Дискретизация условий однозначности перемещений в плоской задаче теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 004.942:510.67:539.3.01]:519.6 ББК В12:В251.1]:В193

АО. КАЗАКОВА, А.Ю. ИВАНИЦКИЙ

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УСЛОВИЙ ОДНОЗНАЧНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Ключевые слова: математическое моделирование, плоская задача теории упругости, численный метод граничных элементов, многосвязная область, условия однозначности перемещений, свойства гармонической функции.

Рассмотрены математическая модель плоской задачи теории упругости в напряжениях и численный метод ее исследования. Показан переход от механической постановки задачи к граничным условиям для бигармонической функции напряжений. В случае многосвязной области эти граничные условия содержат по три неопределенные константы на каждом из ее внутренних контуров. Для нахождения этих констант предложено использовать условия однозначности перемещений, которые содержат интегралы по внутренним контурам области. Проведено преобразование указанных интегралов в суммы, линейные относительно дискретных значений лапласиана функции напряжений и его нормальной производной, что необходимо для возможности реализации численного решения исследуемой задачи. Проведено тестирование разработанного метода на примерах односвязной и двусвязной областей.

Среди элементов несущих конструкций, используемых в техническом строительстве, встречаются тела сложной формы, к которым относятся пластины, оболочки, массивы деформированного основания под сооружением и др. Часто в строительной и технической механике приходится иметь дело с обширным и важным с точки зрения приложений классом задач, в которых на форму тела и на приложенные к нему внешние силы можно наложить ограничения, приводящие к плоской задаче теории упругости [1].

Плоская задача теории упругости включает в себя задачи плоского деформированного и плоского напряженного состояния, которые объединяются схожей математической формулировкой. Определение упругого равновесия в плоской задаче теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения. Первые основополагающие результаты в этом направлении были получены в фундаментальных исследованиях Г.В. Колосова и Н.И. Мусхе-лишвили. Затем различными авторами было рассмотрено значительное количество задач для областей частного вида. К сожалению, не всегда удается получить аналитические результаты, приемлемые для вычислений. Поэтому актуальным остается вопрос разработки численных методов, в частности, может быть применен метод граничных элементов [2].

В работах [6, 8] для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях в произвольной многосвязной области был применен численный алгоритм решения краевых задач для полигармонического уравнения, основанный на методе граничных элементов [4]. Искомой является одна бигармони-ческая функция напряжений Эри, через которую выражаются напряжения и деформации. При переходе от механической задачи к математической модели, в граничных условиях для этой функции появляются дополнительные неопределенные константы интегрирования. Если область, в которой рассматривается задача, является односвязной, то эти константы можно положить

равными нулю, так как они входят в линейную часть функции Эри, не влияющую на распределение поля напряжений. В случае же многосвязной области граничные условия на каждом контуре содержат по три константы. На одном контуре (например, на наружном) их по-прежнему можно положить равными нулю, постоянные на других (внутренних) контурах не могут быть выбраны произвольно [3].

Уравнения для нахождения неизвестных констант можно получить из условий однозначности перемещений, которые содержат интегралы по контурам области. Для возможности реализации численного решения задачи эти интегралы необходимо преобразовать в суммы, линейные относительно дискретных значений лапласиана функции Эри и его нормальной производной. Настоящая статья посвящена построению такой дискретизации указанных условий.

1. Математическая модель плоской задачи теории упругости в напряжениях. Пусть задана произвольная (вообще говоря, многосвязная) плоская область Т и пусть ее граница дТ задана уравнениями х = х(5), у = у(5), где 5 - дуговая координата (8 е дТ). Искомыми являются компоненты схх, сху, суу тензора напряжений с внутри области Т. На границе заданы нормальное и касательное напряжения рп(5) и Рх(5), которые связаны с вектором Р = [рх(5), Ру(5)] внешнего напряжения равенствами

Рх = Рпху + Рххх, Ру = Рхху - Рпхх, где хх = х[, ху = у[— компоненты касательного единичного вектора.

