О разрывных системах управления с обобщенными функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

иркутским государственный университет путей сообщения

15. Шор Н. З. Методы минимизации недифферен-цируемых функций и их приложения. Киев : Наукова думка, 1976.

16. Hiriart-Urruty J.-B. From Convex Optimization to Nonconvex Optimization // Nonsmooth Optimiza-tiom and Related Topics. N. Y. : Plenum Press, 1989. Pt. I : Necessary and sufficient conditions for global optimality.

17. More J. J., Garbow B. S., Hillstrom K. E. Testing unconstrained optimization software // ACM

Пономарев Д. В., Финогенко И. А.

Transactions on Mathematical Software. 1981. V. 7. P. 17-41.

18. Bellavia S., Macconi M., Morini B. STRSCNE : A Scaled Trust Region Solver for Constrained Nonlinear Equations // COAP. 2004. V. 28, N. 1. P. 31-50.

19. Tuy H. D. c. Optimization: Theory, Methods and Algorithms // Handbook of Global Optimization. Dordrecht: Kluwer. 1995.

УДК 517.9

О РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Введение. В данной работе исследуются разрывные системы управления

Dx = f (t, x, ux(t, x),..., um (t, x)) + p(t), (1) где f (t,x,щ,...,um) - непрерывная по совокупности аргументов векторная функция, скалярные кусочно-непрерывные (см. [1, с. 39]) функции щ (t, x) разрывны только на поверхностях S = {(t,x): pi(t,x) = 0}, каждая ограниченная часть которых имеет нулевую меру Лебега. Это означает, что в каждой точке (t, x) е S существуют конечные пределы u+ = u+ (t, x) и u- = u- (t, x) функций щ (t, x) с обеих сторон поверхности St. Функция p(t) = (px (t),..., pn (t)) представляет собой обобщенную производную Dw(t) от некоторой ограниченной измеримой на каждом конечном интервале функции w(t) = (w1(t),., wn (t)).

Под решением задачи (1) понимается измеримая функция x(t) , для которой существует измеримый селектор v(t) е F(t, x(t)) такой, что Dx(t) = v(t) + p(t), где F(t, x) - выпуклая оболочка множества F(t,x,U(t,x)..,Um(t,x)), Ui(t,x) -отрезки с концами u+ = u+ (t, x), u- = u- (t, x) для каждых (t, x) е S . Если (t, x) £ S, то U (t, x) состоит из одной точки u (t, x) . Формально задачу (1) будем записывать в виде дифференциального включения

Dx е ~(t, x) + p(t), (2)

понимая его решение в указанном выше смысле.

При условии р({) = 0 получаем обыкновенное

дифференциальное включение х е F(I, х), хорошо изученное в работах А.Ф. Филиппова [1], М.А. Айзермана, Е.С. Пятницкого [2], В.И. Уткина

[3].

Круг задач, которые приводят к дифференциальным уравнениям с обобщенными функциями, очень широк. В особенности это относится к задачам теории динамических систем с импульсными управлениями. Применительно к разрывным управляемым системам отметим задачи полной управляемости, слежения и стабилизации, которые решаются выводом системы на скользящий режим - движению по пересечению поверхностей разрыва управляющих функций. Как правило, функции щ ^, х), задающие поверхности разрыва управлений щ (1, х) , предполагаются непрерывно дифференцируемыми. Отказ от этого требования может привести к тому, что скользящий режим может быть реализован только на обобщенных разрывных решениях. Например, программное движение системы в скользящем режиме по траектории кусочно-непрерывной кривой со скачкообразным переходом с одной части траектории на другую (минуя переходные процессы) возможно только при импульсных воздействиях.

Важной задачей является правомерность описания реальных физических процессов уравнениями вида (1). Исследования данной работы посвящены изучению вопросов существования решения и корректности предельного перехода от обычных управляемых систем к системам (1) с

обобщенной функцией р(1) в правой части. Для управляемых систем эта функция, как правило, имеет смысл управления с импульсными составляющими.

Обобщенные решения. Вначале приведем ряд определений, которые будут использоваться в

дальнейшем. Через Я" обозначается евклидово п -мерное пространство, X - некоторое метрическое пространство. Многозначное отображение Р: X ^ Я" с компактными значениями называется полунепрерывным сверху, если для каждой точки х е X и для любого открытого множества V е Я" такого, что Р (х) е¥, существует окрестность и(х) точки х такая, что Р(и(х)) е V.

Однозначное отображение /: X ^ Я" называется сечением многозначного отображения Р , если /(х) е Р(х) для каждой точки х е X. В определении измеримости многозначных отображений, определенных на числовой прямой, мы следуем [4]. Отметим, что измеримое многозначное отображение имеет измеримое сечение.

