О решении обратной задачи нестационарной фильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

О РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ *

А.В. Войцеховский, В.П. Танана

При определении коэффициента гидропроводности пласта методом гидродинамического прослушивания скважин возникает необходимость решения обратных задач фильтрации [1 - 3]. При этом важно поставить задачу таким образом, чтобы обеспечить единственность решения.

Ключевые слова: некорректные задачи, нестационарная фильтра-

1. Постановка прямой задачи

Процесс нестационарной фильтрации жидкости к одиночной скважине в осесимметричном случае описывается уравнением

где Р = Р(р,1) — давление в пласте, а = о{р) — коэффициент гидропроводности, I > 0, 0 < г < г.

Сделаем следующие предположения:

а) известно начальное давление в пласте

б) на внешней границе пласта выполняется условие непротекания

ция.

дР 1 д Г , ,дР

т рдр[ра^др

(і)

Р(р, 0) = Р0;

(2)

(3)

в) известно забойное давление в скважине

Р(го,і) = /і(і), і > 0;

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 04-01-0063).

Предположим, что коэффициент гидропроводности а(р) удовлетворяет условию

а(р) > (1 > 0 при р € [го,г]. (5)

Задачу (1) — (4) называют прямой задачей фильтрации, которая при известной функции а(р), удовлетворяющей условию (5), и дополнительных предположениях о гладкости функций а(р), fl(t) и Р(р,1) имеет единственное решение.

2. Постановка обратной задачи фильтрации

Эта задача заключается в определении неизвестного коэффициента (т(р) в уравнении (1) по дополнительной информации о решении задачи

(!) - (4):

дР(г0,г)

---ф----=91^), * >0, (6)

где д\{Ь) — известный дебит скважины.

Так как при неизвестной функции а(р) решение Р(р,1) задачи (1) —

(4) также неизвестно, то обратную сформулируем как задачу определения

двух функций а(р) и Р(р,1), удовлетворяющих условиям (1) — (6).

Сделав замену и(р,1) = Р(р,1) — Ро в задаче (1) — (6), перейдём к следующей:

ди 1 д

Ш р др

. ди

ра{р)тР\

Го < Р < г, t > 0, (7)

и(р, 0) = 0, Г0<р<г, (8)

a“(f’‘>=0 при i> 0, (9)

дР

u(r0,t) = f(t) при t> 0, (10)

где /(i) = fi(t) - Ра,

du(r0,t)

= g(t) при t > 0, (11)

Эр

me g(t) =gi(t).

Будем предполагать, что функция / € С*2[0, оо), /(0) = f'(0) = 0 и существует значение to > 0 такое, что для любого t > to f(t) = 0 и f(t) ф 0 при t > 0, а функция а(р) удовлетворяет условию (5) и

a G С2[г0,г]. (12)

Определение 1. Решением обратной задачи (7) — (11) назовём, функции а(р) ии(р,1) т,а,ки,е, чтоа(р) удовлетворяет условиям (5) и (12), аи(р,1), и'р(р,1), ирр(р,1) ии'г(р,1) € С{[го,г] х (0, оо)}; а(р) ии(р,1) удовлетворяет уравнению (7), и(р,1) удовлетворяет (8) — (И)-

Лемма 1. Если выполнены, сформулированные выше условия, то и(р,1), и,'р(р,1), и[(р,1) и, ^ щ[р&{р) стремятся, к нулю при, Ь ^ оо равно-

мерно на отрезке [го,г].

Доказательство. Положим а(р) и и(р,1) — решение обратной задачи (7) — (11). Тогда ввиду того, что д(Ь) = 0 при I > функция и,(р,1) для I > £о является решением следующей задачи:

ди

~т

1д_

р др

. . ди,

ра{р)1ГР\

Го < р < г, * > *0,

и(го, I) = ир(г, I) = 0 при 1>1о, и(р^о) = ф(р) при Го < р < г,

где ф € С'1[го,г], ф'(го) = ф'(г) = 0.

Используя метод разделения переменных для решения этой задачи, получим, что

ОО пгр

«ОМ) = ^2 Ф(0 Уп(0 ■ С<*£ е_Ап(4^о)у„(р), (13)

п=0 ^г°

где Хп и уп (р) — собственные значения и нормированные собственные функции задачи Штурма-Лиувилля:

[р°{р)у'{р)}' + ^ру(р) = о

У (г о) = У'(г) = 0.

