О разрешимости скалярной задачи дифракции монохроматической волны на неоднородном теле со специальными условиями сопряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968, 517.983.37

doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-4

О разрешимости скалярной задачи дифракции монохроматической волны на неоднородном теле со специальными условиями сопряжения

А. А. Цупак

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия altsupak@yandex.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - исследование трехмерной скалярной задачи рассеяния плоской волны объемным телом, покрытым бесконечно тонким слоем графена. Материалы и методы. Рассматривается задача сопряжения для уравнения Гельмгольца со специальными условиями на границе тела. Эта задача, решение которой единственно, сводится к слабосингулярному интегральному уравнению. Оператор уравнения исследуется в пространстве Соболева. Результаты. Задача дифракции сведена к интегральному уравнению; доказана эквивалентность интегрального уравнения и задачи сопряжения; доказана фредгольмовость и непрерывная обратимость оператора интегрального уравнения. Выводы. Получены важные результаты о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи дифракции, которые могут быть использованы для обоснования численных методов ее приближенного решения. Ключевые слова: задача дифракции, единственность решения задачи сопряжения, интегральное уравнение, пространство Соболева, фредгольмов обратимый оператор Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 2011-20087).

Благодарности: автор выражает глубокую благодарность профессору Ю. Г. Смирнову за внимание к работе и полезные замечания.

Для цитирования: Цупак А. А. О разрешимости скалярной задачи дифракции монохроматической волны на неоднородном теле со специальными условиями сопряжения // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 4. С. 38-48. doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-4

On the solvability of the scalar monochromatic wave diffraction problem on an inhomogeneous solid with specific transmission conditions

A.A. Tsupak

Penza State University, Penza, Russia altsupak@yandex.ru

Abstract. Background. The purpose of this work is to study the 3-D scalar problem of scattering a plane wave from an inhomogeneous solid covered with an infinitely thin layer of graphene. Material and methods. The transmission problem for the Helmholtz equation with special boundary conditions is considered; this problem, which has a unique solution, is reduced to a weakly singular integral equation; the operator of the equation is investigated in a Sobolev space. Results. The diffraction problem is reduced to an integral

© Цупак А. А., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

equation; the equivalence of the integral equation and the transmission is proved; Fredholm property and continuous invertibility of the operator of the integral equation are proved. Conclusions. Important results on existence and uniqueness of the solution to the diffraction problem are obtained and can be used for validation of projection methods for numerical solving of the diffraction problem.

Keywords: diffraction problem, uniqueness of the solution of the transmission problem, integral equation, Sobolev spaces, Fredholm invertible operator

Financing: the research was financed by the RSF (project No. 20-11-20087). Acknowledgements: the author extends gratitude to professor Yu.G. Smirnov for his attention to the work and useful comments.

For citation: Tsupak A.A. On the solvability of the scalar monochromatic wave diffraction problem on an inhomogeneous solid with specific transmission conditions. Izvestiya vys-

shikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(4):38-48. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-4

Введение

В работе исследуется скалярная задача дифракции плоской монохроматической волны на объемном неоднородном теле с бесконечно тонким слоем материала на границе тела. Актуальность задачи обусловлена огромным интересом к изучению задач электродинамики в средах с включениями графена.

Наличие графенового покрытия на рассеивателе волны приводит к новым формулировкам краевых задач [1, 2] с условиями сопряжения на границе раздела сред, учитывающими наличие графена. В данной работе (как и в статье [2]) рассмотрен случай, приводящий к линейному условию третьего рода на границе области неоднородности.

Постановка задачи в данной работе (в отличие от [2]) допускает неоднородность области Q, которая описывается известной функцией k(x). В этом случае уже невозможно сведение исходной задачи к уравнениям по границе тела. Предлагается свести задачу к объемному уравнению типа уравнения Липпмана - Швингера [3]. Наличие разрыва нормальной производной полного поля на границе тела приводит к появлению интеграла по поверхности. Таким образом, получающееся уравнение имеет «смешанный» вид: присутствует интеграл и по объему Q , и по поверхности dQ .

В данной работе исследование задачи проводится согласно алгоритму, предложенному в работах [4, 5]: доказывается единственность решения задачи в исходной дифференциальной постановке; устанавливается эквивалентность дифференциальной и интегральной постановок задачи; доказываются фредгольмовость и непрерывная обратимость оператора интегрального уравнения в подходящих пространствах Соболева.

