CC BY
6 2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
О РЕШЕНИИ НЕКОТОРОГО ЛИНЕЙНОГО ЧАСТИЧНО ИНТЕГРАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ Соатов Улугбек Абдукадирович
Доцент ДжизПИ https://doi.org/10.5281/zenodo.6930859
Аннотация. В этой статье изучен вопрос о разрешимости некоторого линейного интегрального уравнения с частными интегралами в пространстве непре-рывных на [a,b]3 функций, доказано существование и единственность решения рассматриваемого уравнения с вырожденными ядрами при А{ - —1, i — 1,2,3. и найдена точная формула решения уравнения.
Ключевые слова: частично интегральное уравнение, ядро, функция трех переменных, интегральное уравнение Фредгольма, детерминант, единственное решение, метод Фредгольма, точная формула решения.
ON THE SOLUTION OF SOME LINEAR PARTIALLY INTEGRAL EQUATION
Abstract. In this article, we study the question of the solvability of a certain linear integral equation with partial integrals in the space of functions continuous on [a,b]3, prove the existence and uniqueness of a solution of the considered equation with degenerate kernels at - —1, i - 1,2,3 and find an exact formula for solving the equation.
Keywords: partial integral equation, kernel, function of three variables, Fredholm integral equation, determinant, unique solution, Fredholm method, exact solution formula.
ВВЕДЕНИЕ
Теория интегральных уравнений Фредгольма возникла при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа. В дальнейшем эта теория развивалась и нашла широкое применение во многих задачах математической физики. В частности, решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений или более общее для эллиптических дифференциальных уравнений сводится к интегральным уравнениям. В этих задачах возмущение как правило компактный оператор или задача сводится операторным уравнениям с компактными возмущениями. Однако, исследование спектральных свойств, в частности связанных состояний, многочастичных операторов квантовой механики и физики твердого тела приводят к частично интегральным уравнениям. Например, задача для уравнения собственных функций четырех-частичного оператора Шредингера с парными взаимодействиями [1] приводит к решению интегральных уравнений с частными интегралами для функций трех переменных. В отличие от "классического" случая в этих уравнениях возмущение не компактный оператор. Поэтому решение этих уравнений существенно усложняется.
Вопрос о существовании решения интегрального уравнения с частными интегралами для функций двух переменных рассматривался в работах Абдус Салама [2], Стефана Фенье [3], О.П.Околелова [4] и других авторов, для функций трех переменных рассматривался в работах [5-8], а в связи с исследо-ванием спектральных свойств многочастичных операторов изучался в книгах С.П.Меркурьева, Л.Д.Фаддеева [9] и С.Альбеверио, Ф.Гестези, З.Хеэг-Крон, Х.Хольдена [10] и в работах С.Н.Лакаева [11-12].
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
В этой статье подробно рассмотрена проблема существования и един-ственности решения частично интегрального уравнения для функций трех переменных с одномерными вырожденными ядрами в пространстве непре-рывных на ^Ь]3 функций. Доказан аналог теоремы Фредгольма для рассматри-ваемого частично интегрального уравнения.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Рассмотрим интегральное уравнение с частными интегралами
ь
((X , Х2 , Х3 ) + \ | К (Х1, Ч ^((Ч , Х2 , Х3 )^Ч +
а
ь ь
+ К (Х2 , Ч )р(х\ , Ч , Х3 )^Ч + К (Х3 , Ч )р(х\ , Х2 , Ч )^Ч = I (Х1, Х2 , Х3 )
аа
И соответствующее ему однородное уравнение
ь
р( х, х2, х3) + / | К (X, ч )р(ч, X, хз )^Ч +
а
ьь + Х21К2 (х2, ^ )р( х, ^, х3 + // | К3 (х3, ч )р( X, х2, ч )тч = о
(1)
(2)
где ядра К (х, Ч ), ^ = 1,2,3 и свободный член /(х1,х2,х3) - данные непрерывные функции
\],Л2,Л3
определенные на [а,Ь]2 и [а,Ъ]3 соответственно; р(х1,х2,х3) - неизвестная функция,
/, г = 1,2,3 - параметры. РЕЗУЛЬТАТЫ
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть (х1,1{) = (х1 )у/г (), Яi = -1, I = 1,2,3 и детерминанты
ь
= 1 + )ф(гТ Ф 0,г = 1,2,3; Ла = Тйу-1 Ф 0, аФ /Зфу,а,р,у = 1,2,3.