Покажем, что собственные значения А„ > 0 при п > 0. Так как предполагается, что Хп упорядочены по возрастанию, то достаточно показать, что Ао > 0.

Предположим противное. Тогда

(ра{р) Уо{р))' = 0, (15)

Уо{го) = у’а(г) = 0. (16)

Из (15) следует, что

Р<г(р)Уо(р) = сі, (17)

а из (16) — что с\ = 0.

Таким образом, из (17) следует, что

Уо(р) = 0, (18)

а из (18) — что

У0(Р) = С2-

Используя условие (16), получим, что С2 = 0, а уо(р) = 0. Следовательно, А„ > 0 при п > 0.

Из положительности собственных значений Хп и формулы (13) следует утверждение леммы. □

3. О единственности решения обратной задачи фильтрации

Введём функцию у(р,р), являющуюся преобразованием Лапласа от и(р,і) по переменной Ь.

/*оо

‘и(р-,р) = / и(р, ^) сМ.

На основании леммы 1 из (7) — (10) следует, что для значений комплексного параметра р, таких что Г!е р > 0, функция у(р,р) является решением краевой задачи

1

^[pcr(p)v'p]'p -pv = 0, (19)

г/р(г,р) = 0, (20)

v(r0,p) = (р(р), (21)

где ф) = /0°° e-Pf f(t) dt.

Кроме того, функция v(p,p) удовлетворяет дополнительному условию

v'p(ro,p) =/л(р), (22)

где р(р) = /0°° e-pt g(t) dt.

Рассмотрим функцию w(p,p), являющуюся решением задачи Коши для уравнения (19) с начальными условиями

w(r,p) = 1 и w'(r,p) = 0. (23)

Так как функции го(р,р) и у}(р,р) являются решениями дифференциального уравнения (19) и у'(г,р) = и/(г,р) = 0, то из теоремы, сформулированной в [4, с. 179] следует, что они линейно зависимы, то есть

Из (21),(24) следует, что а из (22) и (24) — что Из (26) следует, что

у(р,р) = с(р)ь)(р,р). (24)

(р(р) = с(р)ц](г0,р), (25)

р(р) = с(р)чи'(г0,р). (26)

Ф) = -ТгЦ- (27)

™ (го, р)

Лемма 2. При сформулированных выше условиях множество нулей функции ы(г$,р) не пересекается с множеством нулей функций п}'(г$,р).

Доказательство. Предположим противное, то есть найдётся значение ро такое, что

'ш(го,Ро) ='ш'(гй,ро). (28)

Тогда у}(р,ро) является решением задачи Коши для уравнения (19) с начальными условиями (28). Следовательно, для любого р € [го,г] имеем п)(р,ро) = 0, что противоречит условию ад(г,ро) = 1- П

Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение

--[р°{р)у'Р]'р = (29)

Р

а также краевые условия

у(г о) = 0, у'(г) = 0 (30)

И

у'Ы = о, у'(г) = 0. (31)

Лемма 3. При сформулированных выше условиях значения р = ро ир = ро являются соответственно нулями функций ы(г$,р) и у}'(го,р) тогда и только тогда, когда числа Ао = —Ро и Ао = —ро являются собственными значениям,и задач, Штурма-Лиувилля (29), (30) и (29), (31).

Доказательство. Так как функция ад(р,ро) является решением уравнения (19) с р = ра, то функция уо(р) = гш(р,ро) является решением уравнения (29) с Ло = ~ро- Второе краевое условие в (30) для уо(р) следует из (23), а первое из того, что ра является нулём функции ад(го,р).

Таким образом, уо(р) является решением задачи (29), (30). Это решение нетривиальное, так как в силу (23) уо(г) = 'ш(г,ро) = 1. Следовательно, Ло является собственным значением задачи (29), (30). Очевидно, что справедливо и обратное утверждение. Действительно, если Ло является собственным значением, а уо(р) — собственной функцией задачи (29), (30), то, на основании первого из условий (30), значение ра = ^Ло является нулём функции ад(го,р).

Теперь предположим, что р = Ро является нулём функции п/(го,р). Тогда из того, что функция ад(р,ро) является решением уравнения (19) с р = ро следует, что функция Уо(р) = 'ш(р,ро) является решением уравнения (29) с Ло = —Ро- Второе краевое условие в (31) следует из (23), а первое из того, что ра является нулём функции п/(го,р).

