О развитии функциональных умений учащихся при изучении монотонности функций в основной школе Текст научной статьи по специальности «Математика»

17. Федоряк Л.М. Как сегодня обучать, чтобы повысить качество жизни // Педагогика. - 2005. - №4. -С. 35-40.

18. Eagly A.H. & Wood W. Gender and influenceability: Stereotype versus behavior. In V.E. O'Leary, R.K.Under, & B.S.Wallston (Eds.), Women, gender, and social psychology. - Hillsdale, NI: Erlbaum. - 1985. -P. 225-256.

19. Jonsen R., Siegler M., Winslade W.J.: Clinical Ethics. A Practical Approach to Ethical Decisions in Clinical Medicine. N.Y., 1982.

Педагогика

УДК: 372.851

доктор педагогических наук, профессор Манвелов Сергей Георгиевич

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Армавирский государственный педагогический университет» (г. Армавир); кандидат педагогических наук, доцент Манвелов Николай Сергеевич

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Армавирский государственный педагогический университет» (г. Армавир)

О РАЗВИТИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МОНОТОННОСТИ

ФУНКЦИЙ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Аннотация. Состояние функциональных умений выпускников общеобразовательных организаций и возможности их развития во многом зависят от уровня закладываемого соответствующего фундамента в основной школе. В данной связи в статье раскрываются особенности задачного подхода к изучению свойств возрастания и убывания функций, ориентированного на реализацию ресурсов формирования функциональных умений учащихся основной школы при обучении математике.

Ключевые слова: обучение математике, основная школа, функциональные умения, возрастание и убывание функций, реализация возможностей их применения.

Annotation. The state of the functional skills of graduates of general education organizations and the opportunities for their development widely depend on the level of the underlying foundation being laid in the primary school. In this connection, the article reveals the peculiarities of a problem-based approach to studying the properties of increasing and decreasing functions, oriented to the realization of resources for the formation of functional skills of students in the primary school in the teaching of mathematics.

Keywords: teaching mathematics, basic school, functional skills, increasing and decreasing functions, realizing the possibilities of their application.

Введение. Анализ состояния функциональных умений выпускников общеобразовательных организаций во многом характеризуется тем, что с выполнением заданий по их применению справляются менее половины участников единого государственного экзамена по математике. Возможности же развития их функциональных умений в немалой степени зависят от уровня закладываемого соответствующего фундамента в основной школе.

В данной связи в статье рассматривается методика изучения свойств возрастания и убывания функций, ориентированная на использование ресурсов формирования функциональных умений учащихся основной школы при обучении математике. Она реализуется посредством системы заданий, созданной с учётом результатов анализа школьных учебников [1; 2; 3 и др.], учебных пособий по подготовке и проведению ОГЭ и ЕГЭ по математике [4; 5; 9; 10 и др.], а также авторских разработок по исследуемой проблематике [6; 7; 8 и др.].

Формулировка цели статьи. Освещение специфики содержания разработанной системы заданий, включающей утверждения и задачи по применению свойств возрастания и убывания функций и ориентированной на полноценное формирование функциональных умений учащихся основной школы при обучении математике.

Изложение основного материала статьи. В основной школе по определению называют функцию

возрастающей убывающей) на некотором промежутке, если для любых -'-и из этого промежутка,

таких что выполняется неравенство ^ ^ С^ ^ ^

Иначе говоря, функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Возрастающую или убывающую на некотором промежутке функцию называют монотонной функцией на этом промежутке.

Если функция возрастает (убывает) на всей области определения, то её называют возрастающей (убывающей) функцией. Возрастающие и убывающие функции объединяют общим термином и именуют монотонными функциями.

Далее в ходе выполнения предлагаемых нами заданий, включающих задачи и набранные курсивом утверждения, расширяются возможности применения свойств монотонных функций, изучаемых в основной школе.

1. Докажем, что монотонная функция каждое своё значение принимает ровно один раз.

Пусть для определённости монотонная функция /является возрастающей. Если число а принадлежит

множеству значений функции то существует такое число что ^^ Предположим

противное, что существует ещё хотя бы одно число _ отличное от ^, такое, что ^ ) ^1 Отсюда

следует, что ■

С другой стороны, так как ^ и возрастающая, потому

различны, то либо

. Но функция / -что противоречит ранее

установленному равенству ■

Полученное противоречие позволяет сделать вывод о том, что возрастающая функция каждое своё значение принимает ровно один раз.

Аналогично доказывается, что убывающая функция каждое своё значение принимает ровно один раз.