Вектор р на границе выражается через компоненты тензора с:

с х —с х = Р , с х —с х = Р . (1)

хх у ху х -гх' ху у уу х г у У '

Равенства (1) - граничные условия для определения поля напряжений.

Если интенсивность объемных нагрузок, под действием которых находится тело, равна нулю, то существует функция ф, называемая функцией напряжений, такая что напряжения, возникающие внутри области Т , выражаются через нее формулами

д2ф д2ф д2ф с =——, с „ =--, с =——. (2)

™ ду дхду дх2

Известно (см., например, [7]), что эта функция является бигармонической, т.е. удовлетворяет дифференциальному уравнению

А 2ф = 0, (3)

где А = д2 / дх2 + д2 / ду2 — оператор Лапласа.

Граничные условия (1) с учетом (2) преобразуются к виду

д2ф д2ф д (дф^ . д2ф д2ф д (дф^ . . ... х' ^х = = Рх (5), Г"9 х х —^тЧ = ——1^1 = Ру (5,(4)

х„ +--—х„ =-

ду дхду д5 ^ ду) дх дхду д5 ^ дх

что позволяет выразить частные производные функции напряжений:

дф = — |Ру СФ5 + с^ ^ = 1 Рх(5)^5 + c1, дх 0 ду о

где С1, С2 - неопределенные константы интегрирования.

Тогда можно записать выражения для нормальной и касательной производных функции напряжений:

1Г=1гх * х х = - у'4 Ру № - К [ р* № + С1 ус2 К,

дп дх ду

(5)

дГ = дГТх +"дГху = -х'4 Ру (^ + У'4 Рх (^ + СХ + С2у', . (6) д, дх ду 0 0

Из равенства (6) интегрированием по частям определяется функция напряжений на границе области Т

+х(я)

о

ф(,) = !(х(,)Ру (,) - у(,)Рх (,)) +

о

, Л Г ,

С-{Ру+ у(,) С2 +|Рх

(7)

+ С3.

где С3 - третья неопределенная константа интегрирования.

Таким образом, математическая модель плоской задачи теории упругости описывается краевой задачей для бигармонического уравнения (3) с граничными условиями (5) и (7), т.е. на границе области Т с точностью до трех констант, возникающих на каждом контуре, определены значения функции напряжений и ее нормальной производной. Такая постановка называется основной краевой задачей для бигармонического уравнения.

2. Условия для нахождения неопределенных постоянных, входящих в граничные условия. Как упоминалось ранее, если область Т является од-носвязной, то константы С1, С2, С3 можно положить равными нулю, так как они входят в несущественную для распределения поля напряжений линейную

т

часть функции ф. В случае (т + 1)-связной области, когда дТ = | (дТ)к на

к=0

одном, например наружном, контуре (дТ)0, их по-прежнему можно положить равными нулю, на других контурах константы не могут быть выбраны произвольно. Уравнения для нахождения этих констант можно получить из условия однозначности перемещений.

Перемещение некоторого элемента области задается поступательным перемещением и = (их, иу) и поворотом относительно оси г [5]. Перемещения их и иу определяются равенствами (см., например, [7]):

= -0 Г-^ф + Кр

20 { дх

1

иу =-

у 20

^ дф Л

А + КЦ

ду

(8)

где О - константа, называемая модулем сдвига, зависящая от материала; К = (1 + V)-1 (в случае плосконапряженного состояния) и К = 1 - V (в случае плоской деформации); V - коэффициент Пуассона материала; р и ц - сопряженные гармонические функции, такие, что

ф =д±=Дф дР=-д±

дх ду ' ду дх

В силу однозначности функции их интеграл от ее полного дифференциала по замкнутому внутреннему контуру границы области Т должен быть равен нулю, следовательно:

+ Кр ) = - <£ №Сх + ^с!у) + К <£ (^Сх ^йу \ =

(ЭТ)к ^ 8х * ) (эТ)к8х8У " ) (эТ)к дУ )

