CC BY
67
© Попов В.В., 2014
УДК 512.57 ББК 22.144
О РЕШЕТКАХ КОНГРУЭНЦИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ УНАРНЫХ АЛГЕБР
Попов Владимир Валентинович
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики Волгоградского государственного университета popov_v_v@rambler.ru, kiem@volsu.ru
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. Получено описание всех однопорожденных коммутативных унарных алгебр с конечным числом унарных операций, решетка конгруэнций которых дистрибутивна, а любой элемент цикличен по каждой из операций.
Ключевые слова: унарная операция, коммутативная унарная алгебра, решетка конгруэнций, дистрибутивная решетка, циклический элемент.
В работе изучается решетка конгруэнций унарных алгебр, то есть алгебр, сигнатура которых содержит только унарные операции. Алгебры с т унарными операциями рассматривались А.И. Мальцевым [4, с. 348] и были названы т-уноидами. Унар — это алгебра с одной унарной операцией. В работах [2; 3; 7] изучались унары, решетки конгруэнций которых принадлежат заданному классу решеток (полумодулярны, атомарны, дистрибутивны и т. д.). Коммутативные уноиды изучались, например, в [6]. В [5] получено описание всех связных 2-уноидов с коммутирующими унарными операциями и дистрибутивной решеткой конгруэнций. В данной работе рассматриваются унарные алгебры с конечным числом попарно коммутирующих операций. Все необходимые определения имеются в [1; 4].
Пусть А = (А, /1, /2,..., /т) — унарная алгебра. Она называется коммутативной, если для всех 1,^ < т на (А, /1, $2,..., /т) истинно тождество
Шз (х)) = /) (!г{х)).
Положим
0(11,12, ...,!т) = [Л1 П ... /т (х) : *1, *2,..., *т-1 е N0},
где N0 — множество неотрицательных целых чисел. Если алгебра А коммутативна и е 0(/1, /2,..., /т), то <р коммутирует c любой операцией fi. При этом всякая конгруэнция 9 на А стабильна относительно операции р (то есть из х,у е А и хву вытекает р(х) 6<р(у)). Отсюда легко заключить, что решетки конгруэнций алгебр А и (А,/]_,/2,...,/т,ф) изоморфны. Элемент х е А называется ^-циклическим, если найдется целое число п > 1, для которого рп(х) = х.
Теорема 1. Пусть А = (А,/х,/2,...,/т) — связная коммутативная унарная алгебра, т > 1. Пусть п1,п2,... ,пт > 1 — целые числа и при каждом і < т на (А, /і,/2,..., /т) выполнено тождество (х) = х. Тогда эквивалентны следующие условия:
(1) Решетка конгруэнций Соп А дистрибутивна.
(2) Найдутся целые числа к1,к2,... ,кт > 1 и такая унарная операция К на А, что при каждом і = 1, 2,... ,т на (А, /ь /2,..., /т) выполнено тождество /\(х) = Ккі (х).
Доказательство. Случай т = 1 рассмотрен в работе Д.П. Егоровой [3]. Случай т = 2 изучался в работе [5, лемма 17, с. 35]. Поэтому в дальнейшем считаем, что теорема верна при т < 2.
Пусть т> 2 и выполнено свойство (1). Предположим, что теорема верна для всех коммутативных унарных алгебр, сигнатура которых состоит менее чем из т унарных операций. При любом г = 1, 2,...,т из справедливости на А тождества ^ (ж) = х следует, что операция обратима на А. Отсюда легко заключить, что любая операция <р Є 0(/і,/2,..., /т) обратима на А и А порождается любым своим элементом. Пусть а — порождающий элемент алгебры А. Положим
8 = {^(а) : V Є 0(/і,/2,..., !т-1)}.
Далее возможны два случая.