Таким образом, уо(р) является решением задачи (29), (31). Это решение нетривиальное, так как в силу (23) уо(г) = 'ш(г,ро) = 1. Следовательно, Ло является собственным значением задачи Штурма-Лиувилля (29), (31).

Теперь покажем справедливость обратного утверждения. Если Ло является собственным значением, а уо(р) — собственной функцией задачи (29), (31), то ра = ^Ло на основании первого из условий (31) есть ноль функции п/(го,р). □

Предположим, что функция а(р) удовлетворяет условиям (5), (12) и

Обозначим через гш(р,р) решение задачи Коши (23) для уравнения (19), а через 'ш'р(р,р) — производную этой функции по р.

Лемма 4. При сформулированных выше условиях на о(р) функции у}(р,р) и г«р(р,р) для каждого фиксированного р € [го,г] являются целым,и функциями комплексного параметра р.

Доказательство. Используя преобразование Лиувилля [5, с. 35] к уравнению (19), заменим функцию гш(р,р) на функцию г(х,р), определяемую параметрически следующим образом:

а’(г) = 0.

где

-НА -

*(Р,Р) = у/~Р°А{р)™{р,,р). (34)

Подставляя формулы (32) — (34) в уравнение (19), сведём его к сРг

—т = а(х)г — с2рг, 0 < х < 7г, (35)

ах1

где с определено формулой (33), а

( \ 1 (]2в (ъа\

= (36)

где в = 0{х) определена параметрически формулой (32) и

в{р) = у/р<?*{р). (37)

Теперь сделаем замену в условиях (23):

г{ж ,р) = у/¥ а^{г) (38)

= ^те^Чг)- (39)

2 \/г

Далее перейдём от функции г(х,р) к функции у{Ь,р), которую определим формулой

1

У(*,Р) = — • — Ь,р). (40)

____ ,Л 3 .

'\fo\i

4 г

Используя формулу (40), легко проверить, что функция у{Ь,р) удовлетворяет уравнению

(]? у

= а(ж-1)у-Ъру, (41)

где 0<£<7г, а Ь =

с2

. , , . с2 а 2 (г)

Гл/(7 Г-1--------------—

4г

При этом условия (38) и (39) для функции у(1;,р) будут соответственно выглядеть следующим образом:

у(0,р) = зта, (42)

УИ°>Р) = -сова, (43)

где

(7 4 (г)

а = агсБт

3

4г

(44)

Из теоремы, приведённой в [6, с. 14-15] следует, что для каждого фиксированного I € [0, 7г] функции у{Ь,р) и у[(Ь,р) являются целыми функциями р, а из формул (34) и (40) будет следовать утверждение леммы. □

Так как ад(р,р) представляет собой решение уравнения (19) с условиями (23), то из леммы 4 следует, что гш{р,р) и п/р(р,р) при фиксированном р являются аналитическими функциями во всей комплексной плоскости.

В дальнейшем по-прежнему будем предполагать, что функция а(р) удовлетворяет условиям (5), (12) и а1 (г) = 0.

Пусть пары функций а^р) и щ{р,Ь), % = 1,2 — решения обратной задачи (7) — (11). Обозначим через г^(р,р) преобразование Лапласа от щ(р, I), а через г^(р,р) — решение задачи Коши для уравнения (19) с а(р) = с?{(р) и начальными условиями (23).

Из (10) следует, что У\(го,р) = У2(го,р). Тогда, используя формулы (24) и (27), получим, что при Ые р > 0

т(гр,р) = ^2(г0,р)

У)[(г0,р) и/2(г0,р)’

Из леммы 4 следует, что функции 'Ш1{р,р)/'ш[{р,р) при г € 1,2 являются аналитическими по р во всей комплексной плоскости за исключением нулей гш[{р,р), являющихся особыми точками.

Из (45) следует, ЧТО нули И особые ТОЧКИ функций 'Ш1(го,р)/'и/1(го,р) и г«2(?’о!р)/'и;2(?’о!р) совпадают.