= | ру - К | ¡—Су -81сх|= | ру - К | = о, к = 1, т,

(ЭТ)к (ЭТ)к \Эх 8у ) (ЭТ)к (ЭТ)к 8п

откуда

| —Сз = -К |рук = 1, т . (9)

(ЭТ )к 8п К (ЭТ)к

Аналогично, из второго равенства (8) следует

—Сз = —1 | рх (s)ds, к = 1, т. (10)

(ЭТ)к Эп К (ЭТ)к

Угол поворота относительно оси г выражается через частные производные компонент поступательного перемещения по формуле [5]

8д Эр | К 8д

1 Г 8и у -8их ^ К

2 Эх 8у = 4О

Эх 8у) 2G Эх

откуда следует, что функция Q = — должна быть однозначной. Кроме того,

8х

несложно заметить, что Лф и Q являются сопряженными гармоническими функциями, поэтому

Q( з) = ¡dQ = Г Г 8-®Сх + ) = Г Г 8ЛФ Су -8ЛФ Сх ] = Г 8ЛФ Сз . (11)

0о 0о ^8х 8у ) 0о ^ 8х 8у ) 0о 8п

Из (11) получается третье условие, которое должно выполняться для однозначности перемещений:

ЭЛф Сз = 0, к = 1т . (12)

(ЭТ)к Эп

Итак, получены три уравнения (9), (10), (12) для нахождения трех неизвестных констант на каждом из внутренних контуров (ЭТ)к, к = 1, т (т + 1)-связной области Т, которые вместе с уравнением (3) и граничными условиями (5), (7) в полной мере описывают математическую модель рассматриваемой задачи.

3. Дискретизация условий однозначности перемещений. Для возможности реализации численного решения плоской задачи теории упругости целесообразно привести полученные условия (9), (10), (12) к линейным уравнениям, содержащим только неизвестные значения функций и = Лф и V = —.

8п

С помощью метода граничных элементов каждый из внутренних контуров (8Т)к, к = 1, т многосвязной области Т аппроксимируется мно-

гоугольником, состоящим из Ык линейных граничных элементов

(к)

к = 1, т , 1 = 1, Ык . Пусть Н(к) - длина граничного элемента 11к) и пусть внутри каждого граничного элемента выбрана контрольная точка Р(к). Тогда значения вспомогательных функций в контрольных точках:

и(р = и (р(к)), у(к) = V (Р(к)), у = Щ.

Пусть результирующая внешних сил, действующих на каждый внутренний контур, равна нулю. Это предположение соответствует большинству наиболее значимых с практической точки зрения постановок рассматриваемой задачи. Тогда условия (9), (10) примут вид

= 0, & ^ёя = 0, к = 1т . (13)

(дТ )к дП (дТ )к дП

Первое из равенств (13) дает:

& —ёя = & \—ёу-—ёх\ = & | иёу-—ёх\ = 0, к = 1, т,

(дТ)кдп (дТ)к\дх ду ) (дТ)кV ду )

или, после дискретизации,

Ык Ык _

Хи(к) & у[ё, + ХQf) & х[ё, = 0, к = 1,т , (14)

1=1 у У=1 у

где 0(к) - вектор-столбец значений функции Q = — в точках Р(к), у = 1, Ык .

дх

С учетом (11) элементы вектора 0(к) можно представить в виде

Q(к} =±У<(к} & ё,. ¡=1 }(к)

Тогда после преобразований (14) сводится к линейному относительно дискретных значений функций и и V уравнению

Ык _

X() ((к) - х(к))(к) +(у(+1 - у(к) )) ) = 0, к = 1, т, (15)

1=1

где (х(к), у(к)), (х(+1, у(+1)- координаты соответственно начальной и конечной точек граничного элемента Ь(к).

