CC BY
7
raÄ®
www.volsu.ru
DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.3.2
УДК 512.57 ББК 22.144
О СТРОЕНИИ КОММУТАТИВНЫХ УНАРНЫХ АЛГЕБР С ДИСТРИБУТИВНОЙ РЕШЕТКОЙ КОНГРУЭНЦИЙ
Владимир Валентинович Попов
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерных наук
и экспериментальной математики,
Волгоградский государственный университет
[email protected], [email protected], [email protected]
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. Показано, что любая коммутативная унарная алгебра с конечным числом унарных операций, решетка конгруэнций которой дистрибутивна, содержит подалгебру, решетка конгруэнций которой изоморфна решетке конгруэнций одного из унаров ~02{п) (простой структуры) или решетке конгруэнций унарной алгебры с двумя унарными операциями.
Ключевые слова: коммутативная унарная алгебра, т-уноид, решетка конгруэнций, дистрибутивная решетка, циклический элемент.
Введение
В работе изучаются решетки конгруэнций унарных алгебр, сигнатура которых содержит конечное число унарных операций. Алгебры с т унарными операциями рассматривались А.И. Мальцевым [6, с. 348] и были названы т-уноидами. Унар — это алгебра с одной унарной операцией. В работах [2;3; 11] изучались унары, решетки конгруэнций которых принадлежат заданному классу решеток (полумодулярны, атомарны, дистрибутивны и т. д.). Аналогичные вопросы для унарных алгебр в двумя унарными операциями рассматривались в [7; 8; 10]. Важные результаты о коммутативных унарных алгебрах с дистрибутивной решеткой конгруэнций получены в работах [4; 5].
Все необходимые определения имеются в [1;6]. Часть результатов данной заметки ^ объявлена в [9].
^ Напомним, что унарная алгебра А = (А, О) — это алгебраическая система, которая шг определяется некоторым множеством А и набором О унарных операций на А. Множе-ш ство А называется носителем или основным множеством алгебры, а его элементы — | элементами алгебры. Каждую операцию f € О можно рассматривать как отображение с множества А в себя. Операции f € О называются основными или главными в отличие @от других операций, которые могут быть определены на алгебре.
Пусть A = (А, П) — произвольная унарная алгебра. Через П* обозначается свободный моноид слов с порождающим множеством П относительно композиции. Единицей в П* служит пустое слово. Результат w(x) применения слова w Е П* к элементу х Е А определяется индуктивно по длине слова (см., например, [4]). По определению f°(x) = х, fn+1(x) = f(fn(x)) для произвольных f Е П, х Е А и целого п > 1. Кроме того, если w = w1w2 , то w(x) = w1(w2(х)), где w,w1,w2 Е П* и х Е А.
Унарная алгебра A = (А, П) называется коммутативной, если для всех f,g Е П на A выполнено тождество f (д(х)) = g(f (ж)).
Конгруэнция 0 на алгебре A — это отношение эквивалентности на носителе А этой алгебры, которое стабильно относительно каждой главной операции f, то есть если для любых элементов х,у Е А из х0у следует f (x)0f (у).
Через Con A обозначается множество всех конгруэнций алгебры A. На этом множестве вводится частичный порядок: для конгруэнций 0i, 02 этой алгебры отношение 01 < 02 выполнено тогда и только тогда, когда для любых элементов х,у Е А из х01у следует х02у. Нулевой конгруэнцией называется конгруэнция, при которой эквивалентны только совпадающие элементы алгебры. Единичная конгруэнция — это конгруэнция, при которой эквивалентны любые элементы алгебры. Если М — подмножество носителя А алгебры A, то через 0(М) обозначается конгруэнция, порожденная множеством М, то есть наименьшая конгруэнция, относительно которой все элементы множества М попадают в один класс эквивалентности.
Если 01, 02 Е Con A, то через 01 Л 02 обозначается нижняя грань конгруэнций 01 и 02, то есть наибольшая конгруэнция 0 Е Con A, для которой 0 < 01 и 0 < 02. Аналогично определяется верхняя грань 01 V 02 конгруэнций 01 и 02.
Решетка конгруэнций Con A называется дистрибутивной, если для любых трех конгруэнций 01, 02, 03 Е Con A верно равенство 01 Л (02 V 03) = (01 Л 02) V (01 Л 03).
Подалгеброй алгебры A = (А, П) называется такое подмножество А' множества А, что f (А') с А1 при всех f Е П. В этом случае (А', П') является унарной алгеброй, где П' состоит из ограничений всех операций f Е П на множество Al. Вместо (А', П') в подобных ситуациях будем писать (А', П).
