О разрешимости системы уравнений относительно коэффициентов Фурье–Чебышёва при решении обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Suslov S.K. Quantum integrals of motion for variable quadratic Hamiltonians // Ann. Phys. 2010. 325, N 9. 1884-1912.

3. Yau S.S.T. Computation of Fokker-Planck equation // Quart. Appl. Math. 2004. 62, N 4. 643-650.

4. Chechkin A.G. Explicit form of the fundamental solution to a second order parabolic operator //J. Math. Sci. 2015. 210, N 4. 545-555.

Поступила в редакцию 23.12.2016

УДК 519.622

О РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ЧЕБЫШЁВА ПРИ РЕШЕНИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РЯДОВ ЧЕБЫШЁВА

О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2

Приведена формулировка теоремы о разрешимости системы уравнений относительно приближенных значений коэффициентов Фурье—Чебышёва. Теорема является теоретическим обоснованием метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.

A solvability theorem for a system of equations with respect to approximate values of Fourier-Chebyshev coefficients is formulated. This theorem is a theoretical substantiation for the numerical solution of ordinary differential equations using Chebyshev series.

Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev series, Markov quadrature formulas.

Рассматривается задача Коши для нормальной системы M обыкновенных дифференциальных уравнений

У' = fix,у), у(х0)=уо, х0 ^х ^хо+Х, (1)

при условии, что функция fix,у) непрерывна в области I) определения системы вместе с частными производными до некоторого порядка. Предполагается также, что на отрезке [жо, Жо + X] задача Коши (1) имеет единственное решение.

В работах [1, 2] предложен приближенный метод решения задачи (1), основанный на разложении правой части системы

у'{х) = /(ж,у(х)) = f(xo + ah, у(хо + ah)) = Ф(а), 0 ^ а ^ 1, h^X,

на частичном отрезке [жо, Жо + h] в ряд по смещенным многочленам Чебышёва первого рода

оо 1

Ф(а) = 5>?[ВД(«). а*[Ф] = - f Щ^Щйх, Т*(а) = Тг(2а - 1). (2)

Здесь штрих у знака суммы означает, что слагаемое с индексом 0 берется с дополнительным множителем 1/2, и Ti(t) — многочлен Чебышёва на отрезке [—1, 1]. Если коэффициенты этого разложения

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc.msu.ru.

2 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.

(коэффициенты Чебышёва) известны, то решение задачи (1) можно легко получить также в виде смещенного ряда Чебышёва:

у(хо + аЛ) = ^а*[у]Т*(а), а*[у] = - / У^(3) ^ к ] уа{1 - а)

í=o 0

Из допущения о гладкости правой части в (1) следует равномерная на [жо, Жо + Н\ сходимость рядов (2), (3). Замена рядов (2), (3) их частичными суммами к-го и (к + 1)-го порядка соответственно, применение формулы численного интегрирования Маркова [1] с узлами а^ = 0, (1) 1 Л (2^' — 1)тг N \ . 1

а) = — 1 + сое —;- , 7 = 1,... ,к, и весовой функцией — = для вычисления ин-

1 2 V 2к + 1 ) " л/ск(1 - а)

теграла а*[Ф] в (2), а также использование связи между коэффициентами Чебышёва решения и

коэффициентами Чебышёва его производной

а* [у{хо + аК)] = ^ «_![Ф] - а*+1[Ф]), г > 0, (4)

^ ад [у(хо + аЪ)] = у0 + ^ Ц[Ф] - ^ а^[Ф]) - ^ ^ а*[Ф] (5)

•7=2 ]

приводят к следующей системе уравнений для приближенных значений а*[Рк] ~ а*[Ф], г = 0, ... , коэффициентов Чебышёва правой части системы (1):

. к

а*[Рк] = + + ••• ХИ))1?^) г = 0, ... (6)

\?=о

Учитывая квадратурную формулу Маркова с узлами а^ = 0, = — +со8 —-—-Л, = 1, ... , к,

2/ V к X /

(2)

= 1, соответствующую систему уравнении представим в виде к-\-1

= ^^-¿"/(жо + С/(Жо + ... ,ак[Рк]))Т*{а^), г = 0, ... Л (7)

Здесь два штриха у знака суммы означают, что слагаемые с индексами 0 и к + 1 берутся с до-

к+1

полнительным множителем 1/2, и [/(жо + осН] а^[Рк], ■■■ ,ак[Рк])) = а*\и\Т*(а). Коэффициенты

