О множестве решений дифференциальных включений с односторонними условиями Липшица Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 2. С. 44-50

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.911.5

О множестве решений дифференциальных включений с односторонними условиями Липшица *

В. И. Новицкий

Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Аннотация. В статье рассматривается дифференциальное включение с многозначными возмущениями или управлениями. Наряду с исходным включением рассматривается однопараметрическое семейство аппроксимирующих включений, исследуется вопрос о Близости множеств решений исходного и аппроксимирующего включений в метрике Хаусдорфа.

Ключевые слова: дифференциальное включение, одностороннее условие Липшица, аппроксимация Иосиды, множество достижимости.

где х = (х1,... ,хп) € Еп, £ € [£0,^], ^(£,х) и 0(£,х) — ограниченные полунепрерывные сверху многозначные отображения, значениями которых являются выпуклые компактные подмножества из пространства Кп.

Данная задача возникает, например, при рассмотрении управляемой системы, описываемой дифференциальным уравнением вида

где /(£, х) — разрывная по совокупности аргументов (£, х) функция, В(£,х) — матрица размерности п х т, элементами которой являют-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-00132-а) и СО РАН (интеграционный проект № 85).

1. Введение

Рассматривается дифференциальное включение

х € ^(£, х) + 0(£, х), х(£0) = х0,

(1.1)

x = f (t, x) + B(t, x)u(t, x), x(t0) = x0,

(1.2)

ся непрерывные функции, и(£, х) = (и1(£, х),..., ит(£, х)) — вектор-функция управления, и^(£, х) разрывны на гладких поверхностях Бг = {(£, х) : <^(£, х) = 0}, г = 1,..., т (каждая функция иг(£, х) на своей поверхности Бг). Применяя к функции /(£, х) простейшее выпуклое доопределение по Филиппову (см. [1]), получаем полунепрерывное сверху многозначное отображение Г(£, х). Также его можно получить, если рассматривать управляемую систему, в которой /(£, х) представляет собой функцию возмущений точное значение которых не известно, но известно органичение вида /(£, х) € Г(£, х). Далее, применяя для функции и(£, х) метод эквивалентного управления, получаем полунепрерывную сверху многозначную функцию 0(£, х) = В(£, х)и(£, х) (см. [2]). Таким образом осущетсвляется переход от управляемой системы (1.2) к дифференциальному включению (1.1).

Актуальность задачи, которая будет рассматриваться в данной работе обуславливается тем, что применение вычислительных процедур непосредственно к дифференциальным включениям (1.1) встречают значительные трудности. Здесь мы используем для многозначных функций Г(£,х) некоторые однозначные непрерывные аппроксимации Г\(£, х) и рассматриваем дифференциальное включение

х € Г\(£, х) + 0(£,х) (1.3)

с параметром Л > 0. Оценки для множеств решений дифференциальных включений (1.1) и (1.3) позволяют гарантированно оценивать множество достижимости для включения (1.1) с использованием хорошо разработанных численных методов для включения (1.3).

2. Односторонние условия Липшица

В определениях полунепрерывности сверху и измеримости многозначных отображений со значениями в пространстве непустых компактных подмножеств из Кп мы следуем [3].

Определение 1. Многозначное отображение Г(£,х) удовлетворяет одностороннему условию Липшица, если

Ух, у € Лп, Уи € Г(£, х), Уь € Г(£, у), У£ € [£0, £1] ,

(х — у, и — ь) < 1||х —

2 (2.1)

Определение 2. Многозначное отображение 0(£,х) удовлетворяет слабому одностороннему условию Липшица, если

Ух, у € Лп, Уи € 0(£, х), У£ € [£0, £1] , Зь € 0(£, у),

(х — у, и — ь) < 1||х — '

2

(2.2)

46 в. и. новицкий

Здесь (•, ■) — скалярное произведение векторов, || ■ || — евклидова норма.

Пусть A, B — непустые компактные множества некоторого метрического пространства X.

Определение 3. Метрикой Хаусдорфа называется выражение h(A, B) = max{ex(A, B), ex(B, A)},

где

ex(A, B) = sup inf d(a, b),

aeA b<=B

d(a, b) — расстояние между точками a и b.

Если отображение F(t, x) однозначно и удовлетворяет условию Липшица по пременной x, то оно удовлетворяет также одностороннему условию Липшица и, очевидно, слабому одностороннему условию Липшица. Для многозначного отображения G(t, x) с условием Липшица в метрике Хаусдорфа по переменной x € Rn:

h(G(t, x), G(t, y)) < k||x — y||, (2.3)

выполняется, вообще говоря, лишь слабое одностороннее условие Липшица. Действительно, из неравенства Коши-Буняковского следует, что (x — y,u — v) < ||x — y|| ■ ||u — v||. В свою очередь, из (2.3) следует, что

sup inf ||u — v|| < k||x — y||.

v€G(t,y) u£G(t,x)

Тогда для любого v € G(t,y) найдется u € G(t,x), что ||u — v|| < k||x — y|| и, следовательно, выполняется неравенство (2.2). Если же G(t, x) = U — const, то неравенство (2.2) выполняется, а неравенство (2.1) нет.