Если алгебра A коммутативна и ф Е П*, то ф коммутирует c любой операцией f Е П. При этом всякая конгруэнция 0 на A стабильна относительно операции ф (то есть из х,у Е А и х 0 у вытекает ф(х) 0ф(у)). Отсюда легко заключить, что если к набору П основных унарных операций алгебры A добавить операцию ф, то решетка конгруэнций алгебры не изменится. Элемент х Е А называется ф-циклическим, если найдется целое число п > 1, для которого фп(х) = х.
Через Z, N и No обозначаются, соответственно, множество целых чисел, множество натуральных чисел и множество неотрицательных целых чисел.
Ниже нам потребуется описание следующих унаров и унарных алгебр: Пример 1. Носитель унара D1 = (A, f) — это множество N натуральных чисел, а операция f определена формулой f (х) = х + 1, х Е N.
Пример 2. Носитель унара D2(n) = (A, f) — это кольцо Zra вычетов по некоторому модулю п > 1, а f (х) = х + 1(mod п) при х Е Zra. Если при этом п = 1, то носитель унара состоит из единственного элемента, а f — тождественное отображение. Пример 3. Носитель алгебры D3 = (A,f,g) — это множество Z целых чисел, а операции определены формулами f (х) = х + 1 и д(х) = х — 1, х Е Z.
Если (A,f,g) — алгебра с двумя унарными операциями и т> 2 — целое число, то ее можно превратить в алгебру с m унарными операциями, добавив в список главных операций операции вида flgJ, где i,j > 0 — целые числа. При этом решетка конгруэнций алгебры не изменится.
1. Основной результат
Основной результат данной статьи следующий. Теорема 1. Пусть A = (А, П) — коммутативная унарная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций, m = |П| > 2. Тогда эта алгебра содержит подалгебру, решетка конгруэнций которой изоморфна решетке конгруэнций одного из унаров D 1, D2(n) или решетке конгруэнций алгебры D3.
Случай m =2 рассмотрен в работе [7]. При m > 2 нужны дополнительные результаты.
2. Вспомогательные результаты
Лемма 1. Пусть A = (А, П) — коммутативная алгебра, А0 — ее подалгебра и х, х1 — различные элементы множества А \ А0. Пусть f (х) G А0 и f (х') G А0 при всех f G П. Тогда решетка конгруэнций Con A алгебры A не дистрибутивна.
Доказательство. Рассмотрим конгруэнции а = Q({x,x'}), y = 0({ж} U А0) и 6 = = 0({ж'} U А0), где Q(M) — (наименьшая) конгруэнция, порожденная множеством M. Выберем произвольный элемент t G А0. Тогда xyt и tbx', поэтому х и х' находятся в отношении y V 6, откуда легко заключить, что х и х' находятся и в отношении а Л (y V 6). Из определения конгруэнций а, y и 6 вытекает, что если у G А и х(а Л y)h, то у = х. Аналогично, из х(а Л 6)у следует у = х. Поэтому х и х' не находятся в отношении (а Л y) V (а Л 6). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть A = (А, П) — коммутативная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций. Пусть х, х1 — различные элементы А. Тогда найдется такое непустое слово ф G П*, что будет выполнено хотя бы одно из следующих равенств:
(a) х = ф(х);
(b) х = ф(х');
(c) х' = ф(х);
(d) х' = ф(х').
Доказательство. Пусть A0 — подалгебра, порожденная множеством {/(х) : f G П} U U{f (х') : f G П}. Из дистрибутивности решетки Con A и леммы 1 вытекает, что х G А0 или х' G А0. Осталось заметить, что для любого элемента у G А соотношение у G А0 выполнено тогда и только тогда, когда найдется слово ф G П*, для которого у = ф(х) или у = ф(ж'). При этом ф не может быть тождественным отображением А на себя (иначе х G А0 или х' G А0).
В дальнейшем будем предполагать, что главные операции унарной алгебры A = = (А, П) перенумерованы, то есть П = {f1, f2,..., fm}, где m = |П|, и, когда это удобно, вместо (А, П) писать (A, f\, f2,..., fm). В этих обозначениях ф G П* тогда и
только тогда, когда найдутся неотрицательные целые числа г1, i2, ..., im, для которых
ф = Г1 /22 ...Гт.
Лемма 3. Пусть A = (А, /ь f2,..., fm) — коммутативная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций. Тогда найдутся такие неотрицательные целые числа к\, к2, ..., кт, что к\ + к2 + ... + кт > 0 и для некоторого элемента z0 Е А будет выполнено хотя бы одно из следующих равенств:
(a) /1 (zo) = ...fc(zo);
(b) fk1 f2k2 ...ftЫ = го.