1. Постановка задачи дифракции

3

Пусть трехмерное пространство Ш заполнено однородной средой, характеризующейся волновым числом k0. Рассматривается задача дифракции плоской монохроматической волны с комплексной амплитудой:

u0(x) = eik0(ax1 +Р*2+№), xе Ж3.

Рассеиватель волны представляет собой объемное неоднородное тело Q - это ограниченная (возможно, многосвязная) область с гладкой границей

класса С; неоднородность тела определяется заданной функцией к (х) е С. Таким образом, неоднородность среды описывается функцией

к(х) = { ко' Х е ^^ & [к^х), х е Q,

причем всюду в М должны быть выполнены условия:

Reк >0 и 1тк^0. (1)

3

Будем искать в М функцию и(х) (это полное поле) такую, что

и е С2 (ж3 \ дQ) С1 (ж3 \ Q Ю С^)р| С (Ж3), (2)

удовлетворяющую:

- уравнению Гельмгольца вне границы тела:

Ли(х) + к2(х)и(х) = 0, х е Ж3 \ дQ, (3)

- условиям сопряжения на границе дQ :

ди

[и ]| дQ =0,

дп

дQ

= ЧдQ , (4)

(для к^0 выполнено неравенство 1т к<0);

- условиям ограниченности энергии:

и е н}ос (Ж3); (5)

- условиям излучения Зоммерфельда для рассеянного поля и3 := и — ио :

и8 (г) = О ( 1 |, = ¡ко)и8 + о | — | при 1тко = 0;

I г ) дг У г )

( — ^ (6)

и^ (г) = ОI — I при 1тко>0; г := |х|

Теорема 1.1 Задача (1)-(6) имеет не более одного решения. Доказательство. Сформулируем соответствующую однородную задачу дифракции и докажем тривиальность ее решения.

Выберем открытый шар В := Вя (0) радиуса Я такой, что Q с В, дQ п дВ = 0. Обозначим Q =: V и определим области V) := В \ V1 с границей

дУ2 = дВ и д^ и Vз := Ж3 \ В. Будем использовать обозначения — =: ип,

дп

ди

— =: иг.

дг

Задачу для рассеянного поля us сведем к задаче сопряжения

Vj (x) := us (x), x eVj ; (A + £0 )V (x) = 0, x e V (i = 2,3), — 2

V3( x):= us ( x), x eV 3; (A + k ( x))vj( x) = 0, x eVj,

~Vv3 = ikoV3 + 0 ^Г), r или us (r) = O ^-2j,

(7)

^(x)= V2(x), xe dVb V2,n(x) = Vi,n(x) + kvj(x), xe dVh

V2 (x)= V3 (x), x e dB, V2 n (x) = V3 n (x), x e dB. (8)

Применим формулу Грина J (uAv + VuVv )dV = J uvnds в областях

V dV

Vj (i = 1,2) с внешними нормалями пг-, беря в качестве u, v функции Vj, Vj соответственно и учтем уравнения Гельмгольца (7):

J ((2 + | VV2 |2 )dx = -к2 J | V2 |2 dx + J | VV2 |2 dx = J V2V2,n2ds, V2 V2 V2 dV2

J ( vi Av1 +1 Vv112 ) dx = - Jk2 (x) | v112 dx + J | Vv112 dx = J Viv1 ^ ds. (9)

V

V

dV

Сложим уравнения из (9) и учтем условия сопряжения (8),

2 _ _

Jk2(x) | V112 dx + ^ J IVV2 |2 dx = J V2V2,n2 ds + J V1 v ,n1<

k J IV2 |2 dx

Vo

V

i=1 Vo

9V0

dV

J v2V2,n2ds + J (V2V2,n2 + V1V1,n )ds : dQ

dB

V3V3,rds + J (-V1V2,n1 + V1V1

dB dQ

= J

dB

Таким образом, выводим

n)ds = J

V3V3 rds -к J | V1

dB dQ

к К Iv1 |2 ds - k02 J | v2 I2 dx - Jk2(x) | v1 I2 dx + £ J | VVi |2 dx = J v3 ds. (10)

dQ V2 V i=1Vi dB

г_ Эу-дг

^ > = 11/

Пусть к(х) всюду вещественно. Из мнимой части равенства (10) с учетом условия излучения выводим

( ( \ | (>к0У3 + о( Я ~l))vзds

дВ

Im J V3V3,n ds = Im

1 dB )