Задача Коши для обыкновенного дифференциального включения записывается в форме

(3)

) е Р(^ х()), [х(^0 ) = х0,

где Р: Я1 х Я" ^ Я" - многозначное отображение.

Решением задачи Коши (3), определенном на промежутке I = \}0,10 + Т], называется абсолютно непрерывная функция х: I ^ Я", удовлетворяющая начальному условию и включению (3) для п.в. t е I.

Приведем теорему существования решения дифференциального включения (см., например, [4]), которая будет использоваться в дальнейшем.

Теорема 1. Пусть многозначное отображение Р: Я1 х Я" ^ Я" с выпуклыми компактными значениями удовлетворяет условиям:

¥1) для каждого фиксированного х е Я" многозначное отображение Р(•, х) имеет измеримое сечение;

¥2) при каждом фиксированном t многозначное отображение полунепрерывно сверху;

¥3) существует такая суммируемая по Лебегу на каждом конечном интервале функция а(:), что

| М | <аШ\+\ |х| | )

для всех ^, х) е Я1 х Я" и всех V е Р(^ х).

Тогда для любых начальных данных х(¿0 ) = х0 задача Коши (3) имеет решение, определенное на отрезке I.

Замечание. В предположениях теоремы 1 также существует решение задачи (3), определенное на отрезке I' = - Т,t0~\, и любое решение может быть продолжено на всю числовую ось.

Рассмотрим дифференциальное включение Бх(г) е Р(^ х) + р^). (4)

Под решением задачи (4) будем понимать измеримую функцию х(^ , для которой существует измеримая функция v(t) е Р(^ х^)) такая, что БХ(1) = v(t) + р^).

Теорема 2. Пусть выполняются условия ¥2, ¥3 теоремы 1 и условие

¥4) для каждого фиксированного х е Я" многозначное отображение Р(•, х) измеримо. Тогда существует решение задачи (4).

Доказательство. Введем следующую замену переменных:

х = у + ъ/ф. (5)

Тогда включение (4) приобретает вид

у ^) е Р у + ^ )) = у). (6) Отметим, что если у^) - решение включения (6), то, полагая у({) = v(t), заключаем, что х({) = у(г) + м>(г) является решением включения

(4).

Установим некоторые свойства многозначного отображения ^ (^ у) .

1) Для каждого фиксированного у отображение Р(•, у) имеет измеримое сечение.

Действительно, так как функция ^>(1) измерима, то при фиксированном у отображение Ч(1) = у + ) измеримо. Следовательно, из условия Б4 и теоремы о суперпозиционной селекти-руемости (см. [4, с. 79]) вытекает, что отображение t ^ Р(^ у + w(t)) = Т (}, у) имеет измеримое сечение.

2) При каждом фиксированном ? отображение Р ^,•) полунепрерывно сверху.

Действительно, пусть £ >0. Так как Р(^ х) полунепрерывно сверху по х , то существует 5 >0 такое, что из неравенства || х — х ||< 5 вытекает Р(I, х ) с Р£ (}, х) .

Пусть || у — у ||< 5 . Из формулы (5) вытекает

иркутским государственный университет путей сообщения

х = у + w(t) и х = у + w(t) . Тогда:

а) F х) = F (t, у + w(t)) = Fl ^, у), F х') = F у' + w(t)) = F1 (и у ');

б) | | х - х ' | |=| | у + w(t) - у ' - w(t )\ |=| у - у ' | | < 8.

Следовательно, ^ (t, у ) с F1 е(}, у). Это означает, что F ^, у) полунепрерывно сверху по у .

3) Существует такая суммируемая по Лебегу на каждом конечном интервале функция ах ^), что

| М | <аl(t)(1+| |y| |) для всех (^ у) е Я1 х Я" и V е F^, х) .

Действительно, так как ^ (t, у) = F(}, х) , то в силу свойства Б3 отображения F^, х) имеем ^^а^ )(1+||х||) =

= аШ+Цу + ||) <

<а(t)(1+||y||+M) < <ат+М +||y||+M||y||) = = а(1)(1 +М )(1+| |y| | ) = аl(t)(1+| |y| |), где М > || w(t)|| - константа, ограничивающая функцию w(t) на каждом конечном интервале.

Из полученных свойств 1 -3 и теоремы 1 следует, что существует решение у^) включения (6). Тогда х^) = у({) + q(t) - решение включения (4). Теорема доказана.

В дальнейшем рассматриваются решения включения (4), имеющие представление х^) = у(О + q(t) , где у(^ - решение включения (6).