Поэтому на подалгебре A1, порожденной элементом z0, выполнено хотя бы одно из тождеств fi (х) = f¡k2... (х) или fk f2k2... fjkr (х) = х.
Доказательство. Выберем произвольный элемент х0 Е А и положим у1 = f1(x0), У2 = /2(^0). Если У1 = У2, то /1(^0) = /2(^0), поэтому при к2 = 1, кг = ... = кт = 0 и z0 = х0 будет выполнено равенство (a).
Пусть теперь у1 = у2. Применяя лемму 2 при х = у1 их' = у2, выберем неотрицательные целые числа г1, i 2, ..., гт, для которых г1 + г 2 + ... + гт > 0, а для операции ф = /1V22 ... f^ выполнено хотя бы одно из равенств у1 = ф(у1), у1 = ф(у2), 2 = ф( 1) или 2 = ф( 2). Если справедливо первое или четвертое равенство, то будет выполнено равенство (b) доказываемой леммы, если положить 1 = 1, 2 = 2, . . ., кт = im, а также z0 = у1 или z0 = у2 соответственно. Пусть теперь выполнено второе равенство, то есть у1 = ф(у2). Это равенство можно записать в виде
ЛЫ = И1 f22Я*... Гт (ДЫ) = Л1 f22+1ft... Гт (®0).
Если г1 = 0, то при к2 = i2 + 1, к3 = i3, ..., кт = гт, а также при z0 = х0 и любом к1 будет выполнено равенство (a).
Пусть теперь г1 > 1. Тогда верно равенство
/1(^0) = ГГ1 f22+1 Г3... Гт (ЛЫ),
поэтому при = i1 — 1, = i2 +1, = i3, ..., km = im, а также при z0 = /1(ж0) будет верно равенство (b). Аналогично рассматривается случай у2 = ф(^). Лемма доказана.
В дальнейшем нам потребуются два известных результата. Лемма 4. Пусть A — коммутативная унарная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций, B1 — его подалгебра и B2 — фактор-алгебра алгебры A по некоторой конгруэнции. Тогда решетки конгруэнций унарных алгебр B1 и B2 дистрибутивны.
Справедливость леммы 4 вытекает из того факта, что решетки Con B1 и Con B2 вкладываются в решетку Con A как подрешетки (см., например, [4, c. 55]).
Лемма 5. Пусть A = (А, /ь f2,..., fm) — алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций и ф — унарная операция на А, которая коммутирует с каждой операцией fi, i = 1, 2,... ,т. Пусть отображение ф : А ^ А взаимно однозначно (то есть из х1,х2 Е А и ф(х1) = ф(х2) следует х1 = х2). Пусть А = А(ф) — отношение на носителе А, которое задается следующим образом: если х,у — элементы носителя А, то хАу тогда и только тогда, когда х = у или найдется такое целое число к > 1, что у = фк(х) или х = фк(у). Тогда А — конгруэнция на алгебре A.
Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения Л вытекает непосредственно из определения Л. Проверим, что Л транзитивно. Пусть хЛу и уЛх, где x,y,z G G А. Необходимо проверить, что хЛг. Если х = у или у = z, то это очевидно. Пусть теперь х = у и у = z. Тогда найдутся целые числа k,l > 1, для которых выполнено хотя бы одно из равенств у = фк(х) или х = фк(у), а также выполнено хотя бы одно из равенств z = ф1(у) или у = ф1 (z). Не теряя общности, считаем, что I < к.
Если у = фк(х) и z = ф1 (у), то z = фк+1 (х), откуда хЛг.
Если у = фк(х) и у = ф1^), то ф1 (z) = у = фк(х) = ф1(фк-1(х)), откуда z = = фк-1 (х) (поскольку ф взаимно однозначно), поэтому xQz. Отметим, что при к = I верно z = х.
Пусть теперь х = фк(у) и z = ф1 (у). Тогда х = фк(у) = фк-1(ф1 (у)) = фк-1 (z), откуда xQz.
Пусть, наконец, х = фк(у) и у = ф1(г). Тогда х = фк+1 (z) и снова получаем xQz. Транзитивность отношения Л доказана. Стабильность этого отношения следует из того, что операция ф коммутирует с каждой главной операцией алгебры A. Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть A = (A, f1, f2,..., fm) — унарная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций и ф, 4 — две унарных операции на А, которые коммутируют с каждой из операций fi, i = 1, 2,... ,т. Пусть ф, 4 : А ^ А — взаимно однозначные отображения и ф4 = 4ф.