Случай 1. Найдется элемент Ь Є Б П /т(Б). Тогда Ь = <р(а) и Ь = /т('ф(а)) для некоторых операций р,гф Є 0(Л, /2,..., /т-1). Поэтому <р(а) = /т(ф(а)), откуда їт(а) = Ф-1^(а), что влечет Є 0(/1,/2,...,/т-1), и потому решетки конгруэнций унарных алгебр А и (А, /і, /2,..., /т-1) изоморфны. Следовательно, заключение доказываемой теоремы вытекает из индуктивного предположения.
Случай 2. 5 П Iт(Б) = 0. Положим 50 = 5 и ^ = рт(5) при і = 1, 2,__
Так как на А выполнено тождество (ж) = х, найдется целое к < пт, для
которого Б П Бк =. Не теряя общности, считаем, что к — наименьшее положительное число с таким свойством. Ввиду обратимости на А операции легко проверить, что множества Бо = Б, , ..., Бк-х попарно дизъюнктны и Бк = Б0 = Б. Положим Т =
= Б0 и Б1 и ... и Бк-1. Ясно, что Т — подалгебра алгебры А, порожденная элементом а.
Так как А порождается любым своим элементом, получаем Т = А.
Пусть в — некоторая конгруэнция на алгебре Я = (Б, /і, /2, . . . , !т-1). Определим конгруэнцию 9 на алгебре (А, /ь $2,..., $т-1, /т) следующим образом:
(я) Если х,х' Є ії0, то хвх' хвх'.
(Ь) Если х,х' Є Бі, где 0 < і < к, то хвх' найдутся элементы Ь,^ Є , для
которых ЬвЬ', !'!т(ї) = х и !'!т(V) = х'.
Нетрудно проверить, что ограничение конгруэнции в на множество Як = Б0 совпадает с в.
Допустим, что решетка конгруэнций алгебры Я = (Б, /і, /2,..., /т-1) не дистрибутивна. Тогда найдутся три конгруэнции а, 7, 8 на Я и различные элементы х,х' Є в, такие, что Х(7Х', существует 'У, £-путь П из х в х', но не существует 'У, £-пути из х в х', все элементы которого лежат в одном а-классе с элементами х и х' (см.: [5, лемма 1, с. 23]). Рассмотрим конгруэнции <г, 7 и 8 на алгебре (А, /ь /2,..., /т) и те же элементы х,х' Є . Ясно, что хах1, П является 7,^-путем из ж в х', но не существует 7,^-пути
из х в х', все элементы которого лежат в одном а-классе с элементами х и х'. Поэтому решетка конгруэнций алгебры А = (А, /\, /2,..., /т) не дистрибутивна. Противоречие с условием доказываемой теоремы показывает, что решетка СопЯ дистрибутивна.
Так как сигнатура алгебры Я содержит т — 1 унарную операцию, по индуктивному предположению найдутся целые числа к\,к2,... ,кт-1 > 1 и такая унарная операция К0 на Я, что при каждом і = 1,2,...,т — 1 на Я выполнено тождество /г(х) = Ккі(х). Операцию К0 на Б можно продолжить до операции на А: если х Є 5^, где 0 < г < к, то существует и единственен элемент і Є Б = Б0, для которого їт(ї) = х. Полагаем К0(х) = Рт(К0(і)). Теперь ясно, что решетка конгруэнций алгебры (А,/і,/2,...,/т) изоморфна решетке конгруэнций алгебры (А,к0,£т). Используя теперь доказываемую теорему для алгебры (А,К0, /т), фиксируем такую унарную операцию К на (А, $\, $2,..., /т), что для некоторых целых а > 1, /3 > 1 на (А, /і, $2,..., /т) выполнены тождества К0(х) = Ка(х) и /т(х) = К(х). Тогда К — искомая операция на (А, !\, $2,..., /т), поскольку при г = 1, 2,... ,т — 1 на (А, /ь /2,..., /т) выполнено тождество /і(х) = К0і(х) = Ккі^а(х) и /т(х) = К&(х).