а
Тогда а) если детерминант Л = + Т2 + Т3 - 2 Ф 0, то линейное частично интегральное уравнение (1) для любой функции /(х1,х2,х3) имеет единствен-ное непрерывное решение выражаемое формулой
р(х, у, г) = /(х,у,г) -Л 1[ 1 1 2 3'йг1 +
I а 1
, гК2(х2,г2)/(х1
) ^ [К3(х3,г3)1(х1,х2,г3)^ .
•! а, 2 * а, 3
а 2 а 3
ё ь ь
+ 'ХТТ И К1 (х1, Ч )К( (х2, г2 )1(г1 ,г2,х3 )йг1йг2 +
а2 Л $
dj +d3
a a b b
+ d JJ K (x1,t1 )K3 (x3,t3 )f(t1,x2, t3 )dt1dt3 +
1 3 2 n n
a
a
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
+
I ^d ^
b b
^d 2 ^^ ^^
J J K2(x2,t2 )K3 (x3,t3 )f( Xj,t2, t3 )dt2 dt3 +
+ -
C
a a b b b
(dld2d3AiA2a3a a a a
J J J K (X, К )K (x2, t2 )K3 (x3, t3) f (t, t2, t3 )dtldt2dti, (3)
где С - (1 + Л)[(^2 + + ^Зз _ )ЛХЛ2ЛЪ ~ ЛЛ + ЛЛ + ЛЛ )] —
— Л + З^з Л + d2d3 Л1 + \dd2d3 Л — (^ —1)( —1)( ^ —1)( 1 + Л)];
б) если детерминант Л = ^ + ^ + ^ — 2 = 0, тогда соответствующее к урав-нению (1),
однородное интегральное уравнение (2) с ядрами К{ (х1, ) = у1 (х1 )уг(ti), г = 1,2,3 имеет
ненулевое решение.
Доказательство. а) По предположению К (хг, гг) = у (х )уг (^ )Дг. = —1, г = 1,2,3
тогда уравнение (1) примет следующий вид
ь ь
((Х1, Х2 , хз) + У (х1 )| У>1 )((Ь, Х2 , хз + V2 (Х2 ) | V2 (^2 ((Х1, ^ Х3 Ж +
а а
ь
+ V (х3) | V (х3) ¥3 (^)((х, х2, Ц = / (х, х2, х3). (4)
а
ь ь
Считая, |у 2(г2)р( X!
, t2, Х3)3^2 и 3(^3)р(Xl, X2, t3)dt3 известными в уравнении (4) мы
получим следующее частично интегральное уравнение
<р( x, x2, x3) + ¥ (xx) J ¥i (^ , x2, x3 )dt = h( xx, x2, x3) .
(5)
Здесь
Ь( ^ х3) = /(х1, х2, х3) — у2 (х2 )| у2 )р( х1, t2, хъ)^2 — У3 (Х3 )| У>3 (tз )р(Х1, Х2, tз ^ . (6)
а а
Фиксируя переменных х2, х3 уравнение (5) можно привести к виду
ь
Рх2х3 (х1) + V (х1 )| ¥1 (t1 (х3 (t1 )dt1 = \х3 (х1) . (7)
а
Уравнение (7) есть линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода [13]. Ядро этого уранения вырождена, вырождение ранга один. Решаем это уравнение методом
Фредгольма. Пусть ах (х2, х3) = ]*У1 (Ч )РХгХ3(^ ^^ , тогда
а
Рхгх3 (х ) = К2х3 (х ) — V (х )а (х, х ), с помощью которого найдем а; (х2, х3) :
ь ь
1 (х2 , х3 ) = | У1 (t1 Ж2х3 (t1 )dt1 — а1 (х2 > х3 )| ¥1 & )у1 (t1 )dt1 ,
имеем
а,
(x2, x3)
b b 1 + J ¥1 (ti Wi (ti )dti = J V>i (ti )hx2x3 (ti )dti .
