —sin39 +—cos59 +—sin50

dn12

16

16

16

16

= R51 —cos 9 +—sin 9 —15 cos39 +15 sin39 +—cos59 + —sin59

|С|=1

2

2

4

4

4

4

(20)

0 < 9 < 2л

Положив теперь в (17)-(19) р = 1 и приравняв полученные выражения правым частям соответствующих равенств (20), получим систему линейных алгебраических уравнений, решив которую найдём следующие значения коэффициентов в разложениях (16):

a 01) = —a1(0);

a(2) = —a 21);

a32) =

R

a® = —

3R

1б

a50) =

R

P01) = Pi(0); P(2) = P(21); p32) = —

R-

P41) =—3R

p50)=—.R

16

5

16

16

Все остальные коэффициенты равны нулю. Подставив теперь эти коэффициенты в (17), получим выражение для искомой полигармонической функции 3-го порядка:

^соб 9 + 9 -—соб39 +—бш39 +—соб59 +—бш59

! 8 16 16 16 16

u(Q) = R5p5

С учётом, что z = re1 = Rpe' , в плоскости z искомая функция:

( 1 1 3 3 1 1

u( z) = r51 — cos 9 +—sin 9-----cos39+---sin 39+----cos59 +---sin 59

18 8 16 16 16 16

или

u = xy(X + y3).

Таким образом, искомая функция найдена.

Пример 2. В качестве примера, иллюстрирующего метод коллокации для нахождения коэффициентов искомой функции, рассмотрим основную краевую задачу для поли-гармонической функции 3-го порядка в плоской области, ограниченной лемнискатой Бута. Эта кривая задаётся уравнением (х2 + у2)2 = а2х2 + Ь2у2, где а и Ь - некоторые параметры. Кроме того, может быть получено параметрическое уравнение лемнискаты Бута:

x(t) =

y(t) =

ab cost

a2 sin21 + b2 cos21

?2bsin t

(t = 0,2 л)

a2 sin21 + b2cos21

Пусть рассматриваемая область В ограничена лемнискатой Бута с параметрами

4 4

а = —, Ь =— (рис. 1).

5 3

8

Граничные условия зададим, полагая, что

и = ху(х3 + у3) - искомая функция. Легко проверить, что она является полигармонической третьего порядка, и для неё могут быть найдены первая и вторая производные по внешней нормали лемнискаты Бута.

Отображающая функция, осуществляющая конформное отображение единичного круга на область, ограниченную лемнискатой Бута, имеет вид (см., например, [2]):

2 рС

*(С) =

С2 + р2

р=

а + Ь Ь - а

(21)

Рис. 1. Лемниската Бута с параметрами а = 4/5, Ь = 4/3

Будем приближённо искать функцию и в виде (8). Коэффициенты Ст этой функции найдём численным методом коллокации при N = 50. В качестве коллокаци-

па п -----

онных точек выберем С а =-----------, а = 1,100. Значе-

* а 50 150 4

ния элементов матриц М и и находим по формулам (9)-(11), а искомые коэффициенты - по формулам (12)-(13). Расчёты показывают, что полученное решение на границе области практически совпадает с заданными граничными условиями.

Рассмотрим поведение найденной функции внутри области. Каждой окружности 1С1 = Р (Р < 1), лежащей внутри единичного круга в плоскости С, функция (21) ставит в соответствие замкнутую кривую, лежащую внутри области В плоскости г. Задавая различные значения р е [0, 1], можно проследить, как ведёт себя найденная функция внутри области В.

На рис. 2 представлены

1-[------------------ж-------------------------- графики зависимости функции и

от нормированной дуговой координаты в/р для различных фиксированных значений р е [0, 1]: сплошными линиями изображены точные графики заданной функции, а точечными линиями - графики функции, найденной в виде ряда (8) с применением метода коллокации. Нетрудно убедиться, что функция и является антипериодической с периодом 0,5р. Из графиков видно, что предложенный метод даёт высокую точность как на границе области, так и внутри неё. С приближением значений аргумента к границе области значения найденной функции приближаются к значениям функции, заданной на границе. Расчёты, проведённые Рис. 2. Результаты решения задачи для Ж = 20 и Ж = 40, показывают,

из примера 2: спл°шные линии что с увеличением числа колло-

соответствуют точным графикам заданной функции,

ж ж кационных точек точность мето-

точечные линии - графикам функции,

найденной с применением метода коллокации да возрастает.

О 8

0.4

0 2

-02

-0 4

-0 6

-0.8

Выводы. Предложенные в данной работе методы решения основной краевой задачи для полигармонического уравнения справедливы, очевидно, только для односвязных областей, для которых конформное отображение на единичный круг известно или может быть найдено. Следует, однако, заметить, что к настоящему времени некоторыми авторами разработаны приближенные методы нахождения отображающих функций с любой наперед заданной точностью. Численный метод коллокации, применяемый в данной работе, как известно, не имеет строгого математического обоснования, однако он широко используется в работах некоторых авторов (например, [4, 5]), так как он прост для численной реализации и даёт достаточно высокую точность.

Автор выражает благодарность за оказанную помощь доктору физико-математических наук, профессору Терентьеву Алексею Григорьевичу.

Литература

1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 1232 с.

2. Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. М.: Едиториал УРСС, 2002.

3. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармониче-ского уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 11. С. 2050-2059.

4. Смирнов Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза: Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. 268 с.

5. Терентьев А.Г., Терентьев А.А. Движение цилиндра в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Известия НАНИ ЧР. 2002. № 2. С. 44-62.

КАЗАКОВА АНАСТАСИЯ ОЛЕГОВНА - аспирантка кафедры теоретической механики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (kazakova_anasta-sia@bk.ru).

KAZAKOVA ANASTASIA OLEGOVNA - post-graduate student of Theoretical Mechanics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 517.968 ББК В151.167

Ю.В. МАЛЫШЕВ. П.С. АТАМАНОВ ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ключевые слова: линейное интегральное уравнение, ядро, резольвента, оператор. Операторный метод применяется для решения однородных, неоднородных линейных интегральных уравнений.

Yu.V. MALYSHEV, P S. ATAMANOV THE OPERATOR METHOD FOR SOLUTION THE INTEGRAL EQUATIONS

Key words: linear integral equation, operator, resolution.

Operator method is used for solution the homogeneous and nonhomogeneous linear integral equations.

Операторным методом авторами статьи получены формулы решения некоторых линейных интегральных уравнений.

1. Уравнение Вольтерра 2-го рода. Рассматривается интегральное уравнение

ф(х) = f (x) + |K (x,t)9(t) dt, (1)

о

где ф(х) - искомая функция; K(x, t) - функция, называемая ядром уравнения, определенная в треугольнике a < х < b, a < t < х; fx) - функция, называемая свободным членом, определена на [a, b].