у = С1

Графически это означает, что прямая * пересекает график возрастающей (убывающей) функции

ровно в одной точке, если а принадлежит её множеству значений.

Приведём примеры применения полученного результата.

2. Выясните, является ли возрастающей или убывающей функция

у = х3 - х + 2017?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, достаточно установить, например, при каких х данная функция может принимать значение, равное 2017. Тогда получим:

х3 - х + 2017 = 2017, х3 - х = 0,

что выполняется при х = 0, х = -1 и х = 1. Значит, своё значение 2017 данная функция может принимать трижды, а потому не является монотонной, то есть не является ни возрастающей, ни убывающей.

3. Уравнение ^ ^^ где /- монотонная (возрастающая или убывающая) функция и число а принадлежит множеству значений функции /, имеет ровно один корень.

Это следует непосредственно из доказанного утверждения о том, что монотонная функция каждое своё значение принимает ровно один раз.

4. Уравнение ^ ^^ где / - монотонная (возрастающая или убывающая) функция и а -произвольное число, имеет не более одного корня.

Действительно, если а принадлежит множеству значений функции / то уравнение имеет ровно один корень. Если же а не принадлежит множеству значений функции / то уравнение корней не имеет. Значит, если а - произвольное число, то это уравнение имеет не более одного корня.

Аналогично доказывается, что уравнение * , где / - возрастающая или убывающая на

некотором промежутке функция, то на этом промежутке оно имеет не более одного корня.

5. Сумма двух возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая) на их общей области определения.

Пусть функции / и § являются возрастающими. Тогда для любых

определения при

выполняются неравенства

из их общей области

Складывая почленно эти неравенства, получим означает, что сумма функций ^ 3 является возрастающей.

Это

Докажем теперь, что сумма двух убывающих функций есть функция убывающая. Действительно, в этом

случае, если то выполняются неравенства

Складывая их почленно, получим

/■ ч- с7

Отсюда следует, что сумма функций 1 ^ является убывающей.

Аналогично доказывается, что сумма двух возрастающих (убывающих) на некотором промежутке функций есть функция возрастающая (убывающая) на этом промежутке. Приведём примеры использования полученного результата.

X3 +

2.

6. Решите уравнение

В левой части уравнения представлена функция как сумма двух возрастающих функций

Значит, мы имеем уравнение вида где/ - возрастающая функция ид- некоторое число.

Значит, оно имеет не более одного корня, а потому найденный подбором корень 1 этого уравнения будет единственным.

являющаяся возрастающей а правая его часть - число 2.

X3 +

7. Решите уравнение В предыдущем примере мы выяснили, что функция представленная в левой части уравнения функция

- возрастающая, а значит, + X

также является

и

возрастающей как сумма двух возрастающих функций * и ^ ' . Потому найденный подбором

корень 4 этого уравнения является единственным.

В ходе выполнения этого задания было показано, как может быть обоснован тот факт, что сумма конечного числа возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая) на их общей области определения.

Рассмотрит ещё несколько утверждений, позволяющих существенно расширить возможности применения монотонности функций в основной школе.

8. Если функция/х) - возрастающая, то при а > 0 функция а/х) является возрастающей.

Так как функция / - возрастающая, то для любых >

выполняется неравенство

положительное число а, получим возрастающей.

9. Если функция / - убывающая, то при а>0 функция а/х) является убывающей.

и ^ из области определения функции / при . Умножая обе части этого неравенства на . Это означает, что функция а/(х) является

Действительно, для любых

>

неравенство

'■и ^ из области определения функции / при ^ ь выполняется . Умножая обе части этого неравенства на положительное число а,

получим ' 1 * Л Это означает, что функция а/(х) является убывающей.

10. Если функция /х) является возрастающей (убывающей), то при а<0 функция а/х) - убывающая (возрастающая).

при

Пусть функция / является возрастающей. Тогда для любых

выполняется неравенство

1-й ^ из области определения функции/ Умножая обе части этого неравенства на . Это означает, что функция а/х) является

отрицательное число а, получим убывающей.

В частности, если функция /(х) является возрастающей, то -/(х) есть функция убывающая.

Если же функция / является убывающей, то для любых

функции при

выполняется неравенство

из области определения данной . Умножая обе части полученного . Это означает, что функция а/(х)

неравенства на отрицательное число а, получим является возрастающей.

В частности, если функция /х) является убывающей, то -/(х) есть функция возрастающая. 11. Если функция /(х) - возрастающая (убывающая), то при а>0 функция/х)+а является возрастающей (убывающей).