a
a
b
a
b
b
b
a
a
a
a
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
ь ^ ь
По условию теоремы тх = 1 +1 щ (^ )щ (^ ф 0, поэтому ах (х2, х3) = — | щ (^ )кХгХз (^
Т и
И, уравнение (7) имеет единственное решение для любой правой части в виде
Px2x 3( xi) = hxx 3(xi) -
Wi( xi) dx
b
\vi(t1)hx2x3(t1)dt1 ,
То есть при каждом значении переменных х , х получим
(х1, „, хз) = „(х1, х2, хз)Щ^, „, хз№,
1 а
которая является решением уравнения (5). Теперь подставляя вместо А(х1, х2, х3) её выражение из (6) мы приходим частично интегральному уравнению вида
P(xi, x2 , x3) + У/2 (x2 ) J У/2 (t2 )P(xi, t2 , x3 )dt2 - g(xi, x2 , x3 )
a
(8)
где
, WW b^/y W
g(x^, x2, x^) — J (x^, x^, x^) I У'I (^ )f (tj, x^, x^ )utl
di a
+
о
W3 (x3) J W3 (t3 )p(x, x2, t3 )dt,
a
+
Wi( xi;>y2( x2)
b b
d,
' J J Wi (ti )У/2 (t2 )P(ti 7 t27 x3 )dtidt2
+
yi( xi)y3( x3) J y^^Pi, x2, t3)dtidt3 .
i a a
Далее заметим, что уравнение (8) есть аналог уравнения (5). Поэтому при фиксированных переменных х1, х3 мы имеем линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода
b
Pxx3 (x2 ) + У2 (x2 ) J У2 (t2 )Px1x3 (t2 )dt2 — gx,x3 (x2 ) > W
(9)
gX
№ (x2 ) — fxix3 (x2 ) -yL Jyi (ti J (ti, x2 )dti - W3x J y3 (t3 )Pxi (x27 t3 )dt3
d
+
WW (x ) b b WW (x ) b b
+ ^ 2 J J Wi (ti) W2 (t2 )Px3 (ti712 )dtidt2 + WixiW3x3( 3) JJWi(ti)W3(t3)P(ti, x2, t3)dtidt3 10)
i a a i a a
Уравнение (9) есть аналог уравнения (7), разрешая его имеем единственное решение для любой ^ (х2) вида
„ 3( x.) — g„( „)-ГШ J WM М,
(хх, (х1) = Еь з ,
2 а
то есть при каждом значении переменных х , х получим
P( ,, ,, x3) — g (x„ ,, x3)JW2.) g (,, ,„ ,3d,.
a
aa
a
Ъ
h
a
a
a
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
ь
(где ^ = 1 + |у2 (Ч )Уг (Ч ^ 0 по условию теоремы), которая является решением
а
уравнения (9) (также решение уравнения (8)). Теперь подставляя вместо g(х1, х2, х3) её
выражение из (10) мы приходим частично интегральному уравнению
ь
р(Х, х2, х3) + у3 (х3 )|у3 (Ц)р(х, х2, Ц = п(х, х2, х3) . (11)
а
Здесь H(x„ ^ x3)= f(xi, x3) J(¥,(i,X f (t,, x2, x3)dt, J¥>2(t2)g(x„ /2. x3)dt2
i a 2 a
¥i(x')¥2(x2) JJ VifcVV&Wti,t2,x,)dtxdh + ¥i(xW3(x) JJ¥>i(ti)¥>3(t3)^(ti,x2,t3)dtidt3
a a b b
+ W2(ХШ x3) J J ¥ 2 (t2 )¥> 3 (t3 )(( xi, t2 , t3 )dtidt3 +
i a a
b b b
+ хх х^3 х3) 111 у (к у 2 (t2 )У3 (tз )р(tl, t2 , tз )dtldt2dtз .