1=0

а* [и] приближенного решения [/(ж) вычисляются с помощью соотношения (4) при 1 = 1, ... ,к + 1 и соотношения (5) при I = 0, в левых частях которых следует у заменить на С/, а в правых частях а*[Ф] — на С1д[Рк] при д ^ к и на 0 при д > к. Обе системы (6) и (7) могут быть записаны в форме

а*[Рк] =фг{а*0[Рк},а1[Рк], ... ,а*к[Рк}), г = 0,1, ... ,к, (8)

при этом для вектор-функции ф^ справедливо следующее соотношение: частная производная 1-й компоненты функции ф^ по п-й компоненте коэффициента а^Рк] имеет порядок относительно ¡1, д(Ь

равный ——— = О(Л-), Н 0. Отсюда следует, что если значение ¡1 выбрать достаточно малым, то какая-нибудь норма матрицы, составленной из максимальных (в области изменения переменных)

значений модулей частных производных

, станет меньше единицы.

д ап.._

В работе [1] показано, что невязка рг, которая получается при постановке в (8) точных значений коэффициентов Чебышёва правой части Ф(а) уравнения (1) вместо а*[Рк], имеет порядок относительно ¡1, равный

рг = а*т~Фг{ат, ••• ХИ) =0{}1к+°), О, (9)

где в = 1 ш в = 2 в зависимости от используемой квадратурной формулы Маркова, а именно: 8 = 1 для системы (6) и 8 = 2 для системы (7), при этом предполагается, что /(ж, у) имеет непрерывные частные производные по ж и у до порядка 2к + 8 включительно.

Будем рассматривать совокупность первых к + 1 коэффициентов Чебышёва сьд [Ф], • • • , ак [Ф] функции Ф(а) как точку го в М(к + 1)-мерном арифметическом пространстве цм(к+1):

«, = №], ••• ,а*к[Ф]) = («10 [Ф]) ...,а*м 0[Ф], ... ,а\к[ Ф], ... ,а*Мк[Ф]), г0 € Пм{-к+1\

Обозначим через С окрестность точки го радиуса г, т.е. множество всех точек данного пространства г = (ао,а\, ... ,ак) = (аю, ■■■ , омо, ■■■ к, ■■■ ,а>мк), % € цм(к+1); дЛЯ которых р(г,го) = ||-г — -го||оо ^ т, где г — некоторое число, от к не зависящее. Пусть г — произвольная точка области С : г € С. Обозначим через а*[и](ао, сц, ■ ■ ■ ,(1к) коэффициенты Чебышёва функции и(х) = и(хо + ак), 0 ^ а ^ 1, на [жо, жо + к], вычисляемые через величины ао,а\, ... ,ак по описанному выше правилу т.е. по формулам (4), (5), в левых частях которых следует у заменить на С/, а в правых частях а^[Ф] — на ад при 0 ^ д ^ к, а все остальные йд[Ф], <? > к, заменить нулями.

В [2] описаны два способа построения двух приближений а*^ [Рк], г = 0, ... ,к, к коэффициентам ад[Ф], ... , я£[Ф], одно из которых имеет погрешность

а*[Ф] -а*{0)[Рк] = 0(к2), г = 0,1, ... ,к, при к ->■ 0, (10)

а другое — погрешность

а*[Ф] -а*(0)[Рк] = 0(кш), г = 0,1, ... ,к, при к ->■ 0. (11)

Сформулируем без доказательства следующую теорему, содержащую условия, при которых система уравнений (8) имеет единственное решение.

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1) для всех точек г € С(р(г,го) ^ г) и для, всех к, меньших некоторого значения к\ : 0 < к ^ к\, к\ ^ X, линейные комбинации вида

к+1

и(ж) = и(х0 + ак) = ^2'а*[и](ао, ... ,ак)Т((а), 0 < а < 1, 1=0

входящие в качестве второго аргумента функции /(ж, у) в (6) и (7), принимают, на, отрезке [жо, Жо + /г] значения, принадлежащие области И определения функции /(ж, у);

2) при всех к, меньших некоторого значения ¡12 '■ 0 < к ^ Л-2, норма К = ||<3||оо матрицы, С}, составленной из максимальных (в области изменения переменных) значений модулей частных

% (имеющих порядок О (К) относительно Iц1,п = 1, ... , М; г,т = 0, ... , к),

производных меньше единицы;

3) при всех к, меньших некоторого значения кз : 0 < к ^ кз, мажорантная оценка 0(кк+в) невязки рг в (9) настолько мам, что выполняется неравенство

||ф(г0) - ¿о||оо < (1 - К)г, ф(го) = (фо(го), • • • ,фк(го));

4) при всех к, меньших некоторого значения, Л4 : 0 < к ^ Л4, ма,жора,нтна,я, оценка, (10) или (11)

погрешности начального приближения, а*^°\Рк], г = 0, ... , к, настолько мала, что выполняется неравенство

р(г0,г^) < г, = (а0{0)[Рк], ... , а*к(0) [Рк]), р(г0,г^) = шах (шах | а;, [Ф] - [Рк]\]).