Пусть теперь выполнено свойство (2). Тогда решетка конгруэнций алгебры А) изоморфна решетке конгруэнций унара (А,К), а эта решетка дистрибутивна, поскольку унар (А, К) является циклом [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артамонов, В. А. Общая алгебра / В. А. Артамонов, В. Н. Салий, Л. А. Скорняков. — М. : Наука, 1991. — Т. II. — 480 с.
2. Бощенко, А. П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров / А. П. Бощенко
// Алгебраические системы : межвуз. сб. науч. работ. — Волгоград, 1989. — C. 23-26.
3. Егорова, Д. П. Структура конгруэнций унарной алгебры / Д. П. Егорова // Упорядоченные множества и решетки : Межвуз. науч. сб. — Саратов, 1978. — № 5. — C. 11-44.
4. Мальцев, А. И. Алгебраические системы / А. И. Мальцев. — М. : Наука, 1970. — 392 с.
5. Попов, В. В. О коллективной нормальности, о вращаемых графах и конгруэнциях уноидов / В. В. Попов. — Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. — 64 с.
6. Усольцев, В. Л. Минимальные унарные алгебры с двумя коммутирующими операциями : деп. в ВИНИТИ, № 3857-D96 / В. Л. Усольцев. — М., 1996. — 20 с.
7. Berman, J. On the congruence lattices of unary algebras / J. Berman // Proc. Amer. Math. Soc. — 1972. — Vol. 36, № 1. — P. 34-38.
REFERENCES
1. Artamonov V.A., Saliy V.N., Skornyakov L.A. Obschaya a^bra [General Algebra]. Moscow, Nauka Publ., 1991, vol. II. 480 p.
2. Boschenko A.P. Psevdodopolneniya v reshetke kongruentsiy unarov [Pseudocomplementation in the congruence lattice of a unary]. Algеbraichеskiе sistеmy : mеzhvuz. sb. nauch. rabot [Algebraic systems]. Volgograd, 1989, pp. 23-26.
3. Egorova D.P. Struktura kongruentsiy unarnoy algebry [Congruence structure of unary algebra]. Uporyadochеnnyе mnozhеstva i rеshеtki : Mеzhvuz. nauch. sb. [Ordered sets and lattices]. Saratov, 1978, no. 5, pp. 11-44.
4. Maltsev A.I. Algеbraichеskiе sistеmy [Algebraic systems]. Moscow, Nauka Publ., 1970. 392 p.
5. Popov V.V. O ko^^w^y normalnosti, o vraschaеmykh grafakh i kongruentsiyakh unoidov [On collective normality, rotatable graphs, and congruences of unoids]. Saarbrucken, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 64 p.
6. Usoltsev V.L. Minimalnyе unarnyе a^bry s dvumya kommutiruyuschimi opеratsi-yami : dеp. v VINITI, № 3857-D96 [Minimal unary algebras with two commuting operations : Deposit at All-Union Institute of Scientific and Technical Information, no. 3857-D96]. Moscow, 1996. 20 p.
7. Berman J. On the congruence lattices of unary algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 36, no. 1, pp. 34-38.
ОN THE CONGRUENCE LATTICES OF PERIODIC UNARY ALGEBRAS
Popov Vladimir Valеntinovich
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor, Department of Computer Science and Experimental Mathematics Volgograd State University popov_v_v@rambler.ru, kiem@volsu.ru
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. The author describes all commutative unary algebras with finite number of unary operations which have distributive lattice of congruences and cyclic elements in every operation. It proves the following result:
Теорема 2. Let A = {A, f1} f2,..., fm) is a connected commutative unary algebra, m > 1 and щ,п2,... ,nm > 1 — such a natural numbers, that f?1 (x) = x for every i < m and every x E A. Then the following condition are equivalent:
(1) The lattice of congruence on A has a distributive property.
(2) One can find natural numbers к\,к2,...,кт > 1 and such an unary operation h on A, that for every i = 1,2,...,m and every x E A it holds fi(x) = hki (x).
Key words: unary operation, commutative unary algebra, lattice of congruence, distributive property, cyclic element.