Пусть функция / является возрастающей (убывающей). Тогда для любых

определения функции / при

выполняется неравенство

из области >

. Прибавляя к обеим частям этих неравенств одно и то же число а, получим

Это означает, что функция Например, зная, что функция у -

+ а

является возрастающей (убывающей).

- возрастающая, делаем вывод о том, что функции ЗГ- 3 г~

у = - 5 и у = 2 являются возрастающими, а такие функции как

ЗГ- 3 I

+ 9

у = -4 + 5 и V = -2 -7

являются убывающими.

Аналогично доказывается, что рассматриваемые в заданиях 8-11 утверждения выполняются и для функций, монотонных на некотором промежутке.

12. Рассмотрим теперь соответствующие утверждения о сложной функции, которую именуют также функцией от функции, композицией функций, суперпозицией функций. К примеру, функция

является сложной функцией как функция арифметического квадратного корня от квадратичной функции.

Сложная функция, составленная из двух возрастающих функций, является возрастающей на их общей области определения.

Действительно, пусть/и § являются возрастающими функциями. Тогда для любых ^ и ^ из области определения сложной функции, составленной из них, то есть функции /(^(.т)), при имеем

^ ' ^ А с учётом того, что функция / - возрастающая, получим

/0?(*1)) > /(¿К*2)) ^

' '^ 1 ■ ■ Это означает, что сложная функция/(#(х)) является возрастающей.

Например, функция ^ ^ ^, область определения которой задаётся неравенством

является сложной функцией, то есть функцией, составленной из двух возрастающих функций: ^ ^и; = х -7. Поэтому она является возрастающей.

13. Сложная функция, составленная из возрастающей и убывающей функций, является убывающей на их общей области определения.

Действительно, пусть для определённости / - возрастающая, а § - убывающая функции. Тогда для

любых и ^2 Из области определения функции/(^(.т)) при ^ ^2 имеем З^^х) д с

, . ПзЫ) < /о?(*2))

учетом того, что функция/является возрастающей, получим х ' . Это означает,

что сложная функция/д(х)) является убывающей.

Например, функция ^ У Х^ 0ддасть 0ПределенИя которой задаётся неравенством ^

У =

является убывающей как сложная функция, составленная из возрастающей функции

„ 1 Хш

убывающей функции

14. Сложная функция, составленная из двух убывающих функций, является возрастающей на их общей области определения.

Действительно, пусть/и § - убывающие функции. Тогда для любых 1 и 2 Из области определения функции/(^(.т)) при ^ имеем д с учётом того, что функция/-убывающая,

получим х ' . Зто означает, что сложная функция д^(.т)) является возрастающей.

_ 1

Рассмотрим, например, функцию V — х . Её областью определения являются все отрицательные

числа.

_ 1 ,_

Но при .г < 0 функции ^ г и ^ V х будут убывающими. Потому сложная функция 1 _ 1

, составленная из этих двух убывающих функций, является возрастающей. Аналогично доказывается, что рассматриваемые в заданиях 12-14 утверждения выполняются и для функций, монотонных на некотором промежутке.

Приведём примеры использования рассмотренных выше утверждений о монотонных функциях.

15. Решите уравнение 1 2 X 4

Сначала выясняем на ОДЗ уравнения, задаваемого неравенством .г > 0,2, что 5х - 1 есть

функция неотрицательная возрастающая, а с учётом того, что и арифметический квадратный корень -

функция возрастающая, заключаем: сложная функция V 1 составленная из них> хаюке

является возрастающей. В свою очередь, функция также возрастающая, следовательно.

сумма функций ^ и ^ ^ есть функция возрастающая.

Итак, в левой части данного уравнения имеем возрастающую функцию, а в правой - некоторое число. Значит, уравнение имеет не более одного корня, а потому найденный подбором корень 1 этого уравнения будет единственным.

2

16. Решите уравнение х

ОДЗ уравнения представляет собой все отрицательные числа. Выясняем, что при х < 0 сложная функция ,_ 1

^ ^ и функция ^являются убывающими. Значит, левая часть данного

уравнения есть убывающая функция как сумма двух убывающих функций. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня, а потому найденный подбором корень -2 этого уравнения будет единственным.

17. Если в уравнении /х)=#(х) одна из функций является возрастающей, а другая - убывающей, то уравнение имеет не более одного корня.