Тогда найдутся целые числа p,q > 0 и элемент z1 G А, такие, что р + q > 0 и выполнено хотя бы одно из равенств:
(a) ф?4я (Z1) = Z1;
(b) фр^) = 49(Z1).
Доказательство. Пусть y = Л(ф) — конгруэнция на алгебре A, построенная по операции ф в лемме 5. Пусть также 6 = Л(4), а = Л(ф4) — конгруэнции, построенные аналогичным способом по операциям 4 и ф4. Пусть а — произвольный элемент алгебры A. Положим b = ф(а) и с = 4(ф(а)) = 4(&). Если а = с, то при р = q = 1 и z1 = а выполнено равенство (a). Пусть теперь а = с. Ясно, что ауЬ6с и аас, поэтому а[а Л (y V 6)]с.
Так как решетка Con А дистрибутивна, справедливо соотношение а[(а Л y) V (а Л Л 6)]с. Поэтому класс эквивалентности а относительно конгруэнции (а Л y) V (а Л Л 6), содержащий элемент а, содержит и отличный от него элемент с, и, следовательно, состоит более чем из одного элемента. Поэтому найдется такой элемент у G А, что у = а и выполнено хотя бы одно из соотношений а(а Л y)v или а(а Л 6)у.
Не теряя общности, считаем, что выполнено первое соотношение (в противном случае меняем местами ф и 4). Тогда œyy и аау, поэтому найдутся такие целые числа k,l > 1, что верно хотя бы одно из равенств у = фк(а) или а = фк(у), а также верно хотя бы одно из равенств у = (ф4)г(а) или а = (ф4)г(у). Теперь возможны четыре случая.
Случай 1. Верны равенства у = фк(а) и у = (ф4)г(а). Допустим, что к < I. Тогда фк(а) = у = (ф4)г(а) = ф1-к41(фк(о-)), поэтому при р = I — к, q = I и z1 = фк(а) получаем z1 = фр4ч(z-]), то есть выполнено равенство (a). При этом р + q = (I — к) + + I > 0 + 1 > 0. Аналогично проверяется, что если I < к, то при р = к — I, q = I и z1 = ф1 (а) выполнено равенство (b).
Случай 2. Верны равенства у = фк(а) и а = В этом случае у = фк(а) =
= фк((ф-ф)(у)) = фк+1^1(у), поэтому при р= к +1, д = 1 и г\ = у выполнено равенство
(a).
Случай 3. Верны равенства а = фк(у) и у = (ф"ф)г(а). В этом случае фк+г-фг(а) = = а, то есть при р = к + I, д = I иг \ = а выполнено равенство
Случай 4. Верны равенства а = фк(у) и а = (ф^)г(у). Рассуждая, как в случае 1, несложно убедиться, что если к < I, то при р = I — к, д = I и = фк(у) выполнено равенство (a). Если же I < к, то при р = к — I, д = I и ^ = ф1(у) выполнено равенство
(b). Лемма доказана. Отметим, что случаи 3 и 4 сводятся к случаям 1 и 2, если поменять местами элементы и .
3. Доказательство теоремы 1
Справедливость теоремы 1 вытекает из следующей леммы. Лемма 7. Пусть т > 1 — целое число и A = (A, fx, f2,..., fm) — коммутативная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций. Тогда существует три объекта — подмножество A' носителя A алгебры A, унарная операция и на A, а также набор а1, а2, .., am неотрицательных целых чисел, для которых на алгебре A' = (A', /i, f2,..., fm) справедливо тождество и(х) = /fV^2... fOT (х) и при каждом г = 2, 3,... ,т найдется целое число ßi, для которого на алгебре A' выполнено тождество /(х) = ußi (х), причем если какое-либо ßi отрицательно, то отображение и обратимо на A'. При этом ограничение отображения и на множество A' взаимно однозначно.
Доказательство. Докажем лемму индукцией по т. Если т = 1 или т = 2, то справедливость леммы вытекает из результатов работ [3] и [7] соответственно. Пусть теперь т > 3. По лемме 3 найдется подалгебра Ai алгебры A и последовательность к\, к2, ..., km неотрицательных целых чисел, для которых + к2 + ... + km > 0 и на подалгебре Ai выполнено или тождество (a) fi(x) = f22... fOr (х), или тождество (b) fkl f22... fOr(х) = х. Через Ai обозначим носитель подалгебры Ai.
По лемме 4 решетка Con Ai дистрибутивна. Если на подалгебре Ai выполнено тождество (а), то операция ( х) выражается через остальные главные операции алгебры Ai, поэтому f\ можно удалить из списка главных операций алгебры Ai (не изменяя при этом решетки конгруэнций) и справедливость доказываемой леммы будет вытекать из индуктивного предположения.