= к0 | | у3 |2 йи + |о(Я~2)йи = к0 | | ^ |2 йи + о(1) = 1т к | ЭВ ЭВ дв Эб

2

Так как 1тк<0, то ко | | vз |2 йи ^ 0 при Я ^0. В силу леммы

Эв

Реллиха (см. [6, с. 88]) имеем vз = 0 в ¥3, откуда и2 = 0 в ¥ в силу условий сопряжения на ЭВ и гладкости функций вне б . Из условий сопряжения на

Эб находим сначала VI ^ = V2 ^ = 0, затем 1 ^

= 0 и, наконец,

Эб

Э^

"ЭЛ

= дv2

Эб Эп

Эп

= 0. Таким образом, гладкая функция ^ удовлетворяет в б

Эб

однородному уравнению Гельмгольца, а также нулевым условиям Дирихле и Неймана на гладкой границе Эб ограниченной области неоднородности. В монографии [7] доказана тривиальность ^ .

Пусть теперь всюду 1т к > 0. Из второго условия в (6) следует -2

и(х) = 0(Я ) на сфере ЭВ, и правая часть равенства (10) исчезает при Я ^ Следовательно,

22 -к К Н2 Ж - к02 | | ^ |2 йх - |к2(х) | Vз |2 йх+211 Vv¿ |2 йх ^ 0, Я ^ ■+» (11) Эб ¥2 ¥1 ''=!¥■

Беря мнимую часть (11), получим

-Re к01тк0 | | v2 |2 йх - |(Re к11тк1)(х) | v1 |2 йх ^ 0, Я ^

¥2 ¥1

Слагаемые в этом предельном соотношении имеют один знак, откуда снова заключаем, что vi (х) = 0, х е ¥', ' = 1,2.

В третьем возможном случае имеем к0 >0, а (1т к^Яе к^)(х) > 0 в б. Сначала, как и в первом случае, воспользуемся леммой Реллиха и найдем Vз = 0 вне некоторого шара Вя. Затем, переходя к шару Вя' (0) (Я'> Я),

получим | йи = 0, откуда и из (10) вновь выведем требуемое

Э%

утверждение. ■

2. Интегральное уравнение задачи дифракции

Пусть точка наблюдения х е б , а и + (у), и (у) - односторонние пределы на Эб значений и(у) из областей б и В \ б соответственно. Используем вторую формулу Грина:

I (и + (у)^п (х,у) - О(х,у)и+ (у)) = |(и(у)АО(х,у) - О(х,у)Аи(у))й¥у =

Эб б

= -u (x) + JG(x, y)(k?(y)-k02)u (y)dVy = -u(x) + Ku(x), (12)

Q

j (u - (y )Gn (x, y) - G (x, y )u-' (y)

dQudB

= J (u(y)AG(x,y) -G(x,y)Au(y))dVy = 0. (13)

B\Q

eik0\x~ yl

Здесь G (x, y) =--фундаментальное решение уравнения Гель-

4п \ x - y \

мгольца, удовлетворяющее условиям излучения (6); n и n' - векторы нормали, направленные во внешности областей Q и B \ Q соответственно.

Сложим (12) и (13), учтем условия сопряжения (8) и противоположную направленность внешних нормалей на границе тела (n' = — n при y е dQ):

-u(x) + Ku(x) = J (u + (y)Gn(x,y) - G(x,y)u+ (y)

dQ

- J (u-(y)Gn(x,y)- G(x,y)u-(y)) + J (u(y)Gn'(x,y) - G(x,y)u^(y))) =

dQ dB

= J (u+(y)Gn(x y) - G(x y)u+n(y))dsy - J (u-(у)Gn(x y) - G(x y)u-,n(y))dsy +

dQ dQ

+ J (u0(y)Gn(xy)-G(xy)u0,n'(y))dsy + J (us(y)Gn'(xy)-G(xy)us,n'(y))dsy =

dB dB

= к КG(x,y)u(y)dsy -u0(x) + J (us(y)Gn'(x,y)-G(x,y)us (y)). dQ dB

Оценим последний интеграл. При фиксированном x е Q и \ y имеем

G(x,y) = O(\ x -y \-1) = O(R-1), Gn'(x,y) = O(\ x -y \-2) = O(R-2), откуда и из (8) заключаем, что

J (us(y)Gn'(x,y) -G(x,y)us,n'(y)) 0 при R

dB

Таким образом, выводим интегральное уравнение в области Q : u(x) - Jg(x,y)(k12(y) -kg)u(y)dVy + к КG(x,y)u(y)dsy = u0(x), xе Q. (14)

Q dQ

Аналогично получим представление полного поля вне Q :

где

и (х) = Ох, у)(к12(у) - ко)и(у)й¥у -

б

-к К О(х,у)и(у)йиу + и0(х), хе М3 \ б. (15)

Эб

Уравнение (14) можно записать в операторной форме: и(х) - Ки(и) + кБи(х) = и0(х), хе б,

Ки( х) = |О( х, у)(к2(у) - к^)и(у)й¥у, Би (х) = | О( х, у)и(у)йиу.