Пусть функция f(x) является возрастающей, а g(x) - убывающей. Перенесём g(x) в левую часть уравнения и получим f(x) - g(x) = 0. Тогда в левой части этого уравнения имеем возрастающую функцию f(x) - g(x) как сумму двух возрастающих функций f(x) и -g(x), а в правой части - число 0. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Пусть теперь функция f(x) является убывающей, а g(x) - возрастающей. Перенесём g(x) в левую часть уравнения и получим f(x) - g(x) = 0. Тогда в левой части этого уравнения имеем убывающую функцию f(x) -g(x) как сумму двух убывающих функций f(x) и -g(x), а в правой - число 0. Значит, уравнение и в этом случае имеет не более одного корня.

Аналогично доказывается, что если на некотором промежутке в уравнении f(x)=g(x) одна из функций является возрастающей, а другая - убывающей, то уравнение имеет не более одного корня на этом промежутке.

18. Приведём пример использования этого утверждения.

Решите уравнение 2 ~Ь V ^ ^Х X X 1

На ОДЗ уравнения выясняем, что функция 3 2+5 2Х является убывающей, а

функция ^ ^^ X + \ X 1 ^ ВОзрасхаЮщей. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня, а потому найденный подбором корень 2 этого уравнения будет единственным.

19. Произведение двух положительных возрастающих (убывающих) функций есть функция положительная возрастающая (убывающая) на их общей области определения.

Пусть функции/и g принимают только положительные значения и являются возрастающими. Тогда для

любых и из их общей области определения при ^ ^ выполняются

неравенства -1 ' ■> И с/^ Перемножая почленно эти неравенства одного

/(х1)д(х1) > /(х2)д(х2) „

знака с положительными членами, получим ' 1 ° х ' ' ° . Это означает, что произведение функций/и g является положительной возрастающей функцией.

Аналогично доказывается, что произведение двух положительных убывающих функций есть функция положительная убывающая, как и утверждение о том, что произведение двух положительных возрастающих (убывающих) на некотором промежутке функций есть функция положительная возрастающая (убывающая) на этом промежутке.

20. Применим полученный результат при решении, например, следующего уравнения:

Сначала выясняем, что при х < 0 левая часть уравнения является отрицательным числом, а правая -положительным, поэтому в данном случае уравнение корней не имеет.

При х = 0 уравнение обращается в ложное равенство, значит, число 0 также не является корнем уравнения.

Наконец, при х > 0 в левой части уравнения имеем положительную возрастающую функцию как произведение двух положительных возрастающих функций, а в правой части - число 130. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня, а потому найденный подбором корень 8 этого уравнения будет единственным.

Выводы. Данные материалы многократно апробировалась на малом математическом факультете для школьников, а также при подготовке и переподготовке учителей математики в Армавирском государственном педагогическом университете, в ходе которых была подтверждена их эффективность. Они могут быть использованы как в практике обучения, так и при разработке и совершенствовании учебников и учебных пособий по математике.

Литература:

1. Алгебра. 9 класс. Учебник / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. - М.: Просвещение, 2014. - 337 с.

2. Алгебра. 9 класс. Учебник / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.- М.: Просвещение, 2014. - 336 с.

3. Алгебра. 9 класс. Учебник / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. - М.: Просвещение, 2014. - 271 с.

4. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания / под ред. И. В. Ященко. -М.: Изд-во «Экзамен», 2017. - 95 с.

5. Мальцев, Д.А. Математика. ЕГЭ 2017. Книга 2. Профильный уровень / Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева. - Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: Народное образование, 2017. - 224 с.

6. Манвелов, С.Г. Задания по математике на развитие самоконтроля учащихся 5-6 классов: пособие для учителей / С.Г. Манвелов, Н.С. Манвелов. - 3-е изд. дораб. - М.: Просвещение, 2014. - 159 с.

7. Манвелов, С.Г. К проблеме вариативности обучения школьников решению математических задач / С.Г. Манвелов, Н.С. Манвелов // Проблемы современного педагогического образования. Серия: Педагогика и психология. - 2017. - Вып. 54. - Ч. 6. - С. 167-173.

8. Манвелов, С.Г. О чётности и нечётности функций / С.Г. Манвелов // Математика в школе. - 2007. -№ 9. - С. 37-42.

9. Математика. ОГЭ 2017. Три модуля. 30 вариантов типовых тестовых заданий / под ред. И. В. Ященко. - М.: Изд-во «Экзамен», 2017. - 168 с.

10. Математика. ОГЭ 2017: учебно-методическое пособие / под ред. Д.А. Мальцева. - Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: Народное образование, 2017. - 333 с.

