О решениях дифференциальных включений с импульсной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 2. С. 51-60

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.911.5

О решениях дифференциальных включений с импульсной структурой

Д. В. Пономарев

Институт математики, экономики, и информатики ИГУ

Аннотация. В статье рассматриваются два класса дифференциальных включений с импульсной структурой. Вначале выделяются включения с аддитивно входящими в правую часть обобщенными функциями, а затем — включения, содержащие в правой части дельта-функцию в качестве коэффициента. Для этих включений определяется структура решений и обосновываются условия их существования.

Ключевые слова: дифференциальное включение; дельта-функция; разрывная траектория; импульсная система.

Теория дифференциальных включений возникла в 30-х годах прошлого века, когда были доказаны теоремы существования решений и описаны их свойства. Однако, теория не нашла в то время широкого применения. Интерес к дифференциальным включениям возник позже при исследовании задач оптимального управления и дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. В настоящее время теория дифференциальных включений находит широкое применение в различных областях науки и продолжает развиваться, в частности, при исследовании управляемых систем с импульсными воздействиями.

В данной работе рассматриваются два класса дифференциальных включений, позволяющих описать системы с импульсным характером взаимодействия или с импульсным управлением.

Во втором разделе рассматривается более общая постановка задачи (правая часть в качестве слагаемого содержит обобщенную функцию p(t)), частным случаем которой являются дифференциальные включения с аддитивно входящими в правую часть дельта-функциями

1. Введение

x € F(t, x) + p(t).

Для этой задачи вводится понятие решения, и доказывается теорема о его существовании.

Третий раздел содержит некоторые результаты по непрерывным однозначным аппроксимациям включений, которые затем используются для исследования структуры решений дифференциальных включений, содержащих дельта-функцию в качестве коэффициентов

х € F(Ь, х) + 5(Ь)С(х).

2. Дифференциальные включения с обобщенными функциями, входящими в виде слагаемых

Исследуется общий класс систем, правая часть которых содержит в качестве слагаемого обобщенную функцию

x € F(t, x) + p(t). (2.1)

Здесь F(t,x) : [to,ti] x Rn ^ Rn — многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями; p(t) — обобщенная производная от некоторой измеримой ограниченной функции w(t). Под X подразумевается производная в обобщенном смысле. Если, например, w(t) является функцией Хевисайда, то правая часть включения аддитивно содержит дельта-функцию, которая используется при описании импульсных воздействий на систему.

Под решением включения (2.1) будем понимать измеримую функцию x(t), для которой существует измеримое сечение v(t) € F(t,x(t)) такое, что

X(t) = v(t) + p(t).

Включение (2.1) заменой x = y + w(t) сводится к обыкновенному дифференциальному включению вида

y € Fw(t,y), (2.2)

где Fw(t,y) = F(t,y + w(t)). Тогда при формулировке условий существования решения исходного включения (2.1) могут быть использованы условия существования решения для обычных дифференциальных включений (см., например, [1, c.120]).

Справедлива следующая теорема (см. [2]).

Теорема 1. Пусть отображение F(t,x) с выпуклыми компактными значениями удовлетворяет следующим условиям:

F1) F0,x) измеримо для каждого фиксированного x € Rn;

F2) F(t, •) полунепрерывно сверху для каждого фиксированного t € [to, ti];

¥3) существует такая суммируемая по Лебегу функция а(£), что

1к(£,х)|| < а(£)( 1 + ||х||)

для всех (£, х) € [£0, £1 х Нп и всех -и(£, х) € F(£, х).

Тогда существует решение задачи (2.1).