б Эб

Точнее, Би = БУ0и, где ^0ф= | О(х,у)ф(у)йиу, а У0и - оператор вы-

Эб

числения следа.

Теорема 2. Оператор (I - К -кБ) фредгольмов в Н 1(б).

Доказательство. Пусть и е Н 1(б), т.е. и является сужением некоторо-

13 3

го элемента й е Н (М ). Тогда Ки е Н (б), и, следовательно, К компактен

в Н 1(б).

1/2 2 Далее, У0и е Н (Эб). Тогда (см. [8, с. 210]) Би е Н (б), откуда выводим компактность Б в Н1 (б). ■

Установим эквивалентность задачи сопряжения и интегрального уравнения.

Теорема 3. Если и (х) - решение задачи (1)-(6), то при х е б верно интегральное уравнение (14), а вне б - интегральное представление (15). Обратно, пусть и е Н 1(б) - решение уравнения (14) с гладкой правой частью

и0 е С(б). Тогда полное поле, продолженное в М3 по формуле (15), является решением задачи (3)-(6), удовлетворяющим условиям гладкости (2).

Доказательство. 1. Пусть и е Н1 (б) - решение интегрального уравне-

3 3

ния (14); рассмотрим и представление поля (15). Имеем Кие Нос(М ) и в силу теорем вложения пространств Соболева [9] получаем

Ки е С1,а(М3), ае [0,1/2). (16)

Далее, применяя результат из [8, с. 210], выведем

У0и е Н1/2 (Эб), Би е Н2 (б) пН^ (М3 \ б).

Тогда решение ие Н2(б)пН}ос(М3 \б), а его след у0ие Н3/2(Эб). Из последнего и гладкости границы Эб заключаем, что

У0и е С0,а(Эб), ае [0,1/2).

Теперь для интеграла типа потенциала простого слоя выведем следующий результат (см. [10, с. 411]):

Su е C(М3) n C1'" (Q) n C1'" (М3 \ Q). (17)

2. Повторяя вывод включения (17), получим u е H4(Q) nHfoc (М3 \ Q),

т.е. u е C2(Q) n C2

53\ Лч

\ Q) (на самом деле из гладкости к (у) можно полу-

^ 3 3

чить и е С(М \ ЭQ)). Из (16), (17) следует и е С(М ), таким образом, условия гладкости (2) доказаны.

3 —

При х е М \ Q имеем в силу бесконечной дифференцируемости в( х, у):

(Л + ко)и(х) = (А + к(2)(и0(х) + Ки(х) + к5и(х)) = 0, хе М3 \Q,

а при х е Q из определения щ, свойств объемного потенциала и гладкости ядра оператора 5" получаем

(Л + кО2 )и(х) = (Л + $)Ки (х) = -(к2 (х) - к2 )и(х),

поэтому и( х) удовлетворяет уравнению Гельмгольца и в Q.

Условия излучения (6) вытекают из гладкости потенциалов вне Q и определения фундаментального решения G(х, у).

3. Остается проверить условия сопряжения. Первое из них очевидно, так как и е С(М ). Проверим второе.

Так как плотность и(у) ньютонова потенциала Ки непрерывна в Q , то (см. [10, с. 25]) Ки е С1(М3). Значит,

= 0.

Эи0 ' dKu ~

_ dn _ dQ _ dn _ dQ

Выше получены включения JqU е C 0'а (dQ) и (18). Следовательно [10 с. 411], верна теорема о дифференцировании потенциала простого слоя:

dSu

Эп

1 . . dSu = +—u( x) +--

2 V Эп

Тогда из уравнения (14) и представления (15) получим

dSu 1 ( dSu i I

du = —к dSu

_ dn _ 9Q _ dn _ dQ

= —K

dn

Эп

= -к

2u(x) —2-u(x)J = KU(x)|dQ .

Теорема доказана. ■

Из доказанных утверждений вытекает заключительный результат работы.

Теорема 4. Оператор (I - k -kS) непрерывно обратим в h^q).