Далее, рассуждая аналогично, из второго условия (13) можно получить

X(( ( -у(к))к) + ( - х(к))к)) = 0, к = 1т. (16)

1=1

Наконец, условие (12) легко приводится к линейному относительно дискретных значений функции V уравнению

Ык Ык

X У(к} & ё, = 0 « X Н(к)У(к} = 0. (17)

1=1 1 1=1

Таким образом, для каждого внутреннего контура многосвязной области T получены три линейных уравнения (15)-(17), которые могут быть использованы при реализации численного решения плоской задачи теории упругости методом граничных элементов.

4. Пример решения задачи в односвязной области. Для иллюстрации утверждения о том, что в случае односвязной области неопределенные константы интегрирования в граничных условиях (5), (7) можно положить равными нулю, рассмотрим следующий тестовый пример.

Плоская задача теории упругости в напряжениях решается в односвязной

области, ограниченная эллипсом:

Гx = a cos t r ч ST: <¡ , t е[0,2я).

[ y = b sin t L 7

Для сравнения результатов численного расчета с аналитическими данными задается тестовая функция напряжений ф = (x + y )(x + y). По ней можно построить граничные условия плоской задачи теории упругости:

2ab cos2t + (3b2 - a2)sin2t 2ab cos2t + (b2 - 3a2) sin2t

' -, Py =--, , } , ' -. (18)

Px =-

Vb2 cos21 + a2 sin21

Vb2 cos21 + a2 sin21

Интегрируя граничные условия (18), можно получить (функцию, получаемую интегрированием, обозначим Ф)

= J(2ab cos 2t + (b2 - 3a2 ) sin2t )dt + C1 = ab sin2t - -—^ (cos 2t -1) + C1,

& JV ' 2

SO f/^ , „ /„l2 2\ . „ \ , „ , . „ 3b2 - a2

-=112ab cos2t + (3b - a ) sin 2t\at + C2 = ab sin2t--

Sy о У ' ' 2

откуда

(cos2t -1) + C2,

SO

Ss

(

ab sin 2t -

b2 - 3a2

f

ab sin 2t -

2

3b2 - a2

(cos2t -1) + C1

Л

a sin t

b

(cos 2t -1) + C2

2 2 , , 2 • 2 , cos t + a sin t

b cos t

Vb2cos21 + a2 sin21

После интегрирования последнего равенства получится: O = (a2 -b2)(a cos31-b sin31) +

+(( + b2 - 3a2 )a cos t + C2b sin t + a (la2 - Q ) + C3. Нормальная производная:

(19)

SO

Sn

(

ab sin 2t -

b2 - 3a2

(

ab sin 2t -

2

3b2 - a2

(cos2t -1) + Cj

b cos t

b

(cos2t -1) + C2

2 2 , , 2 • 2 , cos t + a sin t

a sin t

(20)

Vb2 cos21 + a2 sin21

Если положить С1 = 0, С2 = 0, С3 = 0, то можно получить следующие результаты для эллипса с полуосями а = 1, Ь = 0,75. На рис. 1, а изображены

графики зависимости граничных значений функций Ф (сплошная линия) и ф (штриховая линия) от нормированной дуговой координаты я, на рис. 1, б -графики граничных значений их нормальных производных.

О 0.2 0.4 0.6 О.О 1 0 0.2 0.4 0.6 0.В 1

а б

Рис. 1. Графики тестовой и расчетной функций и их производных по нормали

На рис. 2 показаны результаты численного решения задачи методом граничных элементов по граничным условиям (19), (20), а именно показана зависимость касательного напряжения <з%% = <зххх2х + 2<зхутхту + х2у от нормированной

дуговой координаты на эллипсах, лежащих внутри области Т: сплошные линии -точные графики, найденные по тестовой функции ф, точки - результат численного решения, полученного по граничным условиям для расчетной функции Ф.

ег

0 0.2 0 '4 0.Б 0.8 1

Рис. 2. Графики касательного напряжения внутри эллипса

Из представленных графиков видно, что граничные значения тестовой функции ф и расчетной функции Ф не совпадают, однако в случае односвяз-

ной области это не влияет на окончательное решение плоской задачи теории упругости и на распределение поля напряжений в силу формул (2).