Рассмотрим дифференциальное включение вида

х € F(£, х) + ре(£), (2.3)

где про функцию 'Pe(t) известно лишь то, что она равна нулю вне малого интервала (£1 — е, £1 + е), и что ее интеграл по любому такому интервалу равен V. Такие функции будем называть дельтообразными. Они возникают при описании систем, подверженных кратковременному интенсивному воздействию. В механике это могут быть толчки или удары, а также управляющие воздействия. Для дифференциальных уравнений известен предельный переход при е ^ +0 с сохранением значения V интеграла от ре(£) на любом таком интервале, приводящий к уравнению с ^-функцией Дирака в правой части (см., например, [3, стр.18]). Ниже (в более общей форме) обосновывается аналогичный переход от дифференциального включения (2.3) к дифференциальному включению

х € F(£, х) + v5(t — £1),

где ё(-) — дельта-функция. Оно заменой х = у + vв(t — £1) сводится к

включению вида (2.2) с функцией w(t) = vв(t — £1) (0(£) — функция

Хевисайда).

Рассмотрим последовательность включений

х и € F (£,хй )+ рк (£),к = 1, 2,... (2.4)

и включение

х € F(£,х)+ р(£) (2.5)

при следующих предположениях.

1. Рк(£) = Wи(£), где функции Wk(£) измеримы и ограничены одной и той же константой для всех к = 1, 2,..., и Wk (£) ^ w(£).

2. р(£) = го(£).

3. Многозначные отображения F(£,х) и Fk(£, х) для каждого фиксированного к = 1, 2,... удовлетворяют условиям И-Р3, причем неравенство в условии Р3 выполняется с одной и той же функцией а(£) для всех отображений F(£,х) и Fk(£,х).

4. Многозначные отображения Fk удовлетворяют следующему условию: для каждого фиксированного £ и для любого открытого множества

V С Нп такого, что F(£, х) С V существует окрестность и(х) точки х и номер N такие, что для всех к > N выполняется Fk(£, и(х)) С V.

Отметим, что отображения Fk(£, х) могут быть однозначными. Тогда включения (2.4) становятся уравнениями. Отметим также, что в качестве Pk(£) могут выступать дельтообразные функции.

Теорема 2. Пусть для включений (2.4) и (2.5) выполняются условия 1-4. Тогда каждая функция х(£), предельная для какой-либо последовательности решений х^£) включений (2.4), является решением включения (2.5).

3. Дифференциальные включения с дельта-функциями, входящими в правую часть в виде коэффициентов

Пусть F : [£0,£1] х Еп ^ Еп и С : Еп ^ Еп — многозначные отображения, удовлетворяющие следующим условиям:

Б1) F(£, х) и С(х) являются ограниченными полунепрерывными сверху многозначными отображениями с выпуклыми компактными значениями;

Б2) F(£,х) и С(х) удовлетворяют односторонним условиям Липшица по х:

(х — у,«1 — «2) < 1|х — у|2 для всех х, у € Нп, £ € [£0, £1], и1 € F(£, х), «2 € F(£, у);

(х — у, V! — ^2) < 1|х — у|2

для всех х, у € Нп, € С(х), -и2 € С(у), где 1 > 0 — константа.

Введем в рассмотрение произвольную функцию 5Т(£), удовлетворяющую условиям:

Б3) ёт(£) непрерывна на отрезке [£0,£1];

^4) / |£т(£)|^£ < д.

to

Рассмотрим дифференциальное включение

х € F(£, х) + £т(£)С(х) (3.1)

и уравнения, на основе которых оно изучается ниже с использованием

известных фактов для дифференциальных уравнений с дельта-функциями в коэффициентах,

х = Fл(t,x) + £т (£)Сд(х), (3.2)

где Fл(t,x) и Сл(х) — непрерывные однозначные аппроксимации Иоси-

ды для отображений F(£, х) и С(х) соответственно. Решения включения (3.1) и уравнений (3.2) понимаются в обычном смысле как абсолютно непрерывные функции, почти всюду удовлетворяющие (3.1) и (3.2) соответственно.

Лемма 1. Пусть многозначные отображения F(£,х), С(х) удовлетворяют условиям Б1-Б2, функции ёт(£) — условиям Б3-Б4, и хл(£), х0(£) — решения уравнений (3.2) и включения (3.1) соответственно с начальными условиями (£0,х0), определенные на отрезке [£0,£1]. Тогда существуют положительные константы К и А' такие, что

||хл(£) — х0(£)|| < Кл/А (3.3)

для всех £ € [£0, £1], А € (0, А'].