Доказательство. Для фредгольмова оператора с нулевым индексом достаточно [11] проверить его инъективность. Пусть u е h^(Q) - решение однородного уравнения (14). Тогда в силу теоремы 3 u(x), продолженное в М , является решением однородной задачи (2)-(6), а в теореме 1 доказана тривиальность такого решения. ■

Заключение

В работе проведено теоретическое исследование скалярной задачи дифракции монохроматической волны на неоднородном теле, покрытом бесконечно тонким слоем графена. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения этой задачи. Результаты о фредгольмовости и непрерывной обратимости оператора выведенного интегрального уравнения позволят обосновать проекционный метод для численного решения этого уравнения. Результаты численного исследования задачи будут представлены в следующих статьях.

Список литературы

1. Смирнов Ю. Г., Тихов С. В., Гусарова Е. В. О распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, покрытом графеном // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 3. С. 11-18.

2. Смирнов Ю. Г., Кондырев О. В. О фредгольмовости и разрешимости системы интегральных уравнений в задаче сопряжения для уравнений Гельмгольца // Дифференциальные уравнения. 2023. № 8. С. 1089-1097.

3. Цупак А. А. Сходимость метода коллокаций для интегрального уравнения Липп-мана - Швингера // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2018. № 4. С. 84-93.

4. Валовик Д. В., Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Существование и единственность решения задачи дифракции электромагнитной волны на системе непересекающихся тел и экранов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2015. № 1. С. 89-97.

5. Цупак А. А. Существование и единственность решения задачи дифракции акустической волны на объемном неоднородном теле, содержащем мягкий экран // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2015. № 3. С. 61-71.

6. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / пер. с англ. Ю. А. Еремина, Е. В. Захарова ; под ред. А. Г. Свешникова. М. : Мир, 1987. 311 с.

7. Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Математическая теория дифракции акустических и электромагнитных волн на системе экранов и неоднородных тел. М. : Русайнс, 2016. 226 с.

8. McLean W. Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations. Cambridge University Press, 2000.

9. Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М. : МЦНМО, 2013. 380 с.

10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1981. 512 с.

11. Колмогоров А. Н., Фомин C. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976. 544 с.

References

1. Smirnov Yu.G., Tikhov S.V., Gusarova E.V. On the propagation of electromagnetic waves in a dielectric layer coated with graphene. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(3):11-18. (In Russ.)

2. Smirnov Yu.G., Kondyrev O.V. On the Fredholm property and solvability of a system of integral equations in the conjugation problem for the Helmholtz equations. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2023;(8):1089-1097. (In Russ.)

3. Tsupak A.A. Convergence of the collocation method for the integral LippmanSchwinger equation. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2018;(4):84-93. (In Russ.)

4. Valovik D.V., Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Existence unicity of the solution of the diffraction problem for an electromagnetic wave on a system of non-intersecting bodies and screens. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Po-volzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2015;(1):89-97. (In Russ.)

5. Tsupak A.A. Existence and uniqueness of solution of the problem of acoustic wave diffraction on a solid heterogeneous body containing soft screen. Iz-vestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2015;(3):61-71. (In Russ.)

6. Kolton D., Kress R. Metody integral'nykh uravneniy v teorii rasseyaniya = Methods of integral equations in scattering theory. Translated from Eng. Yu.A. Eremina, E.V. Zakharova; ed. by A.G. Sveshnikov. Moscow: Mir, 1987:311. (In Russ.)

7. Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Matematicheskaya teoriya difraktsii akusticheskikh i elektromagnitnykh voln na sisteme ekranov i neodnorodnykh tel = Mathematical theory of diffraction of acoustic and electromagnetic waves on a system of screens and inhomogeneous bodies. Moscow: Rusayns, 2016:226. (In Russ.)

8. McLean W. Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations. Cambridge University Press, 2000.

9. Agranovich M.S. Sobolevskieprostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey = Sobolev spaces, their generalizations and elliptic problems in domains with smooth and Lipschitz boundaries. Moscow: MTsNMO, 2013:380. (In Russ.)

10. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki = Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1981:512. (In Russ.)

11. Kolmogorov A.N., Fomin C.V. Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza = Elements of function theory and functional analysis. Moscow: Nauka, 1976:544. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Алексей Александрович Цупак Aleksey A. Tsupak

кандидат физико-математических наук, Candidate of physical and mathematical

доцент, доцент кафедры математики sciences, associate professor, associate

и суперкомпьютерного моделирования, professor of the sub-department

Пензенский государственный of mathematics and supercomputer

университет (Россия, modeling, Penza State University

г. Пенза, ул. Красная, 40) (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: altsupak@yandex.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 01.09.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 14.10.2023 Принята к публикации / Accepted 02.11.2023