Можно показать, что графики граничных значений функций ф и Ф и их нормальных производных совпадут, если положить

C =

дФ

дх

s=0

( 3х2 + 2 xy + y

C3 =Ф s=0 =(

x=a

y=0

= 3a2

Q =

■y2)(

дФ

dy

+y)

=x

( x2 + 2 xy + 3 y2)

s=0

x=a y=0

= a

x=a

y=0

= a

Очевидно, что при этом численное решение также даст совпадение поля напряжений, полученного по тестовой функции ф и по граничным условиям (19), (20) для расчетной функции Ф.

По результатам примера можно сделать вывод о том, что функции ф и Ф в случае односвязной области могут отличаться на линейную составляющую, т.е. константы С1, С2, С3 могут быть выбраны произвольно. При любых значениях этих констант будет получаться верное решение плоской задачи теории упругости.

5. Пример решения задачи в двусвязной области. Применение условий однозначности перемещений для численного решения в двусвязной области покажем на примере классической задачи Ламе.

Длинный полый цилиндр с радиусами а и Ь (а < Ь) находится под действием равномерного внутреннего ра и наружного рЬ давлений, т.е. выполнены граничные условия

Pn 1( дТ )j Pa

1( дТ )t

= - Pb,

P-\(дТ )j P-

l( дТ)(

= 0,

(21)

где

(дТ )i

Íx1 = a cos 0

f x0 = b cos 0 ,0е[0,2я); (дТ)0 :\ 0 . 0,0е[0,2я). [ y0 =b sin 0

[ y1 = -a sin 0

Необходимо определить функцию напряжений ф.

Точное аналитическое решение задачи описано, например, в задается функцией напряжений

[7]

и

Ф(Р) =

Paa - Pbb 2(b2 - a2)

Р +

(Pb - Pa ) ab

т2 2

b - a

ln p + C.

где р - полярный радиус; С - произвольное число, не влияющее на распределение напряжений.

Для решения задачи методом граничных элементов следует перейти по формулам (4)-(7) от граничных условий механической задачи к граничным условиям основной краевой задачи для бигармонического уравнения (константы интегрирования на наружном контуре (дТ)0 считаем равными нулю):

Ф(дТ) =C1acos 0 + C2a sin 0 + C3, ф

(дТ )0

= 0,

дф

дп

(дТ )i

где 0 - полярный угол.

= Paa - C1 cos 0 - C2 sin 0, —

дп

= - Pbb,

(дТ )0

Решая задачу методом граничных элементов с использованием линейных уравнений (15)-(17), находим значения вспомогательных функций и и V на границе области, а также неопределенные константы С1, С2, С3.

В силу осесимметричности задачи Ламе граничные условия (22) не должны зависеть от полярного угла, поэтому С1 = С2 = 0. Точное значение константы С3, как видно из (22), вычисляется по формуле: С3 = ф(Ь) - ф(а). Значения констант С1, С2, С3, найденные в ходе численного решения, соответствуют этим равенствам.

Далее, зная граничные значения функций и, V и значения С1, С2, С3, можно определить напряжения в любой точке области Т. В частности, на рис. 3 представлен график зависимости касательного напряжения схх от полярного радиуса для случая а = 4, Ь = 5, ра = 1, ръ = 2: сплошной линией изображен график, соответствующий точному аналитическому решению, точками - значения, найденные численно по методу граничных элементов.

СТ",

Рис. 3. График касательного напряжения внутри кругового кольца

Выводы. Математическая модель плоской задачи теории упругости описывается основной краевой задачей для бигармонического уравнения, причем граничные условия задаются с точностью до трех констант интегрирования на каждом контуре области. На одном из них эти константы могут быть выбраны произвольно. Для нахождения констант на остальных контурах области в статье получены три интегральных уравнения, которые необходимы для полного описания математической модели рассматриваемой задачи. Проведенная дискретизация указанных условий и сведение их к линейным алгебраическим уравнениям позволяют реализовать численное решение плоской задачи теории упругости методом граничных элементов. Рассмотренные примеры подтверждают возможность произвольного выбора констант в случае односвязной области и эффективность применения полученных линейных уравнений в случае многосвязной области.