Педагогика

УДК: 378.0 аспирант

Гуманитарно-педагогическая академия (филиал) Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования

«Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского» (г. Ялта), старший преподаватель Миронцева Светлана Сергеевна

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Севастопольский государственный университет" (г. Севастополь)

ОРГАНИЗАЦИЯ КОНСТАТИРУЮЩЕГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ

ИССЛЕДОВАНИИ ПРОЦЕССА ИНОЯЗЫЧНОГО ОБУЧЕНИЯ БУДУЩИХ МЕНЕДЖЕРОВ

Аннотация. Статья посвящена организации констатирующего эксперимента при педагогическом исследовании процесса формирования иноязычной профессионально-ориентированной компетенции будущих менеджеров, который был одним из этапов в ходе разработки структурно-функциональной модели формирования иноязычной профессионально-ориентированной компетенции обучаемых с помощью электронных образовательных ресурсов. Его целью было выявление исходного уровня сформированности иноязычной профессионально-ориентированной компетенции будущих менеджеров.

Ключевые слова: иноязычная профессионально-ориентированная компетенция, электронные образовательные ресурсы, констатирующий эксперимент.

Annotation. The article deals with the ascertaining experiment organization in the pedagogical research of foreign-language professionally-oriented competence formation of future managers, which was one of the stages in the structural and functional model development using electronic educational resources. The aim was to define the initial level of forming foreign-language professionally-oriented competence of future managers.

Keywords: foreign-language professionally-oriented competence, electronic educational resources, an ascertaining experiment.

Введение. В последние годы в образовательных организациях высшего образования стремительно развивается процесс разработки и внедрения инновационных технологий обучения иностранным языкам, вызванный ростом требований в части качества иноязычной подготовки обучающихся к решению профессиональных задач. Проблема формирования иноязычной профессионально-ориентированной компетенции особенно актуальна для будущих менеджеров, так как анализ разработанности методики применения информационных технологий при обучении по этому направлению подготовки и существующей педагогической практики выявили противоречие между современным уровнем информационных технологий и недостаточным разнообразием поддержанных ими образовательных практик, ориентированных на профессионализацию обучения. Внедрение образовательных информационных ресурсов в процесс обучения также отстаёт от возможностей, предоставляемых теоретическими разработками в области информационных технологий [1].

Таким образом, проблема применения информационных технологий, использования электронных образовательных ресурсов в работе образовательных организаций высшего образования остается актуальной. При педагогическом исследовании процесса формирования иноязычной профессионально-ориентированной компетенции будущих менеджеров, проводившемся в ходе разработки структурно-функциональной модели формирования иноязычной профессионально-ориентированной компетенции обучаемых с помощью электронных образовательных ресурсов, одним из этапов был констатирующий эксперимент, имевший задачей выявление исходного уровня сформированности иноязычной профессионально-ориентированной компетенции будущих менеджеров [2].

Целью данной статьи является освещение организации констатирующего эксперимента при педагогическом исследовании процесса формирования иноязычной профессионально-ориентированной компетенции будущих менеджеров. Отражены количественные и качественные показатели сформированности иноязычной профессионально-ориентированной компетенции обучающихся; цели, методики, материалы и ход эксперимента в разрезе выделенных критериев оценивания, статистическая обработка результатов.

Изложение основного материала статьи. Констатирующий эксперимент проводился на базе Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования "Севастопольский государственный университет" и Гуманитарно-педагогической академии (филиала) Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского» в г. Ялте. В эксперименте принимали участие обучающиеся по направлению подготовки 38.03.02 Менеджмент, всего 367 человек.

Так как после проведения констатирующего этапа планировалась дальнейшая исследовательская работа по определению эффективности разработанной автором модели формирования иноязычной профессионально-ориентированной компетенции будущих менеджеров с использованием электронных образовательных ресурсов, обучающие были разделены на две группы: экспериментальную и контрольную. Обучение в контрольной группе предполагалось продолжить по традиционной системе в рамках дисциплины «Иностранный язык» по учебным планам образовательных организаций высшего образования, на базе которых проводился педагогический эксперимент. Обучение в экспериментальной группе планировалось проводить по авторской методике с использованием электронных образовательных ресурсов.

С целью выявления исходного уровня иноязычной профессионально-ориентированной компетентности будущих менеджеров были выделены четыре критерия, которые характеризуют готовность будущих менеджеров к формированию иноязычной профессионально-ориентированной компетенции: мотивационно-ценностный, когнитивно-содержательный, операционно-технологический и рефлексивно-оценочный, с соответствующими показателями. Также определены четыре уровня сформированности иноязычной профессионально-ориентированной компетенции будущих менеджеров - творческий, продуктивный,