12 3 а а а
Разрешая уравнение (11) аналогично как изложенные выше получим его решение
ь
при Зз = 1 +1 у3 (^ )у3 (^ ^ 0 в виде
а
p(x, x2, x3) = w(x, x2, x3) - ¥3(x3) J ¥2 (t2 )u(xx, x2, t3 )dt
d9 J
2 a
или
i b b ' 2 (x2 1
(( xi , x2 , x3 ) - ¥i( xi)¥2( x2) J J ■¥ (ti )¥ 2 (t2 Ж^ , t2 , x3 )dtidt2 = ФС/", xi , x2 , x3 ) , (11)
i 2 a a
Здесь Ф( f, p, x, x2, x3) = F(f, x, x2, x3) + ¥i(xi)¥3(x3) J J ¥x (tx )y3 (t3 )p(tx, x2, t3 )dtxdt3 +
^d -t
i 3 a a
b b
+ ¥i(xi)¥3(x3) JJw^2(^)¥3(t3)p(x,t2,t3)dtldt3
i a a
2¥i( ^Wrf x2)¥3( x3) J J J¥>i(ti)¥>2(t2)¥>3(t3)P(ti, t2, t3)dtidt:
i 2 3 a a a
где Р (/, х1, х2, х3) выражается через / (х, х2, х3) и её интегралы.
ОБСУЖДЕНИЕ
Уравнение (11) есть частично интегральное уравнение, которое при фиксированном х3 является уравнением Фредгольма с вырожденным ядром и легко разрешимо. Решая его аналогичным путем как решение уравнения (5) и последующими повторениями, фиксированием последовательно переменных х3(х2,х1) , при условиях
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
Ла = Тр + Тт -1 Ф 0, а Ф Р Ф у, а, Р,у = 1,2,3 , наконец, приходим к полному интегральному уравнению Фредгольма второго рода следующего вида
р( х2, хз) = С(/, X1, х2 , хз) +
i d
AiA 2^ 3
Wi(xi )W2 (x2 )W3 (x3 )J J J Wi (ti )W2 (t2 )W3 (t3 )P(ti71
2, t3)dtidt2 . (12)
Здесь в( /, х, х2, х3) выражается через данной функции / (х1, х2, х3) и её интегралы.
ь ь ь
Теперь, вводя обозначение С1 = ГГГщ1^1)Щ2^2)Щ3^3)р{?1,t2,t3)dt1dt2 и решая
а а а
уравнение (12) методом Фредгольма получим его решение в виде р(х1, х2, х3) = в(/, х , х2, х3) +
1 — Т — Т — Т ггг
+-^ Л 3 Щ1(х1)ф2( х2)фз(хз)] Г Г Щ1(t1)Щ2(t2)Щ3(t3)G(/, ^ t2, t3 )dt1dt2 , (13)
12 3 а а а
где по условию теоремы л = Т1 + Т2 + Т3 - 2 ф 0. Подставляя выражение функции
в(/,х1,х2,х3) через данной функции /(х1,х2,х3) и её интегралы в (13) окончательно
получим решение вида (3) рассматриваемого уравнения (1).