Доказательство. В соответствии с леммой 1 и замечанием 1 из [4] существуют числа А' > 0, Ь > 0 и 11 > 0 такие, что для всех А € (0; А'] определены непрерывные отображения Fл(£, х) и Сл(х) (аппроксимации Иосиды) такие, что

1) Fл и С л — непрерывны и ограничены, удовлетворяют условию Липшица по х с константой ^;

2) выполняются неравенства

(х — у, Fл(t, х) — и) < 11|х — у||2 + АЬ, (3.4)

(х — у, Сл(х) — V) < 11|х — у||2 + АЬ (3.5)

для всех и € F(£,у) и V € С(у).

Обозначим Фл(£,х) = Fл(t,х) + ёт(£)Сл(х) и ш € F(£,х) + ёт(£)С(х). Тогда ш = и + ёт(t)v, где и € F(£,х), V € С(х). Из неравенств (3.4) и (3.5) получаем

(х — у, Фл(£, х) — ш) = (х — у, ^л(£, х) — и) + ёт(£)(Сл(х) — V)) =

= (х — у, Fл(£,x) — и) + ёт(£)(х — у, Сл(х) — V) <

< 11 |х — у||2 + АЬ + ёт (£) (11 |х — у||2 + АЬ) =

= 111 х — у |2 (1 + ёт) + ЬА(1 + ёт).

(3.6)

Положим у(£) = хл(£)—х0(£) и £(£) = 1 ||у(£) ||2. Тогда £(£) = (у(£),у(£)) для почти всех £ € [£0,£1], и из неравенства (3.6) получаем

£(£) < 211^(£)(1 + ёт(£)) + ЬА(1 + ёт(£))• (3.7)

Обозначим /(£) = 211(1 + ёт(£)), #(£) = Ь(1 + ёт(£)) и перепишем (3.7) в виде

£ < /(£)£(£) + А#(£).

Отметим, что £(£0) = 0.Решение г(£) уравнения г = /(£)г(£) + А#(£) с начальными условиями ^(£0) = 0 запишется в виде

/ /(«М« * - / /

г(£) = е4° / А^(«)е 40 ^5,

*0

откуда получаем

‘1 ‘1 / |211(1+йт(з))|^ *1 / |211(1+йт(и))^

я(£) < Ле‘° / Ь(1 + £Т(5))в4° ^ <

*0

< Ле411(*1—0+9)£(£1 - £0 + д).

Обозначим К2 = £(^ — £0 + д)е411(41 -*°+^). Тогда из дифференциальных неравенств с учетом я(£0) = £(£0) = 0 получаем £(£) < я(£) < ЛК2, откуда и следует (3.3). □

Теперь рассмотрим задачу

х € ^(£, ж) + 5(£)С(ж), (3 8)

ж(£0) = Ж0, ( . )

где £0 < 0 < ^1; 5(£) — дельта-функция Дирака; ^(£,ж) и С(ж) удовлетворяют условиям 81—82.

В теории обобщенных функций произведение £(£)С(ж) не определено. В связи с этим необходимо уточнение характера перехода, приведшего к рассмотрению этой задачи. В данной работе (3.8) понимается как формальная запись для предела последовательности задач

Ж € ^(£, ж) + 6г(£)С(ж), г = 1, 2,..., ( )

ж(£0) = ж0 ( . )

в том смысле, что под решением (3.8) понимается предел последовательности решений этих включений. Здесь (£) образуют последовательность непрерывных неотрицательных функций, удовлетворяющую следующим условиям:

Б1) ^(£) = 0 для любых £ € (®г,вг), где ^ 0 при г ^ +то;

вг

Б2) / |^(£)|^£ < д, для любого г = 1, 2,..., где д — некоторая фикси-

аг

рованная константа;

вг

Б3) / (£)^£ ^ 1 при г ^ +то.