Для любой непрерывной функции x(t) и измеримой функции g(t) € G(t, x(t)), t € [to, ti], определим многозначное отображение Gg(t, y) как множество точек v € G(t, y) таких, что

(x(t) — y,g(t) — v) <l|x(t) — y||2- (2.4)

Лемма 1. Справедливы следующие утверждения:

1) Для всех (t, y) множество Gg (t, y) выпукло и компактно.

2) Для любого фиксированного t многозначное отображение y м Gg (t, y) полунепрерывно сверху.

3) Для любого фиксированного y многозначное отображение t м Gg(t, x(t)) имеет измеримый селектор.

Доказательство. 1) Так как, множество 0д (£, у) замкнуто и 0д(£,у) С 0(£, у), то 0д(£,у) компактно.

Пусть ьа = аь1 + (1 — а)ь2,ь1,ь2 € 0д(£,у), где а € [0,1]. Тогда

(х(£) — у, #(£) — ьа) = (х(£) — у, а#(£) + (1 — а)#(£) — аь — (1 — а)ь2) =

а(х(£) — у,#(£) — ы) + (1 — а)(х(£) — у,#(£) — ьг) < а1||х(£) — у ||2 + (1 — а)1||х(£) — у||2 = 1|х(£) — у||2.

Т. е. для ьа выполняется (2.4) и множество 0д(£,у) — выпукло.

2) Пусть ук ^ у,ук ^ ь,Ьк € Од(£,ук). Тогда ь € 0(£,у) (в силу полунепрерывности сверху 0(£, у)) и

(х(£) — ук,#(£) — ьк) < 1|х(£) — ук||2. (2.5)

Из (2.5) при к ^ то получаем (2.4), т.е. ь € 0д(£, у) и 0д — полунепрерывное сверху многозначное отображение (имеет замкнутый график и в силу ограниченности — полунепрерывно сверху).

3) Обозначим 0дт (£, у) С 0д(£, у) множество всех ь € 0(£, у) на которых левая часть (2.4) достигает своего минимума, или, в эквивалентной формулировке, функция Ф(£,у) = — (х(£) — у,д(£) — ь) достигает своего максимума по ь € 0(£, у) (у — фиксировано).

Так как оборажение £ ^ 0(£, у) полунепрерывно сверху, то оно измеримо. Функция $(£) также измерима. Тогда, используя свойство Лузина для измеримых функций (как однозначных, так и многозначных) для любого е > 0 выберем множество Т£ С [£0, £1] такое, что ^([£0, £1] \ Т£) < | и сужение отображений 0(-, у) и $(•) непрерывны на Т£. По теореме максимума [3, с. 53] сужение отображения 0дт(-,у) на можество Т£ полунепрерывно сверху и следовательно измеримо на Т£. Тогда существует множество Т£ С Т£, ^(Т£ \ Т£) < 2 такое, что 0дт(-,у) непрерывно на Т£ и ^([£0,£1] \ Т£) < 2 + 2 = е. Таким образом для 0дт (-,у) выполняется свойство Лузина и отображение 0дт (■, у) измеримо на множестве [£0, £1]. Поэтому оно имеет измеримый селектор я(£) € 0дт(£, у) С 0д(£,у).

□

3. Аппроксимации Иосиды и множества достижимости

Наряду с (1.1) будем рассматривать дифференциальное включение

х € Гд(£, х) + 0(£, х), (3.1)

где Гд(£,х) — аппроксимация Иосиды [4] отображения Г(£, х). В соответствии с леммой 1 [1] существует число Л' > 0 такое, что для любых £ € [£0,£1], х, у € Кп и ь € Г(£, у) справедливо неравенство

(х — у, Гд(£,х) — ь) < 1||х — у||2 + ЛЬ, (3.2)

48 в. и. новицкий

для всех Л € (0, Л'], где I, Ь — некоторые константы,

Ниже будет использоваться следующий факт [2, Лемма 1]: для любого решения х(£) включения (1.1), определенного на отрезке [£0,£1] существуют измеримые селекторы /(£) € Г(£, х(£)) и д(£) € 0(£,х(£)) такие что

х = / (£) + #(£)-

Пусть х(£) — решение включения (1.1) с начальным условием х(£0) = х0, определенное на отрезке [£0, £1], и хд(£) — решение включения

хд(£) € Гд(£,хд(£)) + 0д(£,хд(£)),

также определенное на отрезке [£0,£1] и хд(£0) = х0. Согласно [3] такие решения существуют. Обозначим

^(£)=2 Ихд(£)—х(£)|2-

Тогда

го(£) = (хд(£) — х(£),х д(£) — х(£)) =

(хд(£) — х(£), (Гд(£, хд(£)) — /(£)) + (дд(£, хд(£)) — д(£))) =

(хд(£) — х(£),Гд (£,хд(£)) — / (£)) + (х(£) — хд(£),д(£) — дд(£)),

где /(£) € Г(£,х(£)), д(£) € 0(£, х(£)), дд(£) € 0д(£,хд(£)). Из неравенств (2.4) и (3.2) следует, что

(хд(£) — х(£),Гд(£,хд(£)) — /(£)) < 1|х(£) — хд(£)||2

и

(х(£) — хд(£),д(£) — дд(£)) < 1|х(£) — хд(£)||2.

