Теоремы об аппроксимации и релаксации для дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

; Bo = Ao - Do; Q(t) = e Dot (aiAn(t) + PiAi2(t))+ a'2x(e(t),t, цо)) eDot — ограниченная и qT -периодическая no t матрица, где a2x(x,t, у) —матрица Якоби вектор-функции a2(x,t,^).

Пусть S — постоянная матрица, удовлетворяющая равенству

qT qT

J e-BoTSeBoTdr = J e-BoTQ(t)eBoTdr.

oo

Обозначим через А^ и а2^ собственные значения матрицы PoSPo.

Теорема 3. Пусть А^ < 0 и А^ < 0 . Тогда при всех малых е > 0 бифурцирующие решения x(t, е), возникающие при условиях теоремы 1, устойчивы. Если же хотя бы одно из чисел А^, а2 1 является положительным, то эти решения при всех малых е > 0 неустойчивы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гукенхеймер Док., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

3. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 288 с.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Murtazina S.A. Study of the stability of many-parametric dynamic systems forced oscillations. The local bifurcation problem for forced oscillations of two-parameter dynamic system is considered. The theorem on stability of periodic solutions is proposed.

Key words: bifurcation; forced oscillations; subharmonic oscillations.

Муртазина Сария Аширафовна, Сибайский институт (филиал) БашГУ, г. Сибай, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры прикладной математики и информационных технологий, e-mail: [email protected].

УДК 517.911.5

ТЕОРЕМЫ ОБ АППРОКСИМАЦИИ И РЕЛАКСАЦИИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ © В.И. Новицкий

Ключевые слова: дифференциальное включение; аппроксимация Иоеиды; односторонние условия Липшица; релаксация.

В работе получена оценка для множеств решений дифференциального включения с помощью аппроксимаций Иосиды. Рассматриваются вопросы существования решения для дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Приводится теорема о плотности множества решений, а также устанавливается связь между множествами решений исходного и аппроксимирующего включения.

Рассматривается дифференциальное включение вида

х £ Е(1,х) + 0(1,х), х(10) = х0, (1)

где х = (х\,...,хп) £ Яп , £ £ Т = [£о, £1] С Я1. Условия для многозначных отображений Е(1,х) и О(£, х) будут уточняться ниже. Пространство Яп наделено евклидовой нормой || • || . В определениях полунепрерывности сверху и полунепрерывностп снизу многозначных отображений мы следуем [1].

Наряду с (1) рассматриваем дифференциальное включение

х £ Е\(1,х) + 0(1, х), (2)

где Е\(1,х)— аппроксимация Иосиды отображения Е(Ь,х) [2].

Определение 1. Многозначное отображение Е удовлетворяет одностороннему условию Липшица, если

Ух, у £ Яп, Уи £ Е(£, х), Уу £ Е(£, у), Ш £ [£0,£1] , (х — у, и — у) ^ 1Цх — у||2, (3)

где (•, •) — знак скалярного произведения.

0

роннему условию Липшица, если

Ух, у £ Яп, Уи £ 0(Ь,х), У1 £ [£0,£1] , Зу £ 0(Ь,у), (х — у, и — у) ^ 1Цх — у||2. (4)

Теорема 1. Пусть Е, О — полунепрерывные сверху многозначные отображе-

ния с выпуклыми компактными значениями, удовлетворяющие неравенствам (3), (4) соответственно, На(х0), Н@(х0) — множества решений включений (1) и (2) соответственно, определенных на, отрезке Т с начальным условием х(Ь0) = х0 , На — метрика Хаусдорфа, определенная на всех непустых компактных множествах пространства непрерывных функций С([£0,£1],Яп). Тогда существуют числа к и такие, что для любого \ £ (0,\'] выполняется На(Н^(х0),Нс(х0)) ^ к\/Г\.

0

если для любого е > 0 и любого компакта К С Яп существует замкнутое множество Т С Т, ц(Т \ Те) ^ е такое, что сужение 0(1, х) на Т£ х К полунепрерывно снизу.

Через сотрЯп (сотЯп ) обозначим множество всех непустых компактных (выпуклых

Яп

Теорема 2. Пуст ь многозначные отображения Е (Ь,х) и 0(Ь,х) из правой части

(1)

1) Е(Ь,х) : Т х Яп ^ сотЯп полунепрерывно сверху;

2) 0(Ь, х) : Т х Яп ^ сотрЯп обладает слабым свойством Скорца-Драгони;

3) Е(Ь,х), 0(Ь,х) удовлетворяют неравенству ||/1| ^ т(Ь) + к^ЦхЦ^ £ Т, для всех / £ Е(Ь,х) или / £ 0(Ь,х), (Ь,х) £ Т х Яп, где т(Ь) и к(Ь) интегрируемые по Лебегу на,

Т

Т

Через Нсоа(х0) обозначим множество решений дифференциального включения

х(1) £ Е{^,х(1))+со0{^,х(1)), х(10) = х0. (5)

Теорема 3. Пуст ь выполняются условия 1 и 3 теоремы 2, Е (Ь,х) удовлетворяет неравенству (3), 0(1,х) : Т х Яп ^ сотрЯ™ — отображение типа Каратеодори,

х.

дифференциальных включений (1) и (5) существуют решения, определенные на, всем отрезке времени T, и Hg(x0) = Hcog(x0).

Рассмотрим дифференциальное включение

x £ F\(t, x) + coG(t, x),x(t0) = x0,

множество решений которого обозначим HqoG(xo) ■

Теорема 4. Пуст ь выполняются условия теоремы 3. Тогда, существуют числа к и А такие, что для любого А £ (0, А'] сп^ведливо равенство Hq(x0) = HqoG(x0) и неравенство he(Hg(x0),HqoG(x0)) ^ к\/А.

В заключение отметим, что для управляемых систем отображение F(t,x) может описывать многозначные возмущения или разрывные характеристики системы, а отображение G(t, x) ограничение на управление u £ G(t, x) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Куратовский К. Топология. К. Куратовский М.: Мир, 1969. Т.2 624 с.

2. Финогенко И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно непрерывной правой частью // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 5. С. 647-655.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана СО РАН (интеграционный проект № 85) и Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 10-01-00132).

Novitskiy V.I. Theorems on approximation and relaxation for differential inclusions. In this article we obtain estimation for solution sets of differential inclusion by means of Iosida approximation. Questions of existence of the solution of differential inclusions with non-convex right hand side are considered. Theorem of density of solution set is given. Relations between solution sets initial and approximate inclusion are also established.

Key words: differential inclusion; Iosida approximation; one sided Lipschitz condition; relaxation.

Новицкий Вадим Иванович, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected].

УДК 517.5

ON FOURIER SERIES OF THE LOADED ORTHOGONAL POLYNOMIALS © B.P. Osilenker

Key words: Fourier series; orthogonal polynomials; the loaded orthogonal polynomials; Fourier series of the orthogonal polynomials; the convergence of the Fourier series; Cesaro’s summability of the Fourier series.

Fourier series of the loaded orthogonal polynomials are considered. Some results about the convergence and Cesaro’s summability are obtained.