аг

Введем вспомогательные задачи

й € ^(£, и), и(£0) = ж0, £ € [£0, 0] (3.10)

V € С(-и),-и(0) = и(0),£ € [0,1] (3.11)

ш € ^(£,ш),ш(0) = v(1),^ € [0,£1]. (3.12)

Тогда структуру решений включения (3.8) определяет следующая

Теорема 3. Пусть многозначные отображения ^(£, ж) и С(ж) удовлетворяют условиям Б1-Б2, функции £*(£) — условиям В1-В3. Тогда для любой последовательности решений ж*(£) задач (3.9) при г ^ имеет место:

ж*(£) ^ и(£),£0 < £ < 0 ж*^) ^ ш(£), 0 < £ < £1

где й(£) и ш(£) — решения включений (3.10) и (3.12) соответственно. Доказательство. Рассмотрим последовательность задач

ж» = ^а(£, ж*) + й(£)Сл(жг), жг(£0) = ж0

и вспомогательные задачи

ил = ^л(£, йл),

йл(£0) = ж0,£0 < £ < 0;

V л = Сл(«л),

vл(0) = йл(0), 0 < £ < 1.

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

шл = ^Л(£, шл), шл(0) = vл(1), 0 < £ < £1;

Из теоремы 3 [3, стр.36] получаем, что для любого фиксированного Л при г ^

жл(£) ^ ил(£),£0 < £< 0, (317)

жЛ(£) ^ шл(£), 0 <£ < £1, (. )

где йл(£) и шл(£) — решения уравнений (3.14) и (3.16) соответственно. В силу леммы 1

||ж*(£) — жл(£)|| < К\ТЛ, V* = 1, 2,... (3.18)

Зафиксируем произвольное е > 0 и выберем Л > 0 таким, что

К^Л < е/3. Тогда для любого £ € [£0, 0) из (3.17) существует номер

N такой, что

||жЛ(£) — йЛ(£)|| < 3 (ЗЛ9)

для всех г > N. Из [4] вытекает, что

||йл(£) — й(£)|| < К\/Д < - (3.20)

3

для всех £ € [£0, 0], где й(£) — решение дифференциального включения (3.10).

Теперь из (3.18)-(3.20) получаем

||ж*(£) — и(£)|| < |й(£) — йл(£)|| + ||йл(£) — жл(£)|| + ||жл(£) — ж*(£)|| < е

для всех г > N при произвольном фиксированном £ € [£0, 0).

Следовательно ж*(£) ^ и(£) при г ^ для любого фиксированного £ € [£0, 0).

Пусть 1л(£) — решение дифференциального уравнения (3.15) и 1(£) — решение включения (3.11). Положим у(£) = (1Л(£) — 1л(0)) — (и(£) — 1(0)) и С(£) = 1 ||у(£)|2. Тогда С(^) = (у(£), У(£)) для почти всех £ € [0,1]. Пусть #(£) € £(1^)), тогда

С(£) = (С^СО — А0)) — (1(£) — 1(0)^ Сл(1Л(£)) — £(£))) =

= (1Л(£) — ^ Сл(1Л(£)) — #(£))) — (А0) — 1(0^ Сл(1Л(£)) — #(£))).

В силу ограниченности многозначного отображения С(-и) имеет место оценка (1л(0)—1(0), Сл(1л(£)) — #(£))) < С1 ||1л(0) — 1(0)||2, где С1 — некоторая положительная константа. Из неравенства (3.5) следует (1л(£) — 1(£), Сл(1л(£)) — $(£))) < ^111^) — 1(£)||2 + ЛЬ. В итоге получаем следующее неравенство

С (£) < ^И*) — 1(£)||2 + ЛЬ + С1||1Л(0) — 1(0)||2 =

= 211С(£) + ЛЬ + С1||1л(0) — 1(0)||2.