Тогда, существует такое значение ко > 0, а, именно ко = тт{Л,1, Л-2, кз, ч,т,о при всех к : 0 < к ^ ко для задачи Коши (1), рассматриваемой на частичном отрезке [жо, х0 + к], система уравнений (8) относительно приближенных значений коэффициентов Чебышёва функции Ф(а) имеет единственное решение г = (а,д[Рк], ... , ак[Рк]), которое можно получить методом простых итераций как предел, посл,едова,т,ел,ьност,и

а^+1)[Рк] = Фг(а0И[Рк], • • • ,а1И[Рк]), г = 0,1, ... ,к; и = 0,1,..., исходя из начального приближения, а^°\Рк], ... ,а*^°\Рк].

Пример. Интегрируется система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

У'г

У'2

2/2(0) =

1

0 ^ ж ^ ж/, хf

(12)

Таблица!

Nh h ¿2 Nf

43 0,1 -0,22 х Ю-15 0,65 х 10~15 34468

29 0,15 0,37 х Ю-14 -0,32 х Ю-14 23254

15 0,3 -0,38 х Ю-14 0,26 х Ю-14 12040

13 0,35 -0,34 х Ю-14 0,54 х Ю-14 10738

И 0,4 0,66 х Ю-13 -0,99 х Ю-13 8836

10 0,45 -0,10 х Ю-12 0,14 х Ю-12 8260

9 0,5 -0,99 х Ю-13 0,71 х Ю-13 7234

8 0,55 0,43 х Ю-12 -0,46 х Ю-12 6608

... —, Ш(0) = 1, У2 У1

Компонента У\{х) решения имеет большую производную, так как представляет со-

2

бой быстрорастущую функцию У\{х) = ех ,

1 _ 2

а вторая компонента решения у2{х) = —е х .

Для системы (12) задавалось разбиение промежутка интегрирования [0, Ж/] на несколько частичных сегментов длиной Л, ^ ж/, и на каждом таком сегменте решение представлялось в виде (£;+1)-й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва при к = 25. Число частичных сегментов длиной ¡г, на которые разбивался отрезок интегрирования (т.е. число шагов ЛУ, значения ¡г, относительные погрешности ¿1 и 52 приближенных значений у 1(ж/) и /); вычисленных в конце промежутка интегрирования ж а также количество вычислений Nf правой части системы (12) приведены в табл. 1.

В таблице 2 приведены резуль- Таблица2

таты интегрирования задачи (12), полученные одношаговыми методами Фельберга и Ингленда пятого порядка точности с автоматическим выбором шага и многозначным методом Гира с автоматическим выбором шага и переменным порядком (максимально допустимый порядок равен семи).

Во втором и третьем столбцах табл. 2 показаны относительные погрешности ¿1 и 52 приближенных значений компонент решения у\{х), У2(х), отвечающие наилучшей фактически достигнутой точности в точке Ж/. В четвертом и пятом столбцах дано количество выполненных шагов Л^ и число вычислений Nf правой части системы (12), использованных для достижения такой точности.

Как видно, приближенное решение задачи (12) в точке ж/ методом рядов Чебышёва получено с большей точностью за значительно меньшее число шагов и с существенно меньшим количеством вычислений правой части системы (12), чем указанными численными методами.

Метод ¿2 Nh Nf

Фельберга 0,44 х Ю-12 -0,46 х Ю-12 8432 50637

Ингленда 0,86 х ИГ12 -0,85 х 10~12 34285 211914

Гира -0,48 х Ю-12 0,51 х Ю-12 7577 15588

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва // Вычисл. методы и програм. 2016. 17. 121—131.

2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.

Поступила в редакцию 7.02.2017

УДК 515.162.6

ПОГРУЖЕНИЯ ГРАФОВ В ПРОЕКТИВНУЮ ПЛОСКОСТЬ

М. А. Ивашковский1

Исследуются погружения графов в проективную плоскость. Получена классификация погружений с точностью до регулярной гомотопности. Построен полный инвариант погружений с точностью до регулярной гомотопности. Случай погружений графов в любую компактную поверхность, отличную от проективной плоскости, был известен.

1 Ивашковский Максим Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: frankl581Qyandex.ru.