Пусть теперь на Ai выполнено тождество (b). В этом тождестве хотя бы одно из чисел ki, k2, ..., km положительно. Для упрощения записи будем предполагать, что таким является ki. Из справедливости тождества (b) на алгебре Ai вытекает, что на этой алгебре операция /i обратима и верно тождество f-1^) = f^1-1 f22... fO^(х).
Рассмотрим отношение эквивалентности А на алгебре Ai, которое задается следующим образом: если х1,х2 Е Ai, то х1Ах2 тогда и только тогда, когда х1 = х2 или найдется такое целое число k > 1, что х2 = f*(х1) или х1 = f*(х2). По лемме 5 А — конгруэнция на алгебре A1.
Пусть B1 = A1/A — соответствующая фактор-алгебра. Обозначим через Z отображение A1 ^ В1, которое элементу х алгебры A1 сопоставляет класс эквивалентности х = {х' е A1 : х'Ах}, то есть элемент алгебры B1. Тогда для любых элементов
xl,x2 Е Al соотношения х{Кх2 и Z(x\) = С(х2) будут эквивалентны. Так как отображение f\ обратимо, а f0 — тождественное отображение, справедливы следующие свойства.
(1) Если х\,х2 Е А\, то Z(x\) = Z(x2) ^^ найдется такое целое число к, что = fi 2).
При г = 1, 2,... ,т главная операция gi алгебры Bi, которая соответствует операции fi на алгебре Ai, задается так: если х,у Е Ai и у = fi(x), то gi(x) = у. Поэтому для любого элемента х Е Ai выполнено равенство Z(fi(x)) = gi(Z(x)).
Из леммы 4 вытекает, что решетка Con Bi дистрибутивна. В фактор-алгебре Bi операция ^ будет тождественным отображением, поэтому можно удалить эту операцию из списка главных операций алгебры Bi, не изменяя решетки конгруэнций этой алгебры. Теперь можно применить индуктивное предположение, в соответствии с которым существуют подалгебра B' алгебры Bi, унарная операция v на носителе В' алгебры B', а также набор а2, ..., От неотрицательных целых чисел, для которых на подалгебре B' выполнено тождество v(x) = д%2 д^3... д!^п (х) и при любом г = 2,...,т найдется такое целое число ßj, для которого на алгебре B' выполнено тождество gi(x) = vßi(х), причем если хотя бы одно ßi отрицательно, то отображение v обратимо на В'.
Положим и(х) = /а2 fa '3... fmn(х) и выберем такой элемент а алгебры Ai, что элемент b = С(а) принадлежит алгебре B'. Обозначим через A2 подалгебру алгебры Ai, порожденную элементом а, а через А2 — носитель этой подалгебры. Из определения операций д^ и и вытекает, что для любого элемента х Е А2 справедливы равенства
С(и(х)) = C(f22 /Т... № (*)) = 9? 9l3... 9шп №)) = v(c(x)),
откуда вытекает, что выполнено свойство:
(2) Если х Е А2 и к > 1 — целое число, то верно равенство Z(uk(х)) = vk(С(х)).
Проверим теперь, что справедливо свойство:
(3) Пусть г Е {2, 3,...,т}. Тогда операцию fi на алгебре А2 можно выразить в виде суперпозиции операций /ь f-1 и и.
Если ßi > 0, то, применяя свойство (2) при х = а, получим Z(fi(a)) = gi(b) = = vßi(b) = Z(ußi(а)). Используя свойство (1) при х\ = fi(a) и х2 = ußi(а), выберем целое число к, для которого fi(a) = fkußi(а). Так как а — порождающий элемент подалгебры А2, заключаем, что на алгебре А2 выполнено тождество fi(x) = fkußi(х), и свойство (3) доказано (при ß > 0).
Пусть теперь ßi < 0. Тогда отображение v обратимо (по индуктивному предположению).
Так как — ßi > 0 и vßi(у) = gi(y) при всех у Е В', справедливо следующее равенство:
t(u~ß fi(a))= v~ß дг(Ъ) = b = t(o).
Применяя свойство (1), выберем целое число к, для которого u~ßifi(a) = fk(а). Из последнего равенства получаем u~ßifif-k(а) = а. Так как а — порождающий элемент подалгебры A2, справедливо свойство:
(4) На подалгебре А2 выполнено тождество u~ßifif-k(х) = х.
Из свойства (4) получаем, что на подалгебре A2 выполнено тождество u~l(х) = = u~ßi~lfif-k(х). Поэтому на подалгебре A2 отображение и обратимо и операция u~l(x) выражается в виде суперпозиции отображений f\, f-l и и.