Используя лемму 2, окончательно получаем, что все нули функций ■ші(го,р) и п)2(го,р) совпадают и все нули функций ю[(го,р) и го^Пьр) также совпадают. Таким образом, на основании леммы 3, выполняются соотношения для любого п:

Аі = А2 (46)

^ = А2, (47)

где {А^} при * = 1,2 — все собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (29), (30) с о(р) = о^(р), упорядоченными по возрастанию, а {АУ — все собственные значения задачи (29), (31) с а(р) = @г{р), также упорядоченные по возрастанию.

Теорема 1. Предположим, что функция /(£) удовлетворяет условиям, сформулированным ранее.

Тогда, если с?{(р) и щ(р,1), г = 1,2 — решения обратной задачи (7) — (11) т,акие, что сг[(го) = 02 (го) = сг[(г) = а^г) = 0;

у/М£) = £ у/ъ(£) ’ а также аЛГо) = ^2(го) = (У\(г) = О2(г) и значение

ст(го) нам известно, то о\(р) = 02 (р) для, р € [го,г] и щ(р,1) = «2(р, £) для Р е [г0, г], г > 0.

Доказательство. Сделав в уравнении (29) замену переменных Лиувилля (32) — (34), перейдём от функции у*(р, А) к функции г^х^Х), удовлетворяющей уравнению

---—^ + a,i(x)zi = c^2Xzi, 0 < х < 7г, г = 1,2, (48)

ах1

где функция а*(ж) определяется формулами (32), (33), (36), (37) и является непрерывной на отрезке [0,7г].

Сделав ещё одну замену

^(1, А) = — £, А), 0 < ^ < 7Г, г = 1, 2,

получим уравнение для функции ^(2, А)

ё2г-

—^ + ^~^г=с2Х^ 0 < * < тт, г = 1,2. (49)

Теперь, преобразуя граничные условия (30) и (31), получим, что

•г*(0, А) соб/З — г'(0, А) бш/З = 0, г = 1,2, (50)

где /3 = агссоБ

7Г

где 7 = агссоБ

.---------------------- И 0 < /3 <

2

^(тг, Л) С0Б7 — г'(7г, Л) БШ7 = О, г = 1, 2, 1

(51)

.у^ + ^М'-о)

7Г

и 0 < 7 < —

и последнее условие

^(-7Г, Л) = 0, г = 1, 2.

(52)

Таким образом, задача Штурма-Лиувилля (49) — (51) порождает возрастающую последовательность собственных значений При этом из фор-

мулы (47) и условий теоремы следует, что для любого п

-1 _ -2 Рп Рп'

(53)

Аналогично, задача Штурма-Лиувилля (49), (50) и (52) порождает возрастающую последовательность собственных значений {цгп} такую, что на основании (46) и условий теоремы получаем, что для любого п

Рп №п’

(54)

Из теоремы, приведённой в [7], и формул (53), (54) следует, что для любого х € [0,7г]

а,\(х) = а,2{х).

(55)

Таким образом, обозначив щ(х) через а(х) и воспользовавшись формулами (36) и (37), получим, что

<129,1

х)

йх2

■а(х)вг(х) = 0, г = 1,2,

где

^(0) = у/госг4(г0)

(56)

(57)

ф) = -^аЦг0).

2 у/го

Задача Коши (56) — (58) для линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет единственное решение, следовательно,

01 (ж) = 02 (ж).

Отсюда, используя формулу (37), получим, что

01 (р) = 02(р) при р € [г0, г],

но тогда и решения прямой задачи (7) — (10) при соответствующих ограничениях на функции v,i(p,t) и f(t) будут при любых значениях р € [ro,f] и t > 0 удовлетворять условиям

«i(/M) = u2(p,t),

что и доказывает теорему. □

Список литературы

1. Басович И.Б. Определение переменной проницаемости пласта в случае радиальной симметрии по опытным откачкам из центральной скважины // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38, № 3. С. 514-522.

2. Танана В.П. О регуляризации обратной одномерной задачи фильтрации в

неоднородном пласте // ДАН СССР. 1985. Т. 281, 5. С. 1061-1063.

3. Tanana V.P. Methods for solution for nonlinear operator equations // “VSP” Utrecht. Netherland, 1997. 241 p.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГОНТИ, 1938, 376 с.

5. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределёнными параметрами. М.: Наука, 1985. 304 с.

6. Левитан Б.М., Сергасян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

7. Levinson N. The invers Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. ser. B. 1949. P. 25-30.

Челябинский государственный университет