Рассмотрим дифференциальное включение

вида

Вх е F & х) + рв«), (7)

где про функцию рЕ (О известно лишь, что она равна нулю вне малого интервала (^ -е, ^ + е), и что ее интеграл по любому такому интервалу равен V . Такие функции будем называть дельтообразными. Они возникают при описании систем, подверженных кратковременному интенсивному воздействию. В механике это могут быть толчки или удары, а также управляющие воздействия. Для дифференциальных уравнений известен предельный переход при е ^ +0 с сохранением значения V интеграла от рЕ ^) на любом таком интервале, приводящий к уравнению с 8 -функцией Дирака в правой части (см., например, [1, с. 18]). Ниже (в более общей форме) обосновывается аналогичный предельный переход от дифференциального включения (7) к дифференциальному включению Вх е F(г, х) + v8(t - ^),

где ) - 8 -функция Дирака. Оно заменой х = у + V0(t - ^) сводится к включению вида (6) с функцией w(t) = v0(t-^) (0(0 - функция Хеви-сайда).

Предельное дифференциальное включение. Рассмотрим последовательность включений

Вхк е Fk & хк ) + рк (0 (8)

для каждого к = 1,2,... и включение

Вх е Fх) + р(1) (9)

при следующих предположениях:

1) р^ ^) = Вмк ^), где функции (I) измеримы, || ~мк (0 || < М на каждом конечном интервале для всех к = 1,2.... и wк^) ^w(t) ;

2) ра) = В^);

3) многозначные отображения F^, х) и ^^,х) для каждого фиксированного к = 1,2.... удовлетворяют условиям Р2-Б4 (условие Б3 выполняется с одной и той же функцией а(/) для

всех к ).

4) многозначные отображения ^ удовлетворяют следующему условию: для каждого фиксированного I и для любого открытого множества

V с Я" такого, что F^, х) с V, существует окрестность и(х) точки х и номер N такие, что для всех к > N выполняется ^ и(х)) с V.

Дифференциальное включение (9) будем называть предельным для включений (8). Отметим, что отображения ^ ^, х) могут быть однозначными. Тогда включения (8) становятся уравнениями. Отметим также, что в качестве р^ ^) могут выступать дельтообразные функции.

Теорема 3. Пусть для включений (8) и (9) выполняются условия 1 -4. Тогда каждая функция х(1) , предельная для какой-либо последовательности решений хк ^) включений (8), является решением включения (9).

Доказательство. Из условия 3) и теоремы 2 следует, что любое дифференциальное включение (8) имеет решение хк (0 = ук #) + Wk #), где ук Ц) - решение дифференциального включения

ук е ^ ^У1, ук + wk

Пусть последовательность решений хк ^) сходится к функции х(1) при к . Тогда из условия 1 теоремы получаем, что последовательность ук ^) = хк ^) + wk (!) сходится к некоторой функции у(1 ). Из условия 4) следует, что для каждого I и любого е >0 существует такой номер N ,

что для всех k > N выполняется

Fk (t, yk (t) + ^k (t)) с Fs (t, y(t) + w(t)),

где Fs означает s -окрестность множества. Следовательно,

yk(t) gFs(t,y(t) + w(t)) (10)

для любого k > N .

Отметим, что на каждом конечном отрезке функции y, (t) являются абсолютно непрерывными, а их производные - интегрально ограниченными одной и той же суммируемой функцией. Тогда в соответствии с теоремой 1.3 из [5, с. 16] получаем, что на любом конечном отрезке функция y(t ) абсолютно непрерывна и для почти всех t и любых n = \ ,2,... выполняется включение

y(t) g co {^ yk (t); k > n}. В силу произвольности выбора s >0 из (10) получаем, что y(t) g F(t, y(t) + w(t)). Тогда x(t) = y(t) + w(t) - решение включения (9). Теорема доказана.

При моделировании реальных физических процессов уравнениями вида (1 ) важной проблемой является возможность перехода от системы дифференциальных уравнений с обычными "дельтообразными" функциями р£ (t) в правых частях к уравнениям с 8 -функциями при s ^ +0 (проблема корректности). В некоторых ситуациях эта проблема влияет на выбор понятия обобщенного решения. Теорема 2 обосновывает правомерность такого перехода применительно к управляемым системам (1).

Действительно, пусть функции щ (t, x) ограничены. Тогда согласно лемме 1 [1, с. 53] многозначные отображения Ui (t, x) полунепрерывны сверху и из леммы 2 [1, с. 54] и непрерывности функций f (t, x, и) вытекает, что многозначное отображение из правой части (1) полунепрерывно сверху по совокупности аргументов. Значит, выполняются условия F1 и F2. Легко найти условия на функции f (t, x, и), которые обеспечат для

включения (1) условие подлинейного роста его правой части (условие F3). Им будет, например, ||f (t, x, и)|| <a(t)(\ x|| + |\и\\).