Из (4) получаем также, что на подалгебре A2 выполнено тождество fi(x) = = fi ußi (x). Следовательно, операция fi(x) выражается в виде суперпозиции отображений /ь ff1 и u. Свойство (3) доказано (при ß < 0).
Пусть, наконец, ß^ = 0. Тогда ограничение отображения ^ на подалгебру B1 является тождественным отображением. Рассуждая, как при рассмотрении случая ßi > 0, несложно убедиться, что при некотором целом к на подалгебре A2 выполнено тождество fi(x) = fi (x). Свойство (3) доказано (при ß = 0). Таким образом, свойство (3) верно при любом целом ß.
Проверим теперь, что выполнено свойство:
(5) Решетка конгруэнций алгебры A2 = (А2, f\, f2,..., fm) совпадает с решеткой конгруэнций алгебры E = (А2,fi, ff1 ,u).
В самом деле, на подалгебре A1 выполнено тождество ff1(x) = f^1-1 f22... f^T(x), а на подалгебре A2 — тождество u(x) = /2а2/3аз... fmm(x), где все степени — целые и неотрицательные. Так как А2 С А1, заключаем, что на множестве А2 операции ff1 и u являются суперпозицией операций 2, . . ., m, поэтому любая конгруэнция на алгебре A2, которая стабильна относительно операций f\, f2, ..., fm, будет стабильна и относительно операций f1, ff1 и u, откуда вытекает, что Con A2 С Con E. Пусть теперь i — целое число от 2 до т. По свойству (3) операцию fi можно записать как суперпозицию трех операций f1, ff1 и u. Поэтому Con E С Con A2. Свойство (5) доказано.
Далее возможны три случая.
Случай 1. Для некоторого элемента а0 Е А2 и некоторого целого числа р > 0 верно равенство /f(a0) = а0. В этом случае на подалгебре A3, порожденной элементом а0, выполнено тождество /f(x) = x, поэтому на нем же верно тождество ff1 (x) = /f_1(x). Следовательно, решетка конгруэнций алгебры E = (А3, f1,ff1,u) совпадает с решеткой конгруэнций алгебры E' = (А3, f\,u), в которой всего две главные операции. Используя леммы 4 и 5, несложно проверить, что решетка конгруэнций алгебры E' дистрибутивна. Теперь справедливость леммы 7 вытекает из индуктивного предположения.
Случай 2. Отображение u : А2 ^ А2 взаимно однозначно. Напомним, что отображение f\ обратимо на подалгебре А1, а потому взаимно однозначно на этом алгебре. Применяя лемму 6 к операциям ф = f1 и ф = u, фиксируем такие целые числа p,q > 0, что р + q > 0 и для некоторого элемента z1 Е А2 выполнено хотя бы одно из следующих равенств: (a) ffu9(z1) = z1; (b) /f(z1) = u9(z1). Обозначим через А3 подалгебру алгебры A2, порожденную элементом z1. Рассмотрим два случая.
Случай 2a. Выполнено равенство (a). Тогда на подалгебре A3 справедливо тождество flu9(x) = x. Если р > 1, то на подалгебре A3 выполнено тождество ff1(x) = = fpl~1u9(x). Поэтому решетка конгруэнций алгебры E3 = {А3, f1,ff1,u) совпадает с решеткой конгруэнций алгебры (А3, f\,u). Теперь, как и в случае 1, справедливость леммы 9 вытекает из индуктивного предположения.
Пусть теперь = 0. Тогда > 1. Если = 1, то u — тождественное отображение на А3, поэтому u можно удалить из списка основных операций алгебры E, что позволяет воспользоваться индуктивным предположением.
Пусть, наконец, q > 1 (и р = 0), то есть на алгебре A3 выполнено тождество u9(x) = x. Считаем, что z1 не является ^-циклическим элементом (этот вариант рассмотрен в случае 1). Проверим, что при указанных ограничениях решетка Con E3 не дистрибутивна.
Рассмотрим конгруэнции
а = Q({z1,f1(z1)}), y = Q({z1,f1u(z1)}) и 6 = Q({zb Йи^)}),
где Q(M) — (наименьшая) конгруэнция, порожденная множеством M. Несложно проверить, что y V 6 — единичная конгруэнция, а а Л 6 и а Л y — нулевые конгруэнции. Отсюда вытекает, что решетка конгруэнций алгебры E3 не дистрибутивна. Однако E3 является подалгеброй алгебры A и по лемме 4 ее решетка конгруэнций должна быть дистрибутивна. Полученное противоречие показывает, что этот случай невозможен.