Поэтому гй(£) < 21||х(£) — хд(£)|2 + ЛЬ = 21ш(£) + ЛЬ. Из неравенства

*1

Гронуолла-Беллмана [5, с. 11] получаем, что эд(£) < / в2г(*1-^ЛЬ^£ = О(Л).

*0

Следовательно, существует число к > 0, такое, что -ш(£) < кЛ.

Таким образом, для всякого решения х(£) включения (1.1) существует решение хд(£) включения (3.1) такое, что

тах ||хд(£) — х(£)|| < к^Л (3.3)

*€[*0,*1]

Теперь наоборот, пусть хд(£) — решение включения (3.1). Тогда, очевидно, существует измеримая функция д*(£) € 0(£,хд(£)), такая что

х д(£) = Гд(£,хд(£)) + д*(£)

для почти всех £ € [£0,^1]. Для этой функции д*(£) также, как и выше, определим многозначное отображение 0д^ (£,у), удовлетворяющее неравенству

(хд(£) — у,д*(£) — ь)< 1||хд(£) — у||2 (3.4)

Рассмотрим решение х(£) включения

х € Г(£,х(£)) + 0дт(£,х(£)),

которое, очевидно, является также решением включения (1.1). В ходе доказательства леммы 1 была установлена измеримость многозначного отображения 0дт(£,х(£)). Тогда х(£) = /(£) + д(£), где /(£) € Г(£,х(£)) и д(£) € 0дт(£,х(£)), где /(£) и д(£) — измеримые функции, и

го(£) = (хд(£) — х(£),х д(£) — х(£)) = (хд(£) — х(£), (Гд(£,хд(£)) — /(£)) + (д*(£,хд(£)) — д(£))) = (хд(£) — х(£),Гд(£, хд(£)) — / (£)) + (хд(£) — х(£),д*(£) — д(£)).

В силу (3.4) справедливо неравенство

(х\£) — х(£),д*(£) — д(£)) < 1|хд(£) — х(£)|2.

Таким образом, учитывая неравенство (3.2), получаем, что гй(£) < 21||хд(£) — х(£)||2 + ЛЬ = 21ш(£) + ЛЬ.

Применяя лемму Гронуолла-Беллмана, получаем, что -ш(£) < кЛ и, следовательно, для всякого решения хд(£) включения (3.1) существует решение х(£) включения (1.1) такое, что выполняется (3.3).

Из доказанного выше и определения метрики Хаусдорфа следует, что справедлива следующая

Теорема 1. Пусть Нд(х0), Н(х0) — множества решений включений (3.1) и (1.1) соответственно, определенных на отрезке [£0,£1] с начальным условием х(£0) = х0, Н — метрика Хаусдорфа, определенная на всех непустных компактных множествах пространства непрерывных функций С([£0, £1], Кп). Тогда существуют к и Л' такие, что для любого Л € (0, Л'] выполняется следующая оценка

Н(Нд(х0),Н(х0)) < к^Л.

4. Заключение

Множеством достижимости в момент времени £ для дифференциального включения (1.1) называется множество Н(ж0)[£] = Ш ж(£) : ж(0 Є Н(х0)}. Теорема 1 позволяет с гарантированной точностью оценить множество достижимости исходной системы через множество достижимости аппроксимирующей системы,в которой функция Ьд(£, х) является однозначно определенной. Следует отметить, что полученная оценка записывается в терминах параметра Л ив таком виде получена впервые. Это

позволяет обоснованно строить численные методы для приближенной оценки множеств достижимости управляемой системы.

Автор благодарит И.А. Финогенко за предложенные задачи и внимание к работе.

Список литературы

1. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985. - 224 с.

2. Новицкий В.И. Скользящие режимы управляемых систем с многозначными возмущениями / В. И. Новицкий, И. А. Финогенко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2009. - Т.23, №. 3. - С.87-91.

3. Обуховский, В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / В. В. Обуховский, Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис. - М.: КомКнига, 2005. - 256 с.

4. Финогенко, И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно непрерывной правой частью / И.А. Финогенко // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 5. - С. 647-655.

5. Трубников, Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. - Минск: Наука и техника, 1986. -150 с.

V. I. Novitskiy

On a set of solutions for differential inclusions with one sided Lipschitz condition

Abstract. In this paper we consider differential inclusion with multiple-valued perturbation or control. Beside initial inclusion we consider one-parameter kind of approximate inclusions and analyze issue on closeness of solution sets of initial and approximate inclusions in Hausdorff distanse.

Keywords: differential inclusion, one sided Lipschitz condition, Iosida approximation, attainability set.

Новицкий Вадим Иванович, аспирант, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952)427100 ([email protected])

Vadim Novitskiy, post-graduate student, Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS, 134, Lermontov St., Irkutsk, 664033 Phone: (3952)427100 ([email protected])