Тогда к дифференциальному включению (2) могут применяться теоремы 2 и 3. Относительно теоремы 3 отметим один частный случай. Пусть управления имеют вид щ = Ht sign xi. Как следует из работ [6, 7], такие функции могут быть в определенном смысле аппроксимированы непрерывными и даже бесконечно дифференцируемыми функ-

циями так, что включение (2) будет предельным для последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью

x = f (t,x,u[k (x),...,uEJk (x)) + p (t),

k

где в качестве p могут быть взяты дифференци-

k

руемые дельтообразные функции.

Пример. Уравнение движения звена манипулятора с учетом силы сопротивления среды имеет вид

mf q = -mgrcosq - kr 2q + u, (11) где q - угол отклонения связи манипулятора (стержня) длины r от горизонтальной прямой. Поставим задачу перемещения манипулятора из состояния q(-0) = 0, q(0) = q0 в состояние q(T + 0) = 0, q(T) = qT за период времени T с постоянной скоростью v. Это предполагает импульсные воздействия на систему в моменты t = 0 и t = T и движение по закону q = w(t), где w(t) = v6(t) -v6(t - T), в , как и выше, функция Хевисайда (непрерывная справа). Управление возьмем в виде u = -H sgn(q - w(t)). Таким образом, множество точек разрыва функции u(t, q) имеет вид S = {(t, q): q - w(t) = 0}.

Условие реализуемости указанного движения, стабилизацию манипулятора в начальном, конечном положении и в период движения можно получить из неравенства Vv (t, q) < 0 для t Ф 0, t Ф T и 0 < |q - v| < S для достаточно малых S > 0, 1 2

где Vv (t, q) = —(q -v) . Оно, в свою очередь, вытекает из неравенства

mgrcosq + krV < H

(12)

которое задает ограничения на величину импульса V и угла Ц .

Если mgr< Н , то неравенство (11) выполняется для всех значений 0 < ц < 2ж при достаточно малых скоростях Ц = v . Нарушение неравенства (11) при большом импульсе V может привести к тому, что движение системы (11) в режиме ¿1 = w(t) невозможно. С физической точки зрения это означает, что при больших скоростях ресурсов управления недостаточно для преодоления сил внешней среды.

Отметим, что описанное выше движение манипулятора обеспечивает минимальный расход энергии (см. [8]).

иркутский государственный университет путей сообщения

Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (интеграционный проект № 85).

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М. : Наука, 1985.

2. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем // Автоматика и телемеханика. 1974. № 7. С. 33-47 ; № 8. С. 39-61.

3. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М. : Наука, 1981.

4. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / В. В. Обуховский, Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис. М. : КомКнига, 2005.

5.

6.

7.

Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск : Наука, 1986.

Сурков А. В., Финогенко И. А. Об аппроксимациях регулируемых систем с разрывными монотонными характеристиками // Оптимизация, управление, интеллект. 2004. Т. 7. С. 4052.

Финогенко И. А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывной правой частью // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 647-655. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Потапов А. А.

УДК 539.183.3

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ АТОМОВ ПО ПРИЗНАКУ ИХ ЭЛЕКТРОННОГО СТРОЕНИЯ

Введение. Строительными элементами на-ноустройств выступают (по определению) атомы и/или молекулы. Природа предоставила широкий выбор исходных структурных элементов для конструирования: около 100 атомов и невообразимо большое число молекул (от простейших молекул с небольшим числом атомов до биомолекул) [1]. К настоящему времени накоплено огромное количество данных, характеризующих их структуру и электронные свойства. В принципиальном отношении они обеспечивают возможность построения любой атомно-молекулярной конструкции [2, 3]. Практическая реализация этой возможности начинается с проблемы выбора из всего имеющегося многообразия элементов наиболее приемлемых, обеспечивающих получение у проектируемых материалов или устройств заданных эксплуатационных свойств и характеристик. В настоящее время такой выбор делается на основании анализа имеющихся экспериментальных данных о геометрических размерах и электронном строении атомов и молекул, а также на основании предшествующего индивидуального опыта синтеза искусственных веществ. Проблема выбора "нужных" ато-

мов усугубляется непереносимостью свойств атомов в составе создаваемых на их основе молекул и химических соединений. Решение настоящей проблемы необходимо начинать с систематизации атомов по признаку, ответственному за их атомную индивидуальность и самотождественность. Исходным пунктом решения этой задачи является Периодическая таблица Д.И. Менделеева.

Физические основания систематизации элементов. Таблица Менделеева стала вершиной эмпирического обобщения имеющегося на момент ее открытия фактологического материала. Для систематизации данных были приняты химические свойства элементов и свойства их соединений. Следующий этап в становлении таблицы Менделеева как инструмента познания и методологической основы конструирования атомно-молекулярных систем заключается в установлении количественных связей между свойством каждого из элементов и его порядковым номером и последующим установлении закона периодичности элементов [3, 4]. Очевидно, что количественной мерой свойства атома может выступать одна из его