Литература

1. Аменадзе Ю.А. Теория упругости. М.: Высш. шк., 1976. 272 с.

2. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

3. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высш. шк., 1979. 432 с.

4. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 52, № 11, 2012. С. 2050-2059.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

6. Терентьев А.Г., Казакова А.О. Численное решение плоской задачи теории упругости в многосвязной области // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2016. № 2(28). С. 34-47.

7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

8. Кашкоуа A.O., Terent'ev A.G. Numerical modelling of the plane problem of the stress state of a tube immersed in a liquid. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2014, vol. 78(5), pp. 518-523.

КАЗАКОВА АНАСТАСИЯ ОЛЕГОВНА - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

A. KAZAKOVA, A. IVANITSKIY

DISCRETIZATION OF CONDITIONS FOR DISPLACEMENTS TO BE UNIQUE IN PLANE PROBLEM OF THE ELASTICITY THEORY

Key words: mathematical modelling, plane problem of theory of elasticity, numerical boundary elements method, multiply-connected domain, conditions for displacements to be unique, properties of harmonic function.

The mathematical model of the plane problem of the elasticity theory on stresses and the numerical method of its investigation are considered. The change from the mechanical statement of the problem to the boundary conditions for a biharmonic stress function is shown. In the case of multiply-connected domain, boundary conditions contain three undetermined constants at each of its internal contours. To find these constants it is proposed to use the conditions for the displacements to be unique, which contain the integrals over the internal contours of the domain. The change of these integrals into sums, linear relative to the discrete values of the Laplacian of stress function and its normal derivative is carried out, that is necessary for the implementation of the numerical solution of the investigated problem. Testing of the developed method on the examples of simply-connected and doubly-connected domains is carried out.

References

1. Amenadze Yu.A. Teoriya uprugosti [The theory of elasticity]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1976, 272 p.

2. Brebbia K., Walker S. Boundary Element Techniques in Engineering, Newnes-Butterworths, London, 1980. 248 p. (Russ. ed.: Primenenie metoda granichnykh elementov v tekhnike. Moscow, Mir Publ., 1982, 248 p.).

3. Demidov S.P. Teoriya uprugosti [The theory of elasticity]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1979, 432 p.

4. Кazakova A.O., Terent'ev A.G. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlya poligarmoni-cheskogo uravneniya [Numerical solution of the boundary-value problems for polyharmonic equation]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, 2012, no. 11(52), pp. 2050-2059.

5. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoriya uprugosti [The theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 248 p.

6. Terentiev A.G., Kazakova A.O. Chislennoe reshenie ploskoi zadachi teorii uprugosti v mno-gosvyaznoi oblasti [Numerical solution of a plane problem of the theory of elasticity in multiply-connected domain]. Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta imeni I.Ya. Yakovleva. Ser. Mehanika predel'nogo sostoyaniya. 2016, no. 2(28), pp. 34-47.

7. Timoshenko S. P., Gudier G. Teoriya uprugosti [The theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 575 p.

8. ^zakova A.O., Terent'ev A.G. Numerical modelling of the plane problem of the stress state of a tube immersed in a liquid. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2014, vol. 78(5), pp. 518-523.

KAZAKOVA ANASTASIYA - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Actuarial and Financial Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).

IVANITSKIY ALEXANDER - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Applied Mathematics, Physics and Information Technologies, Chuvash State University, Russia, Cheboksary ([email protected]).

Ссылка на статью: Казакова А. О., Иваницкий А.Ю. Дискретизация условий однозначности перемещений в плоской задаче теории упругости // Вестник Чувашского университета. -2017. - № 1. - С. 241-251.