Случай 2b. Выполнено равенство (b). Тогда на подалгебре A3 справедливо тождество ff(x) = uq(ж). Если р = 0, то на A3 справедливо тождество uq(ж) = х, где q > 1. Такая ситуация описана при рассмотрении случая 2a.
Если р = 1, то на A3 справедливо тождество f\(х) = uq(х), поэтому f\ можно удалить из списка основных операций алгебры A3 и затем воспользоваться индуктивным предположением.
Пусть, наконец, р > 1. Тогда на A3 справедливо тождество f-1(x) = f{~luq(х), поэтому f-1 можно удалить из списка основных операций алгебры E3, а затем воспользоваться индуктивным предположением.
Случай 3. Отображение и : А2 ^ А2 не взаимно однозначно. Пусть и(х1 ) = = и(х2) и х1 = х2 для некоторых элементов х1,х2 G А2. Тогда
v(Z(x1 )) = Z(u(x1)) = Z(u(x2)) = v(Z(x2)).
Отображение v в условиях доказываемой леммы взаимно однозначно (по индуктивному предположению), поэтому Z(x1) = С(х2). По свойству (1) найдется такое целое число к > 1, что х1 = ff (х2). Положим а0 = и(х1). Тогда а0 = и(х1) = u(ff (х2)) = = fi (и(х2)) = (и(х1)) = (а0). Мы снова приходим к ситуации, описанной в случае 1. Лемма 7 доказана. Из этой леммы легко выводится теорема 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артамонов, В. А. Общая алгебра / В. А. Артамонов, В. Н. Салий, Л. А. Скорняков. — М. : Наука, 1991. — Т. 1. — 480 с.
2. Бощенко, А. П. Псевдодополнения в решетке конгруэнций унаров / А. П. Бощенко // Алгебраические системы : межвуз. сб. научн. работ. — Волгоград : Изд-во ВГПИ, 1989. — C. 23-26.
3. Егорова, Д. П. Структура конгруэнций унарной алгебры / Д. П. Егорова // Упорядоченные множества и решетки : межвуз. науч. сб. — Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1978. — Вып. 5. — C. 11-44.
4. Карташов, В. К. Об условиях дистрибутивности и модулярности решеток конгруэнций коммутативных унарных алгебр / В. К. Карташов, А. В. Карташова, В. Н. Пономарев // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. — Т. 13, № 4 (2). — C. 52-57.
5. Карташова, А. В. О решетках конгруэнций прямых сумм сильно связных коммутативных унарных алгебр / А. В. Карташова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. — Т. 13, № 4 (2). — C. 57-62.
6. Мальцев, А. И. Алгебраические системы / А. И. Мальцев. — М. : Наука, 1970. — 392 с.
7. Попов, В. В. О коллективной нормальности, о вращаемых графах и конгруэнциях уноидов / В. В. Попов. — Саарбрюккен : Ламберт академик паблишинг, 2013. — 68 с.
8. Попов, В. В. О решетках конгруэнций периодических унарных алгебр / В. В. Попов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2014. — № 2 (21). — C. 27-30.
9. Попов, В. В. О дистрибутивности решеток конгруэнций m-уноидов / В. В. Попов // Национальная ассоциация ученых. — 2017. — № 7 (34). — C. 25-26.
10. Усольцев, В. Л. Минимальные унарные алгебры с двумя коммутирующими операциями / В. Л. Усольцев // Деп. в ВИНИТИ 31.12.96 N3857-D96. — 20 c.
11. Berman, J. On the congruence lattices of unary algebras / J. Berman // Proc. Amer. Math. Soc. — 1972. — Vol. 36, № 1. — P. 34-38.
REFERENCES
1. Artamonov V.A., Saliy V.N., Skornyakov L.A. Obshchaya algebra [General Algebra]. Moscow, Nauka Publ., 1991, vol. 1. 480 p.
2. Boshchenko A.P. Psevdodopolneniya v reshetke kongruentsiy unarov [Pseudocomplementations in the Lattice of Congruences of Unary Algebras]. Algebraicheskie sistemy: mezhvuz. sb. nauchn. rabot. Volgograd, VGPI Publ., 1989, pp. 23-26.
3. Egorova D.P. Struktura kongruentsiy unarnoy algebry [The Structure of Congruences of a Unary Algebra]. Uporyadochennye mnozhestva i reshetki: mezhvuz. nauch. sb. Saratov, Izd-vo Sarat. un-ta Publ., 1978, iss. 5, pp. 11-44.