Так как С(£0) = 0, то в силу леммы Гронуолла-Беллмана (см. [5, с.11]) получаем

*

С(£) < ^ е211(*-5)(ЛЬ + 611^(0) — 1(0)||2)^ <

0

1

< (ЛЬ + С1||1Л(0) — и(0)||2)У е2^-^,

0

откуда следует, что

||1Л(£) — 1(£)||2 < Сс||1Л(0) — 1(0)||2 + К0Л. (3.21)

Учитывая начальные условия 1л(0) = ил(0) и V(0) = и(0) и неравенство

(3.21), получаем

|| 1л(£) — 1(£)| < К^л/Л

для всех £ € [0,1]. Тогда для решений шл(£) уравнений (3.16) и решения ш(£) включения (3.12) имеем

||шл(£) — ш(£)|| < К^л/Л

для всех £ € [0,£1 ]. Следовательно, аналогично предыдущему, для любого е > 0 существуют Л' и натуральное число N такие, что

||ж*(£) — ш(£)|| < ||ш(£) — шл(£)| + |шл(£) — жл(£)| + ||жл(£) — ж*|| < е

для всех г > N и Л € (0, Л'] при любом фиксированном £ € (0, £1]. □

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

ж = ЬЛ(£,ж) + 5(£)Сл(ж), (3.22)

где ЬЛ(£,ж) и Сл(ж) — непрерывные однозначные аппроксимации Иоси-ды многозначных отображений Ь(£, ж) и С(ж). Согласно [3, с.37] понятие решения для (3.22) не является однозначно определенным и должно учитывать характер предельного перехода, приводящего к рассмотрению этого уравнения. Под решением можно, например, понимать (см. теорему 3 из [3, с.36]) функцию ж(£), удовлетворяющую уравнениям (3.14)-(3.16). Отметим, что функция ж(£) удовлетворяет уравнению

ж = Ьл(£, ж)

при £ = 0, а в точке £ = 0 терпит разрыв со скачком, который определяется уравнением (3.15). Это уравнение называется предельным.

Следствие 1. Пусть для многозначных отображений Ь(£, ж) и С(ж) выполнены условия Б1-Б2, и ж(£), жл(£) — решения задач (3.8), (3.22) соответственно. Тогда существуют положительные константы Л' и К такие, что

||ж(£) — жл(£)| < К\/Д (3.23)

для всех £ € [£0,£1], £ = 0 и для всех Л € (0, Л'].

Неравенство (3.23) вытекает из неравенства (3.18) и теоремы 3 при г ^ при каждом фиксированном £ = 0.

4. Заключение

Дифференциальные уравнения с дельта-функциями в коэффициентах впервые рассматривались в работе [6]. Как видно из теоремы 3, для включения (3.8) может быть введено предельное дифференциальное включение (3.11), которое определяет условие скачка. Согласно лемме 1 решения последовательности допредельных включений (3.9) могут быть аппроксимированы решениями уравнений (3.13). Из следствия 1 вытекает, что это утверждение справедливо и для решений уравнений

(3.22) и решения включения (3.8).

Автор благодарит И.А. Финогенко за предложенные задачи и внимание к работе.

Список литературы

1. Обуховский, В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / В. В. Обуховский, Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис. - М.: КомКнига, 2005. - 256 с.

2. Пономарев, Д.В. О разрывных системах управления с обобщенными функциями / Д. В. Пономарев, И. А. Финогенко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2009. - № 4. - С. 36-40.

3. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов.- М.: Наука, 1985. - 224 с.

4. Финогенко, И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно непрерывной правой частью / И. А. Финогенко // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т.41, № 5.- С. 647-655.

5. Трубников, Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. - Минск: Наука и техника, 1986. -150 с.

6. Kurzweil, J. Generalized ordinary differential equations / J. Kurzweil // Czechosl. Math. Journ. - 1958. - Vol. 8, № 3. - P. 360-588.

D. V. Ponomariov

On solutions of differential inclusions with impulse structure

Abstract. Two types of differential inclusions with impulse structure are considered in this article. First inclusions with delta-functions as summands and then others with delta-functions as coefficients are distinguished. Structure of solutions for these inclusions is determined and conditions for existence of the solutions are proved.

Keywords: differential inclusion; delta-function; discontinuous trajectories; impulse system.

Пономарев Денис Викторович, аспирант, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, б. Гагарина, 20 ([email protected])

Denis Ponomariov, post-graduate student, Institute of Mathematics, Economics and Information Science, Irkutsk State University, 20, Gagarin Blvd., Irkutsk, 664003 ([email protected])