Таким образом доказана часть а) теоремы. б) При выполнении условий теоремы можно доказать, что рассматриваемое однородное уравнение (2) эквивалентно к полному однородному интегральному уравнению вида р( х, х2, х3) =
ь ь ь
) Г Г
1 — Т — Т — Т г г г --3 х1>ф2( х2Щ3( хз)Г Г Г ^О^Ч^з^зЖ^ t2, ^ )ТАТ3 • (14)
12 3 а а а
По теореме Фредгольма [13] при условии л = Т + Т2 + Т - 2 = 0 уравнение (14) имеет ненулевое решение. Полагая, что 1 — Т — Т — Т ггг
С = -^-3 Г Г Г Щl(tl)Щ2(t2)Щз(tз)P(t1, t2,
12 3 а а а
имеем
((х1, х2 , хз ) = С ф1 (х1 )Щ2 (х2 Щ3 (х3 ) •
Подставляя это выражение функции р( х1, х2, х3) в уравнение (2) получим
cWi( xi)W2( x2)W3( x3)
b b b i + J Wi (ti )Wi (ti )dti + J W2 (t2 )W2 (t2 )dt2 + J W3 (t3 )W3 (t3 )dt3
a a a
= СЩ(х1)ф2(х2)Фз(х3)[1 + (Т1 - 1) + (Т2 - 1) + (Т3 - 1)] =
= Сщ (хх )щ (х2 )щ (х3 )(Т + Т2 + Т - 2 = 0) = 0 .
Это означает, что
р(Х,х2,х3) = Сщ(хх)щ(х2)щ(х3), С Ф 0
aaa
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
Есть ненулевое решение однородного уравнения (2) (есть непрерывное решение уравнения (13), эквивалентного к уравнению (2)), так как по условию теоремы
л = з + + — 2 = 0.
Теорема доказана.
Из доказанной нами теоремы вытекает для случая / = 0 следствие. ВЫВОДЫ
ь
Следствие. Если К1 (хг,ti) = у1 (хг)уг), = —1, З. = 1 + |у,-(Оу(t)dt Ф 0, г = 1,2,3;
а
Ла = З р + — 1 Ф 0, аФ р Фу, а, р,у = 1,2,3 и л = + + З3 — 2 ф 0, то однородное интегральное уравнение с частными интегралами (2) имеет только нулевое решение р(х1, х2, х3) = 0.
REFERENCES
1. С.Альбеверио, С.Н.Лакаев, Ж.И.Абдуллаев, Конечность дискретного спектра четырех-частичного оператора на решетке. Функциональный анализ и его приложения. 36 (2002), № 3, 56-60.
2. Abdus Salam, Fredholm Solution of Partial Integral Equations.oc. Cambridge Philos.Soc. 49 (1952), 213-217.
3. Stefan Fenyo, Beitrag zur Theorie der Linearen partiellen Integral gleichungen. Publs.mat., (1955), No.1,2, 98-103.
4. Околелов О.П., Аналог метода прямых для решения двумерных интегральных уравнений. Уч. записки Иркутский государственный педагогический институт, 1967, вып 34, 85-93.
5. Lakaev S.N., Soatov U., Solution of partial integral equations for three variable functions, ICSTM-96, Samarkand, 1996, c. 62.
6. Лакаев С.Н., Соатов У.А., О решении частично интегрального уравнения для функций трех переменных, Докл. АН РУз, Ташкент, 1997, № 11, 8-10. 6.
7. У.А.Соатов, Необходимое и достаточное условия существования решения некоторого частично интегрального уравнения с вырожденным ядрами, Рукопись депонирована в ГФНТИ ГКНТ РУз 1997г. № 2677-97, 29c.
8. ON THE SOLUTION OF LINEAR PARTIALLY INTEGRAL EQUATION IN THE SPASE L2([a,b]3). Mental Enlightenment Scientific - Methodological Journal, Volume 2021, Issue 1, Articl 5, 2-10-2021, https://uzjournals.edu.uz/tziuj. Part of the Education Commons. pp.40-49.
9. Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц". Москва, "Наука", 1985.
10. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон З., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. Москва, Мир. 1991.
11. Лакаев С.Н. О бесконечном числе трехчастичных связанных состояний системы трех квантовых решетчатых частиц. Теоретическая и математическая физика, 89 (1991), № 1, 94-104.
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
12. Лакаев С.Н. Об эффекте Ефимова в системе трех одинаковых квантовых частиц. Функциональный анализ и его приложения, 27 (1993), вып.3, 15-28.
13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа» , 8-е издание, Москва, издательство ФИЗМАТЛИТ, 2012 г.