4. Kartashov V.K., Kartashova A.V., Ponomarev V.N. Ob usloviyakh distributivnosti i modulyarnosti reshetok kongruentsiy kommutativnykh unarnykh algebr [On Conditions for Distributivity Or Modularity of Congruence Lattices of Commutative Unary Algebras]. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2013, vol. 13, no. 4 (2), pp. 52-57.
5. Kartashova A.V. O reshetkakh kongruentsiy pryamykh summ silno svyaznykh kommutativnykh unarnykh algebr [On Congruence Lattices of Direct Sums of Strongly Connected Commutative Unary Algebras]. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2013, vol. 13, no. 4 (2), pp. 57-62.
6. Maltsev A.I. Algebraicheskie sistemy [Algebraic Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1970. 392 p.
7. Popov V.V. O kollektivnoy normalnosti, o vrashchaemykh grafakh i kongruentsiyakh unoidov [On Collective Normality, on Rotated Graphs and Congruences of Unoids]. Saarbrucken, LAMBERT Academic Publishing, 2013. 68 p.
8. Popov V.V. O reshetkakh kongruentsiy periodicheskikh unarnykh algebr [On Lattices of Congruences of Periodic Unary Algebras]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2014, no. 2 (21), pp. 27-30.
9. Popov V.V. O distributivnosti reshetok kongruentsiy m-unoidov [On the Distributivity of Lattices of Congruences of m-Unoids]. Natsionalnaya assotsiatsiya uchenykh, 2017, no. 7 (34), pp. 25-26.
10. Usoltsev V. L. Minimalnye unarnye algebry s dvumya kommutiruyushchimi operatsiyami [Minimal Unary Algebras with Two Commuting Operations]. Dep. v VINITI 31.12.96 N3857-D96, p. 20.
11. Berman J. On the Congruence Lattices of Unary Algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 36, no. 1, pp. 34-38.
ON COMMUTATIVE UNARY ALGEBRAS WITH THE DISTRIBUTIVE
CONGRUATIONS LATTICES
Vladimir Valentinovich Popov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Computer Science and Experimental Mathematics, Volgograd State University
[email protected], [email protected], [email protected] Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. The article is devoted to the study of lattices of congruences of unary algebras. Algebras with m unary operations were considered by A. I. Mal-tsev [6, p. 348] and were called m-unoids. Unar is an algebra with one unary operation.
In [2; 3; 11] unars whose congruence lattices belong to a given class of lattices (semimodular, atomic, distributive, etc.) were studied. Similar questions for unary algebras with two unary operations were considered in [7;8; 10]. Important results on commutative unary algebras with a distributive lattice congruences were obtained in [4; 5]. The main results of this note is announced in [9].
The unary algebra A = (A, Q) is an algebraic system, which is defined by some set A and a set Q of unary operations on A. Each operation f e Q can be considered as a mapping of the set A into itself. The algebra A = (A, Q) is said to be commutative if for all f,g e Q and all x e A it holds the equality
f(g(x)) = g( f(x)).
The congruence 0 on the algebra A is such an equivalence relation on A, that for each f e Q and all x,y e A from x0y it follows f(x)0f (y). By Con A is denoted the set of all congruences on algebra A. There is a partial order on Con A: for the congruences 0i, 02 the relation 0i < 02 is satisfied if and only if for any elements x,y e A from x01y it follows x02y. If 01, 02 e Con A, then 01 A 02 denotes the lower bound congruences 01 and 02, then is the largest congruence 0 e Con A for which 0 < 01 and 0 < 02. The upper bound 01 V 02 of congruences 01 and 02.
A lattice of congruences Con A is called distributive if for any three congruences 01, 02, 03 e Con A the equality 01 A (02 V03) = (01 A02) V (01A03).
Below we need the description of the following unars and unary algebras:
Example 1 The unar D1 is (N, f), where N is the set of natural numbers, and the operation f is defined by the formula f(x) = x + 1, x e N.
Example 2 For natural numbers n > 1, the unar D2 is (Zn, f), where Zn is the residue ring modulo n and f(x) = x + 1(mod n) for x e Zn. If, in addition, n = 1, then the unary carrier consists of a single element, and f is the identity map.
Example 3 The unary algebra D3 is (Z,f, g), where Z is the set of integers, and f, g are defined by formulas f(x) = x + 1 and g(x) = x — 1, x e Z.
The main result of this note is as follows:
Theorem 1. Let A = (A, Q) be a commutative unary algebra with a distributive lattice of congruences, m = |Q| > 2. Then this algebra contains a subalgebra, the lattice of congruences of which is isomorphic to the lattice of congruences one of the unars Di, D2(n) or a lattice congruences of the algebra D3.
Key words: commutative unary algebra, m-unoid, latticies of congruences, distributive property, cyclic element.
